新疆乌鲁木齐2020届高三年级第二次诊断性测试理科数学试题 Word版含解析

2020年高三年级第二次诊断性测试

理科数学（问卷）

（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）

注意事项：

1.本卷分为问卷（4页）和答卷（4页），答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上.

2.答卷前，先将答卷密封线内（或答题卡中的相关信息）的项目填写清楚.

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集，，则（    ）

A. 或 B. 或

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用一元二次不等式的解法求出集合，再利用补集的定义求出即可.

【详解】因为不等式的解集为或，

所以集合或，

由补集的定义可知，.

故选：D

【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和补集的定义；考查运算求解能力；属于基础题.

2.设为虚数单位，复数满足，则在复平面内，对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

化简，故，得到答案.

【详解】，则，故.

故对应的点位于第一象限.

故选：.

【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，复数对应象限，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

3.已知是第二象限角，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用诱导公式和同角三角函数的基本关系进行化简求值即可.

【详解】因为，由诱导公式可得，，

因为，是第二象限角，

所以

故选：A

【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系；考查运算求解能力；属于中档题.

4.我们正处于一个大数据飞速发展的时代，对于大数据人才的需求也越来越大，其岗位大致可分为四类：数据开发、数据分析、数据挖掘、数据产品.某市2019年这几类工作岗位的薪资（单位：万元/月）情况如下表所示：

由表中数据可得该市各类岗位的薪资水平高低情况为（    ）

A. 数据挖掘＞数据开发＞数据产品＞数据分析

B. 数据挖掘＞数据产品＞数据开发＞数据分析

C. 数据挖掘＞数据开发＞数据分析＞数据产品

D 数据挖掘＞数据产品＞数据分析＞数据开发

【答案】B

【解析】

【分析】

计算每个岗位的平均工资，比较得到答案.

【详解】数据开发的平均工资为：；

数据分析的平均工资为：；

数据挖掘的平均工资为：；

数据产品的平均工资为：；

故数据挖掘＞数据产品＞数据开发＞数据分析.

故选：.

【点睛】本题考查了数据的平均值，意在考查学生的计算能力和应用能力.

5.双曲线的右焦点为，点为的一条渐近线上的点，为坐标原点.若，则 (  )

A.  B.  C. 1 D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】

由双曲线方程得到渐近线方程，以及右焦点坐标，再由，求出点坐标，进而可求出三角形面积.

【详解】因为双曲线方程为，

所以其渐近线方程为，右焦点为，

因为点为的一条渐近线上的点，不妨设点在上，且点在第一象限；

又，所以为等腰三角形，

所以点横坐标为，因此，

所以.

故选C

【点睛】本题主要考查双曲线中的三角形面积问题，熟记抛物线的简单性质即可，属于常考题型.

6.已知是边长为4的等边三角形，为的中点，以为折痕，将折成直二面角，则过，，，四点的球的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

如图所示：易知，，两两垂直，为中点，为中点，故球心在平面的投影为，，计算表面积得到答案.

【详解】如图所示：易知，，两两垂直，为中点，为中点，

故球心在平面的投影为，，，，

设球半径为，则在中：，故.

故选：.

【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

7.下列函数是偶函数，且在上是增函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用偶函数的定义、幂函数、指数函数和对数函数的单调性进行逐项判断即可.

【详解】对于选项A：因为，所以其定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故选项A排除；

对于选项B：因为，所以其定义域为，不关于原点对称，所以函数

为非奇非偶函数，故选项B排除；

对于选项C：因为，所以其定义域为关于原点对称，

因为，所以函数为奇函数，

故选项C排除；

对于选项D：因为，所以其定义域为关于原点对称，

因为，所以函数为上的偶函数，

又当时，，又因为指数函数为上的增函数，

所以函数为上的增函数，故选项D符合题意.

故选：D

【点睛】本题考查函数奇偶性的判断和幂函数、指数函数和对数函数的单调性；考查运算求解能力；熟练掌握基本初等函数的图象与性质是求解本题的关键；属于中档题.

8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体棱长的最大值为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

如图所示：在长方体中，满足三视图，计算棱长得到答案.

【详解】如图所示：在长方体中，满足三视图.

则，，，

.

故选：.

【点睛】本题考查了三视图，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

9.惰性气体分子为单原子分子，在自由原子情形下，其电子电荷分布是球对称的.负电荷中心与原子核重合，但如两个原子接近，则彼此能因静电作用产生极化（正负电荷中心不重合），从而导致有相互作用力，这称为范德瓦尔斯相互作用.今有两个相同的惰性气体原子，它们的原子核固定，原子核正电荷的电荷量为，这两个相距为的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能，其中为静电常量，，分别表示两个原子负电中心相对各自原子核的位移，且和都远小于，当远小于1时，，则的近似值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

把的表达式中的分子分母同时乘以,然后对括号中的每个分式的分子分母同时除以，结合题中的数据和都远小于，当远小于1时，，化简求解即可.

