4.比例（拔高版）-2022-2023学年六年级下册数学期中专项复习（人教版）

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4.比例（拔高版）
2022-2023学年六年级下册数学期中专项复习
【知识梳理】
一、比例。
1、比例的意义。
（1）比例的意义：表示两个比相等的式子叫作比例。
（2）判断两个比能否组成比例的方法：看两个比的比值是否相等，如果比值相等，那么就能组成比例；否则不能组成比例。
2、比例的各部分的名称。
组成比例的四个数，叫作比例的项，两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。
3、比例的基本性质。
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。
4、解比例的意义和解比例。
（1）意义：求比例中的未知项，叫作解比例。
（2）方法：根据比例的基本性质把比例转化成乘法算式；解方程求出未知项的值。
二、正比例和反比例。
1、正比例的意义。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，那么这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作整理比关系。如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比例（一定），那么正比例关系用式子表示为（一定）。
2、正比例图像的特点。
正比例图像是一条从原点出发的射线。从图像中可以直观地看到两种量地变化情况，可以不用计算，由一个量的值就能直接找到相对应的另一个量的值。
3、反比例的意义。
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定），那么反比例关系可以表示为xy=k（一定）。
三、比例的应用。
1、比例尺的意义。
比例尺的意义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。
比例尺的计算：图上距离：实际距离=比例尺。
2、比例尺的种类。
按照表现形式分为数值比例尺和线段比例尺；
按照实际距缩小还是扩大分为缩小比例尺和扩大比例尺。
3、已知图上距离和实际距离，求比例尺。
已知图上距离和实际距离，求比例尺的方法：用图上距离比实际距离就可以求出比例尺，但要注意统一单位。
4、已知比例尺和图上距离，求实际距离。
（1）解方程；（2）直接用图上距离除以比例尺就是实际距离。
5、应用比例尺画图要做到三步走。
（1）根据实际距离与纸张的大小确定平面图的比例尺；
（2）根据比例尺求出图上距离；
（3）根据图上距离画出相应的平面图，并表明平面图的名称及比例尺。
6、图形的放大和缩小。
（1）保持图形原来的形状不变，但是和原图相比，图形变大了，叫作图形的放大；
（2）保持图形原来的形状不变，但是和原图相比，图形变小了，叫作图形的缩小。
7、在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小的方法。
放大或缩小后的图形与原来的图形相比，形状相同，但是大小发生了变化。
8、用正比例解决问题。
用正比例知识解决问题的步骤：（1）分析题意，找到两种相关联的量，判断它们是否成正比例；（2）如果成正比例，根据正比例的意义列出比例式；（3）解比例；（4）检验并写出答语。
9、用反比例解决问题。
用反比例知识解决问题的步骤：（1）分析题意，找到两种相关联的量，判断它们是否成反比例；（2）如果成反比例，那么根据反比例的意义列出比例式；（3）解比例；（4）检验并写出答语。


【专项复习】
一、选择题（每题2分，共10分）
1．下面两个圆柱的体积相等，请根据提供的信息写出比例，选项中错误的是（    ）。

A．28∶S＝15∶h B．28∶15＝S∶h C．h∶15＝S∶28 D．28∶15＝h∶S
2．某炼钢厂有一堆铁矿石，用去，又运进210吨。这时炼钢厂里的铁矿石与原来铁矿石的质量比恰好是2∶9，原来铁矿石有（    ）吨。
A．1680 B．945 C．2400 D．2160
3．下面各种关系中，成反比例关系的是（    ）。
A．平行四边形的面积一定，它的底与高
B．长方形的周长一定，它的长与宽
C．《当代小学生》的单价一定，订阅的总价与数量
D．商场每天的营业时间一定，每天接待顾客的数量与营业额
4．北京到天津的实际距离是120km，在一幅地图上量得两地的图上距离是2cm，则这幅地图的比例尺是（    ）。
A．1∶60 B．1∶6000 C．1∶600000 D．1∶6000000
5．把直角△ABC按照进行缩小，得到一个新的三角形△DEF，已知△DEF的面积是，那么△ABC的面积是（    ）。
A． B． C． D．
二、判断题（每题1分，共5分）
6．一个圆的直径按放大后，现在面积扩大到原来的10倍。( )
7．如果a∶b＝5∶8，那么a×5＝b×8。( )
8．∶和8∶9可以组成比例。( )
9．在一个圆中，它的周长和半径成正比例关系。( )
10．把一条400千米长的铁路分别画在比例尺是1∶1000000和的甲、乙两幅地图上，甲地图上的铁路长些。( )
三、填空题(共24分)
11．30的因数有( )，选择其中4个因数组成一个比例是( )。
12．(5分)如图正方形甲和正方形乙边长与边长的比是( )∶( )，周长与周长的比是( )∶( )，这两个比( )（填“能”或“不能”）组成比例。

