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2023年河南省驻马店市中考数学一模试卷（含答案）
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这是一份2023年河南省驻马店市中考数学一模试卷（含答案），共27页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省驻马店市中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
2．（3分）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．厉 B．害 C．了 D．我
3．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．+＝ B．（﹣2）2＝﹣
C．（a﹣2）2＝a2﹣4 D．a6÷a3＝a3
4．（3分）纳米是一种长度单位，它用来表示微小的长度，1纳米为十亿分之一米，即10﹣9米．一种新型病毒，长度仅500纳米左右（约为人类头发直径的百分之一），“500纳米”用科学记数法表示为（ ）
A．5×10﹣7米 B．5×10﹣8米 C．5×10﹣9米 D．5×10﹣10米
5．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，M，N分别是BC，CD两边上的点，不能保证△ABM和△ADN一定全等的条件是（ ）
A．BM＝DN B．∠BAM＝∠DAN C．∠AMC＝∠ANC D．AM＝AN
6．（3分）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．
甲：函数图象经过点（﹣1，1）；
乙：函数图象经过第四象限；
丙：当x＞0时，y随x的增大而增大．
则这个函数表达式可能是（ ）
A．y＝﹣x B．y＝ C．y＝x2 D．y＝﹣
7．（3分）如图，CD是△ABC的高，按以下步骤作图：
（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点；
（2）作直线GH交AB于点E；
（3）在直线GH上截取EF＝AE；
（4）以点F为圆心，AF长为半径画圆交CD于点P．
则下列说法错误的是（ ）
A．AE＝BE B．GH∥CD C．AB＝EF D．∠APB＝45°
8．（3分）若方程x2+2x+m+1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
9．（3分）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．75°
10．（3分）如图①，在▱ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动，设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的a等于（ ）
A．3 B．4 C．14 D．18
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：4﹣m2＝ ．
12．（3分）不等式组的解集是 ．
13．（3分）某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是 ．
14．（3分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，以格点为圆心的三段圆弧围成“叶状”阴影图形，则该阴影图形的面积等于 ．（结果保留π）
15．（3分）如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝4，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是 ．
三、解答题：（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
17．（9分）2023年春节“流浪地球2”在全国各大影院进行热播．为了激发学生的研究兴趣，某校举行了科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生获奖情况进行统计，分为如下5组（满分100分），A组：优秀奖，B组：三等奖．C组：二等奖，D组：一等奖，E组：特等奖，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）学校共有3000名学生，估计该校荣获一等奖及特等奖的学生共有多少人？
（4）学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
18．（9分）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（a≠0）的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD＝8，sin∠AOD＝，且点B的坐标为（n，﹣2）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）请直接写出满足kx+b＞的x的取值范围；
（3）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，直接写出所有符合条件的E点坐标．
19．（9分）某中学数学实践小组利用节假日时间到现场测量一古建筑的牌匾悬挂的高度，如图1，大门上悬挂着巨大的匾额，图2中的线段BC就是悬挂在墙壁AM上的匾额的截面示意图．已知BC＝2米，∠MBC＝37°．他们在该古建筑底部所在的平地上，选取两个不同测量点D、E，分别测量了该牌匾端点的仰角以及这两个测量点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测量点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．
测量数据
测量项目
第一次
第二次
平均值
∠ADC
43°
47°
45°
∠AEB
54.2°
51.8°
53°
D、E之间的距离
4.3m
4.5m
……
……
……
……
……
（1）D、E之间距离的平均值是 ．
（2）求匾额悬挂的高度AB的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）
20．（9分）某商品经销店欲购进A、B两种纪念品，用360元购进的A种纪念品与用450元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比A种纪念品的进价贵10元．
（1）求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元？
（2）若该商店A种纪念品每件售价50元，B种纪念品每件售价65元，这两种纪念品共购进200件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于2400元，求A种纪念品最多购进多少件？