【详解】根据题意，

，

因为和都远小于，当远小于1时，，

所以

，

故选：B

【点睛】本题考查的近似计算；考查运算求解能力和逻辑推理能力；对的表达式进行适当的变形，充分运用题中的数据是求解本题的关键；属于中档题.

10.设，，，则下列正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意知，，利用幂函数的单调性可得，，构造函数，通过求导判断函数的单调性，利用函数判断的大小关系即可.

【详解】由题意知，，因为幂函数在上单调递增，

所以，即；令，

则，所以时，，

当时，，当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

因为，所以，，

所以，即，所以，

综上可知，.

故选：C

【点睛】本题考查通过求导判断函数的单调性、利用函数的单调性比较大小；考查运算求解能力和函数与方程的思想；通过构造函数，利用函数的单调性比较的大小是求解本题的关键；属于难度较大型试题.

11.将函数图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若对于满足的，，有，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

，，故，解得答案.

【详解】，

，，

 则，故.

故选：.

【点睛】本题考查了三角函数平移，根据函数最值求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.

12.已知函数，，若恰好有3个零点，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

画出函数图像，如图所示，讨论和两种情况，判断分段函数的零点个数，计算得到答案.

【详解】当时，，则，函数在上单调递减，在上单调递增，，画出的图像，如图所示：

当时，在上有3个零点，在没有零点，满足；

当时，在上有一个零点，故在上有两个零点，故.

综上所述：.

故选：.

【点睛】本题考查了根据零点个数求参数，意在考查学生的计算能力，作图能力，分类讨论能力和综合应用能力.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.在二项式的展开式中，常数项的数值为________.

【答案】60

【解析】

【分析】

通过二项式展开式的通项，令的指数等于零，求得的值，从而求得常数项.

【详解】

当，即时，常数项为,故填

【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式.需要将二项展开式公式化简后，再来求指定项的值.属于基础题.

14.在中，，，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

利用平面向量加减法的三角形法则和坐标表示求出的坐标，再利用平面向量数量积的坐标表示即可求解.

【详解】如图，在中，，

由平面向量加法的三角形法则知，，

即，所以，

又，，所以，

由平面向量的数量积的坐标表示知，

.

故答案为：

【点睛】本题平面向量加减法的三角形法则和坐标表示、平面向量数量积的坐标表示；考查运算求解能力；熟练掌握平面向量加减法的三角形法则和坐标表示是求解本题的关键；属于中档题.

15.设的角，，的对边分别为，，，已知的面积为，且，则______.

【答案】

【解析】

【分析】

根据面积公式和正弦定理得到，利用和差公式计算得到，再根据展开得到答案.

【详解】，故，即.

，故.

故.

故答案为：.

【点睛】本题考查了正弦定理，面积公式，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

16.已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于，两点.若，，则椭圆的离心率为______.

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意作出图形，设，则，利用椭圆的定义求出的表达式，在中利用余弦定理求出，在中，利用余弦定理求出的表达式，代入离心率公式求解即可.

【详解】根据题意，作图如下：

设，则，由椭圆的定义知，

，，

因为，所以，在中，由余弦定理可得，

，

在中，由余弦定理可得，，

即，解得，

所以，所以椭圆离心率.

故答案为：

【点睛】本题考查椭圆的定义和性质、椭圆中焦点三角形的性质和余弦定理；考查数形结合的思想和运算求解能力；熟练掌握椭圆的定义和性质、椭圆中焦点三角形的性质是求解本题的关键；属于中档题.

三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤.

17.已知数列的前项和为，且满足.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由，可得，，，两式相减得到，利用等比数列通项公式求解即可；

（Ⅱ）结合（Ⅰ）可求出的表达式，进而可得的通项公式，利用裂项相消法求和即可.

【详解】（Ⅰ），令，解得，

，，两式相减，得，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，

所以数列的通项公式为；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，

所以，即，

∴

.

【点睛】本题考查利用与的关系求数列的通项公式、等比数列通项公式和裂项相消法求和；考查运算求解能力；熟练掌握已知与的关系求数列通项的方法和裂项相消法求和是求解本题的关键；属于中档题.

18.如图，在直三棱柱中，，，，分别是和上动点，且.

（1）求证：；

（2）若，求二面角的平面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

【分析】

（1）以点为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立坐标系，设，，得到证明.

（2）平面的法向量，平面的法向量，计算夹角得到答案.

【详解】（1）以点为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立坐标系，

不妨设，则，，，，，.

设，则，，

∴，，

∵，∴，即.