13．一幅地图的比例尺是1∶4000000，量得泸州到成都的图上距离是4.5厘米，泸州到成都的实际距离是( )千米。
14．(3分)把②号长方形按比例缩小和放大后得到①号和③号两个长方形。如图，根据题意，请写一个比例，( )。求出了( )，( )。

15．一副图的图上距离和( )的比，叫做这幅图的比例尺。线段比例尺，改写成数值比例尺是( )。
16．一列火车进隧道，从车头进入到车尾进入，用了A分钟，又经过B分钟后，车尾出隧道。已知A∶B＝5∶4，隧道长360m，火车长( )m。
17．在同一时间、同一地点，李明测得自己的身高与影长的比是2∶3，这时教学楼的影长是24米，教学楼高( )米。
18．下面的表格被明明弄脏了，如果x和y成正比例，那么弄脏处的数是( )；如果x和y成反比例，那么弄脏处的数是( )。
x
6

y
12
24
19．(3分)如图，表示的是某种汽车所行路程与耗油量关系的图像。根据图像回答下面问题：

(1)汽车耗油量与所行路程成( )比例关系。
(2)汽车行驶15km的耗油量是( )L，汽车行驶100km的耗油量是( )L。
20．(4分)已知两种相关的量x和y成正比例关系，将表格填写完整。
x
1.2
( )
12
a
( )
y
( )
6.5
20
( )
b
四、计算题(共12分)
21．(6分)解方程。
＝       ∶x＝∶4       x∶＝13.6∶2


22．(6分)下面哪几组成比例？把组成的比例写出来。
（1）和            （2）和

（3）和             （4）和

五、作图题(共12分)
23．(6分)在方格纸上将三角形每边缩小到原来的，画出缩小后的图形。

24．(6分)王阿姨从学校接到小明后，从学校大门先往西偏南45°走500米，再往正西方向走200米回到家，请你画出王阿姨的路线图。

六、解答题(共37分)
25．(6分)音河小区1号楼的实际高度为42米，它的实际高度与模型高度的比是400∶1。模型的高度是多少厘米？



26．(6分)防疫时期，教室地面和桌子表面需要消毒。桶里放有6.4升水，根据说明，需加入多少消毒剂？（用比例解答）
84消毒液的配比浓度1.传染病污染物体表面消毒：
按消毒剂与水为1∶10的比例稀释，喷洒物体湿润消毒30分钟。
2.餐饮器具消毒：
按消毒剂与水为1∶80的比例稀释，浸泡消毒20分钟，然后用清水冲洗干净。



