2023年中考数学二轮复习重难点专项突破专题03 方程与不等式(教师版)

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专题03 方程与不等式
【典型例题】
1．(2021·广东·深圳市宝安中学(集团)模拟预测)解下列方程．
(1)． (2)．
【答案】(1)x1=3，x2=(2)x1=，x2=1．
【解析】
【分析】
(1)根据因式分解法即可求解．
(2)根据因式分解法即可求解．
【详解】
(1)．



∴x-3=0或2x-7=0
解得x1=3，x2=
(2)

∴2x-3=0或x-1=0
解得x1=，x2=1．
【点睛】
此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的运用．
2．(2021·山东省青岛实验初级中学模拟预测)解方程组：(1)；(2)
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)用加减法解方程组即可；
(2)先化简方程组，再解方程组即可．
【详解】
解：(1)，
①+②得，，
解得，，
代入①得，，
原方程组的解为：．
(2)
化简得，，
②-①×3得，，
解得，，
代入②得，，
原方程组的解为：．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法，解题关键是熟练运用加减法消元，准确进行计算．
3．(2021·江苏滨湖·一模)(1)解方程：；
(2)解不等式组：．
【答案】(1)x=0；(2)1＜x≤4
【解析】
【分析】
(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
(2)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【详解】
解：(1)去分母得：(x-3)(x+2)-(x-2)=(x+2)(x-2)，
去括号得：x2-x-6-x+2=x2-4，
解得：x=0，
检验：把x=0代入得：(x-2)(x+2)=-4≠0，
则分式方程的解为x=0；
(2)，
由①得：x＞1，
由②得：x≤4，
则不等式组的解集为1＜x≤4．
【点睛】
此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，解分式方程利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．




【专题训练】
一、 选择题
1．(2021·广东海珠·七年级期末)关于x的方程3x﹣a+5＝0的解是x＝4，则a的值(　　)
A．15 B．17 C．﹣5 D．0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据x=4是已知方程的解，将x=4代入方程即可求出a的值．
【详解】
关于x的方程3x﹣a+5＝0的解是x＝4，

解得．
故选B．
【点睛】
本题考查了方程的解的定义，理解方程的解是解题的关键．方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
2．(2021·贵州红花岗·二模)若和为一元二次方程的两个根，则的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系得出，化简代入求值即可．
【详解】
和为一元二次方程的两个根

