第3讲 共点力下的动态平衡问题（原卷版）

第3讲 共点力下的动态平衡问题

1．（2022·辽宁）如图所示，蜘蛛用蛛丝将其自身悬挂在水管上，并处于静止状态。蛛丝OM、ON与竖直方向夹角分别为α、β（α＞β）。用F1、F2分别表示OM、ON的拉力，则（　　）

A．F1的竖直分力大于F2的竖直分力 

B．F1的竖直分力等于F2的竖直分力 

C．F1的水平分力大于F2的水平分力 

D．F1的水平分力等于F2的水平分力

2．（2022·浙江）如图所示，一轻质晒衣架静置于水平地面上，水平横杆与四根相同的斜杆垂直，两斜杆夹角θ＝60°。一重为G的物体悬挂在横杆中点，则每根斜杆受到地面的（　　）

A．作用力为G B．作用力为G 

C．摩擦力为G D．摩擦力为G

3．（2022·浙江）如图所示，水平放置的电子秤上有一磁性玩具，玩具由哑铃状物件P和左端有玻璃挡板的凹形底座Q构成，其重量分别为GP和GQ。用手使P的左端与玻璃挡板靠近时，感受到P对手有靠向玻璃挡板的力，P与挡板接触后放开手，P处于“磁悬浮”状态（即P和Q的其余部分均不接触），P与Q间的磁力大小为F。下列说法正确的是（　　）

A．Q对P的磁力大小等于GP 

B．P对Q的磁力方向竖直向下 

C．Q对电子秤的压力大小等于GQ+F 

D．电子秤对Q的支持力大小等于GP+GQ

4．（2022·浙江）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为μ，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为θ，则下列说法正确的是（　　）

A．轻绳的合拉力大小为 

B．轻绳的合拉力大小为 

C．减小夹角θ，轻绳的合拉力一定减小 

D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小

一.知识总结

1．共点力

作用于物体的同一点或作用线相交于一点的几个力。

2．平衡状态

物体保持静止或匀速直线运动的状态。

3．共点力的平衡条件

(1)F合＝0或者

(2)平衡条件的推论

①二力平衡：如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必定大小相等，方向相反。

②三力平衡：如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余两个力的合力大小相等，方向相反；并且这三个力的矢量可以形成一个封闭的矢量三角形。

③多力平衡：如果物体在多个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余几个力的合力大小相等，方向相反。

4.静态平衡与动态平衡：

（1）静态平衡模型

物体保持静止或匀速直线运动的状态，物体受到的各个力不变。

（2）动态平衡模型

     ①物体受到的力在发生动态变化，但物体保持静止或匀速直线运动的状态

②物体“缓慢”运动时，可把物体看作平衡状态处理，物体所受合力为0.

动态平衡问题较难！

二.解决动态平衡问题的思路与法：

1.解决问题切入思路

（1）解析法

对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件列式求解，得到因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。

(2)图解法

不需要列式计算，通过画图分析求解。对于三个力作用下的平衡问题，通常

①一个力大小、方向均不变，另一个力方向不变，通常画闭合三角形。

②一个力是恒力，另两个力方向的夹角保持不变的情况，可构造圆，来解决。恒力对应的圆心角不变。

 ③当一个力是恒力，另一个力大小不变时，也可画圆来分析处理。

2.常用的物理方法

三.精选例题

题型1： 一恒两向变（一力不变，两力方向都变）——相似三角形

例1．如图所示，为质量均可忽略的轻绳与轻杆组成系统，轻杆A端用铰链固定，滑轮在A点正上方（滑轮大小及摩擦力均可不计），轻杆B端吊一重物G现将绳的一端拴在杆的B端，用拉力F将B端缓慢释放（均未断）到AB杆转到水平位置前，以下说法正确的是（　　）

