第38讲 功与能综合（原卷版）

第38讲功与能综合

1．（2021·甲卷）如图，一倾角为θ的光滑斜面上有50个减速带（图中未完全画出），相邻减速带间的距离均为d，减速带的宽度远小于d；一质量为m的无动力小车（可视为质点）从距第一个减速带L处由静止释放。已知小车通过减速带损失的机械能与到达减速带时的速度有关。观察发现，小车通过第30个减速带后，在相邻减速带间的平均速度均相同。小车通过第50个减速带后立刻进入与斜面光滑连接的水平地面，继续滑行距离s后停下。已知小车与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。

（1）求小车通过第30个减速带后，经过每一个减速带时损失的机械能；

（2）求小车通过前30个减速带的过程中在每一个减速带上平均损失的机械能；

（3）若小车在前30个减速带上平均每一个损失的机械能大于之后每一个减速带上损失的机械能，则L应满足什么条件？

一.知识回顾

1.多过程运动特点：

由三个及三个以上的运动过程组成的复杂运动。

2.解题理论

（1）动力学：涉及到时间、加速度等物理量，可能用到运动学公式和牛顿定律。

（2）动能定理：涉及到变力做功、曲线运动、非匀变速运动等运动过程，可能用到动能定理。

（3）功能关系：

涉及到不同形式能量之间关系或功与能之间关系，可能用到功能关系或能量守恒定律。

3.解题技巧：

（1）仔细审题，弄清有哪几个运动过程，并画简图示意。

（2）对各运动过程要进行受力与运动特点、做功与能量变化分析。

（3）边审题，边提取已知信息或隐含信息，对每个运动过程，列出可能的方程式。

（4）一般要有探索过程，不要企图一步到位，最后根据需要，列出必要的方程或方程组。

4.注意事项

（1）一个方程不能解决问题，就多设内个未知量，列方程组求解。

（2）列方程式时依据要明确，概念要清楚：

如运用动能定理，就涉及到功与动能的关系，不要弹性势能、重力势能列在式中；如运用机械能与系统外力和非保守力做关系时，重力做功或弹簧弹力做功就不要列在式中；如运用能量守恒定律列式，只是寻找能量之间的关系，不要把功写在式中。

二.例题精析

例1．如图，一轻弹簧原长为2R，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A处，另一端位于直轨道上B处，弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为R的光滑圆弧轨道相切于C点，AC＝7R，A、B、C、D均在同一竖直面内。质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，最低到达E点（未画出），随后P沿轨道被弹回，最高点到达F点，AF＝4R，已知P与直轨道间的动摩擦因数μ＝0.25，重力加速度大小为g。（取sin37°，cos37°）

（1）求P第一次运动到B点时速度的大小；

（2）求P运动到E点时弹簧的弹性势能；

（3）改变物块P的质量为m，将P推至E点，从静止开始释放，P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出，求物块在D点处离开轨道前对轨道的压力。

三.举一反三，巩固练习

1. 如图甲所示为一景区游乐滑道，游客坐在坐垫上沿着花岗岩滑道下滑，他可依靠手脚与侧壁间的摩擦来控制下滑速度。滑道简化图如图乙所示，滑道由AB、BC、CD三段组成，各段之间平滑连接。AB段和CD段与水平面夹角为θ1，竖直距离均为h0，BC段与水平面夹角为θ2，竖直距离为h0．一质量为m的游客从A点由静止开始下滑，到达底端D点时的安全速度不得大于，若使用坐垫，坐垫与滑道底面间摩擦不计，若未使用坐垫，游客与各段滑道底面间的摩擦力大小恒为重力的0.1倍，运动过程中游客始终不离开滑道，空气阻力不计。已知sinθ1，sinθ1，求