27．(6分)用同样的方砖铺地，铺10平方米需120块方砖，那么360块方砖能铺地多少平方米？（用比例解）



28．(6分)在比例尺是1∶5000000的地图上，量得北京到南京的铁路线长24厘米，李老师乘坐时速为100千米的列车从北京出发，到达南京时要用多长时间？



29．(13分)一名工人师傅工作的时间与加工零件的个数如下表。
时间
1
2
3
4
5

加工零件的个数（个）
50
100
150
200
250

（1）哪个量没有变？
（2）加工零件的数量与工作时间有什么关系？
（3）在下图中描出各点，并连接，你发现了什么？





参考答案
1．D
【分析】在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，根据“圆柱的体积＝底面积×高”逐项分析，最后找出错误的选项，据此解答。
【详解】两个圆柱的体积相等，则15×S＝28×h。
A．当28∶S＝15∶h时，28×h＝15×S，符合题意；
B．当28∶15＝S∶h时，28×h＝15×S，符合题意；
C．当h∶15＝S∶28时，28×h＝15×S，符合题意；
D．当28∶15＝h∶S时，28×S＝15×h，不符合题意。
故答案为：D
【点睛】掌握比例的基本性质和圆柱的体积计算公式是解答题目的关键。
2．D
【分析】原来铁矿石有x吨，根据数量关系：（原来铁矿石的质量－用去的质量＋210吨）∶原来铁矿石的质量＝2∶9，列出方程，解出未知数。
【详解】解：设原来铁矿石有x吨。
[x×（1－）＋210]∶x＝2∶9
[x＋210]∶x＝2∶9
2x＝x×9＋210×9
2x－x＝1890
÷＝1890÷
x＝2160
故答案为：D
【点睛】解答此题的关键是找到题目中所蕴含的等量关系，进一步列方程、解方程。
3．A
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
【详解】A．平行四边形的面积＝底×高，面积一定，底和高成反比例；
B．长方形的周长＝（长＋宽）×2，周长一定，长和宽不成比例；
C．总价÷数量＝单价（一定），即比值一定，总价和数量成正比例；
D．营业额÷顾客的数量＝每个顾客的消费额，和营业时间没有关系，每天接待顾客的数量与营业额不成比例。
故答案为：A
【点睛】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。
4．D
【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离，代入数据计算即可，注意单位的换算：1km＝100000cm。
【详解】2cm∶120km
＝2cm∶（120×100000）cm
＝2∶12000000
＝（2÷2）∶（12000000÷2）
＝1∶6000000
这幅地图的比例尺是1∶6000000。
故答案为：D
【点睛】本题考查比例尺的意义，掌握图上距离、实际距离、比例尺之间的关系以及长度单位的换算是解题的关键。
5．A
【分析】把把直角△ABC按照进行缩小，即把该三角形的各边长都缩小到原来的，根据积的变化规律，一个因数乘n，另一个因数乘m，积就乘nm；再根据三角形的面积＝底×高÷2，据此解答即可。
【详解】8÷（×）
＝8÷
＝32（cm2）
故答案为：A
【点睛】本题考查图形的缩小，明确缩小的是图形的各个边长是解题的关键。
6．×
【分析】用设数法解决此题。设原来圆的直径是2，则按5∶1放大后直径是10。据此先求出圆的半径，再根据圆的面积计算公式求出圆的面积，最后找到两个圆面积的关系。
【详解】设原来圆的直径是2。
现在圆的直径：2×5＝10
原来圆的面积：×（2÷2）2＝×12＝×1＝
现在圆的面积：×（10÷2）2＝×52＝×25＝25
25÷＝25
所以现在面积扩大到原来的25倍。即原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题主要考查比的意义以及圆的面积公式，熟练掌握圆的面积公式并灵活运用。
7．×
【分析】比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，据此解答。
【详解】由分析可得：如果a∶b＝5∶8，那么a×8＝5×b，因此原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】解答此题的关键是比例基本性质的逆运用，要注意：相乘的两个数要做外项都做外项，要做内项就都做内项。
8．×
【分析】若两组比的比值相等，则这两组比可以组成比例，据此判断即可。
【详解】因为∶＝，8∶9＝
∶和8∶9的比值不相等，所以∶和8∶9不可以组成比例。原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查比例的意义，明确比例的意义是解题的关键。
9．√
【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系，用字母表示为（一定）。根据正比例的意义判断即可
【详解】根据圆的周长可知：，即在一个圆中，它的周长和半径的比值一定。所以圆的周长和半径成正比例关系。
故答案为：√
【点睛】解决此题的关键是根据圆的周长公式推导出圆的周长与半径的比值一定。
10．×
【分析】根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，分别求出铁路在甲、乙两幅地图上的长度，再比较大小，得出结论。
【详解】400千米＝40000000厘米
40000000×＝40（厘米）
40000000×＝80（厘米）
80＞40
乙地图上的铁路长些。
原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】掌握图上距离、实际距离、比例尺之间的关系是解题的关键。
11．     1、2、3、5、6、10、15、30     1∶3＝10∶30
【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。
表示两个比相等的式子叫比例，据此在30的因数中找出两个比值相等的比，用等号连接即可。
【详解】30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6
1∶3＝、10∶30＝
30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30，选择其中4个因数组成一个比例是1∶3＝10∶30。（答案不唯一）
【点睛】关键是掌握求一个数的因数的方法，理解比例的意义。
12．     2     1     2     1     能
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
【详解】甲乙两个正方形的边长的比是8∶4＝2∶1，
周长比是（8×4）∶（4×4）
＝32∶16
＝2∶1
因为2∶1＝2∶1，所以两个比能组成比例。
【点睛】此题主要考查了正方形的周长公式C＝4a的实际应用和比的意义及运用。
13．180
【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，进行换算即可。
【详解】4.5÷＝4.5×4000000＝18000000（厘米）＝180（千米）
泸州到成都的实际距离是180千米。
【点睛】关键是掌握图上距离与实际距离的换算方法。
14．     18∶12＝12∶x或18∶y ＝12∶18     8     27
【分析】（1）把②号长方形按比例缩小后得到①号长方形，则②号长方形的长∶①号长方形的长＝②号长方形的宽∶①号长方形的宽。
把②号长方形按比例放大后得到③号长方形，则②号长方形的长∶③号长方形的长＝②号长方形的宽∶③号长方形的宽。
据此列出比例式。
（2）（3）根据比例的基本性质解比例，求出x、y的值。
【详解】18∶12＝12∶x
解：18x＝12×12
x＝
x＝8
18∶y ＝12∶18
解：12y＝18×18
x＝
x＝27
（比例不唯一）
【点睛】把长方形按指定的比放大或缩小，是指把长方形的长和宽分别按指定的比放大或缩小，而不是把长方形的面积按指定比放大或缩小。
15．     实际距离     1∶25000000
【分析】比例尺＝图上距离∶实际距离，由此填出第一空；
根据线段比例尺，图上1cm表示实际250km，将单位统一，再写出数值比例尺即可。
【详解】250km＝25000000cm
所以，一副图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。线段比例尺，改写成数值比例尺是1∶25000000。
【点睛】本题考查了比例尺，掌握比例尺的意义是解题的关键。
16．450
【分析】由题意可知，从车头进入到车尾进入，走了一个火车的长度，行驶一个火车的长度需要A分钟，车尾进入到车尾出隧道，走了一个隧道的长度，行驶一个隧道的长度需要B分钟，速度相同时，时间比等于路程比，把火车的长度设为未知数，火车的长度∶隧道的长度＝5∶4，据此解答。
【详解】解：设火车长xm。
x∶360＝5∶4
4x＝360×5
4x＝1800
x＝1800÷4
x＝450
所以，火车长450m。
【点睛】本题主要考查比例的应用，明确题中时间对应的路程并根据时间比确定路程比是解答题目的关键。
17．16
【分析】同一时间、同一地点，物体高度和影子长度的比不变。设教学楼高x米，即可列比例解答。
【详解】解：设教学楼高x米。
2∶3＝x∶24
3x＝2×24
3x＝48
x＝48÷3
x＝16
所以，教学楼高16米。
【点睛】本题考查了比例的应用，解题关键是正确列出比例。
18．     12     3
【分析】如果x和y成正比例，那么x与y的比值一定，据此列式解答即可；如果x和y成反比例，那么x和y的乘积一定，据此列式解答。
【详解】解：设弄脏处的数是a。
如果x和y成正比例，则：
6∶12＝a∶24
12a＝144
12a÷12＝144÷12
a＝12
如果x和y成反比例，则：
6×12＝24a
24a＝72
24a÷24＝72÷24
a＝3
【点睛】明确x和y成正比例，那么x与y的比值一定，如果x和y成反比例，那么x和y的乘积一定是解题的关键。
19．(1)正
(2)     2    