．
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，因式分解，代数式求值，利用一元二次方程根与系数的关系求出是解题的关键．
3．(2021·广东花都·三模)若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则反比例函数的图象可能经过点(　　)
A．(3，1) B．(0，3) C．(﹣3，﹣1) D．(﹣3，1)
【答案】D
【解析】
【分析】
由方程根的情况可求得m的取值范围，则可求得反比例函数图象经过的象限，可求得答案．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，
∴Δ＜0，即(﹣2)2+4m＜0，
解得m＜﹣1，
∴m+1＜0，
∴反比例函数的图象经过二、四象限，
∴反比例函数的图象可能经过点(﹣3，1)，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的性质和一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式求得m的取值范围是解题的关键．
4．(2022·甘肃平凉·模拟预测)《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．问：甲，乙两人各带了多少钱？设甲，乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设甲持钱x，乙持钱y，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半=50，乙的钱+甲所有钱的=50，据此列方程组可得．
【详解】
解：设甲持钱x，乙持钱y，
根据题意，得：，
故选：B．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．
5．(2022·辽宁·东北育才双语学校模拟预测)若关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程+=2有正数解，则所有满足条件的整数a的值有( )个．A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】
【分析】
先解不等式组，根据不等式组有且仅有四个整数解，得出−4＜a≤3，再解分式方程，根据分式方程+=2有正数解，得到a−2且a≠2，进而得到满足条件的整数a的值．
【详解】
解：解不等式组，可得 ，
∵不等式组有且仅有四个整数解，
∴−1≤＜0，
∴−4＜a≤3，
解分式方程，得y＝(a＋2)，
又∵分式方程有正数解，
∴y0，且y≠2，
即(a＋2)0，
(a＋2)≠2，
解得a−2且a≠2，
∴−2a≤3，且a≠2，
∴满足条件的整数a的值为−1，0，1，3，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的解，解题时注意：使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解，解题关键是掌握分式方程的解．
二、填空题
6．(2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学三模)不等式组的最大整数解为_______．
【答案】4
【解析】
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”，确定不等式组的解集，从而得出答案．
【详解】
解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
所以不等式组的最大整数解为4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解的应用，关键是求出不等式组的解集．
7．(2021·湖北黄石·九年级阶段练习)若，是方程是方程的两个实数根，则代数式的值等于___________．
【答案】2028
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出，，代入原式=计算可得．
【详解】
解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，即，
则原式=
=
=
=
=．
故答案为：2028．
【点睛】
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．
8．(2021·辽宁鞍山·中考真题)习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是___________________．
【答案】
【解析】
【分析】
设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x元，利用数量＝总价÷单价，结合第二批购买的套数比第一批少4套，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】
解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x元，
依题意得：．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程.
9．(2021·山东·日照市田家炳实验中学一模)已知关于x的方程无解，则m的值是___．
【答案】或1
【解析】
【分析】
分方程有增根，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值和方程没有增根两种情况进行讨论.
【详解】
解：①当方程有增根时
方程两边都乘，得，
∴最简公分母，
解得，
当时，
故m的值是1，
②当方程没有增根时
方程两边都乘，得，
解得，
当分母为0时，此时方程也无解，
∴此时，
解得，
∴综上所述，当或1时，方程无解.
故答案为：或1.
【点睛】
本题考查了分式方程的的无解问题．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值④当方程吴增根时一定要考虑求得的方程的解分母为0的情况．
10．(2021·北京·中考真题)若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是__．
【答案】且##k≠1且k≤
【解析】
【分析】
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】
解：根据题意得且△，
解得且．
故答案为且．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
三、解答题
11．(2021·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测)解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】
按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可．
【详解】
解：
去分母得：3x+2(x+1)=6，
去括号得：3x+2x+2=6，
移项合并得：5x=4，
系数化为1得：x=．
【点睛】
本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤成为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
12．(2021·四川广元·中考真题)解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】
根据整式方程的计算过程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，就可以得到结果．
【详解】
解：去分母得：，
去括号得：，
移项并合并同类项得：，
系数化为1得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查整式方程的计算，注意每个步骤的要求是解题的关键．
13．(2021·江苏·常州实验初中二模)解方程组或不等式组：
(1)解方程组： (2)解不等式组：
【答案】(1)；(2)
【解析】
【分析】
(1)根据加减消元法解二元一次方程组即可；
(2)分别解不等式①②，进而求得不等式组的解集．
【详解】
(1)
①②得：，
解得，
将代入解得，
原方程组的解为：；
(2)
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为：．
【点睛】
本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式组，掌握方程组和不等式组的解法是解题的关键．
14．(2021·广东花都·二模)解方程组：．
【答案】
【解析】
【分析】
根据加减消元法解二元一次方程组即可．①﹣②求出x＝3，把x＝3代入②得出3+y＝2，再求出y即可．
【详解】
解：，
①﹣②，得x＝3，
把x＝3代入②，得3+y＝2，
解得：y＝﹣1，
所以方程组的解是．
【点睛】
本题考查了加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．
15．(2021·山东乳山·模拟预测)解方程组：
【答案】．
【解析】
【分析】
先将原方程组化简，然后用加减消元法，求出方程组的解即可．
【详解】
解：原方程组化为
①②，得，
解得，
把代入①，解得，
所以，原方程组的解是．
【点睛】
本题考查的是解二元一次方程组，熟悉相关解法是解题的关键．
16．(2021·广东·广州市番禺执信中学二模)解方程：x2﹣2x﹣1＝0．
【答案】
【解析】
【分析】
先利用根的判别式验证是否有根，若有根，再通过一元二次方程的求根公式，分别把a、b、c对应的值代入求出即可．
【详解】
解：由方程可知：，，，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根.，
故由求根公式可得．
【点睛】
本题主要是考察了利用一元二次方程的公式法求解方程的根，熟练地记忆求根公式是求解一元二次方程的解的重点，另外，注意利用公式法求解方程，一定要把方程化成标准形式．
17．(2021·北京市第十三中学九年级期中)解方程：
【答案】．
【解析】
【分析】
方法一：利用配方法解一元二次方程即可得；方法二：利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】
解：方法一：，
，
，
，
．
方法二：，
，
或，
或，
即．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握方程的各种解法是解题关键．
18．(2021·北京·中考真题)解方程：．
【答案】x1=- ，x2=1
【解析】
【分析】
先将方程整理为一般形式，再运用因式分解法求解；
【详解】
解：(1)5x2-3x=x+1
整理，得5x2-4x-1=0，
(5x+1)(x-1)=0，
∴5x+1=0或x-1=0，
x1=- ，x2=1；
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
19．(2021·宁夏·银川唐徕回民中学一模)解分式方程：
【答案】
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：
去分母得，，
解得，，
经检验，是原方程的解．
所以，原方程的解为：．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的解法．解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
20．(2021·福建·福州三牧中学九年级开学考试)解方程：．
【答案】x＝3
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：方程的两边同乘x−1，得：，
解这个方程，得：x＝3，
检验，把x＝3代入x−1＝3－1＝2≠0，
∴原方程的解是x＝3．
【点睛】
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
21．(2021·江苏镇江·中考真题)(1)解方程：﹣＝0；
(2)解不等式组：．
【答案】(1)x＝6；(2)x＞2
【解析】
【分析】
(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
(2)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集即可．
【详解】
解：(1)﹣＝0
去分母得：3(x﹣2)﹣2x＝0，
去括号得：3x﹣6﹣2x＝0，
解得：x＝6，
检验：把x＝6代入得：x(x﹣2)＝24≠0，
∴分式方程的解为x＝6；
(2)，
由①得：x≥1，
由②得：x＞2，
则不等式组的解集为x＞2．
【点睛】
此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握分式方程的解法以及不等式组的解法是解本题的关键．
22．(2021·广东宝安·一模)解不等式组，并利用数轴确定不等式组的解集．

