2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习8.1《空间几何体的结构、表面积与体积》(含详解)

2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习8.1

《空间几何体的结构、表面积与体积》

一              、选择题

1.如图所示，在三棱锥D-ABC中，已知AC=BC=CD=2，CD⊥平面ABC，∠ACB=90°.若其正视图、俯视图如图所示，则其侧视图的面积为(　 　)

A.        B.2              C.        D.

2.如图，△A′B′O′是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图，已知A′B′∥y′轴，O′B′=4，且△ABO的面积为16，过A′作A′C′⊥x′轴，则A′C′的长为(　 　)

A.2         B.            C.16          D.1

3.一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小面的面积为(　 　)

A.8          B.4            C.4        D.4

4.如图所示，已知在多面体ABC－DEFG中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，则该多面体的体积为(　　)

A．2           B．4             C．6              D．8

5.某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的表面积为(　　)

A．24＋(－1)π            B．24＋(2－2)π

C．24＋(－1)π            D．24＋(2－2)π

6.某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是(　　)

A．4          B．             C．           D．6

7.如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　 　)

A.4π＋96            B.(2＋6)π＋96

C.(4＋4)π＋64        D.(4＋4)π＋96

8.已知三棱锥A-BCD中，△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形且二面角A-BD-C为直二面角，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为(　 　)

A.        B.5π       C.6π         D.

9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，已知该几何体的各个面中有n个面是矩形，体积为V，则(　　)

A．n=4，V=10         B．n=5，V=12      C．n=4，V=12         D．n=5，V=10

10.已知圆锥的表面积为a，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是(　　)

A．        B．         C．            D．

二              、多选题

11. (多选)某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2 cm，且CD＝2AB，下列说法正确的有(　　)

A.该圆台轴截面ABCD的面积为3 cm2

B.该圆台的体积为 cm3

C.该圆台的母线AD与下底面所成的角为30°

D.沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5 cm

12. (多选)如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′，DD′交于点M，N，以下四个命题中正确的是(　　)

A.·＝0

B.||＝||

C.四边形MENF的面积的最小值与最大值之比为2∶3

D.四棱锥A－MENF与多面体ABCD－EMFN的体积之比为1∶3

三              、填空题

13.一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为　 　 cm.

14.圆台的轴截面上、下底边边长分别为2和4，母线长为2，则圆台的体积是________.

15.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1和V2的两部分，那么V1∶V2＝________.

16.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为　   　.

0.答案详解

一              、选择题

1.答案为：D；

解析：由几何体的结构特征和正视图、俯视图，得该几何体的侧视图是一个直角三角形，其中一直角边为CD，其长度为2，另一直角边为底面△ABC的边AB上的中线，其长度为，则其侧视图的面积S=×2×=.

2.答案为：A；

解析：因为A′B′∥y′轴，所以△ABO中，AB⊥OB.

又因为△ABO的面积为16，所以AB·OB=16.

因为OB=O′B′=4，所以AB=8，所以A′B′=4.

因为A′C′⊥O′B′于C′，所以B′C′=A′C′，

所以A′C′=4·sin45°=2，故选A.

3.答案为：D；

解析：由三视图可知该几何体的直观图如图所示，显然S△PCD>S△ABC，

由三视图特征可知，PA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AB=AC=4，DB=2，

则易得S△PAC=S△ABC=8，，S梯形ABDP=12，S△BCD=×4×2=4，故选D.

4.答案为：B；

解析：如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半，于是所求几何体的体积为V=×23=4．故选B．

5.答案为：B；

解析：

如图，由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体挖出两个圆锥体所得．

由图中知圆锥的半径为1，母线为，

该几何体的表面积为S=6×22－2π×12＋2××2π×1×=24＋(2－2)π，故选B．

6.答案为：B；

解析：

依题意，所求几何体是一个四棱台，其中上底面是边长为1的正方形、下底面是边长为2的正方形，高是2，因此其体积等于×(12＋22＋)×2=．故选B．

7.答案为：D；

解析：由三视图知，该几何体为一个圆锥和一个正方体的组合体，正方体的棱长为4，

圆锥的高为4，底面半径为2，所以该几何体的表面积

S=6×42＋π×22＋π×2×=(4＋4)π＋96.