【分析】（1）观察图像，成正比例关系的图像是一条经过原点的直线，据此分析；
（2）观察图像，找到15千米的对应耗油量即可；耗油量÷对应行驶路程，求出每千米耗油量，每千米耗油量×行驶距离＝对应耗油量。
（1）
汽车耗油量与所行路程成正比例关系。
（2）
2÷15×100＝（L）
汽车行驶15km的耗油量是2L，汽车行驶100km的耗油量是L。
【点睛】关键是理解正比例的意义，商一定是正比例关系。
20．     3.9     0.6b     2    
【分析】既然x和y两个量成正比例，那么比值一定，12÷20＝0.6，其余每列中的x除以y也必须是0.6，据此求解即可。
【详解】12÷20＝0.6
1.2÷0.6＝2
6.5×0.6＝3.9
a÷0.6＝
b×0.6＝0.6b
【点睛】本题考查字母表示数和正比例的意义，构成正比例关系的两个量需要满足这几个条件，首先是相关联的两个变量，其次是同增同减的变化规律，还必须保证比值一定。
21．x＝2；x＝3；x＝1.7
【分析】（1）根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，把比例转化成方程后，再根据等式的性质2，方程左右两边同时除以7.2，解出方程；
（2）根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，把比例转化成方程后，再根据等式的性质2，方程左右两边同时除以，解出方程；
（3）根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，把比例转化成方程后，再根据等式的性质2，方程左右两边同时除以2，解出方程。
【详解】＝
解：7.2x＝1.8×8
7.2x＝14.4
x＝14.4÷7.2
x＝2
∶x＝∶4
解：x＝×4
x＝
x＝÷
x＝×2
x＝3
x∶＝13.6∶2
解：2x＝×13.6
2x＝3.4
x＝3.4÷2
x＝1.7
22．见详解
【分析】根据比例的基本性质，内项积等于外项积，据此进行判断即可。
【详解】（1），所以和不可以组成比例；
（2），所以和能组成比例，比例式为：；
（3），所以和能组成比例，比例式为；
（4），所以和不能组成比例。
23．见详解
【分析】将三角形的底和高都乘，求出缩小后三角形的底和高。再按照三角形的形状，画出缩小后的图形。
【详解】15×＝5
6×＝2
缩小后的图形如下图：

