人教B版 (2019)必修 第二册4.1.2 指数函数的性质与图像课后复习题

二　指数函数的性质与图象

基础练习

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.函数y=3x与y=3-x的图象关于下列哪条直线对称 (　　)

A.x轴 B.y轴

C.直线y=x D.直线y=-x

解析:选B.y=3-x=x,由y=3x与y=x关于y轴对称,所以y=3x与y=3-x关于y轴对称.

2.给出下列函数:

①y=2·3x;②y=3x+1;③y=3x;④y=x3;⑤y=(-2)x.其中,指数函数的个数是 (　　)

A.0 B.1 C.2 D.4

解析:选B.在①中,3x的系数是2,故①不是指数函数;在②中,y=3x+1的指数是x+1,不是自变量x,故②不是指数函数;在③中,3x的系数是1,指数是自变量x,且只有3x一项,故③是指数函数;在④中,y=x3的底数为自变量,指数为常数,故④不是指数函数;在⑤中,底数-2<0,故⑤不是指数函数.故选B.

3.函数y=2-x的图象是下图中的 (　　)

解析:选B.因为y=2-x=x,所以函数y=x是减函数,且过点(0,1),故B正确.

4.已知指数函数y=f(x)的图象经过点(-1,2),那么这个函数也必定经过点 (　　)

A.-2, B.(1,2)

C.(2,4) D.3,

解析:选D.设f(x)=ax(a>0且a≠1),

因为f(-1)==2,

所以a=,即f(x)=,

因为f(-2)==4,f(1)=,f(2)=,f(3)==,所以D正确.

5.若指数函数f(x)=(1-2a)x在实数集R上是减函数,则实数a的取值范围是 (　　)

A.,+∞ B.0,

C.-∞, D.-,

解析:选B.由已知,得0<1-2a<1,

解得0<a<,即实数a的取值范围是0,.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.指数函数y=ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则实数a的值为　　　　　. 

解析:若0<a<1,则y=ax在[0,1]上单调递减,y=ax的最大值与最小值分别为a0,a1,所以1+a=3,解得a=2(舍去);若a>1,则y=ax在[0,1]上单调递增,y=ax的最大值与最小值分别为a1,a0,所以a+1=3,解得a=2.综上a=2.

答案:2

7.函数y=(a2-3a+3)·ax是指数函数,则a的值为　　　　. 

解析:由题意得a2-3a+3=1, 即(a-2)(a-1)=0,解得a=2或a=1(舍).

答案:2

【补偿训练】

　　　设集合A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则A∩B= (　　)

A.[0,2]　　　　　　B.(1,3)

C.[1,3) D.(1,4)

解析:选C.本题考查指数函数集合的运算.

|x-1|<2,所以-2<x-1<2即-1<x<3,y=2x,0≤x≤2,

所以20≤y≤22,即1≤y≤4,

所以A∩B=[1,3).

8.若a=,b=,c=23则a,b,c的大小关系为　　　　　.(从大到小排列) 

解析:由指数函数y=x的图象与性质,可得0<a=<0=1,0<b=<a=<1,c=23=8,所以c>a>b.

答案:c>a>b

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.已知函数f(x)=ax-2(a>0,a≠1,x≥0)的图象经过点(3,0.5).

(1)求a值;

(2)求函数f(x)=ax-2(x≥0)的值域.

解析:(1)由函数f(x)=ax-2(a>0,a≠1)的图象经过点(3,0.5),可得a3-2=0.5,解得a=.

(2)由(1)可知f(x)=x-2(x≥0),因为0<<1,所以f(x)在[0,+∞)上单调递减,则f(x)在x=0时有最大值,所以f(x)max=f(0)=-2=4,因为f(x)>0,所以函数f(x)的值域为(0,4].

【补偿训练】

　　　求下列函数的定义域和值域.

(1)y=.

(2)y=.

解析:(1)要使函数有意义,则有x-1≥0,即x≥1,所以定义域是[1,+∞);

当≥0时,y=≥40=1,

　　　即值域是[1,+∞).

(2)因为1-x≥0,

所以x≤1,即x≥0.

所以函数y=的定义域为[0,+∞).

令t=x,所以0<t≤1.

所以0≤1-t<1.所以0≤<1.

所以y=的值域为[0,1).

10.若函数f(x)=ax-1(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,2],求实数a的值.

解析:当a>1时,函数f(x)=ax-1在[0,2]上是增函数,

由题意可知,

解得a=.(a=-舍去)

当0<a<1时,函数f(x)=ax-1在[0,2]上是减函数,由题意可知,此时a无解.

综上可知,a=.

提升练习

一、选择题(每小题5分,共20分)

1.函数y=2|x|的图象是 (　　)

解析:选B.y=2|x|=

2.函数y=的值域是 (　　)

A.[0,+∞) B.[0,4]

C.[0,4) D.(0,4)

解析:选C.要使函数式有意义,则16-4x≥0.又因为4x>0,所以0≤16-4x<16,

即函数y=的值域为[0,4).