A．绳子受到的拉力越来越大 

B．绳子受到的拉力越来越小 

C．AB杆受到的压力越来越大 

D．AB杆受到的压力越来越小

题型2：一恒一向定（一力不变，一力方向不变）——有时有最小值

例2．如图所示，电灯悬挂于两墙之间，OA绳保持不动，更换OB绳使B点向上移动而保持O点位置不变，则在B点向上移动时，两绳拉力变化情况是（　　）

A．OA绳拉力变小，OB绳拉力先变小后变大 

B．OA绳拉力变小，OB绳拉力先变大后变小 

C．OA绳拉力变大，OB绳拉力先变小后变大 

D．OA绳拉力变大，OB绳拉力先变大后变小

题型3： 一恒一大小定（一力不变，一力的大小不变）——通常画圆

（多选）例3．如图所示，在“共点力合成”的实验中，橡皮条一端固定于P点，另一端连接两个弹簧测力计，分别用F1和F2拉两个弹簧测力计，将这端的结点拉至O点。现让F1大小不变，方向沿顺时针方向转动某一角度，且F1始终处于PO左侧，要使这端的结点仍位于O点，则关于F的大小和图中的θ角，下列说法中正确的是（　　）

A．增大F2的同时增大θ角 B．增大F2的同时减小θ角 

C．增大F2而保持θ角不变 D．减小F2的同时增大θ角

题型4： 一恒两向夹角定（一力不变，另两力力的方向夹角不变）——可构造圆辅助分析

例4．如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N，初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α（）。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中（　　）

A．MN上的张力逐渐增大 

B．MN上的张力先增大后减小 

C．OM上的张力逐渐增大 

D．OM上的张力一直减小

题型5：一恒两大小定（一个力大小方向不变，另两个力大小总相等）

例5．如图所示，一固定的∩型支架两端连有一根长为L的轻绳，光滑轻质挂钩下端悬挂质量为m的重物跨在轻绳上（挂钩可沿轻绳滑动）．开始时绳子固定在支架上等高的M、N两点，绳中拉力为F现保持绳子左端M固定且绳长不变，将绳子右端从N点沿竖直支架缓慢移至P点，再从P点沿圆弧支架向左缓慢移至Q点．关于绳子拉力F的变化，下列说法正确的是（　　）

A．从N→P→Q的过程中，拉力F一直不变 

B．从N→P→Q的过程中，拉力F先不变，再减小 

C．从N→P→Q的过程中，拉力F一直增大 

D．从N→P→Q的过程中，拉力F先增大，再减小

四.举一反三，巩固练习

1. （多选）某小城街道两旁的仿古路灯如图所示，灯笼悬挂在灯柱上，若风沿水平方向由右向左吹来，且风力缓慢增大，则（　　）

A．灯柱对灯笼的作用力逐渐减小 

B．灯柱对灯笼的作用力逐渐增大 

C．灯柱对灯笼的作用力与竖直方向的夹角逐渐增大 

D．灯柱对灯笼的作用力与竖直方向的夹角逐渐减小

2. （多选）如图，两个半径均为r的光滑球a、b放在半径为R（R＞2r）的半球形容器内，均静止时a、b与半球的接触点P、Q与半球球心O的连线与水平方向的夹角为α和β（a＜β）。若两球的质量用ma、mb，两球对容器的压力大小用FNa、FNb表示，则（　　）

A． B． 

C．1 D．

3. （多选）如图所示，光滑的轻滑轮通过支架固定在天花板上，一足够长的细绳跨过滑轮，一端悬挂小球b，另一端与套在水平细杆上的小球a连接。在水平拉力F作用下小球a从图示虚线位置开始缓慢向右移动（细绳中张力大小视为不变）。已知小球b的质量是小球a的2倍，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，小球a与细杆间的动摩擦因数为．则下列说法正确的是（　　）

A．当细绳与细杆的夹角为60°时，拉力F的大小为（2）mg 

B．支架对轻滑轮的作用力大小逐渐增大 

C．拉力F的大小一直增大 

D．拉力F的大小先减小后增大

4. 如图所示，粗糙的水平地面上放置一物块，物块左边受到弹簧的斜向上且与水平面成θ角的拉力作用，右侧受到水平向右的拉力F作用，物块处于静止状态。若将水平向右的拉力大小变为F+ΔF，物块仍保持静止，则下列说法正确的是（　　）

A．弹簧的弹力一定变大 

B．物块受到地面的摩擦力的大小可能不变 

C．地面对物块的支持力可能变大 

D．弹簧弹力和地面对物块的支持力以及拉力F的合力一定变大

5. 如图所示，衣服悬挂在不可伸长的轻绳上，衣架的挂钩是光滑的，轻绳的两端固定在两根竖直杆上的A、B两点，衣服受到恒定水平向右的风力处于静止状态。保持A端位置不变，将B端分别移动到B1、B2两点。下列说法正确的是（　　）

