2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习8.2《空间点、直线、平面之间的位置关系》(含详解)

2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习8.2

《空间点、直线、平面之间的位置关系》

一              、选择题

1.若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　 　)

A.一定平行

B.一定相交

C.一定是异面直线

D.一定垂直

2.如图，E，F，G，H分别是菱形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且BE＝2AE，DH＝2HA，CF＝2FB，CG＝2GD，现将△ABD沿BD折起，得到空间四边形ABCD，在折起过程中，下列说法正确的是(　　)

A.直线EF，HG有可能平行

B.直线EF，HG一定异面

C.直线EF，HG一定相交，且交点一定在直线AC上

D.直线EF，HG一定相交，但交点不一定在直线AC上

3.在空间，已知直线l及不在l上的两个不重合的点A，B，过直线l作平面α，使得点A，B到平面α的距离相等，则这样的平面α的个数不可能是(　　)

A.1           B.2          C.3       D.无数

4.已知平面α，β，直线m，n，则下列命题中正确的是(　　)

A.若m∥α，n⊂α，则m∥n

B.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n

C.若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l

D.若α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β

5.若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则(　　)

A.a∥c            B.a，c是异面直线

C.a，c相交        D.a，c平行或相交或异面

6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱D1C1的中点.设AM与平面BB1D1D的交点为O，则(　　)

A.D1，O，B三点共线，且OB＝2OD1

B.D1，O，B三点不共线，且OB＝2OD1

C.D1，O，B三点共线，且OB＝OD1

D.D1，O，B三点不共线，且OB＝OD1

7.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，E，F，G分别为棱AA1，AB，CC1上的点，其中AE＝1，AF＝2，CG＝，平面α经过点E，F，G，则α截此正方体所得的截面为(　　)

A.三角形         B.四边形      C.五边形         D.六边形

8.已知角α的两边和角β的两边分别平行，且α＝20°，则β等于(　　)

A.20°         B.160°   C.20°或160°      D.不能确定

9.三个平面将空间分成n个部分，则n不可能是(　　)

A.5         B.6         C.7          D.8

10.空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为45°，连接各边中点所得四边形的面积是(　 　)

A.6        B.12     C.12        D.24

11.平面α过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m，n所成角的正弦值为(　 　)

A.         B.            C.          D.

12.我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将两底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M，N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形的面积为(　　)

A.         B.       C.         D.

二              、填空题

13.在正四面体ABCD中，M，N分别是BC和DA中点，则异面直线MN和CD所成角的余弦值为   .

14.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条.

15.设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：

①若a∥b，b∥c，则a∥c；

②若a⊥b，b⊥c则a∥c；

③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；

④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线.

上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号).

16.已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.在矩形BCC1B1内有一点P，使D1P与平面BCC1B1所成的角的正切值为，则点P的轨迹长度为________.

0.答案详解

一              、选择题

1.答案为：D.

解析：两条平行线中一条与第三条直线垂直，另一条直线也与第三条直线垂直.故选D.

2.答案为：C

解析：∵BE＝2AE，DH＝2HA，∴＝＝，则EH∥BD，且EH＝BD，

又CF＝2FB，CG＝2GD，∴＝＝2，则FG∥BD，且FG＝BD，∴EH∥FG，且EH≠FG，

∴四边形EFGH为平面四边形，故直线EF，HG一定共面，故B错误；

若直线EF与HG平行，则四边形EFGH为平行四边形，可得EH＝GF，与EH≠FG矛盾，故A错误；

由EH∥FG，且EH≠FG，EH＝BD，FG＝BD，可得直线EF，HG一定相交，设交点为O，

则O∈EF，又EF⊂平面ABC，可得O∈平面ABC，同理，O∈平面ACD，

而平面ABC∩平面ACD＝AC，∴O∈AC，即直线EF，HG一定相交，且交点一定在直线AC上，故C正确，D错误.

3.答案为：C

解析：(1)如图，当直线AB与l异面时，则只有一种情况；

(2)如图，当直线AB与l平行时，则有无数种情况，平面α可以绕着l转动；

(3)如图，当l过线段AB的中垂面时，有两种情况.

4.答案为：C.

