2023年中考数学二轮复习重难点专项突破专题14 反比例函数与几何图形的综合问题(教师版)

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备战2022年中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练(全国通用版)
专题14 反比例函数与几何图形的综合问题
【典型例题】
1．(2022·内蒙古包头·九年级期末)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OC在x轴的正半轴上，边OA在y轴的正半轴上，OA＝3，AB＝4，反比例函数(k＞0)的图象与矩形两边AB，BC分别交于点D，点E，且BD＝2AD．

(1)求点D的坐标和k的值；
(2)连接OD，OE，DE，求△DOE的面积；
(3)若点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使∠APE＝90°？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)12
(3)存在，点P的坐标为或
【解析】
【分析】
(1)由矩形OABC中，AB=4，BD=2AD，可得3AD=4，即可求得AD的长，然后求得点D的坐标，即可求得k的值；
(2)三角形面积定义矩形面积减去周围三个三角形面积；
(3)首先假设存在要求的点P坐标为(m，0)，OP=m，CP=4-m，由∠APE=90°，易证得△AOP∽△PCE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得m的值，继而求得此时点P的坐标．
(1)
解：∵，，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∵点D在双曲线上，
∴．
(2)
如答案图2

∵，，
∴．
∵，
∴反比例函数解析式为．
∵矩形ABCD中，，，
又∵点E在反比例函数的图象上，
∴．
∴，
∴，
∴．
∵，．
∴，
∴，
∵，
∴．
(3)
答：存在．假设存在要求的点P坐标为，
∴，．
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵．
∴，
解得：或．
∴存在要求的点P，点P的坐标为或．
【点睛】
本题考查了待定系数求反比例函数解析式、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质．解题的关键是注意求得点D的坐标与证得△AOP∽△PCE．




【专题训练】
一、 选择题
1．(2022·河南开封·九年级期末)下列关于反比例函数的结论中正确的是(       )
A．图象过点(1，3) B．图象在一、三象限内
C．当时，y随x的增大而增大 D．当时
【答案】C
【解析】
【分析】
利用反比例函数的性质解答．
【详解】
∵k=-3＜0，
∴函数图象位于第二、四象限，故B选项错误；
∵1×3=3≠-3，
∴函数图象不经过点(1，3)，故A选项错误；
∵根据反比例函数的性质在函数图象的每一个象限内，y随x的增大而增大，
∴当时，y随x的增大而增大，故C选项正确；
当时，但是当时，故D选项错误；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查当k＜0时的反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
2．(2021·广东禅城·二模)如图，A、B分别为反比例函数(x＜0)，y＝(x＞0)图象上的点，且OA⊥OB，则tan∠ABO的值为(　　)

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
如图，过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，根据A、B在函数图象上可求出S△AOC＝4，S△BDO＝9，根据相似三角形的判定得出△BDO∽△OCA，根据相似三角形的性质得出，，求出的值，根据即可求出角的正切值．
【详解】
解：如图，过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D

则∠BDO＝∠ACO＝90°
∵A、B分别为反比例函数(x＜0)，(x＞0)图象上的点
∴S△AOC＝4，S△BDO＝9
∵∠AOB＝90°
∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°
∴∠DBO＝∠AOC
∴△BDO∽△OCA
∴
∴
∴
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形相似的判定与性质，反比例函数，正切．解题的关键在于对知识的灵活运用．
3．(2022·江西萍乡·九年级期末)如图，反比例函数的图象经过A，B两点，过点A作轴，垂足为C．过点B作轴，垂足为D．连接AO，连接BO交AC于点E．若，四边形BDCE面积为2，则k的值为(       )

A． B． C．－5 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先设点B坐标为，证出，利用相似的性质求得梯形BDCE的上下底边长与高，再根据四边形BDCE的面积求得的值，最后计算k的值．
【详解】
解：设点B坐标为，则，
∵
∴
∴
∵轴，轴
∴
∵
∴
∴
∴
∵四边形BDCE的面积为2
∴
即：
∴
将代入反比例函数，得

故选：D．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，解决问题的关键是运用数形结合的思想方法进行求解．
4．(2022·山东泰山·九年级期末)函数与()在同一直角坐标系中的大致图象可能是(       )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据两个函数的图象得到a的符号，即可判断A；根据二次函数得到a的符号，即可判断B、C、D，由此得到答案．
【详解】
解：A、由函数图象得a