A．B端移到B1，绳子张力变大 

B．B端移到B1，绳子张力变小 

C．B端移到B2，绳子张力变大 

D．B端移到B2，绳子张力不变

6. 带同种电荷的金属小球A、B用跨过光滑定滑轮（大小不计）的绝缘细绳连接，平衡时如图所示，OA绳长大于OB绳长。现有另一不带电的金属小球C（图中未画出）与A球接触后拿开，A、B再次平衡时，下列说法正确的是（　　）

A．OA绳对A球的拉力FOA大于OB绳对B球的拉力FOB 

B．A球的质量大于B球的质量 

C．OA绳长与开始时相同 

D．OA绳对A球的拉力增大

7. 如图所示，一个内表面光滑半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O是球心，碗的球半径为R，一根轻质杆的两端固定有A、B两个小球（可视为质点），质量分别是m1、m2，已知杆长为，杆静止时与水平面夹角为15°，则A、B两小球的质量之比是（　　）

A．2：1 B． C． D．

8. 一学校物理项目学习小组研究悬索桥的受力特点，实际的悬索桥在工程上是复杂的，他们进行了合理简化，悬索桥的简化模型如下：吊桥六对钢杆悬吊，六对钢杆在桥面上分列两排，其上端挂在两根钢缆上，如图为其一侧面图。已知图中相邻两钢杆间距离为9m，靠桥面中心的钢杆长度为2m（即AA′＝DD′＝2m），BB′＝EE′，CC′＝PP′，又已知两端钢缆CM、PN与水平方向成45°角，若钢杆钢缆自重不计，每根钢杆承受拉力相同，桥面总质量m，每根钢杆拉力均为T。以下说法正确的是（　　）

A．每根钢杆拉力大小为mg 

B．每对钢缆AD中拉力大小为mg 

C．每对钢缆CM中拉力大小为mg 

D．BB′的长度为6m

9. 如图1所示，放在粗糙固定斜面上的物块A和悬挂的物块B均处于静止状态。轻绳AO绕过光滑的定滑轮与轻弹簧的右端及轻绳BO的上端连接于O点轻弹簧中轴线沿水平方向，且弹簧原长L0＝0.9m，劲度系数k＝300N/m.轻绳的OC段长1m与竖直方向的夹角θ＝37°，斜面倾角α＝30°，物块A的质量mA＝5kg，物块B的质量mB＝4kg。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）

（1）求弹簧伸长量Δx大小；

（2）求物块A受到的摩擦力的大小和方向；

（3）如图2所示，若在上述平衡状态下用轻绳代替弹簧，取下物块B然后用光滑轻滑轮把物块B挂在轻绳上，重新平衡时物块A受到的摩擦力的大小和方向？

10. 如图所示，可视为质点的小球A、B通过光滑铰链与长为L的轻杆相连，A与地面上的O点也通过光滑的铰链与长为L的轻杆相连，B置于光滑水平面上，且A、B始终位于同一个竖直面内。已知A的质量为2m，B质量为m，初始时对B施加水平力F，系统静止，杆与竖直方向夹角θ＝37°；随后撤去F，B开始在水平面内向右运动，已知重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力，求：

（1）F的大小；

（2）当θ为60°时，球A的速度的大小及方向。

11. 一转动装置如图甲所示，两根足够长轻杆OA、OB固定在竖直轻质转轴上的O点，两轻杆与转轴间夹角均为30°．小球a、b分别套在两杆上，小环c套在转轴上，球与环质量均为m。c与a、b间均用长为L的细线相连，原长为L的轻质弹簧套在转轴上，一端与轴上P点固定，另一端与环c相连。当装置以某一转速转动时，弹簧伸长到L，环c静止在0处，此时弹簧弹力等于环的重力，球、环间的细线刚好拉直而无张力。弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g。求：

（1）细线刚好拉直而无张力时，装置转动的角速度ω1；

（2）如图乙所示，该装置以角速度ω2（未知）匀速转动时，弹簧长为L/2，求此时杆对小球的弹力大小和角速度ω2。