（2）由，得，，

∴，，，

设平面的法向量，∵，，

由，得，令，得，，∴，

∵平面，∴平面的法向量，

∴，所以二面角的余弦值为.

【点睛】本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

19.某流行病爆发期间，某市卫生防疫部门给出的治疗方案中推荐了三种治疗药物，，（，，的使用是互斥且完备的），并且感染患者按规定都得到了药物治疗.患者在关于这三种药物的有关参数及市场调查数据如下表所示：（表中的数据都以一个疗程计）

（1）从感染患者中任取一人，试求其一个疗程被治愈的概率大约是多少？

（2）求感染患者在一个疗程的药物治疗费用的分布列及其数学期望.

【答案】（1）（2）详见解析

【解析】

【分析】

（1）直接利用概率定义公式计算得到答案.

（2）的取值有，，，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.

【详解】（1）；

（2）感染者在一个疗程的药物治疗费是600元的概率为，

治疗费是1000元的概率为；

治疗费是800元的概率为；

分布列为

元.

【点睛】本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.

20.已知：，直线：，动圆与相外切，且与直线相切.设动圆心的轨迹为.

（1）求曲线的方程；

（2）过点的直线与曲线交于，两点（点在点，之间），点满足，求与的面积之和取得最小值时直线的方程.

【答案】（1）（2）或

【解析】

【分析】

（1）根据题意有，化简得到答案.

（2）设方程为，设，，计算，联立方程得到，，利用均值不等式计算得到答案.

【详解】（1）设，根据题意有，化简后，得.

（2）易知直线的斜率存在，且不为零，其方程为，

设，，

，即，∴，

，满足，消去，得，，

.

当且仅当，即或时，

与的面积之和最小，最小值为.

时，，，直线的方程为；

时，，，直线的方程为.

∴与的面积之和最小值直线的方程为或.

【点睛】本题考查了轨迹方程，三角形面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

21.已知.

（1）若曲线在处的切线与坐标轴围成的图形面积为4，求实数的值；

（2）若，求证.

【答案】（1），或（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）求导得到，得到切线方程，，解得答案.

（2），设，求导得到，设零点为，则，得到证明.

【详解】（1）由，∴，又，

∴切线方程为，则，解得，或；

（2）由，易知，

∴当时，，

令，

则，设的零点为，

则，即且，在上递减，上递增，

∴，

∴时，恒成立，从而恒成立，

∴时，总成立.

【点睛】本题考查了函数的切线问题，证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.在平面直角坐标系中，将曲线：上的点按坐标变换，得到曲线，为与轴负半轴的交点，经过点且倾斜角为的直线与曲线的另一个交点为，与曲线的交点分别为，（点在第二象限）.

（Ⅰ）写出曲线的普通方程及直线的参数方程；

（Ⅱ）求的值.

【答案】（Ⅰ），（为参数）；（Ⅱ）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）利用伸缩变换公式，把代入的方程，化简整理即可；由曲线的方程求出点的坐标，利用倾斜角求出其余弦值和正弦值，代入直线参数方程的标准形式即可求解；

（Ⅱ）利用弦长公式求出,联立直线的参数方程和曲线的方程，利用直线参数方程中参数的几何意义求出，进而求出的值.

【详解】（Ⅰ）由题得代入的方程得

：，即的方程为，

因为曲线：，令，则，

因为为与轴负半轴的交点，所以点，

因为直线的倾斜角为，所以，

所以的参数方程为（为参数）；

（Ⅱ）因为，所以直线的方程为，

因为圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为

，

由弦长公式可得，，

将（为参数）代入，整理得，

设，为方程的两个根，则，，

∴.

【点睛】本题考查伸缩变换公式和、直线参数方程的标准形式、利用直线参数的几何意义求弦长；考查运算求解能力；熟练掌握直线参数方程中参数的几何意义是求解本题的关键；属于中档题.

23.已知函数，.

（Ⅰ）当时，求不等式解集；

（Ⅱ）设函数，若函数的图象与函数的图象只有一个公共点，求的取值范围.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）等价于，不等式两边同时平方得到关于的一元二次不等式，利用一元二次不等式解法求解即可；

（Ⅱ）把方程只有一个实数根转化为函数与的图象只有一个交点，分别作出两个函数图象，利用数形结合的思想进行求解即可.

【详解】（Ⅰ）因为，∴不等式即为，两边平方得，

解得，即时，的解集为；

（Ⅱ）由题意知，方程只有一个实根，

即与的图象只有一个交点，

因为，

又的图象由向左或向右平移了个单位，

作图如下：

由图象可知，它们只有一个公共点，则或

【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和利用数形结合思想解决函数交点问题；考查运算求解能力和数形结合思想；熟练掌握含有两个绝对值不等式的解法是求解本题的关键；属于中档题.