21．（9分）掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为m．当水平距离为4m时，实心球行进至最高点5m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于9.7m时，即可得满分10分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．
22．（10分）预警三角标志牌用于放置在车道上，告知后方来车前有停置车辆，如图所示1所示．贝贝想制作类似此标志的图形，先使用反光材料设计一个物件，如图2所示，其中四边形ABCD为长方形，、分别以AB、CD为直径的半圆，且灰色部分为反光区域．接着，将三个图2的物件以图3的方式组合并固定，其中固定点O1、O2、O3皆与半圆的圆心重合，且各半圆恰好与长方形的长边相切，而在图3左下方的局部放大图中，B、E皆为其切点，AB、EF皆为直径．
请根据上述资讯，回答下列问题：
（1）图3中∠AO1F的度数为多少？
（2）根据图3的组合方式，求出可看见的反光区域面积为多少？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案．
23．（10分）小明学习了图形的旋转之后，积极思考，利用两个大小不同的直角三角形与同学做起了数学探究活动．如图1，在△ABC与△DEF中，AC＝BC＝a，∠C＝90°，DF＝EF＝b，（a＞b），∠F＝90°．
【探索发现】将两个三角形顶点C与顶点F重合，如图2，将△DEF绕点C旋转，他发现BE与AD的数量关系一直不变，则线段BE与AD具有怎样的数量关系，请说明理由；
【深入思考】将两个三角形的顶点C与顶点D重合，如图3所示将△DEF绕点C旋转．
①当B、F、E三点共线时，连接BF、AE，线段BF、CF、AE之间的数量关系为 ；
②如图4所示，连接AF、AE，若线段AC、EF交于点O，试探究四边形AECF能否为平行四边形？如果能，求出a、b之间的数量关系，如果不能，试说明理由．
【拓展延伸】如图5，将△DEF绕点C旋转，连接AF，取AF的中点M，连接EM，则EM的取值范围为 （用含a、b的不等式表示）．
2023年河南省驻马店市中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【解答】解：﹣2的绝对值是|﹣2|＝2．
故选：A．
2．（3分）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．厉 B．害 C．了 D．我
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“国”与“我”是相对面．
故选：D．
3．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．+＝ B．（﹣2）2＝﹣
C．（a﹣2）2＝a2﹣4 D．a6÷a3＝a3
【解答】解：A、与不是同类二次根式，故A不符合题意．
B、原式＝4，故B不符合题意．
C、原式＝a2﹣4a+4，故C不符合题意．
D、原式＝a3，故D符合题意．
故选：D．
4．（3分）纳米是一种长度单位，它用来表示微小的长度，1纳米为十亿分之一米，即10﹣9米．一种新型病毒，长度仅500纳米左右（约为人类头发直径的百分之一），“500纳米”用科学记数法表示为（ ）
A．5×10﹣7米 B．5×10﹣8米 C．5×10﹣9米 D．5×10﹣10米
【解答】解：∵1纳米＝1×10﹣9米，
∴500纳米＝500×10﹣9米＝5×10﹣7米．
故选：A．
5．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，M，N分别是BC，CD两边上的点，不能保证△ABM和△ADN一定全等的条件是（ ）
A．BM＝DN B．∠BAM＝∠DAN C．∠AMC＝∠ANC D．AM＝AN
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
A、在△ABM和△ADN中，
，
∴△ABM≌△ADN（SAS），故选项A不符合题意；
B、在△ABM和△ADN中，
，
∴△ABM≌△ADN（ASA），故选项B不符合题意；
C、∵∠AMC＝∠ANC，
∴∠AMB＝∠AND，
在△ABM和△ADN中，
，
∴△ABM≌△ADN（AAS），故选项C不符合题意；
D、由AB＝AD，AM＝AN，∠B＝∠D，不能判定△ABM和△ADN一定全等，故选项D符合题意；
故选：D．
6．（3分）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．
甲：函数图象经过点（﹣1，1）；
乙：函数图象经过第四象限；
丙：当x＞0时，y随x的增大而增大．
则这个函数表达式可能是（ ）
A．y＝﹣x B．y＝ C．y＝x2 D．y＝﹣
【解答】解：把点（﹣1，1）分别代入四个选项中的函数表达式，可得，选项B不符合题意；
又函数过第四象限，而y＝x2只经过第一、二象限，故选项C不符合题意；
对于函数y＝﹣x，当x＞0时，y随x的增大而减小，与丙给出的特征不符合，故选项A不符合题意．
故选：D．
7．（3分）如图，CD是△ABC的高，按以下步骤作图：
（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点；
（2）作直线GH交AB于点E；
（3）在直线GH上截取EF＝AE；
（4）以点F为圆心，AF长为半径画圆交CD于点P．
则下列说法错误的是（ ）
A．AE＝BE B．GH∥CD C．AB＝EF D．∠APB＝45°
【解答】解：根据作图过程可知：GH是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，GH⊥AB，故A选项正确；
∵CD是△ABC的高，
∴CD⊥AB，
∴GH∥CD，故B选项正确；
∵EF＝AE，
∴AB＝2AE＝2EF，故C选项错误；
∴∠EFA＝∠EAF＝45°，
∴∠APB＝45°．故D选项正确．
∴说法错误的是C．
故选：C．
8．（3分）若方程x2+2x+m+1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4（m+1）＞0，
解得m＜0．
故选：A．
9．（3分）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．75°
【解答】解：如图所示：
∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∠ECD＝60°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠ECD＝30°，
∵∠α是△ACD的一个外角，
∴∠α＝∠A+∠ACD＝75°．
故选：D．
10．（3分）如图①，在▱ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动，设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的a等于（ ）
