2021-2022学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期中数学试卷（a卷）

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2021-2022学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期中数学试卷（A卷）
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题意）
1．（5分）已知复数（i为虚数单位），则z的共轭复数＝（　　）
A．2+3i B．2﹣4i C．3+3i D．2+4i
2．（5分）已知向量，满足，且．则向量与向量的夹角是（　　）
A． B． C． D．
3．（5分）函数f（x）＝（﹣1）sinx图象的大致形状是（　　）
A． B．
C． D．
4．（5分）已知a∈R，“实系数一元二次方程x2+ax+＝0的两根都是虚数”是“存在复数z同时满足|z|＝2且|z+a|＝1”的（　　）条件．
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充分必要 D．既非充分又非必要
5．（5分）如图，棱长为2正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O为底面AC的中心，点P在侧面BC1内运动且D1O⊥OP，则点P到底面ABCD的距离与它到点B的距离之和最小是（　　）

A． B． C． D．
6．（5分）已知复数z满足：z2＝+6i（i为虚数单位），且z在复平面内对应的点位于第三象限，则复数的虚部为（　　）
A．2i B．3 C．i D．
7．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若S△ABC＝（其中S△ABC表示△ABC的面积），且（+）•＝0，则△ABC的形状是（　　）
A．有一个角是30°的等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
8．（5分）向量的运算包含点乘和叉乘，其中点乘就是大家熟悉的向量的数量积．现定义向量的叉乘：给定两个不共线的空间向量与，规定：①为同时与，垂直的向量；②，，三个向量构成右手系（如图1）；③|×|＝||||sin＜，＞；④若，，则，其中．如图2，在长方体中ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝AD＝2，AA1＝3，则下列结论正确的是（　　）

A．
B．
C．
D．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积
二、多项选择题（每题有两个或者两个以上正确答案，每题5分，少选得3分，共20分）
（多选）9．（5分）定义：，两个向量的叉乘×＝||•||•sin＜，＞，则以下说法正确的是（　　）
A．若×＝0，则∥
B．λ（×）＝（λ）×
C．若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于×
D．若×＝，•＝1，则|+|的最小值为
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝（sinx+cosx）|sinx﹣cosx|，下列说法正确的是（　　）
A．f（x）是周期函数
B．若|f（x1）|+|f（x2）|＝2，则
C．f（x）在区间上是增函数
D．函数g（x）＝f（x）+1在区间[0，2π]上有且仅有1个零点
（多选）11．（5分）设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（　　）
A．若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i
B．若点Z的坐标为（﹣1，1），则z+1是纯虚数
C．若，则z的虚部为﹣2i
D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为π
（多选）12．（5分）已知△ABC的内角分别为A，B，C，满足sinA：sinB：sinC＝ln2：ln4：lnt（t＞0），且＝m2（m∈R），则以下说法中正确的有（　　）
A．若△ABC为直角三角形，则
B．若，则△ABC为等腰三角形
C．若t＝4，则△ABC的面积为
D．若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13．（5分）在△ABC中，点D满足，当E点在线段AD上移动时，若，则t＝（λ﹣1）2+μ2的最小值是 　 　．
14．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2c﹣b）cosA＝acosB，a＝2，则△ABC外接圆的面积为 　 　．
15．（5分）已知i是虚数单位，则＝　 　．
16．（5分）半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．以正方体每条棱的中点为顶点构造一个半正多面体，如图，它由八个正三角形和六个正方形构成，若它的所有棱长都为1，则该半正多面体外接球的表面积为 　 　；若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该正四面体体积最小值为 　 　．

四、解答题（共6小题，满分0分）
17．已知复数z＝m2+m﹣2+（m﹣1）i（m∈R），其中i为虚数单位．
（1）若z是纯虚数，求实数m的值；
（2）若m＝2，设＝a+bi（a，b∈R），试求a+b的值．
18．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝atanB，且A为钝角．
（1）证明：A﹣B＝；
（2）求sinB+sinC的取值范围．
19．已知函数，其中x∈R．
（1）求使得的取值范围；
（2）△ABC为锐角三角形，O为其外心，，令，求实数t的取值范围．
20．重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知∠AOB＝，弓形花园的弦长|AB|＝2，记弓形花园的顶点为M，∠MAB＝∠MBA＝，设∠OBA＝θ．