3.(多选题)若对于函数f(x)定义域内的任意一个自变量x1,都存在唯一的自变量x2,使得=3成立,则 (　　)

A.f(x)=3x　 B.f(x)=3x+1

C.f(x)=3x+　 D.f(x)=

解析:选BD.由=3知,

f(x1)f(x2)=9.选项A中,f(x)=3x,定义域为R,代入已知式即9x1x2=9,即x1x2=1,取x1=0时,不存在x2∈R使得x1x2=1,故该函数不满足题意;选项B中,f(x)=3x+1,定义域为R,代入已知式即·=9,即=1,即x1+x2=0,任意一个自变量x1∈R都存在唯一个自变量x2=-x1∈R,使得x1+x2=0,故该函数满足题意;选项C中,f(x)=3x+定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),代入已知式即

3x1+3x2+=9,

即x1+x2+=1,对勾函数y=x+是奇函数,当x>0时,其在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,值域为[2,+∞),根据对称性知x<0时,值域为(-∞,-2],即函数y=x+∈(-∞,-2]∪[2,+∞),取x1>0时,x1+∈[2,+∞),

要使x1+x2+=1,则x2+=∈0,,而y=x+值域(-∞,-2]∪[2,+∞),定义域内不存在x2使x2+∈0,,即不存在x2使得x1+x2+=1,故该函数不满足题意;

选项D中,f(x)=,定义域为(0,+∞),代入已知式即·=9,即·=1,

即x1x2=1,对任意正实数x1,都存在其倒数为x2=,使得x1x2=1,故该函数满足题意.

4.(多选题)已知实数a,b满足等式a=b,下列四个关系式中不可能成立的有 (　　)

A.0<b<a B.a<b<0

C.0<a<b D.b<a<0

解析:选CD.由已知得2a=3b,

令f(x)=2x,g(x)=3x,即f(a)=g(b).

在同一坐标系中作出f(x)=2x,g(x)=3x的图象,当纵坐标相等时,可以得到相应横坐标的大小关系,从而得出C,D不可能成立.

二、填空题(每小题5分,共20分)

5.已知f(x)=(a2-2a-2)x是增函数,则实数a的取值范围是　　　　　. 

解析:因为f(x)=(a2-2a-2)x是增函数,可得a2-2a-2>1,解得a∈(-∞,-1)∪(3,+∞).

答案:(-∞,-1)∪(3,+∞)

6.已知函数f(x)=ax-1+1,则该函数过定点　　　　,若该定点在直线mx+2ny-1=0(m>0,n>0)上,则+的最小值为　　　　　. 

解析:因为f(x)=ax-1+1,令x-1=0,可得x=1,f(1)=a0+1=2,所以该函数过定点(1,2);

又该定点在直线mx+2ny-1=0(m>0,n>0)上,所以m+4n=1,

因此+=+m+4n=1+++8≥9+2=9+4,

当且仅当=,即 时,等号成立.

答案:(1,2)　9+4

【补偿训练】

　　　已知函数f(x)为指数函数,且f-=,则f(-2)=　　　　　. 

解析:设f(x)=ax(a>0,且a≠1),

因为f-=,所以=,

所以=,所以a=3.

所以f(x)=3x,所以f(-2)=3-2=.

答案:

7.函数y=(0<x≤2) 的值域为　　　　. 

解析:因为0<x≤2, 所以1<2x≤4,

所以-4≤-2x<-1,

所以1≤5-2x<4, 所以<≤1,

故所求函数的值域为,1.

答案:,1

8.函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的差为,则a=　　　. 

解析:(1)当a>1时,函数f(x)=ax在[0,1]上是增函数.所以当x=1时,函数f(x)取最大值;

当x=0时,函数f(x)取最小值.

由题意得f(1)-f(0)=,

即a-a0=,解得a=.

(2)当0<a<1时,函数f(x)=ax在[0,1]上是减函数.

所以当x=1时,函数f(x)取最小值;

当x=0时,函数f(x)取最大值.

由题意得f(0)-f(1)=,

 即a0-a=,解得a=.

综上知a=或.

答案:或

三、解答题(每小题10,共20分)

9.已知函数f(x)=(x≥0)的图象经过点2,,其中a>0且a≠1.

(1)求a的值.

(2)求函数y=f(x)(x≥0)的值域.

解析:(1)因为函数f(x)=(x≥0)的图象经过点2,,所以=a2-1,所以a=.

(2)由(1)知f(x)=x-1=2·x,

因为x≥0,所以0<x≤0=1,所以0<2·x≤2,所以函数y=f(x)(x≥0)的值域为(0,2].

10.已知函数f(x)=|2x-1|.

(1)作出函数f(x)的大致图象.

(2)若方程f(x)-a=0(a∈R)恰有2个实数解x1,x2.求a的取值范围及+ 的值.

 解析:(1)函数y=|2x-1|的图象是由函数y=2x的图象向下平移一个单位后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,图象如图所示.

(2)方程f(x)-a=0(a∈R)恰有2个实数解x1,x2,等价于函数y=f(x)的图象与y=a的图象恰有两个交点且交点的横坐标为x1,x2,由函数f(x)的图象可知,当0<a<1时,函数y=f(x)的图象与y=a的图象恰有两个交点,故a的取值范围为(0,1),

不妨设x1<x2,则f(x1)=1-,f(x2)=-1,

所以1-=-1,则+=2.

【延伸探究】

　　　利用函数y=|2x-1|的图象回答:k为何值时,方程|2x-1|=k无解?有一解?有两解?

解析:如图,根据函数y=|2x-1|的图象可知,当k<0时,直线y=k与函数y=|2x-1|的图象无交点,即方程无解;

当k=0或k≥1时,直线y=k与函数y=|2x-1|的图象有唯一的交点,所以方程有一解;

当0<k<1时,直线y=k与函数y=|2x-1|的图象有两个不同交点,所以方程有两解.