初中数学人教版 (五四制)九年级上册31.1 圆的有关性质优质ppt课件

31.1.2 垂直于弦的直径

一、教学目标

（一）学习目标

1.探索圆的对称性．

2.在探究问题过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的一些性质，经历探索圆的对称性及其相关性质的过程．

3.能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．

（二）学习重点

垂直于弦的直径所具有的性质以及证明．

（三）学习难点

利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

（1）圆是轴对称图形，也是中心对称图形

（2）圆的对称轴是圆的直径所在的直线，圆的对称中心是圆心

2.预习自测

（1）如图，AB是⊙的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（    ）

A.CM=DM    B.      C.∠ACD=∠ADC    D.OM=MD

【知识点】垂径定理，勾股定理.

【解题过程】 根据垂径定理得：CM=DM，，AC=AD，

由AC=AD得∠ACD=∠ADC，

而OM=MD不一定成立.

【思路点拨】本题主要考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧.

【答案】D

（2）一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB=10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是（    ）

A、16　　 B、10     C、8　　 D、6

【知识点】垂径定理，勾股定理.

【数学思想】数形结合

【解题过程】根据垂径定理得出AB=2BC，

再根据勾股定理求出

从而求得AB=2BC=2×8=16.

故选A.

【思路点拨】根据勾股定理得到BC的长度，再由垂径定理得到AB.

【答案】A

（3）如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为（    ）

（A）6  （B）8   （C）10   （D）12

【知识点】垂径定理，勾股定理。

【数学思想】数形结合

【解题过程】过O作OD⊥AB于D，连接OB，

根据垂径定理求出BD=AD=8，

在Rt△OBD中，。

故选A。

【思路点拨】根据垂径定理得到BD的长，再根据勾股定理得到OD的长。

【答案】A。

（4）如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D．若AB= ，0D=1，则半径OB的长为________．

【知识点】垂径定理，勾股定理。

【数学思想】数形结合

【解题过程】根据垂径定理知BD=AB=，

根据勾股定理，得OB==2。

【思路点拨】垂径定理与勾股定理结合后，只要知道弦、半径、弦心距的长度中的任何两个就能求出第三个

【答案】2

（二）课堂设计

1.知识回顾

（1）确定圆的元素有圆心和半径

（2）圆O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，当d＞r时，点P在圆O外；当d=r时，点P在圆O上；当d＜r时，点p在圆O内。

（3）大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧

2.问题探究

探究一  圆的对称性

●活动①  以旧引新

师：圆上任意两点间的线段叫_____，圆上任意两点间的部分叫_____

生答：弦  弧

师：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？

学生抢答：是； 经过圆心的直线；无数条

【设计意图】设置问题，引发对圆的轴对称性质及其结论的思考

探究二 圆的对称性及垂径定理★ ▲

●活动① 大胆猜想，探究新知

用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（课件：探究圆的性质）

学生动手操作，观察操作结果，可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合.

由此可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．

【设计意图】创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容

●活动②  实际操作，验证新知

按下面的步骤做一做：

第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；

第二步，得到一条折痕CD；

第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足；

第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图1．

图1                             图2

在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么？

如图2，连接OA、OB，得到等腰△OAB，即OA＝OB．因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是直角三角形，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM＝BM．又⊙O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合．因此AM=BM，=，同理得到．

在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质：

（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

【设计意图】问题引申，探究垂直于弦的直径的性质，培养学生的探究精神

探究三  能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题★ ▲

●活动①  基础型例题

例1.如图，在⊙O中，C是弧AB的中点，∠A＝50º ，则∠BOC＝（     ）.

A.40º     B.45º     C.50º    D.60º

【知识点】垂径定理及其推论

【答案】A

【解题过程】在△OAB中，OA＝OB，所以∠A＝∠B＝50º 。

根据垂径定理的推论，OC平分弦AB所对的弧，所以OC垂直平分弦AB，

即∠BOC＝90º− ∠B＝40º ，

所以答案选 A。

【思路点拨】利用圆的轴对称性质得到边与角的等量关系

练习：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（　　）

A.DE=BE                            B.

