2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习7.1《数列的概念及简单表示法》(含详解)

2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习7.1

《数列的概念及简单表示法》

一              、选择题

1.在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋n，则a9等于(　　)

A.20         B.30         C.36           D.28

2.已知数列{an}的前n项和为Sn，当Sn＝n2﹣n时，a5等于(　　)

A.20        B.12           C.8           D.4

3.Sn是数列{an}的前n项和，且∀n∈N*都有2Sn=3an＋4，则Sn=(　 　)

A.2－2×3n         B.4×3n

C.－4×3n－1         D.－2－2×3n－1

4.已知数列{an}满足an＋1=an＋2n，且a1=33，则的最小值为(　 　)

A.21        B.10        C.        D.

5.已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是(　 　)

A.an=(－1)n－1＋1      B.an=

C.an=2sin         D.an=cos(n－1)π＋1

6.在数列{an}中，a1=1，a2=2，若an＋2=2an＋1－an＋2，则an=(　 　)

A.n2－n＋          B.n3－5n2＋9n－4

C.n2－2n＋2           D.2n2－5n＋4

7.已知数列{an}满足a1=2,2anan＋1=a＋1，设bn=，则数列{bn}是(　 　)

A.常数列     B.摆动数列      C.递增数列     D.递减数列

8.若数列{an}满足a1=2，an＋1=，则a2 018的值为(　 　)

A.2          B.－3          C.－           D.

9.已知数列{an}满足an﹣an﹣1＝n2＋tn，则“t≥0”是“数列{an}为递增数列”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

10.如图，下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为(　　)

A．an=3n－1          B．an=3n         C．an=3n－2n         D．an=3n－1＋2n－3

11.设[x]表示不超过x的最大整数，如[﹣3.14]＝﹣4，[3.14]＝3.已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，则[＋＋…＋]等于(　　)

A.1         B.2          C.3          D.4

二              、多选题

12. (多选)已知数列{an}满足an＝n·kn(n∈N*,0＜k＜1)，下列命题正确的有(　　)

A.当k＝时，数列{an}为递减数列

B.当k＝时，数列{an}一定有最大项

C.当0＜k＜时，数列{an}为递减数列

D.当为正整数时，数列{an}必有两项相等的最大项

三              、填空题

13.数列{an}满足：a1＝1，且an＋1﹣an＝2n＋1，则an＝________.

14.设Sn是数列{an}的前n项和，若a1＝，an＋1＝1﹣，则S2 023＝________.

15.在一个数列中，如果∀n∈N*，都有anan＋1an＋2=k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列，且a1=1，a2=2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12=          .

16.若数列{an}满足＋＋＋…＋＝，若≤2恒成立，则λ的最大值是______.

0.答案详解

一              、选择题

1.答案为：A

解析：因为a1＝2,2an＋1＝2an＋n，所以an＋1﹣an＝，所以a9＝(a9﹣a8)＋(a8﹣a7)＋…＋(a2﹣a1)＋a1，所以a9＝＋＋…＋＋2＝＋2＝20.

2.答案为：C

解析：由题意知，a5＝S5﹣S4＝20﹣12＝8.

3.答案为：A；

解析：∵2Sn=3an＋4，∴2Sn=3(Sn－Sn－1)＋4(n≥2)，变形为Sn－2=3(Sn－1－2)，

又n=1时，2S1=3S1＋4，解得S1=－4，∴S1－2=－6.∴数列{Sn－2}是等比数列，

首项为－6，公比为3.∴Sn－2=－6×3n－1，可得Sn=2－2×3n，故选A.

4.答案为：C；

解析：由已知条件可知，当n≥2时，

an=a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)=33＋2＋4＋…＋2(n－1)=n2－n＋33，

又n=1时，a1=33满足此式.所以=n＋－1.令f(n)==n＋－1，

则f(n)在[1,5]上为减函数，在[6，＋∞)上为增函数.

又f(5)=，f(6)=，则f(5)＞f(6)，故f(n)=的最小值为.

5.答案为：C；

解析：对n=1,2,3,4进行验证，an=2sin不合题意.