A．3 B．4 C．14 D．18
【解答】解：由图②知，BC＝6，CD＝14﹣6＝8，BD＝18﹣14＝4，
过点B作BH⊥DC于点H，
设CH＝x，则DH＝8﹣x，
则BH2＝BC2﹣CH2＝BD2﹣DH2，即：BH2＝42﹣（8﹣x）2＝62﹣x2，
解得：BH＝，
则a＝y＝S△ABP＝DC×HB＝×8×＝3，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：4﹣m2＝ （2+m）（2﹣m） ．
【解答】解：原式＝（2+m）（2﹣m），
故答案为：（2+m）（2﹣m）．
12．（3分）不等式组的解集是 x≥2 ．
【解答】解：，
由①得，x＞﹣1
由②得，x≥2；
∴不等式组的解集为x≥2．
故答案为：x≥2．
13．（3分）某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是 ．
【解答】解：把3节车厢分别记为A、B、C，
画树状图如图：
共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，
则甲和乙从同一节车厢上车的概率为＝．
故答案为：．
14．（3分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，以格点为圆心的三段圆弧围成“叶状”阴影图形，则该阴影图形的面积等于 π﹣2 ．（结果保留π）
【解答】解：如图，连接AB，根据图形可知：
阴影部分面积＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣×2×2＝π﹣2．
故答案为：π﹣2．
15．（3分）如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝4，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是 ．
【解答】解：如图，作M关于OB的对称点M'，作N关于OA的对称点N'，连接OM'，ON'，连接M'N'，即为MP+PQ+QN的最小值，
根据轴对称的定义得∠N'OQ＝∠M'OB＝30°，∠ONN'＝60°，
∴△ONN'为等边三角形，△OMM'为等边三角形，
∴∠N'OM'＝90°，OM'＝OM＝1，ON'＝ON＝4，
在Rt△M'ON'中，M'N'＝＝，
∴MP+PQ+QN的最小值为，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
【解答】解：（1）
＝1+2﹣2×
＝1+2﹣
＝1+；
（2）
＝•
＝．
17．（9分）2023年春节“流浪地球2”在全国各大影院进行热播．为了激发学生的研究兴趣，某校举行了科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生获奖情况进行统计，分为如下5组（满分100分），A组：优秀奖，B组：三等奖．C组：二等奖，D组：一等奖，E组：特等奖，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 400 名学生的成绩；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）学校共有3000名学生，估计该校荣获一等奖及特等奖的学生共有多少人？
（4）学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
【解答】解：（1）本次调查一共随机抽取的学生有96÷24%＝400（名）．
故答案为：400．
（2）B组的学生人数m＝400×15%＝60（人），
∴E组的学生人数为400﹣20﹣60﹣96﹣144＝80（人）．
补全学生成绩频数分布直方图如图所示．
（3）3000×＝1680（人）．
∴估计该校荣获一等奖及特等奖的学生大约共有1680人．
（4）设两名男生分别记为A，B，三名女生分别记为C，D，E，
画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果有：AC，AD，AE，BC，BD，BE，CA，CB，DA，DB，EA，EB，共12种，
∴抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为＝．
18．（9分）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（a≠0）的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD＝8，sin∠AOD＝，且点B的坐标为（n，﹣2）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）请直接写出满足kx+b＞的x的取值范围；
（3）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，直接写出所有符合条件的E点坐标．
【解答】解：∵AD⊥x轴，
∴∠ADO＝90°，
在Rt△AOD中，AD＝8，
∴sin∠AOD＝＝＝，
∴OA＝10，
根据勾股定理得，OD＝＝＝6，
∵点A在第二象限，
∴A（﹣6，8），
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴a＝﹣6×8＝﹣48，
∴反比例函数解析式为y＝﹣，
∵点B（n，﹣2）在反比例函数y＝﹣上，
∴﹣2n＝﹣48，
∴n＝24，
∴B（24，﹣2），
∵点A（﹣6，8），B（24，﹣2）在直线y＝kx+b上，
∴，
∴，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+6；
（2）由图象知，满足kx+b＞的x的取值范围为x＜﹣6或0＜x＜24；
（3）设点E的坐标为（0，m），
∵A（﹣6，8），O（0，0），
∴OE＝|m|，OA＝10，AE＝，
∵△AOE是等腰三角形，
∴①当OA＝OE时，|m|＝10，
∴m＝±10，
∴E（0，10）或（0，﹣10），
②当OA＝AE时，10＝，
∴m＝16或m＝0（舍），
∴E（0，16），
③当OE＝AE时，|m|＝，
∴m＝4，
∴E（0，4），
即：满足条件的点E的坐标为（0，10）或（0，﹣10）或（0，16）或（0，4）．
19．（9分）某中学数学实践小组利用节假日时间到现场测量一古建筑的牌匾悬挂的高度，如图1，大门上悬挂着巨大的匾额，图2中的线段BC就是悬挂在墙壁AM上的匾额的截面示意图．已知BC＝2米，∠MBC＝37°．他们在该古建筑底部所在的平地上，选取两个不同测量点D、E，分别测量了该牌匾端点的仰角以及这两个测量点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测量点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．
测量数据
测量项目
第一次
第二次
平均值
∠ADC
43°
47°
45°
∠AEB
54.2°
51.8°
53°
D、E之间的距离
4.3m
4.5m
……
……
……
……
……
（1）D、E之间距离的平均值是 4.4m ．
