2023年广西大学附中、三美学校中考数学模拟试卷（二）（3月份）（含解析）

2023年广西大学附中、三美学校中考数学模拟试卷（二）（3月份）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  实数的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年北京冬奥会高山滑雪比赛在北京延庆区国家高山滑雪中心进行，雪道的总长度为米数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，平行线，被直线所截，，则的度数是(    )
 

A.
B.
C.
D.

7.  一位卖“运动鞋”的经销商到一所学校对名学生的鞋号进行了抽样调查，经销商最感兴趣的是这组鞋号的(    )

A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差

8.  如图，在中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线，分别交、于点、，连接，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

9.  某种商品原来每件售价为元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算例如：则方程的解是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，为内一点，平分，于点，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线对于下列结论：；；；其中；若和均在该函数图象上，且，则其中正确结论的个数共有个．(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）

13.  若二次根式有意义，则应该满足的条件是______．

14.  因式分解： ______ ．

15.  不透明的袋子里装有个只有颜色不同的球，其中个黑球，个白球，搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率是        ．

16.  如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则        ．

17.  用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为______．

18.  已知以为直径的圆，为弧的中点，为弧上任意一点，交于，连接，若，则的最小值为        ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

19.  已知，求代数式的值．

四、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
计算：．

21.  本小题分
如图，在矩形中，是对角线．
实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点，交边于点，交边于点要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母．
猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明．

22.  本小题分
为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．

请根据所给信息，解答以下问题：
表中______，______；
请计算扇形统计图中组对应扇形的圆心角的度数；
已知有四名同学均取得分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．

23.  本小题分
如图，是的直径，点是上异于、的点，连接、，点在的延长线上，且，点在的延长线上，且．
求证：是的切线；
若，，求的长．

24.  本小题分
某超市销售一种商品，每件成本为元，销售人员经调查发现，销售单价为元时，每月的销售量为件，而销售单价每降低元，则每月可多售出件，且要求销售单价不得低于成本．
求该商品每月的销售量件与销售单价元之间的函数关系式；不需要求自变量取值范围
若使该商品每月的销售利润为元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？

25.  本小题分
下面图片是八年级教科书中的一道题．
如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点求证提示：取的中点，连接

请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：______；
如图，若点是边上任意一点不与、重合，其他条件不变．求证：；
在的条件下，连接，过点作，垂足为．
设，当为何值时，四边形是平行四边形，并给予证明．
 

26.  本小题分
如图所示抛物线与轴交于，两点，，其顶点与轴的距离是．
求抛物线的解析式；
设顶点为，将直线绕点顺时针旋转，得到的直线与抛物线交于点，求点的坐标；
点在抛物线上，过点的直线与抛物线的对称轴交于点当与的面积之比为：时，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
实数的倒数是．
故选：．
根据倒数的定义解决此题．
本题主要考查倒数，熟练掌握倒数的定义是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：；
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法．解题的关键是掌握科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案．
【解答】
解：．  

5.【答案】 

【解析】解：点，
点关于原点对称的点为，
故选：．
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．由此可求点关于原点对称的点的坐标．
本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了平行线的性质以及邻补角的定义，正确掌握平行线的性质是解题关键．
直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案．
【解答】
解：，
，

，
．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：根据题意可得：经销商最感兴趣的是这组鞋号中哪个尺码最多，即这组数据的众数．
故选：．
众数是一组数据中出现次数最多的数据，故应注意众数的大小．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义，掌握相关统计量的意义是解答本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线．
，
，
，
．
，
故选B．
由作图可得直线是线段的垂直平分线．然后根据等腰三角形内角和定理即可解决问题．
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：第一次降价后的价格为，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低，为，
则列出的方程是．
故选：．
可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格降低的百分率，把相应数值代入即可求解．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
 

10.【答案】 

【解析】解：已知等式整理得：，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故选：．
根据新定义运算列出分式方程，计算即可求出解．
此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：延长交于，如图，
平分，，
为等腰三角形，
，，
，
，
．
故选：．
延长交于，如图，利用平分，先判断为等腰三角形得到，，再证明，然后计算即可．
本题考查了等腰三角形的判定与性质熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由图可知：图象开口向下，对称轴在轴左侧，图象与轴相交于正半轴，
，，，
，故不正确；
函数图象与轴有两个交点，
，故正确；
该函数图象经过点，
对称轴为直线，
该函数与轴另一个交点坐标为，
当时，，故正确；
对称轴为直线，函数开口向下，
当时，有最大值，
把代入得：，
把代入得：，
，
，则，故正确；
函数开口向下，
离对称轴越远函数值越小，
对称轴为直线，，
，故不正确，
综上：正确的有．
故选：．
分别判断、、的符号，即可判断；根据图象与轴交点个数，即可判断；把代入即可判断；根据该二次函数的最大值，即可判断；根据该函数的开口方向判断其增减性，即可判断．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象和系数的关系．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
解得．
所以应满足的条件是的实数．
故答案为：．
根据被开方数大于等于列式求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件．解题的关键是明确二次根式的被开方数是非负数．
 