C.△BOC是等边三角形               D.四边形ODBC是菱形

【知识点】垂径定理及其推论

【解题过程】根据垂径定理判断即可

∵AB⊥CD，AB过O．

∴DE=CE，=，

根据已知不能推出DE=BE，△BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形．

故选B

【思路点拨】利用圆的轴对称性质得到边与角的等量关系

【答案】B

【设计意图】垂径定理的简单应用，利用垂径定理得到边与角的等量关系

●活动②  提升型例题 

例2.如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（　　）

A．8          B．4          C．10          D．5

【知识点】垂径定理，勾股定理.

【数学思想】数形结合

【解题过程】根据圆的直径垂直平分弦的垂径定理，

知△OAM是直角三角形，

在Rt△OAM中运用勾股定理有：

。故选D。

【思路点拨】添加辅助线构造直角三角形

【答案】D

练习：如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（    ）

A、2cm     B、cm      C、cm     D、cm

【知识点】垂径定理，勾股定理。

【数学思想】数形结合

【解题过程】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长：

作OD⊥AB于D，连接OA，

根据题意得OD=OA=1cm，根据勾股定理得：AD=cm，

根据垂径定理得AB=2cm。故选C。

【思路点拨】添加辅助线构造直角三角形

【答案】C

【设计意图】垂径定理里面有线段的垂直关系，常与勾股定理结合，得到新的线段长度

●活动3   探究型例题

例3.如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB=，则⊙O的半径为（   ）

A、  B、       C、  D、

【知识点】垂径定理，勾股定理。

【数学思想】数形结合

【解题过程】如图，连接OA，设⊙O的半径为r，由于AB垂直平分半径OC，AB=，则由垂径定理得，AD＝，OD＝，

在Rt△AOD中，由勾股定理得

OA2＝OD2＋AD2，即r2＝（）2＋（）2，解之得，r＝。故选A。

【思路点拨】添加辅助线构造直角三角形

【答案】A

练习：如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径为　　cm．

【知识点】垂径定理，勾股定理。

【数学思想】数形结合

【解题过程】解：如图，设点O为外圆的圆心，连接OA和OC，

∵CD=10cm，AB=60cm，

∴设半径为r，则OD=r﹣10，

根据题意得：r2=（r﹣10）2+302，

解得：r=50，

故答案为50．

【思路点拨】解题的关键是正确构造直角三角形，利用垂径定理求解

【答案】50

【设计意图】垂径定理常与勾股定理结合求线段的长，对于不能直接求出的线段长，要学会设未知数求解。

●活动4   垂径定理在实际生活中的应用

例4.某条河上有一座圆弧形拱桥ACB，桥下面水面宽度AB为7.2米，桥的最高处点C离水面的高度2.4米．现在有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问：这艘船是否能够通过这座拱桥？说明理由．

【知识点】垂径定理的应用，勾股定理。

【数学思想】数形结合

【解题过程】解：能通过.设圆心为O，连结OA，ON，OD，对图形进行点标注.

∵ AB=7.2，CD=2.4，EF=3，点D为AB、EF中点

∴ OC⊥AB，OC⊥MN

设OA=R，则OD=OC-DC=R-2.4，AD=AB=3.6

在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，即R2=(3.6)2+(R-2.4)2

解得R=3.9

在Rt△ONG中，

∴ FN=DG=OG-OD=3.6-(OC-CD)=3.6-(3.9-2.4)=2.1

∵ 2＜2.1

∴ 货船可以顺利通过这座拱桥

【思路点拨】首先分析题意，然后采取一定的策略来说明能否通过这座拱桥，这时要采取一定的比较量，才能说明能否通过，比如，计算一下在上述条件下，在宽度为3米的情况下的高度与2米作比较，若大于2米说明能经过，否则就不可以经过这座拱桥

【答案】能通过

练习：银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道?

【知识点】垂径定理的应用，勾股定理。

【数学思想】数形结合

【解题过程】如图所示，连接OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于F，

则AE=AB = 30 cm．令⊙O的半径为R，

则OA=R，OE＝OF-EF＝R-10．

在Rt△AEO中，OA2=AE2+OE2，即R2=302+(R-10)2．

解得R =50 cm．

修理人员应准备内径为100 cm的管道．

【思路点拨】进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理的基本结构图

【答案】100 cm

【设计意图】数学来源于生活，应用与生活。设计此题的意图是本节的垂径定理对实际生活的指导和应用。

3.课堂总结

（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；

（2）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；

（3）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

重难点归纳

（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）构造直角三角形，巧妙设未知数解决问题.