（2）求匾额悬挂的高度AB的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）
【解答】解：（1）D、E之间距离的平均值是（4.3+4.5）＝4.4（m），
故答案为：4.4m；
（2）过点C作CN⊥AB，CF⊥AD，垂足分别为N、F，如图所示：
在Rt△BCN中，∠MBC＝37°，
CN＝BC•sin∠MBC≈2×＝1.2（米），
BN＝BC×cos37°≈2×＝1.6（米），
在Rt△ABE中，∠ABE＝90°﹣∠AEB＝90°﹣53°＝37°，
AE＝AB•tan∠ABE＝AB×tan37°＝AB×tan37°≈AB，
∵∠ADC＝45°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴CF＝DF，
∴BN+AB＝AD﹣AF＝AD﹣CN，
即：1.6+AB≈AB+4.4﹣1.2，
解得：AB＝6.4（米），
答：匾额悬挂的高度AB的长约为6.4米．
20．（9分）某商品经销店欲购进A、B两种纪念品，用360元购进的A种纪念品与用450元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比A种纪念品的进价贵10元．
（1）求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元？
（2）若该商店A种纪念品每件售价50元，B种纪念品每件售价65元，这两种纪念品共购进200件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于2400元，求A种纪念品最多购进多少件？
【解答】解：（1）设A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价为（x+10）元．
根据题意得：＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意，
则x+10＝50．
答：A种纪念品每件的进价为40元，B种纪念品每件的进价为50元．
（2）设A种纪念品购进a件，则B种纪念品购进（200﹣a）件，
根据题意得：（50﹣40）a+（65﹣50）（200﹣a）≥2400，
解得：a≤120．
答：A种纪念品最多购进120件．
21．（9分）掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为m．当水平距离为4m时，实心球行进至最高点5m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于9.7m时，即可得满分10分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．
【解答】解：（1）根据题意设y关于x的函数表达式为y＝a（x﹣4）2+5，
把（0，）代入解析式得：＝a（0﹣4）2+5，
解得：a＝﹣，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣（x﹣4）2+5；
（2）该男生在此项考试中不能得满分，理由：
令y＝0，则﹣（x﹣4）2+5＝0，
解得：x1＝9，x2＝﹣1（舍去），
∵9＜9.7，
∴该男生在此项考试中不能得满分．
22．（10分）预警三角标志牌用于放置在车道上，告知后方来车前有停置车辆，如图所示1所示．贝贝想制作类似此标志的图形，先使用反光材料设计一个物件，如图2所示，其中四边形ABCD为长方形，、分别以AB、CD为直径的半圆，且灰色部分为反光区域．接着，将三个图2的物件以图3的方式组合并固定，其中固定点O1、O2、O3皆与半圆的圆心重合，且各半圆恰好与长方形的长边相切，而在图3左下方的局部放大图中，B、E皆为其切点，AB、EF皆为直径．
请根据上述资讯，回答下列问题：
（1）图3中∠AO1F的度数为多少？
（2）根据图3的组合方式，求出可看见的反光区域面积为多少？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案．
【解答】解：（1）如图3，由题意可知，∠1＝60°＝∠APF，
∵PA、PF是⊙O1的切线，A、F为切点，
∴PA＝PF，∠O1AP＝∠O1FP＝90°，
在四边形AO1FP中，
∠AO1F＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
（2）如图3，由题意可知，AB＝4，连接O1P，则∠APO1＝∠FPO1＝30°，
在Rt△APO1中，PA＝AO1＝2（公分），
图3不规则图形PAEBF的面积为：S大扇形OAEBF+S四边形PAOF＝+×2×2×2＝+4（平方公分），
如图2，图2的面积为：π×22+45×4＝4π+180（平方公分），
由题意可知，S反光区域＝3S图2﹣3S图3不规则图形
＝3（4π+180）﹣3（+4）
＝12π+540﹣8π﹣12
＝4π+540﹣12（平方公分），
答：可看见的反光区域面积为（4π+540﹣12）平方公分）．
23．（10分）小明学习了图形的旋转之后，积极思考，利用两个大小不同的直角三角形与同学做起了数学探究活动．如图1，在△ABC与△DEF中，AC＝BC＝a，∠C＝90°，DF＝EF＝b，（a＞b），∠F＝90°．
【探索发现】将两个三角形顶点C与顶点F重合，如图2，将△DEF绕点C旋转，他发现BE与AD的数量关系一直不变，则线段BE与AD具有怎样的数量关系，请说明理由；
【深入思考】将两个三角形的顶点C与顶点D重合，如图3所示将△DEF绕点C旋转．
①当B、F、E三点共线时，连接BF、AE，线段BF、CF、AE之间的数量关系为 当点F在BE上时，BF＝AE+CF；当点F在BE的延长线上时，BF＝AE﹣CF ；
②如图4所示，连接AF、AE，若线段AC、EF交于点O，试探究四边形AECF能否为平行四边形？如果能，求出a、b之间的数量关系，如果不能，试说明理由．
【拓展延伸】如图5，将△DEF绕点C旋转，连接AF，取AF的中点M，连接EM，则EM的取值范围为 ≤EM≤ （用含a、b的不等式表示）．
【解答】解：【探究发现】BE＝AD，BE⊥AD，理由如下：
如图1，
∵∠ACB＝∠AFD＝90°，
∴∠ACB﹣∠ACE＝∠AFD﹣∠ACE，
∴∠BCE＝∠AFD，
在△BCE和△AFD中，
，
∴△BCE≌△AFD（SAS），
∴BE＝AD；
【深入思考】①如图2，
当点F在线段BE上时，BF＝AE+CF，理由如下：
在FB上截取FG＝EF，可得△CGE是等腰直角三角形，
∴CF＝FG＝EF，
由【探究发现】得：BG＝AE，
∴BF＝BG+GF＝AE+CF；
故答案为：BF＝AE+CF；
如图3，
当点F在BE的延长线上时，BF＝AE﹣CF，理由如下：
延长BF至G，使FG＝CF，连接CG，
由上可得，
BG＝AE，
∴BF＝BG﹣FG＝AE﹣CF，
②四边形AECF可以为平行四边形，
此时OF＝OE＝，OC＝OA＝，
∵∠CFO＝90°，
∴OC2＝CF2+OF2＝b2+（2＝，
∴＝，
∴a＝b；
【拓展延伸】如图3，
延长FE至O，使EO＝EF，连接OA，
∴EM＝，
在Rt△COF中，OF＝2EF＝2b，CF＝b，
∴OC＝，
