2023年中考数学二轮复习重难点专项突破专题15 二次函数的图象与性质(教师版)

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备战2022年中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练(全国通用版)
专题15 二次函数的图象与性质
【典型例题】
1．(2022·全国·九年级专题练习)如图，抛物线C的顶点坐标为(2，8)，与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点D(0，6)．

(1)求抛物线C的函数表达式以及点B的坐标；
(2)平移抛物线C，使平移后的抛物线C′的顶点P落在线段BD上，过P作x轴的垂线，交抛物线C于点Q，再过点Q作QE∥x轴交抛物线C于另一点E，连接PE，若△PQE是等腰直角三角形，请求出所有满足条件的抛物线C′的函数表达式．
【答案】(1)，B(6，0)
(2)y+2或y+1．
【解析】
【分析】
(1)设抛物线C的解析式为y＝a+8，把(0，6)代入y＝a+8，确定解析式即可．
(2) 确定直线BD的解析式为y＝﹣x+6，设P(t，﹣t+6)，则0＜t＜6，则Q(t，)，利用Q，E是C的对称点，确定E的坐标，分别计算PQ，EQ的长度，分类计算即可．
(1)
∵抛物线C的顶点坐标为(2，8)，
∴设抛物线C的解析式为y＝a+8，
把(0，6)代入y＝a+8，
得a，
∴抛物线C的解析式为y+8，
∴，
令y＝0，则有，
解得x＝﹣2或6，
∵点A在点B的左侧
∴B(6，0)．
(2)
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+6，
设P(t，﹣t+6)，则0＜t＜6，则Q(t，)，
∵E，Q关于抛物线C的对称轴直线x＝2对称，
∴，
∴，
∴E(﹣t+4，)，
∴QP=﹣(﹣t+6)=，QE＝|2t﹣4|，
∵QP⊥x轴，QE∥x轴，
∴∠PQE＝90°，
∴当QE＝PQ时，△PQE是等腰直角三角形，
即＝|2t﹣4|，
①当＝2t﹣4时，

解得t＝4或﹣2(舍弃)，
此时P(4，2)，
故抛物线解析式为y+2．
②当＝﹣2t+4时，
解得t＝5或5(舍弃)，
此时P(5，1)．
∴y+1
∴满足条件的抛物线有两条，解析式分别为y+2或y+1．
【点睛】
本题考查了二次函数的解析式，一次函数的解析式，抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，等腰直角三角形的分类，熟练掌握待定系数法，抛物线的对称性，分类思想是解题的关键．




【专题训练】
一、 选择题
1．(2021·广东斗门·一模)对于二次函数的图象，下列说法正确的是(        )
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．与轴有两个交点 D．顶点坐标是
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数解析式，得出该函数图象的信息，然后依次判断各选项即可．
【详解】
解：由二次函数解析式可知：，图象开口向上；顶点坐标为；对称轴为直线，故A、B、D错误；

△
二次函数的图象与轴有两个交点
故C正确，
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．
2．(2021·广西平桂·九年级期中)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于(-1，0)，(3，0)，则下列判断错误的是(       )．

A．图象的对称轴是直线x＝1 B．当x>1时，y随x的增大而减小
C．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是-1和3 D．当y