（Ⅰ）将|OA|，|OB|用含有θ的关系式表示出来；
（Ⅱ）该山庄准备在M点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计OA、OB的长度，才使得喷泉M与山庄O的距离的值最大？
21．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．
在如图所示的阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，点E是PC的
中点，连接DE，BD，BE．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）记阳马P﹣ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值．
（理科专用）（Ⅲ）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．

22．设O为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为f（x）＝asinx+bcosx称为函数f（x）＝asinx+bcosx的“相伴向量“．
（1）设函数，求函数g（x）的相伴向量；
（2）记的“相伴函数“为f（x），若方程在区间[0，2π]上有且仅有四个不同的实数解，求实数k的取值范围；
（3）已知点M（a，b）满足a2﹣4ab+3b2＜0，向量的“相伴函数”f（x）在x＝x0处取得最大值，当点M运动时，求tan2x0的取值范围．

2021-2022学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期中数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题意）
1．（5分）已知复数（i为虚数单位），则z的共轭复数＝（　　）
A．2+3i B．2﹣4i C．3+3i D．2+4i
【分析】先利用复数的运算法则化简z，再求出其共轭复数．
【解答】解：＝＝＝2﹣3i，
∴z的共轭复数＝2+3i，
故选：A．
【点评】本题主要考查了复数的运算，属于基础题．
2．（5分）已知向量，满足，且．则向量与向量的夹角是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据条件可求出，根据可得出，然后进行数量积的运算即可求出的值．进而可求出的值，从而可求出与的夹角．
【解答】解：∵，，
∴＝，
∴，
∴，
又，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了根据向量的坐标求向量长度的方法，向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
3．（5分）函数f（x）＝（﹣1）sinx图象的大致形状是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由函数的奇偶性可排除BD，由f（1）＜0，可排除A，进而得出正确选项．
【解答】解：由，可得，且函数的定义域为R，
则函数f（x）为偶函数，故可排除选项B，D；
又，故可排除A．
故选：C．
【点评】本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．
4．（5分）已知a∈R，“实系数一元二次方程x2+ax+＝0的两根都是虚数”是“存在复数z同时满足|z|＝2且|z+a|＝1”的（　　）条件．
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充分必要 D．既非充分又非必要
【分析】x2+ax+＝0的两根都是虚数，说明该方程在实数范围内无实根，复数模通常考虑其几何意义解题．
【解答】解：∵实系数一元二次方程x2+ax+＝0的两根都是虚数，
∴Δ＝a2﹣9＜0，∴﹣3＜a＜3；
又x2+y2＝4表示以（0，0）为圆心，以2为半径的圆；
而（x+a）2+y2＝1是以（﹣a，0）为圆心，以1为半径的圆．
可知复平面上的圆x2+y2＝4和圆（x+a）2+y2＝1有公共交点，
所以，实数a∈[﹣3，﹣1]∪[1，3]，
故选：D．
【点评】实系数一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根都是虚数时，则方程无实根，即判别式Δ＜0．注意端点值的取舍．
5．（5分）如图，棱长为2正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O为底面AC的中心，点P在侧面BC1内运动且D1O⊥OP，则点P到底面ABCD的距离与它到点B的距离之和最小是（　　）

A． B． C． D．
【分析】由题意画出图形，由直线与平面垂直的判定可得P的轨迹，再由三点共线取得最小值，计算可得所求最小值．
【解答】解：如图，
由正方体性质知，当P位于C点时，D1O⊥OC，
当P位于BB1 的中点P1 时，由已知得，DD1＝2，DO＝BO＝，
BP1＝B1P1＝1，B1D1＝2 ，
求得OD1＝＝，OP1＝＝，D1P1＝＝3．
∴OD12+OP12＝D1P12，得OD1⊥OP1．
又OP1∩OC＝O，OP1⊂平面OP1 C，OC⊂平面OP1 C，
∴D1O⊥平面OP1 C，得到P的轨迹在线段P1C上．
过B作关于CP1的对称点B'，过P作PH⊥BC于H，
当B'，P，H三点共线时，点P到底面AC的距离与它到点B的距离之和取得最小值．
在直角三角形P1BC中，BC＝2，P1B＝1，P1C＝＝，
BB'＝，所以B'H＝BB'sin∠HBB'＝×＝，
故选：A．