6.答案为：C；

解析：由题意得(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)=2，

因此数列{an＋1－an}是以1为首项，2为公差的等差数列，

an＋1－an=1＋2(n－1)=2n－1，

当n≥2时，an=a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)

=1＋1＋3＋…＋(2n－3)=1＋=(n－1)2＋1=n2－2n＋2，

又a1=1=12－2×1＋2，因此an=n2－2n＋2(n∈N*)，故选C.

7.答案为：D；

解析：∵2anan＋1=a＋1，∴an＋1=，

∵bn=，∴bn＋1====b，

∴bn＋1－bn=b－bn=bn(bn－1)，

∵a1=2，b1==，∴b2=2，∴b3=2=4，b4=2=8，

∴数列{bn}是递减数列，故选D.

8.答案为：B；

解析：∵a1=2，an＋1=，∴a2==－3，

同理可得：a3=－，a4=，a5=2，……，可得an＋4=an，

则a2 018=a504×4＋2=a2=－3.故选B.

9.答案为：A

解析：若数列{an}是递增数列，则an﹣an﹣1＝n2＋tn＞0，即n(n＋t)＞0，

由于n∈N*，所以n＋t＞0对任意的n∈N*成立，所以t＞﹣1.

由于[0，＋∞)⊆(﹣1，＋∞)，故“t≥0”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件.

10.答案为：A；

解析：这4个着色三角形的个数依次为1，3，9，27，都是3的指数幂．猜想数列的通项公式为an=3n－1.

11.答案为：A

解析：由an＋1＝an＋n＋1，得an﹣an﹣1＝n(n≥2).又a1＝1，

所以an＝(an﹣an﹣1)＋(an﹣1﹣an﹣2)＋…＋(a2﹣a1)＋a1

＝n＋(n﹣1)＋(n﹣2)＋…＋2＋1＝，则＝＝2(﹣).

所以＋＋…＋＝2＝2＝.

所以[＋＋…＋]＝[]＝1.

二              、多选题

12.答案为：BCD.

解析：当k＝时，a1＝a2＝，A错误；当k＝时，＝·，当n＜4时，＞1，当n＞4时，＜1，所以可以判断{an}一定有最大项，B正确；当0＜k＜时，＝k·＜≤1，所以数列{an}为递减数列，C正确；当为正整数时，1＞k≥，当k＝时，a1＝a2＞a3＞a4＞…，当1＞k＞时，令＝m，m∈N*，解得k＝，则＝，当n＝m时，an＋1＝an，结合选项B，数列{an}必有两项相等的最大项，故D正确.

三              、填空题

13.答案为：2n＋n﹣2

解析：因为an＋1﹣an＝2n＋1，所以an﹣an﹣1＝2n﹣1＋1，an﹣1﹣an﹣2＝2n﹣2＋1，an﹣2﹣an﹣3＝2n﹣3＋1，…，a4﹣a3＝23＋1，a3﹣a2＝22＋1，a2﹣a1＝21＋1，将上述式子相加可得，

an﹣a1＝2＋22＋…＋2n﹣1＋(n﹣1)＝＋n﹣1＝2n＋n﹣3，

因为a1＝1，所以an＝2n＋n﹣2，故数列{an}的通项公式为an＝2n＋n﹣2.

14.答案为：.

解析：在数列{an}中，a1＝，an＋1＝1﹣，则a2＝1﹣＝﹣1，a3＝1﹣＝2，a4＝1﹣＝，以此类推可知，对任意的n∈N*，an＋3＝an，即数列{an}是以3为周期的周期数列，

∵2 023＝3×674＋1，因此，S2 023＝674S3＋a1＝674×(﹣1＋2)＋＝.

15.答案为：28；

解析：依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1=1，a2=2，a3=4，

因此a1＋a2＋a3＋…＋a12=4(a1＋a2＋a3)=4×(1＋2＋4)=28.

16.答案为：2.

解析：由题意得＋＋＋…＋＝，①

＋＋＋…＋＝(n≥2)，②

①﹣②得＝﹣＝，所以＝，

所以an＝＝n﹣(n≥2)，适合n＝1，所以an＝n﹣，

所以数列{an}为递增数列，所以(an)min＝﹣＝1，

由题意得λ≤2an恒成立，所以λ≤2.所以λ的最大值是2.