∴点O在以C为圆心，b的圆上运动，
∴当点O在AC的延长线上时，AO最大，最大值为：a+，
当点O在射线CA上时，AO最小，最小值为|a﹣|，
∴EM最大＝，EM最小＝，
故答案为：≤EM≤．
2023年河南省驻马店市中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
2．（3分）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．厉 B．害 C．了 D．我
3．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．+＝ B．（﹣2）2＝﹣
C．（a﹣2）2＝a2﹣4 D．a6÷a3＝a3
4．（3分）纳米是一种长度单位，它用来表示微小的长度，1纳米为十亿分之一米，即10﹣9米．一种新型病毒，长度仅500纳米左右（约为人类头发直径的百分之一），“500纳米”用科学记数法表示为（ ）
A．5×10﹣7米 B．5×10﹣8米 C．5×10﹣9米 D．5×10﹣10米
5．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，M，N分别是BC，CD两边上的点，不能保证△ABM和△ADN一定全等的条件是（ ）
A．BM＝DN B．∠BAM＝∠DAN C．∠AMC＝∠ANC D．AM＝AN
6．（3分）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．
甲：函数图象经过点（﹣1，1）；
乙：函数图象经过第四象限；
丙：当x＞0时，y随x的增大而增大．
则这个函数表达式可能是（ ）
A．y＝﹣x B．y＝ C．y＝x2 D．y＝﹣
7．（3分）如图，CD是△ABC的高，按以下步骤作图：
（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点；
（2）作直线GH交AB于点E；
（3）在直线GH上截取EF＝AE；
（4）以点F为圆心，AF长为半径画圆交CD于点P．
则下列说法错误的是（ ）
A．AE＝BE B．GH∥CD C．AB＝EF D．∠APB＝45°
8．（3分）若方程x2+2x+m+1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
9．（3分）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．75°
10．（3分）如图①，在▱ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动，设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的a等于（ ）
A．3 B．4 C．14 D．18
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：4﹣m2＝ ．
12．（3分）不等式组的解集是 ．
13．（3分）某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是 ．
14．（3分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，以格点为圆心的三段圆弧围成“叶状”阴影图形，则该阴影图形的面积等于 ．（结果保留π）
15．（3分）如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝4，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是 ．
三、解答题：（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
17．（9分）2023年春节“流浪地球2”在全国各大影院进行热播．为了激发学生的研究兴趣，某校举行了科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生获奖情况进行统计，分为如下5组（满分100分），A组：优秀奖，B组：三等奖．C组：二等奖，D组：一等奖，E组：特等奖，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）学校共有3000名学生，估计该校荣获一等奖及特等奖的学生共有多少人？
（4）学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
18．（9分）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（a≠0）的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD＝8，sin∠AOD＝，且点B的坐标为（n，﹣2）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）请直接写出满足kx+b＞的x的取值范围；
（3）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，直接写出所有符合条件的E点坐标．
19．（9分）某中学数学实践小组利用节假日时间到现场测量一古建筑的牌匾悬挂的高度，如图1，大门上悬挂着巨大的匾额，图2中的线段BC就是悬挂在墙壁AM上的匾额的截面示意图．已知BC＝2米，∠MBC＝37°．他们在该古建筑底部所在的平地上，选取两个不同测量点D、E，分别测量了该牌匾端点的仰角以及这两个测量点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测量点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．
测量数据
测量项目
第一次
第二次
平均值
∠ADC
43°
47°
45°
∠AEB
54.2°
51.8°
53°
D、E之间的距离
4.3m
4.5m
……
……
……
……
……
（1）D、E之间距离的平均值是 ．
（2）求匾额悬挂的高度AB的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）
20．（9分）某商品经销店欲购进A、B两种纪念品，用360元购进的A种纪念品与用450元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比A种纪念品的进价贵10元．
（1）求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元？
（2）若该商店A种纪念品每件售价50元，B种纪念品每件售价65元，这两种纪念品共购进200件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于2400元，求A种纪念品最多购进多少件？
21．（9分）掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为m．当水平距离为4m时，实心球行进至最高点5m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于9.7m时，即可得满分10分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．