【点评】本题考查空间线面垂直的判断和性质，以及三点共线取得最值的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
6．（5分）已知复数z满足：z2＝+6i（i为虚数单位），且z在复平面内对应的点位于第三象限，则复数的虚部为（　　）
A．2i B．3 C．i D．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．
【解答】解：设z＝a+bi，（a，b∈R），
因为z在复平面内对应的点位于第三象限，
所以a＜0，b＜0，
因为z2＝a2﹣b2+2abi＝+6i，
所以＝a2﹣b2，2ab＝6，
故a＝﹣2，b＝﹣，
的虚部为．
故选：D．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
7．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若S△ABC＝（其中S△ABC表示△ABC的面积），且（+）•＝0，则△ABC的形状是（　　）
A．有一个角是30°的等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【分析】可作，从而可作出平行四边形ADFE，并且该四边形为菱形，且有，根据条件即可得出AF⊥BC，进而便可得出AB＝AC，即b＝c，这样即可求得，而根据条件可得，从而有，进一步即可得到a2＝2c2＝b2+c2，这样便可得出△ABC的形状．
【解答】解：如图，在边AB，AC上分别取点D，E，使，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，则：
四边形ADFE为菱形，连接AF，DE，AF⊥DE，且；
∵；
∴；
∴AF⊥BC；
又DE⊥AF；
∴DE∥BC，且AD＝AE；
∴AB＝AC，即b＝c；
∴延长AF交BC的中点于O，则：，b＝c；
∴；
∴；
∴4c2﹣a2＝a2；
∴a2＝2c2＝b2+c2；
∴∠BAC＝90°，且b＝c；
∴△ABC的形状为等腰直角三角形．
故选：D．

【点评】考查向量数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，菱形的对角线互相垂直，以及向量垂直的充要条件，等腰三角形的高线也是中线，以及三角形的面积公式，直角三角形边的关系．
8．（5分）向量的运算包含点乘和叉乘，其中点乘就是大家熟悉的向量的数量积．现定义向量的叉乘：给定两个不共线的空间向量与，规定：①为同时与，垂直的向量；②，，三个向量构成右手系（如图1）；③|×|＝||||sin＜，＞；④若，，则，其中．如图2，在长方体中ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝AD＝2，AA1＝3，则下列结论正确的是（　　）

A．
B．
C．
D．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积
【分析】利用向量的叉乘的定义逐项分析即得．
【解答】解：同时与垂直，三个向量构成右手系，
且，所以选项A错误；
根据右手系知：与反向，所以，故选项B错误；
因为，
且与同向共线，
又因为，且与同向共线，
与同向共线，
所以，且与同向共线，
，故选项C正确；
因为长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为2×2×3＝12，
又因为由右手系知向量方向垂直底面向上，与反向，所以，故选项D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了向量的叉乘的定义，属于中档题．
二、多项选择题（每题有两个或者两个以上正确答案，每题5分，少选得3分，共20分）
（多选）9．（5分）定义：，两个向量的叉乘×＝||•||•sin＜，＞，则以下说法正确的是（　　）
A．若×＝0，则∥
B．λ（×）＝（λ）×
C．若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于×
D．若×＝，•＝1，则|+|的最小值为
【分析】根据已知条件，结合叉乘的定义，以及向量的数量积公式，即可依次求解．
【解答】解：对于A，＝0，
若，至少有一个为零向量，则满足，
若，均不为零向量，则＝0，即，同向或反向，即，
综上所述，，故A正确，
对于B，＝，•，
若λ≥0，则＝λ，此时＝，
若λ＜0， •，此时，故B错误，
对于C，若四边形ABCD为平行四边形，
则它的面积等于，即，故C正确，
对于D，＝＝，＝1，两式平方后相加得，，
＝＝≥，其中，
故，当且仅当且，方向相同时，等号成立，
故|+|的最小值为，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，以及叉乘的定义，属于中档题．
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝（sinx+cosx）|sinx﹣cosx|，下列说法正确的是（　　）
A．f（x）是周期函数
B．若|f（x1）|+|f（x2）|＝2，则
C．f（x）在区间上是增函数
D．函数g（x）＝f（x）+1在区间[0，2π]上有且仅有1个零点
【分析】由已知写出分段函数，作出其图象，结合图象逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：f（x）＝（sinx+cosx）|sinx﹣cosx|＝，
其图象如图：