14.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
直接利用平方差公式进行分解即可．
此题主要考查了平方差公式分解因式，关键是熟练掌握平方差公式．
 

15.【答案】 

【解析】解：装有个只有颜色不同的球，其中个白球，
从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率．
故答案为：．
直接根据概率公式求解即可．
本题考查的是概率公式，熟知随机事件的概率事件可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：将绕点逆时针旋转得，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
由旋转的性质可得，，由直角三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解本题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：设圆锥的底面圆半径为，依题意，得
，
解得．
故答案为．
圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的底面圆周长扇形的弧长，列方程求解．
本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：、圆锥的母线长为扇形的半径，、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图所示，以为斜边作等腰直角三角形，则，连接，，．

的直径为，为的中点，
，
又，
，
，，
点的运动轨迹为以为圆心，为半径的，
又，为的中点，
是等腰直角三角形，
，
中，，
，
，
的最小值为．
故答案为．
以为斜边作等腰直角三角形，则，依据，可得点的运动轨迹为以为圆心，为半径的，依据中，，即可解决问题．
本题考查了轨迹，等腰直角三角形的性质，圆周角定理以及弧长的计算，正确寻找点的运动轨迹是解决问题的关键．
 

19.【答案】解：原式，
由，得到，
则原式． 

【解析】原式利用完全平方公式，平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】解：

． 

【解析】先算乘除法，再算加减法即可．
本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

21.【答案】解：如图，

，证明如下：
四边形是矩形，
，
，，
是的垂直平分线，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】利用尺规作图线段垂直平分线的作法，进行作图即可；
利用矩形的性质求证，，由线段的垂直平分线得出，即可证明≌，进而得出．
本题考查了基本作图，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法，矩形的性质，全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：，；
  ，
答：扇形统计图中组对应扇形的圆心角为；
将同一班级的甲、乙学生记为、，另外两学生记为、，
列树形图得：

共有种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有种，
甲、乙两名同学都被选中的概率为． 

【解析】

解：本次调查的总人数为人，
则，人，
故答案为：，；
见答案；
见答案．
【分析】
首先根据组频数及其频率可得总人数，再利用频数、频率之间的关系求得、；
组的频率乘以即可求得答案；
列树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中者两人的概率；
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．  

23.【答案】证明：连接，

，
，
，
，
又是的直径，
，
，
，
即，
，
是半径，
是的切线
解：，且，
设，，
，
，
又，，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
即的长为． 

【解析】连接，由等腰三角形的性质得出，由圆周角定理得出，证出，则可得出结论
设，，证明∽，由相似三角形的性质得出，求出的长，则可求出答案．
本题考查了圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定与相似三角形的判定和性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：依题意，得：，
与的函数关系式为；
依题意得：，
即，
解得：，，
，
当该商品每月销售利润为，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为元；
设每月总利润为，依题意得，
，此图象开口向下，
当时，有最大值为元，
为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为元． 

【解析】明确题意，找到等量关系求出函数关系式即可；
根据题意，按照等量关系“销售量售价成本”列出方程，求解即可得到该商品此时的销售单价；
设每月所获利润为，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．
本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：点为的中点，
，
点为的中点，
，
，
故答案为：；
证明：取，连接，

四边形是正方形，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
≌，
；
解：时，四边形是平行四边形，如图，

由知，≌，
，
设，则，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
当时，四边形是平行四边形，
，
解得．
根据点为的中点，可得答案；
取，连接，首先说明是等腰直角三角形，再证明≌，可得答案；
设，则，则，，再利用等腰直角三角形的性质表示的长，利用平行四边形的判定可得只要，即可解决问题．
本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识，取，证明≌是解题的关键．
 

26.【答案】解：，
抛物线的对称轴为直线，
设抛物线的解析式为，
顶点与轴的距离是，
顶点为，
，
抛物线经过原点，
，
，
；

设旋转，得到的直线与轴交于点，对称轴与轴的交点为，
，其顶点与轴的距离是．
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
设直线为，
代入得，
解得，
直线为，
由解得或，
的坐标为；

设直线与轴的交点为，与轴的交点为，
，，
，，
直线与坐标轴的夹角为，
，，
与的面积之比为：，
：：，
：：，
解得或． 

【解析】由题意可得，再将代入求出的值即可求函数的解析式；
通过证得≌，求得，利用待定系数法求得直线的解析式，与抛物线的解析式联立成方程组，解方程组即可求得的坐标；
设直线与轴的交点为，与轴的交点为，则，，由题意可知直线与坐标轴的夹角为，求出，，再由：：，求出的值即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．