（三）课后作业

基础型 自主突破

1.如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为E．若AB=6cm，则AE=      cm．

【知识点】垂径定理。

【数学思想】数形结合

【解题过程】解：由⊙O的直径CD垂直于弦AB，AB=6cm，

根据垂径定理，即可求得：AE＝AB＝3cm。

【思路点拨】由垂径定理得到数量关系

【答案】3

2.如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．

【知识点】垂径定理，勾股定理

【数学思想】数形结合

【解题过程】解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，

∵AB=8cm，

∴AE=BE=AB=×8=4cm，

∵⊙O的直径为10cm，

∴OB=×10=5cm，

∴OE===3cm，

∴3cm≤OP≤5cm．

【思路点拨】根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键

【答案】3cm≤OP≤5cm

3.如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=120º，弦AB=cm，则OA=         cm.

【知识点】三角形内角和定理，弦径定理。

【数学思想】数形结合

【解答过程】过O作OD⊥AB于D。∵∠AOB=120º，

∴∠OAB=30º.又∵∠ADO=90º，AD=，

设OD=x，则OA=2x，在△AOD中，根据勾股定理可知：

OA²=OD²+AD²，解得：x=1,∴OA=2.

【思路点拨】根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键，再用30°角所对直角边等于斜边一半解决问题

【答案】2

4. 如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，连接OB,CB，已知⊙O的半径为2，AB=,则∠BCD=        _度．

【知识点】垂径定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质。

【数学思想】数形结合

【解题过程】解：∵直径CD垂直弦AB于点E，AB=，

∴EB=AB=。

又∵⊙O的半径为2，∴∠EOB=60°。

又∵OB=OC，∴∠BCD=30°。

【思路点拨】利用垂径定理先求出BE长，再在RtΔBOC中，求出∠EOB的度数，就可求∠BCD的度数

【答案】30°

5.如图，DE是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为C，若AB＝6，CE＝1，则OC＝     ，CD＝    。

【知识点】弦径定理，勾股定理

【数学思想】数形结合

【解答过程】∵AB⊥CD  DE是⊙O的直径

∴AC=AB=3,

在Rt△OAC中，

∴

∴

【思路点拨】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，再设未知数建立方程求解

【答案】4，9

6.如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且AB＝8cm，AC＝6cm，那么⊙O的半径OA长为_      ．

【知识点】矩形的判定和性质，弦径定理，勾股定理。

【数学思想】数形结合

【解答过程】连接OA，

∵AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，

∴四边形ADOE是矩形（矩形的判定）。

∴EO＝AD（矩形的性质）。

又OD⊥AB，OE⊥AC，AB＝8cm，AC＝6cm，

∴AE＝3cm，EO＝AD＝4cm。

∴在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA＝（cm）。

【思路点拨】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，

【答案】5cm

能力型 师生共研

7.一条公路弯道处是一段圆弧，点O是这条弧所在圆的圆心，点C是的中点，OC与AB相交于点D．已知AB＝120m，CD＝20m，那么这段弯道的半径为（    ）

A．200m      B．200m       C．100m      D．100m

【知识点】垂径定理，勾股定理

【数学思想】数形结合，数学建模

【解答过程】根据垂径定理，OD⊥AB，，

设OA=r，中，，.

【思路点拨】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，

【答案】C

8．在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（   ）

A、6分米  B、8分米       C、10分米  D、12分米

【知识点】垂径定理的应用，勾股定理

【数学思想】数形结合，数学建模

【解答过程】如图，依题意得AB=6，CD=8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，

由垂径定理，得AE=AB=3，CF=CD=4。

设OE=x，则OF=x－1，

在Rt△OAE中，OA2=AE2+OE2；在Rt△OCF中，OC2=CF2+OF2。

∵OA=OC，∴32+x2=42+（x﹣1）2，解得x=4。

∴半径OA=。∴直径MN=2OA=10（分米）。故选C。

【思路点拨】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，

【答案】C

探究型 多维突破

9.已知⊙O的直径AB=40，弦CD⊥AB于点E，且CD=32，则AE的长为（    ）

    A．12    8．8    C．12或28    D．8或32

【知识点】垂径定理，勾股定理

【数学思想】数形结合

【解答过程】按照题意作图，有如下两种情况。

设圆的半径为，其中，

由垂径定理可以知道，

在中，

。

当点A与弦CD在圆点同侧，如图1，；

当点A与弦CD在圆点两侧，如图，。

故本题正确答案为D。

【思路点拨】根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题关键，值得注意的是，这道题由于没有画图，有两种情况