由图可知，f（x）是周期为2π的周期函数，故A正确；
若|f（x1）|+|f（x2）|＝2，由|f（x1）|≤1，|f（x2）|≤1，
则只有|f（x1）|＝|f（x2）|＝1，即x1，x2只能是函数的最值点的横坐标，
可得x1+x2＝（k∈Z），故B正确；
由图象可得，f（x）在区间[﹣，]上不是单调函数，故C错误；
函数g（x）＝f（x）+1的图象，是把y＝f（x）的图象向上平移1个单位得到的，
则在区间[0，2π]上有且仅有2个零点，故D错误．
∴说法正确的是AB．
故选：AB．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查三角函数的图象与性质，正确作出分段函数的图象是关键，是中档题．
（多选）11．（5分）设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（　　）
A．若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i
B．若点Z的坐标为（﹣1，1），则z+1是纯虚数
C．若，则z的虚部为﹣2i
D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为π
【分析】对于A，结合特殊值法，即可求解，
对于B，结合复数的几何意义，以及纯虚数的定义，即可求解，
对于C，结合复数虚部的定义，即可求解，
对于D，结合复数模公式，即可求解．
【解答】解：对于A，令z＝，满足|z|＝1，但z≠±1或z≠±i，故A错误，
对于B，∵点Z的坐标为（﹣1，1），
∴z＝﹣1+i，
∴z+1＝﹣1+i+1＝i为纯虚数，故B正确，
对于C，，则z的虚部为﹣2，故C错误，
对于D，设z＝a+bi（a，b∈R），
∵，
∴1≤a2+b2≤2，，
∴点Z的集合所构成的图形的面积为，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查复数的性质，考查转化能力，属于基础题．
（多选）12．（5分）已知△ABC的内角分别为A，B，C，满足sinA：sinB：sinC＝ln2：ln4：lnt（t＞0），且＝m2（m∈R），则以下说法中正确的有（　　）
A．若△ABC为直角三角形，则
B．若，则△ABC为等腰三角形
C．若t＝4，则△ABC的面积为
D．若，则
【分析】利用正弦定理边角互化设a＝kln2，b＝kln4＝2kln2，c＝klnt，c＝klnt结合两边和大于第三边求得2＜t＜8，讨论t．判断选项A，利用余弦定理得m的式子判断 BD；利用面积公式判断C，根据题意，依次分析4个结论：
【解答】解：对于A，根据题意，若sinA：sinB：sinC＝ln2：ln4：lnt，
则a：b：c＝ln2：ln4：lnt，故可设a＝kln2，b＝kln4＝2kln2，c＝klnt，k＞0．
则有b⋅a＜c＜b+a，则kln2＜c＜3kln2，变形可得2＜t＜8，
当4＜t＜8时，c最大，若△ABC为直角三角形，
则a2+c2﹣b2＝0，即5k2ln22﹣k2ln2t＝0，
解得；
当2＜t≤4时；若△ABC为直角三角形，则a2+c2﹣b2＝0，
即3k2ln22﹣k2ln2t＝0，
解得，
综上：或，
故 A 错；
由题意，，
∴．
若，则，
解得t＝4，故b＝c，△ABC为等腰三角形；故B正确；
对于C，当t＝4，a＝kln2时，则b＝kln4，c＝klnt＝kln4，
则有b＝c＝2a，此时等腰△ABC底边上的高为，
三角形面积为，
故C错；
对于D，当，则有a2+b2﹣c2＜0，即5k2ln22﹣c2＜0，解得，由选项 A，B 的解析知kln2＜c＜3kln2，
综合两式得，故，
选项D正确；
综合可得BD正确；
故选：BD．
【点评】本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13．（5分）在△ABC中，点D满足，当E点在线段AD上移动时，若，则t＝（λ﹣1）2+μ2的最小值是 　　．
【分析】根据共线向量基本定理可得到存在实数k，，0≤k≤1，然后根据已知条件及向量的加，减法的几何意义即可得到，
从而得到，，代入t，进行配方即可求出t的最小值．
【解答】解：如图，