22．（10分）预警三角标志牌用于放置在车道上，告知后方来车前有停置车辆，如图所示1所示．贝贝想制作类似此标志的图形，先使用反光材料设计一个物件，如图2所示，其中四边形ABCD为长方形，、分别以AB、CD为直径的半圆，且灰色部分为反光区域．接着，将三个图2的物件以图3的方式组合并固定，其中固定点O1、O2、O3皆与半圆的圆心重合，且各半圆恰好与长方形的长边相切，而在图3左下方的局部放大图中，B、E皆为其切点，AB、EF皆为直径．
请根据上述资讯，回答下列问题：
（1）图3中∠AO1F的度数为多少？
（2）根据图3的组合方式，求出可看见的反光区域面积为多少？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案．
23．（10分）小明学习了图形的旋转之后，积极思考，利用两个大小不同的直角三角形与同学做起了数学探究活动．如图1，在△ABC与△DEF中，AC＝BC＝a，∠C＝90°，DF＝EF＝b，（a＞b），∠F＝90°．
【探索发现】将两个三角形顶点C与顶点F重合，如图2，将△DEF绕点C旋转，他发现BE与AD的数量关系一直不变，则线段BE与AD具有怎样的数量关系，请说明理由；
【深入思考】将两个三角形的顶点C与顶点D重合，如图3所示将△DEF绕点C旋转．
①当B、F、E三点共线时，连接BF、AE，线段BF、CF、AE之间的数量关系为 ；
②如图4所示，连接AF、AE，若线段AC、EF交于点O，试探究四边形AECF能否为平行四边形？如果能，求出a、b之间的数量关系，如果不能，试说明理由．
【拓展延伸】如图5，将△DEF绕点C旋转，连接AF，取AF的中点M，连接EM，则EM的取值范围为 （用含a、b的不等式表示）．
2023年河南省驻马店市中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【解答】解：﹣2的绝对值是|﹣2|＝2．
故选：A．
2．（3分）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．厉 B．害 C．了 D．我
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“国”与“我”是相对面．
故选：D．
3．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．+＝ B．（﹣2）2＝﹣
C．（a﹣2）2＝a2﹣4 D．a6÷a3＝a3
【解答】解：A、与不是同类二次根式，故A不符合题意．
B、原式＝4，故B不符合题意．
C、原式＝a2﹣4a+4，故C不符合题意．
D、原式＝a3，故D符合题意．
故选：D．
4．（3分）纳米是一种长度单位，它用来表示微小的长度，1纳米为十亿分之一米，即10﹣9米．一种新型病毒，长度仅500纳米左右（约为人类头发直径的百分之一），“500纳米”用科学记数法表示为（ ）
A．5×10﹣7米 B．5×10﹣8米 C．5×10﹣9米 D．5×10﹣10米
【解答】解：∵1纳米＝1×10﹣9米，
∴500纳米＝500×10﹣9米＝5×10﹣7米．
故选：A．
5．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，M，N分别是BC，CD两边上的点，不能保证△ABM和△ADN一定全等的条件是（ ）
A．BM＝DN B．∠BAM＝∠DAN C．∠AMC＝∠ANC D．AM＝AN
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
A、在△ABM和△ADN中，
，
∴△ABM≌△ADN（SAS），故选项A不符合题意；
B、在△ABM和△ADN中，
，
∴△ABM≌△ADN（ASA），故选项B不符合题意；
C、∵∠AMC＝∠ANC，
∴∠AMB＝∠AND，
在△ABM和△ADN中，
，
∴△ABM≌△ADN（AAS），故选项C不符合题意；
D、由AB＝AD，AM＝AN，∠B＝∠D，不能判定△ABM和△ADN一定全等，故选项D符合题意；
故选：D．
6．（3分）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．
甲：函数图象经过点（﹣1，1）；
乙：函数图象经过第四象限；
丙：当x＞0时，y随x的增大而增大．
则这个函数表达式可能是（ ）
A．y＝﹣x B．y＝ C．y＝x2 D．y＝﹣
【解答】解：把点（﹣1，1）分别代入四个选项中的函数表达式，可得，选项B不符合题意；
又函数过第四象限，而y＝x2只经过第一、二象限，故选项C不符合题意；
对于函数y＝﹣x，当x＞0时，y随x的增大而减小，与丙给出的特征不符合，故选项A不符合题意．
故选：D．
7．（3分）如图，CD是△ABC的高，按以下步骤作图：
（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点；
（2）作直线GH交AB于点E；
（3）在直线GH上截取EF＝AE；
（4）以点F为圆心，AF长为半径画圆交CD于点P．
则下列说法错误的是（ ）
A．AE＝BE B．GH∥CD C．AB＝EF D．∠APB＝45°
【解答】解：根据作图过程可知：GH是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，GH⊥AB，故A选项正确；
∵CD是△ABC的高，
∴CD⊥AB，
∴GH∥CD，故B选项正确；
∵EF＝AE，
∴AB＝2AE＝2EF，故C选项错误；
∴∠EFA＝∠EAF＝45°，
∴∠APB＝45°．故D选项正确．
∴说法错误的是C．
故选：C．
8．（3分）若方程x2+2x+m+1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4（m+1）＞0，
解得m＜0．
故选：A．
9．（3分）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．75°
【解答】解：如图所示：
∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∠ECD＝60°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠ECD＝30°，
∵∠α是△ACD的一个外角，
∴∠α＝∠A+∠ACD＝75°．
故选：D．
10．（3分）如图①，在▱ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动，设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的a等于（ ）
A．3 B．4 C．14 D．18
【解答】解：由图②知，BC＝6，CD＝14﹣6＝8，BD＝18﹣14＝4，
过点B作BH⊥DC于点H，
设CH＝x，则DH＝8﹣x，
则BH2＝BC2﹣CH2＝BD2﹣DH2，即：BH2＝42﹣（8﹣x）2＝62﹣x2，