8.答案为：D；

解析：如图，取BD中点M，连接AM，CM，取△ABD，△CBD的中心即AM，

CM的三等分点P，Q，过P作平面ABD的垂线，过Q作平面CBD的垂线，

两垂线相交于点O，则点O为外接球的球心，如图，其中OQ=，CQ=，

连接OC，则外接球的半径R=OC=，表面积为4πR2=，故选D.

9.答案为：D；

解析：

由三视图可知，该几何体为直五棱柱，其直观图如图所示，故n=5，

体积V=2×22＋×2×1=10．故选D．

10.答案为：C；

解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知，2πr=πl，∴l=2r，

则圆锥的表面积S表=πr2＋π(2r)2=a，∴r2=，∴2r=．

二              、多选题

11.答案为：ABD.

解析：由AB＝AD＝BC＝2 cm，且CD＝2AB，

可得CD＝4 cm，高O1O2＝＝ cm，

则圆台轴截面ABCD的面积为×(2＋4)×＝3(cm2)，故A正确；

圆台的体积V＝π(1＋4＋2)×＝π(cm3)，故B正确；

圆台的母线AD与下底面所成的角为∠ADO1，其正弦值为，

所以∠ADO1＝60°，故C错误；

由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4 cm，底面半径为2 cm，

侧面展开图的圆心角为θ＝＝π，设AD的中点为P，连接CP，

可得∠COP＝90°，OC＝4 cm，OP＝2＋1＝3(cm)，则CP＝＝5(cm)，所以沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5 cm，故D正确.

12.答案为：ABD.

解析：对于A选项，如图，连接BD，B′D′，MN.由题意得EF⊥BD，EF⊥BB′，BD∩BB′＝B，

所以EF⊥平面BDD′B′，又MN⊂平面BDD′B′，所以EF⊥MN，因此·＝0，故A正确；

对于B选项，由正方体性质得，平面BCC′B′∥平面ADD′A′，

平面BCC′B′∩平面EMFN＝MF，平面ADD′A′∩平面EMFN＝EN, 所以MF∥EN，

同理得ME∥NF，又EF⊥MN，所以四边形MENF为菱形，因此||＝||，故B正确；

对于C选项，由选项B易得四边形MENF的面积S＝MN·EF，所以当点M，N分别为BB′，DD′的中点时，四边形MENF的面积S最小，此时MN＝EF＝，即面积S的最小值为1；当点M，N分别与点B(或点B′)，D′(或D)重合时，四边形MENF的面积S最大，此时MN＝，即面积S的最大值为，所以四边形MENF的面积最小值与最大值之比为2∶，故C不正确；

对于D选项，四棱锥A－MENF的体积为V1＝VM－AEF＋VN－AEF＝DB·S△AEF＝××＝；因为E，F分别是AA′，CC′的中点，所以BM＝D′N，DN＝B′M，于是被截面MENF平分的两个多面体是完全相同的，则它们的体积也是相同的，

因此多面体ABCD－EMFN的体积V2＝V正方体ABCD－A′B′C′D′＝，

所以四棱锥A－MENF与多面体ABCD－EMFN的体积之比为1∶3，故D正确.

三              、填空题

13.答案为：13；

解析：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.

在Rt△ABC中，AC=12 cm，BC=8－3=5 cm.∴AB==13 cm.

14.答案为：.

解析：如图所示，不妨设圆台的轴截面为ABCD，过A，B分别作AE⊥CD，BF⊥CD于E，F，

由于圆台的轴截面为等腰梯形，因此DE＝CF＝＝1，∴AE＝＝.由圆台的体积公式V＝πh(R2＋r2＋R·r)，其中，R＝＝2，r＝＝1，h＝AE＝，∴V＝π××(22＋12＋2×1)＝.

15.答案为：7∶5

解析：设三棱柱ABC－A1B1C1的高为h，底面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh，因为E，F分别为AB，AC的中点，所以S△AEF＝S，所以V1＝h＝Sh，V2＝V－V1＝Sh，所以V1∶V2＝7∶5.

16.答案为：4；

解析：解法一：由题意可知，折起后所得三棱锥为正三棱锥，

设△ABC的边长为a(a>0)cm，

则△ABC的面积为a2 cm2，点O到△ABC三边的距离都为a cm，

△DBC的高为cm，

则正三棱锥的高为 =  cm，

∴25－a>0，∴0<a<5，

∴所得三棱锥的体积V=×a2× =×  cm3.

令t=25a4－a5，则t′=100a3－a4，

由t′=0，得a=4(满足0＜a＜5)，

易知此时所得三棱锥的体积最大，为4 cm3.