E在线段AD上，所以存在实数k使得；
＝；则

∴，
∴
＝，
∴时，t取最小值．
故答案为：．
【点评】本题考查共线向量基本定理，向量的加法，减法的几何意义，以及平面向量的基本定理，配方法求函数的最值，属于中档题．
14．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2c﹣b）cosA＝acosB，a＝2，则△ABC外接圆的面积为 　　．
【分析】由正弦定理和三角函数公式可得cosA，进而可求得A的值，利用正弦定理可求三角形外接圆的半径，进而根据圆的面积公式即可求解．
【解答】解：∵（2c﹣b）cosA＝acosB，
∴由正弦定理可得（2sinA﹣sinB）cosA＝sinAcosB，
变形可得2sinCcosA＝sinBcosA+sinAcosB＝sin（A+B）＝sinC，
∵C为三角形的内角，sinC≠0，
∴cosA＝，可得A＝，
又a＝2，
设△ABC外接圆的半径为R，
∴由正弦定理，可得R＝＝＝，
∴△ABC外接圆的面积S＝πR2＝．
故答案为：．
【点评】本题考查正弦定理，两角和的正弦公式，圆的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
15．（5分）已知i是虚数单位，则＝　　．
【分析】根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
【解答】解：∵，，
∴＝|i1011+i2022|＝|（i4）252•i3+（i4）505•i2|＝|﹣1﹣i|＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
16．（5分）半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．以正方体每条棱的中点为顶点构造一个半正多面体，如图，它由八个正三角形和六个正方形构成，若它的所有棱长都为1，则该半正多面体外接球的表面积为 　4π　；若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该正四面体体积最小值为 　8　．

【分析】该半正多面体外接球的半径为1，其表面积为4π．若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该半正多面体的外接球是正四面体的内切球时，该正四面体体积最小．
【解答】解：由题意知，该半正多面体外接球的半径为1，其表面积为4π．
若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，
则该半正多面体的外接球是正四面体的内切球时，该正四面体体积最小．
此时，设正四面体的棱长为a，则正四面体的高为a，
则有，
解得，．
故答案为：4π，．
【点评】本题考查半正多面体外接球的表面积、正四面体体积最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．
四、解答题（共6小题，满分0分）
17．已知复数z＝m2+m﹣2+（m﹣1）i（m∈R），其中i为虚数单位．
（1）若z是纯虚数，求实数m的值；
（2）若m＝2，设＝a+bi（a，b∈R），试求a+b的值．
【分析】（1）根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．
（2）根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的运算法则，即可求解．
【解答】解：（1）∵z是纯虚数，
∴，解得m＝﹣2．
（2）若m＝2，则z＝4+i，
故＝＝＝，
∴，b＝，
∴．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题．
18．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝atanB，且A为钝角．
（1）证明：A﹣B＝；
（2）求sinB+sinC的取值范围．
【分析】（1）直接利用同角三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出结果．
（2）利用（1）的结论，对关系式进行恒等变换转化成二次函数的形式，再根据定义域求出结果．
【解答】（1）证明：由b＝atan B及正弦定理得，sin A＝cos B …（2分）
所以sin A＝sin．
又因为A为钝角，所以B为锐角，
所以+B∈（，π）…（4分）
则A＝+B，即A﹣B＝．…（5分）
解：（2）由（1）知，C＝π﹣（A+B）＝﹣2B＞0，所以B∈（0，）．…（7分）
于是sin B+sin C＝sin B+sin＝sin B+cos 2B＝﹣2sin2B+sin B+1
＝﹣22+．…（9分）
因为0＜B＜，所以0＜sin B＜，
因此＜﹣22+≤．…（11分）
由此可知sin B+sin C的取值范围是（，]…（12分
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，二次函数解析式的应用，重点考查学生对关系式的恒等变换问题．
19．已知函数，其中x∈R．
（1）求使得的取值范围；
（2）△ABC为锐角三角形，O为其外心，，令，求实数t的取值范围．
【分析】（1）由三角恒等变换及解三角不等式即可得解；
（2）由正弦定理及三角函数求值域问题求解即可．
【解答】解：（1）由题意得，，
令，得，
即，
故x的取值范围为．
（2），则，
又，
则，
则，
由正弦定理，可知，
则，
∴，
又△ABC为锐角三角形，
则，
∴，则，
∴t∈（﹣2，2），
即实数t的取值范围为（﹣2，2）．
【点评】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了三角恒等变换及正弦定理，属中档题．
20．重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知∠AOB＝，弓形花园的弦长|AB|＝2，记弓形花园的顶点为M，∠MAB＝∠MBA＝，设∠OBA＝θ．