解得：BH＝，
则a＝y＝S△ABP＝DC×HB＝×8×＝3，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：4﹣m2＝ （2+m）（2﹣m） ．
【解答】解：原式＝（2+m）（2﹣m），
故答案为：（2+m）（2﹣m）．
12．（3分）不等式组的解集是 x≥2 ．
【解答】解：，
由①得，x＞﹣1
由②得，x≥2；
∴不等式组的解集为x≥2．
故答案为：x≥2．
13．（3分）某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是 ．
【解答】解：把3节车厢分别记为A、B、C，
画树状图如图：
共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，
则甲和乙从同一节车厢上车的概率为＝．
故答案为：．
14．（3分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，以格点为圆心的三段圆弧围成“叶状”阴影图形，则该阴影图形的面积等于 π﹣2 ．（结果保留π）
【解答】解：如图，连接AB，根据图形可知：
阴影部分面积＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣×2×2＝π﹣2．
故答案为：π﹣2．
15．（3分）如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝4，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是 ．
【解答】解：如图，作M关于OB的对称点M'，作N关于OA的对称点N'，连接OM'，ON'，连接M'N'，即为MP+PQ+QN的最小值，
根据轴对称的定义得∠N'OQ＝∠M'OB＝30°，∠ONN'＝60°，
∴△ONN'为等边三角形，△OMM'为等边三角形，
∴∠N'OM'＝90°，OM'＝OM＝1，ON'＝ON＝4，
在Rt△M'ON'中，M'N'＝＝，
∴MP+PQ+QN的最小值为，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
【解答】解：（1）
＝1+2﹣2×
＝1+2﹣
＝1+；
（2）
＝•
＝．
17．（9分）2023年春节“流浪地球2”在全国各大影院进行热播．为了激发学生的研究兴趣，某校举行了科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生获奖情况进行统计，分为如下5组（满分100分），A组：优秀奖，B组：三等奖．C组：二等奖，D组：一等奖，E组：特等奖，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 400 名学生的成绩；
（2）补全学生成绩频数分布直方图；
（3）学校共有3000名学生，估计该校荣获一等奖及特等奖的学生共有多少人？
（4）学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
【解答】解：（1）本次调查一共随机抽取的学生有96÷24%＝400（名）．
故答案为：400．
（2）B组的学生人数m＝400×15%＝60（人），
∴E组的学生人数为400﹣20﹣60﹣96﹣144＝80（人）．
补全学生成绩频数分布直方图如图所示．
（3）3000×＝1680（人）．
∴估计该校荣获一等奖及特等奖的学生大约共有1680人．
（4）设两名男生分别记为A，B，三名女生分别记为C，D，E，
画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果有：AC，AD，AE，BC，BD，BE，CA，CB，DA，DB，EA，EB，共12种，
∴抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为＝．
18．（9分）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（a≠0）的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD＝8，sin∠AOD＝，且点B的坐标为（n，﹣2）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）请直接写出满足kx+b＞的x的取值范围；
（3）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，直接写出所有符合条件的E点坐标．
【解答】解：∵AD⊥x轴，
∴∠ADO＝90°，
在Rt△AOD中，AD＝8，
∴sin∠AOD＝＝＝，
∴OA＝10，
根据勾股定理得，OD＝＝＝6，
∵点A在第二象限，
∴A（﹣6，8），
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴a＝﹣6×8＝﹣48，
∴反比例函数解析式为y＝﹣，
∵点B（n，﹣2）在反比例函数y＝﹣上，
∴﹣2n＝﹣48，
∴n＝24，
∴B（24，﹣2），
∵点A（﹣6，8），B（24，﹣2）在直线y＝kx+b上，
∴，
∴，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+6；
（2）由图象知，满足kx+b＞的x的取值范围为x＜﹣6或0＜x＜24；
（3）设点E的坐标为（0，m），
∵A（﹣6，8），O（0，0），
∴OE＝|m|，OA＝10，AE＝，
∵△AOE是等腰三角形，
∴①当OA＝OE时，|m|＝10，
∴m＝±10，
∴E（0，10）或（0，﹣10），
②当OA＝AE时，10＝，
∴m＝16或m＝0（舍），
∴E（0，16），
③当OE＝AE时，|m|＝，
∴m＝4，
∴E（0，4），
即：满足条件的点E的坐标为（0，10）或（0，﹣10）或（0，16）或（0，4）．
19．（9分）某中学数学实践小组利用节假日时间到现场测量一古建筑的牌匾悬挂的高度，如图1，大门上悬挂着巨大的匾额，图2中的线段BC就是悬挂在墙壁AM上的匾额的截面示意图．已知BC＝2米，∠MBC＝37°．他们在该古建筑底部所在的平地上，选取两个不同测量点D、E，分别测量了该牌匾端点的仰角以及这两个测量点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测量点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．
测量数据
测量项目
第一次
第二次
平均值
∠ADC
43°
47°
45°
∠AEB
54.2°
51.8°
53°
D、E之间的距离
4.3m
4.5m
……
……
……
……
……
（1）D、E之间距离的平均值是 4.4m ．
（2）求匾额悬挂的高度AB的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）
【解答】解：（1）D、E之间距离的平均值是（4.3+4.5）＝4.4（m），
故答案为：4.4m；
（2）过点C作CN⊥AB，CF⊥AD，垂足分别为N、F，如图所示：