【答案】D

10.如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE=5，BE=1，CD=4，则∠AED=      。

【知识点】垂径定理，勾股定理

【数学思想】数形结合

【解答过程】连接OD, 过点O作OF⊥DC于F,∵AE=5，BE=1，∴OD=OA=3。

∵CD=4，∴DF=2。

∴在Rt△ODF中，OF==1。

∴在Rt△EFO中，OE=AE－AO=5－3=2，OF=1，

∴∠AED=30°。

【思路点拨】根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题关键

【答案】30°

自助餐

1.已知⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB 上的动点,则线段OM长的最小值为（    ）                                                    

A.5       B.4        C.3       D.2

【知识点】垂线段的性质，垂径定理，勾股定理

【数学思想】数形结合

【解答过程】由直线外一点到一条直线的连线中垂直线段最短的性质，知线段OM长的最小值为点O到弦AB的垂直线段。如图，过点O作OM⊥AB于M，连接OA。

根据弦径定理，得AM＝BM＝4，在Rt△AOM中，由AM＝4， OA＝5，根据勾股定理得OM＝3，即线段OM长的最小值为3。故选C。

【思路点拨】根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题关键

【答案】C

2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么线段OE的长为（  ）

A.5  B.4    C.3     D.2

【知识点】垂径定理，勾股定理。

【数学思想】数形结合

【解答过程】连接OC，

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，

∴CE=CD（垂径定理）。

∵CD=8，∴CE=4。∵AB=10，∴OC=OA=5。

∴由勾股定理得，OE=。故选C。

【思路点拨】根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题关键

【答案】C

3．下列说法正确的有.        

（1）平分弦的直线垂直于弦     

（2）平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧

（3）弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 

（4）平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦

【知识点】垂径定理

【解答过程】

（1）    中也只有一个条件，不能得到垂直弦

（2）    中也只有一个条件，不能得到平分弧

（3）    中既有垂直又有平分两个条件，所以是正确的

（4）    中也只有一个条件，故不正确

【思路点拨】垂径定理及其推论是知二求三

【答案】（3）

4. 如图，AB、CD是O的弦，，AH=3，BH=7，CH=2，DH=4，则O的半径=        

【知识点】垂径定理 矩形的性质 勾股定理

【数学思想】方程思想，数形结合

【解答过程】过O作，，则，由题，HE=1，AB=3+7=10，BF=5，

连接OB，易证OEHF为矩形，OF=HE=1，

中，OB==

【思路点拨】圆中看见弦，常常作出弦心距这条辅助线

【答案】

5.如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，）(＞2)，

半径为2，函数的图象被⊙P的弦AB的长为，则的值是多少？ 

【知识点】一次函数的应用，垂径定理, 勾股定理，三角形内角和定理。

【数学思想】数形结合思想

【解答过程】连接PA,PB ,过点P作PE⊥AB于E, 作PF⊥X轴于F，交AB于G，分别求出PG、FG，相加即可：

∵在Rt△PAE中，由垂径定理可得AE＝AB＝，PA＝2，

∴由勾股定理可得PE＝1。

又由可得，∠OGF＝∠GOF＝450，FG＝OF＝2。

又∵PE⊥AB，PF⊥OF，

∴在Rt△EPG中，∠EPG＝∠OGF＝450，∴由勾股定理可得PG＝

∴＝FG＋PG＝2＋。

【思路点拨】圆中看见弦，常常作出弦心距这条辅助线.

【答案】2+

6. 如图，在平面直角坐标系中，与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点，已知：A（6，0），B（0，－3），C（－2，0），则点D的坐标是多少？

【知识点】垂径定理，直角坐标系，勾股定理，方程

【数学思想】方程思想，数形结合

【解题过程】过作,连接

∵  

∴

∴ 易证四边形是矩形 

∴

 设  则

∴

解得

∴D点的坐标为（0，4）
 

【思路点拨】圆中看见弦常作出弦心距这条辅助线，利用半径相等建立方程

【答案】D点的坐标为（0，4）