【答案】﹣2≤x＜3，见解析
【解析】
【分析】
分别解两个不等式得到和，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集，然后利用数轴表示其解集．
【详解】
解：，
解①得x＜3；
解②得x≥﹣2；
所以不等式组的解集为﹣2≤x＜3，
用数轴表示为：
．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.解集的规律：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．
23．(2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测)解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】，见解析
【解析】
【分析】
分别解两个不等式，然后根据“都大取大，都小取小，大小小大取中间，大大小小无解”求解不等式组．
【详解】
解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
．
【点睛】
本题考查了解不等式组，熟练掌握一元一次不等式的求解方法是解题关键．
24．(2021·安徽省安庆市外国语学校八年级开学考试)解不等式组，并写出它的非负整数解．
【答案】不等式组的解集为﹣1＜x≤1，不等式组的非负整数解为0，1
【解析】
【分析】
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出非负整数解即可．
【详解】
解：，
由①得：x＞﹣1，
由②得：x≤1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
则不等式组的非负整数解为0，1．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握同大取大，同小取小，一大一小中间找的规律是解本题的关键．
25．(2021·湖南师大附中博才实验中学二模)解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．

【答案】3＜x≤4，数轴见解析
【解析】
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据解集在数轴上的表示即可确定不等式组的解集．
【详解】
解：，
解不等式①得：x＞3，
解不等式②得：x≤4，
则不等式组的解集为3＜x≤4，
在数轴表示如下：

【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
26．(2021·江苏溧阳·一模)解方程组和不等式组求整数解：
(1)解方程组
(2)解不等式组并求此不等式组的整数解．
【答案】(1)；(2)，整数解为：1、2、3
【解析】
【分析】
(1)方程组整理后，利用加减消元法求出解即可；
(2)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【详解】
解：(1)，由①得③
②+③，得，解得，
把代入，得，
解得，
∴原方程组的解为
(2)
由①得：，
由②得：
不等式组的解集为：，
则该不等式的整数解为：1、2、3．
【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．