在Rt△BCN中，∠MBC＝37°，
CN＝BC•sin∠MBC≈2×＝1.2（米），
BN＝BC×cos37°≈2×＝1.6（米），
在Rt△ABE中，∠ABE＝90°﹣∠AEB＝90°﹣53°＝37°，
AE＝AB•tan∠ABE＝AB×tan37°＝AB×tan37°≈AB，
∵∠ADC＝45°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴CF＝DF，
∴BN+AB＝AD﹣AF＝AD﹣CN，
即：1.6+AB≈AB+4.4﹣1.2，
解得：AB＝6.4（米），
答：匾额悬挂的高度AB的长约为6.4米．
20．（9分）某商品经销店欲购进A、B两种纪念品，用360元购进的A种纪念品与用450元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比A种纪念品的进价贵10元．
（1）求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元？
（2）若该商店A种纪念品每件售价50元，B种纪念品每件售价65元，这两种纪念品共购进200件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于2400元，求A种纪念品最多购进多少件？
【解答】解：（1）设A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价为（x+10）元．
根据题意得：＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意，
则x+10＝50．
答：A种纪念品每件的进价为40元，B种纪念品每件的进价为50元．
（2）设A种纪念品购进a件，则B种纪念品购进（200﹣a）件，
根据题意得：（50﹣40）a+（65﹣50）（200﹣a）≥2400，
解得：a≤120．
答：A种纪念品最多购进120件．
21．（9分）掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为m．当水平距离为4m时，实心球行进至最高点5m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于9.7m时，即可得满分10分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．
【解答】解：（1）根据题意设y关于x的函数表达式为y＝a（x﹣4）2+5，
把（0，）代入解析式得：＝a（0﹣4）2+5，
解得：a＝﹣，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣（x﹣4）2+5；
（2）该男生在此项考试中不能得满分，理由：
令y＝0，则﹣（x﹣4）2+5＝0，
解得：x1＝9，x2＝﹣1（舍去），
∵9＜9.7，
∴该男生在此项考试中不能得满分．
22．（10分）预警三角标志牌用于放置在车道上，告知后方来车前有停置车辆，如图所示1所示．贝贝想制作类似此标志的图形，先使用反光材料设计一个物件，如图2所示，其中四边形ABCD为长方形，、分别以AB、CD为直径的半圆，且灰色部分为反光区域．接着，将三个图2的物件以图3的方式组合并固定，其中固定点O1、O2、O3皆与半圆的圆心重合，且各半圆恰好与长方形的长边相切，而在图3左下方的局部放大图中，B、E皆为其切点，AB、EF皆为直径．
请根据上述资讯，回答下列问题：
（1）图3中∠AO1F的度数为多少？
（2）根据图3的组合方式，求出可看见的反光区域面积为多少？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案．
【解答】解：（1）如图3，由题意可知，∠1＝60°＝∠APF，
∵PA、PF是⊙O1的切线，A、F为切点，
∴PA＝PF，∠O1AP＝∠O1FP＝90°，
在四边形AO1FP中，
∠AO1F＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
（2）如图3，由题意可知，AB＝4，连接O1P，则∠APO1＝∠FPO1＝30°，
在Rt△APO1中，PA＝AO1＝2（公分），
图3不规则图形PAEBF的面积为：S大扇形OAEBF+S四边形PAOF＝+×2×2×2＝+4（平方公分），
如图2，图2的面积为：π×22+45×4＝4π+180（平方公分），
由题意可知，S反光区域＝3S图2﹣3S图3不规则图形
＝3（4π+180）﹣3（+4）
＝12π+540﹣8π﹣12
＝4π+540﹣12（平方公分），
答：可看见的反光区域面积为（4π+540﹣12）平方公分）．
23．（10分）小明学习了图形的旋转之后，积极思考，利用两个大小不同的直角三角形与同学做起了数学探究活动．如图1，在△ABC与△DEF中，AC＝BC＝a，∠C＝90°，DF＝EF＝b，（a＞b），∠F＝90°．
【探索发现】将两个三角形顶点C与顶点F重合，如图2，将△DEF绕点C旋转，他发现BE与AD的数量关系一直不变，则线段BE与AD具有怎样的数量关系，请说明理由；
【深入思考】将两个三角形的顶点C与顶点D重合，如图3所示将△DEF绕点C旋转．
①当B、F、E三点共线时，连接BF、AE，线段BF、CF、AE之间的数量关系为 当点F在BE上时，BF＝AE+CF；当点F在BE的延长线上时，BF＝AE﹣CF ；
②如图4所示，连接AF、AE，若线段AC、EF交于点O，试探究四边形AECF能否为平行四边形？如果能，求出a、b之间的数量关系，如果不能，试说明理由．
【拓展延伸】如图5，将△DEF绕点C旋转，连接AF，取AF的中点M，连接EM，则EM的取值范围为 ≤EM≤ （用含a、b的不等式表示）．
【解答】解：【探究发现】BE＝AD，BE⊥AD，理由如下：
如图1，
∵∠ACB＝∠AFD＝90°，
∴∠ACB﹣∠ACE＝∠AFD﹣∠ACE，
∴∠BCE＝∠AFD，
在△BCE和△AFD中，
，
∴△BCE≌△AFD（SAS），
∴BE＝AD；
【深入思考】①如图2，
当点F在线段BE上时，BF＝AE+CF，理由如下：
在FB上截取FG＝EF，可得△CGE是等腰直角三角形，
∴CF＝FG＝EF，
由【探究发现】得：BG＝AE，
∴BF＝BG+GF＝AE+CF；
故答案为：BF＝AE+CF；
如图3，
当点F在BE的延长线上时，BF＝AE﹣CF，理由如下：
延长BF至G，使FG＝CF，连接CG，
由上可得，
BG＝AE，
∴BF＝BG﹣FG＝AE﹣CF，
②四边形AECF可以为平行四边形，
此时OF＝OE＝，OC＝OA＝，
∵∠CFO＝90°，
∴OC2＝CF2+OF2＝b2+（2＝，
∴＝，
∴a＝b；
【拓展延伸】如图3，
延长FE至O，使EO＝EF，连接OA，
∴EM＝，
在Rt△COF中，OF＝2EF＝2b，CF＝b，
∴OC＝，
∴点O在以C为圆心，b的圆上运动，
∴当点O在AC的延长线上时，AO最大，最大值为：a+，
当点O在射线CA上时，AO最小，最小值为|a﹣|，
∴EM最大＝，EM最小＝，
故答案为：≤EM≤．
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