（Ⅰ）将|OA|，|OB|用含有θ的关系式表示出来；
（Ⅱ）该山庄准备在M点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计OA、OB的长度，才使得喷泉M与山庄O的距离的值最大？
【分析】（Ⅰ）在△OAB中，结合正弦定理可将|OA|，|OB|用θ来表示；
（Ⅱ）先求出BM，在△OBM中，由余弦定理可求出OM用θ来表示，再利用三角恒等变换结合三角函数图象求最值即可得到答案．
【解答】解：（Ⅰ）在△OAB中，
由正弦定理可知，则，
由正弦定理可得，
则 ＝＝．
（Ⅱ）∵，∴AM＝BM＝2，
在△OMB中，由余弦定理可知

＝
＝
＝
＝，
∵，∴，∴，
当 时，即时，|OM|取最大值，
＝＝＝，
＝＝＝，
即当时，|OM|取最大值．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质，考查正弦定理在解三角形中的应用，考查数学建模的核心素养，属于中档题．
21．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．
在如图所示的阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，点E是PC的
中点，连接DE，BD，BE．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）记阳马P﹣ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值．
（理科专用）（Ⅲ）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．

【分析】（Ⅰ）推导出PD⊥BC，BC⊥CD，BC⊥DE，DE⊥PC，由此能证明DE⊥平面PBC．从而得到四面体EBCD是鳖臑．其余四个直角分别为∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB．
（Ⅱ）PD是阳马P﹣ABCD的高，DE是鳖臑D﹣BCE的高，BC⊥CE，DE＝CE＝，由此能求出的值．
（Ⅲ）在面PBC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ABCD的交线，∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，由此能求出结果．
【解答】证明：（Ⅰ）∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，
由底面ABCD为长方形，得BC⊥CD，
∵PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD，
∵DE⊂平面PCD，∴BC⊥DE，
又∵PD＝CD，点E是PC 的中点，∴DE⊥PC，
∵PC∩BC＝C，∴DE⊥平面PBC．
由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，
∴四面体EBCD是鳖臑．
其余四个直角分别为∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB．
解：（Ⅱ）由已知，PD是阳马P﹣ABCD的高，
∴，
由（Ⅰ）知，DE是鳖臑D﹣BCE的高，BC⊥CE，
∴，
在Rt△PDC中，∵PD＝CD，
点E是PC的中点，
∴DE＝CE＝，
∴＝＝＝4．
（Ⅲ）如图，在面PBC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ABCD的交线．
由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．
又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB＝P，所以DG⊥平面PBD．
故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，
设PD＝DC＝1，BC＝λ，有BD＝，
在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DPF＝∠FDB＝，
则 tan＝tan∠DPF＝＝＝，
解得λ＝．所以＝＝．