解析：对于A，若m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故A错误；

对于B，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故B错误；

对于C，若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则由线面平行的性质得m∥l，故C正确；

对于D，若α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m与β不一定垂直，故D错误.

5.答案为：D

解析：若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c可以平行，可以相交，可以异面.

6.答案为：A

解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接AD1，BC1，如图，

C1D1∥CD∥AB，连接BD1，平面ABC1D1∩平面BB1D1D＝BD1，

因为M为棱D1C1的中点，则M∈平面ABC1D1，而A∈平面ABC1D1，即AM⊂平面ABC1D1，又O∈AM，则O∈平面ABC1D1，

因为AM与平面BB1D1D的交点为O，则O∈平面BB1D1D，于是得O∈BD1，即D1，O，B三点共线，

显然D1M∥AB且D1M＝D1C1＝AB，于是得OD1＝BO，即OB＝2OD1，

所以D1，O，B三点共线，且OB＝2OD1.

7.答案为：C

解析：如图所示，

取BB1的中点H，BM＝1，因为AE＝1，AF＝2，CG＝，所以EF∥A1H, GM∥D1E，所以五边形EFMGD1在平面α上，所以截面是五边形.

8.答案为：C

解析：因为角α的两边和角β的两边分别平行，所以α，β相等或者互补，所以β＝20°或β＝160°.

9.答案为：A

解析：按照三个平面中平行的个数来分类：

(1)三个平面两两平行，如图1，可将空间分成4部分；

(2)两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成6部分；

图1　　　　　图2

(3)三个平面中没有平行的平面：

①三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成7部分；

②三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成8部分；

图3　　　　　图4

③三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成6部分.

图5

综上，n可以为4,6,7,8，不可能为5.

10.答案为：A.

解析：如图，已知空间四边形ABCD，对角线AC=6，BD=8，

易证四边形EFGH为平行四边形，∠EFG或∠FGH为AC与BD所成的角，

大小为45°，故S四边形EFGH=3×4×sin45°=6.故选A.

11.答案为：A.

解析：如图所示，设平面CB1D1∩平面ABCD=m1，因为α∥平面CB1D1，所以m1∥m，

又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，

且平面B1D1C∩平面A1B1C1D1=B1D1，

所以B1D1∥m1，故B1D1∥m.

因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1，

且平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1，

同理可证CD1∥n.

故m，n所成角即直线B1D1与CD1所成角，

在正方体ABCD­A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，

故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为.

12.答案为：A

解析：延长AN，与CC1的延长线交于点P，则P∈平面BB1C1C，连接PM，与B1C1交于点E，连接NE，则四边形AMEN即是平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形，如图所示，

由已知可得AM＝AN＝，B1C1＝2.

因为N是A1C1的中点，所以＝＝，即PC1＝CC1，则PC1＝BB1，

又M为BB1的中点，所以B1M＝PC1.由△PC1E∽△MB1E，得＝，

可得B1E＝B1C1＝，C1E＝，ME＝＝，

NE＝＝，MN＝＝.

所以平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形的面积

S＝××＋××＝.

二              、填空题

13.答案为：.

解析：取AC的中点E，连接NE，ME，由E，N分别为AC，AD的中点，知NE∥CD，

故MN与CD所成的角即MN与NE的夹角，即∠MNE.设正四面体的棱长为2，

可得NE=1，ME=1，MN=，故cos∠MNE==.

14.答案为：无数.

解析：在EF上任意取一点M，如图，

直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点.故在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有无数条.

15.答案为：①

解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错.

16.答案为：.

解析：如图，取B1C1的中点E，BB1的中点F，CC1的中点G，连接D1E，D1B1，D1F，D1G，EF，EG，EP.

因为∠BAD＝60°，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，所以△D1B1C1为等边三角形，所以D1E＝，D1E⊥B1C1，又四棱柱ABCD－A1B1C1D1为直四棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥D1E，因为BB1∩B1C1＝B1，所以D1E⊥侧面B1C1CB，又EP⊂侧面B1C1CB，所以D1E⊥EP，所以∠D1PE为D1P与平面BCC1B1所成的角，tan∠D1PE＝＝＝，解得EP＝，故点P的轨迹为扇形FEG的，易知∠B1EF＝∠C1EG＝，所以∠FEG＝，所以弧FG＝×＝.