（1）若游客使用坐垫且与侧壁间无摩擦自由下滑，则游客在BC段增加的动能△Ek；

（2）若游客未使用坐垫且与侧壁间无摩擦自由下滑，则游客到达D点时是否安全；

（3）若游客使用坐垫下滑，且游客安全到达D点，则全过程克服侧壁摩擦力做功的最小值。

2. 如图所示，地面上有一个倾角为37°的足够长的固定斜面，斜面上有一长为L＝1m、质量为M＝1kg的厚度可以忽略不计的木板，木板与斜面间的动摩擦因数μ1＝0.5，其下端P到斜面底端的挡板C的距离d＝0.5m．现在木板的正中央放一质量为m＝1kg可看成质点的木块，此时木块刚好能处于静止状态。现对木板施加一沿斜面向上的外力F1使木板处于静止，此时木板与斜面之间刚好没有摩擦力。最大静摩擦近似等于滑动摩擦，木块与斜面间的动摩擦因数为μ3＝0.5，g＝10m/s2．试求：

（1）木块与木板之间的动摩擦因数μ2及外力F1的大小；

（2）现将外力大小变为F2＝21N，且方向仍沿斜面向上，木板将向上运动，经多长时间木块与挡板相碰；

（3）从外力F2作用到木板上开始到木块与挡板相碰的过程中系统产生的热量。

3. 在如图所示的竖直平面内，半径为R1＝40cm的圆弧形光滑细管道AN与竖直光滑细管道MN、形状未知的轨道AB相切于N点、A点；倾角为θ＝37°，长为L1＝6.25m的粗糙直轨道BC与AB相切于B点，水平轨道CE段与BC连接，CD段光滑，DE段粗糙且足够长：一半径为R2＝10cm的竖直光滑圆轨道相切于D点，底部略微错开以致物体做完整圆周运动后可以顺利进入水平DE轨道。一质量为m＝1kg的滑块Q静止在CD上，另一质量也为m＝1kg滑块P被压缩弹簧弹出后沿管道运动，在AN管道最高点对外侧管壁压力为3mg，之后能一直沿AB轨道无挤压的运动，且无碰撞的进入直轨道BC，P运动到水平轨道CD后与Q发生碰撞，碰撞过程中P的动量改变量为碰前P动量的。已知弹簧原长在N处，P被弹出到A过程中最大速度为5m/s，弹簧的弹性势能为E，其中k为弹簧劲度系数，x为弹簧形变量；P、Q与轨道BC和DE间的动摩擦因数均为μ，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。不计滑块在连接处运动时的能量损耗。

（1）求滑块到达A点和B点的速度大小；

（2）求弹簧劲度系数k的值；

（3）若要使得P与Q发生一次碰撞，运动过程中不脱离轨道且P经过C点位置不超过两次，求动摩擦因数μ应满足的条件。

4. “鲁布•戈德堡机械”是用迂回曲折的连锁机械反应完成一些简单动作的游戏。图为某兴趣小组设计的该类游戏装置：是半径为2L的光滑四分之一圆弧轨道，其末端B水平；在轨道末端等高处有一质量为m的“”形小盒C（可视为质点），小盒C与质量为3m、大小可忽略的物块D通过光滑定滑轮用轻绳相连，左侧滑轮与小盒C之间的绳长为2L；物块D压在质量为m的木板E左端，木板E上表面光滑、下表面与水平桌面间动摩擦因数μ＝0.5（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），木板E右端到桌子右边缘固定挡板（厚度不计）的距离为L；质量为m且粗细均匀的细杆F通过桌子右边缘的光滑定滑轮用轻绳与木板E相连，木板E与定滑轮间轻绳水平，细杆F下端到地面的距离也为L；质量为的圆环（可视为质点）套在细杆F上端，环与杆之间滑动摩擦力和最大静摩擦力相等，大小为。开始时所有装置均静止，现将一质量为m的小球（可视为质点）从圆弧轨道顶端A处由静止释放，小球进入小盒C时刚好能被卡住（作用时间很短可不计），然后带动后面的装置运动，木板E与挡板相撞、细杆F与地面相撞均以原速率反弹，最终圆环刚好到达细杆的底部。不计空气阻力，重力加速度为g，求：

（1）小球与小盒C相撞后瞬间，与小盒C相连的绳子上的拉力大小；

（2）细杆F的长度。