【点评】本题考查线面垂直的证明，考查四面体EBCD是否为鳖臑的判断，考查两个几何体的体积的比值的求法，考查线段比值的求法，是中档题，解时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
22．设O为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为f（x）＝asinx+bcosx称为函数f（x）＝asinx+bcosx的“相伴向量“．
（1）设函数，求函数g（x）的相伴向量；
（2）记的“相伴函数“为f（x），若方程在区间[0，2π]上有且仅有四个不同的实数解，求实数k的取值范围；
（3）已知点M（a，b）满足a2﹣4ab+3b2＜0，向量的“相伴函数”f（x）在x＝x0处取得最大值，当点M运动时，求tan2x0的取值范围．
【分析】（1）由两角和差可得g（x）＝﹣sinx+cosx，进而可得函数g（x）的相伴向量．
（2）根据题意可得f（x）＝2cosx，则方程f（x）＝k+1﹣2|sinx|转化为k＝2cosx﹣1+2|sinx|，x∈[0，2π]，有四个实数解，令g（x）＝2cosx﹣1+2|sinx|，x∈[0，2π]，作出分段函数g（x）的图象，得出函数g（x）与y＝k有四个交点时，实数k的取值范围．
（3）根据题意可得f（x）＝asinx+bcosx＝sin（x+φ），其中cosφ＝，sinφ＝，tanφ＝，当x0＝2kπ+﹣φ（k∈Z）时，f（x）取得最大值，则tan2x0＝，令m＝（a≠b），则（3m2﹣4m+1）a2﹣1＝0，由△≥0，解得m的取值范围，再求出tan2x0＝（≤m＜1）的取值范围．
【解答】解：（1）g（x）＝2sin（﹣x）﹣cos（+x）＝﹣sinx+cosx，
所以函数g（x）的相伴向量＝（﹣，）．
（2）＝（0，2）的“相伴函数”f（x）＝0×sinx+2×cosx＝2cosx，
方程f（x）＝k+1﹣2|sinx|为2cosx＝k+1﹣2|sinx|，x∈[0，2π]
则方程2cosx＝k+1﹣2|sinx|，x∈[0，2π]，有四个实数解，
所以k＝2cosx﹣1+2|sinx|，x∈[0，2π]，有四个实数解，
令g（x）＝2cosx﹣1+2|sinx|，x∈[0，2π]，
①当x∈[0，π]时，g（x）＝2cosx﹣1+2sinx＝4sin（x+）﹣1，
②当x∈（π，2π]时，g（x）＝2cosx﹣1﹣2sinx＝﹣4sin（x﹣）﹣1，
所以g（x）＝，
作出g（x）的图象：

所以函数g（x）与y＝k有四个交点时，实数k的取值范围为[1，3）．
（3）向量的“相伴函数”f（x）＝asinx+bcosx＝sin（x+φ），其中cosφ＝，
sinφ＝，tanφ＝，
当x+φ＝2kπ+，k∈Z，
即x0＝2kπ+﹣φ（k∈Z）时，f（x）取得最大值，
所以tanx0＝tan（2kπ+﹣φ）＝cotφ＝，
所以tan2x0＝＝＝，
令m＝（a≠b），
则（3m2﹣4m+1）a2﹣1＝0，
所以Δ＝4（3m2﹣4m+1）＞0，解得＜m＜1，
因为a2﹣4ab+3b2＜0，
所以1﹣4（）+3（）2＜0，
即3m2﹣4m+1＜0，
所以＜m＜1满足3m2﹣4m+1＜0，
所以tan2x0＝（＜m＜1），
因为y＝m﹣单调递增，
所以m﹣∈（﹣，0），
所以tan2x0∈（﹣∞，﹣）．
【点评】本题考查两角和差的正弦函数，考查二倍角的正切与向量的模，考查综合分析与解不等式的能力，属于难题．
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