【点睛】本题考查了图形的放大和缩小，求出缩小后图形各边的长度是作图的关键。
24．见详解
【分析】根据比例尺的意义求出图上距离，再根据“上北下南，左西右东”及角度信息完成路线图即可。
【详解】如图所示：
500÷200＝2.5（厘米）
200÷200＝1（厘米）

【点睛】本题考查方向和位置，明确比例尺的意义是解题的关键。
25．10.5
【分析】根据1号楼的实际高度与模型高度的比值是一定，即两种量成正比例，由此设出未知数，列比例解答问题。
【详解】42米＝4200厘米
解：设模型的高度是厘米。



答：模型的高度是10.5厘米。
【点睛】此题主要考查对正比例的意义的运用：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，但两种量的相对应的比值一定。
26．0.64升
【分析】防疫时期消毒液按消毒剂与水的比为1∶10的比例稀释，可得消毒剂∶水＝1∶10，据此比例解答即可。
【详解】解：设需要加入x升消毒剂。
x∶6.4＝1∶10
10x＝6.4×1
10x＝6.4
x＝6.4÷10
x＝0.64
答：需加入0.64升消毒剂。
【点睛】根据题意分析得出“消毒剂∶水＝1∶10”是解题的关键。
27．30平方米
【分析】设360块方砖能铺地x平方米，根据方砖数量∶铺的面积＝每平方米方砖数量（一定），列出正比例算式解答即可。
【详解】解：设360块方砖能铺地x平方米。
360∶x＝120∶10
120x＝360×10
120x÷120＝3600÷120
x＝30
答：360块方砖能铺地30平方米。
【点睛】关键是确定比例关系，比值一定是正比例关系。
28．12小时
【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出北京到南京的实际距离，再根据路程÷速度＝时间，列式解答即可。
【详解】24÷＝24×5000000＝120000000（厘米）＝1200（千米）
1200÷100＝12（小时）
答：到达南京时要用12小时。
【点睛】关键是掌握图上距离与实际距离的换算方法，理解速度、时间、路程之间的关系。
29．（1）（2）（3）见详解；
【分析】（1）利用统计表中的数据，分别求时间与加工零件个数的比值，即可得出工作的时间与加工零件的个数的比不变。
（2）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
（3）根据加工零件数量的多少描出各点，再把各点用线段顺次连接起来，再根据图像的特征回答即可。
【详解】（1）
答：工作的时间与加工零件的个数的比不变。
（2）
答：加工零件的数量与工作时间的比值一定，所以加工零件的数量与工作时间成正比例关系。
（3）如图：

答：我发现各点都在同一条直线上。
【点睛】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。