安徽省亳州市涡阳第—中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题

涡阳一中2020级高一下学期期末考试

数学试题

一、选择题（共60分）

1复数z=1+6i的虛部是（　　）

A. i        B.6i          C.1        D.6

2.在△ABC中，a=1，C=60°， 若c=，则A的值为（　　）

A.30°或150°          B.30°        C.60°或 120°       D.60°

3.若平面α和直线a，b满足a∩α=A，，则a与b的位置关系一定是（　　）

A.相交        B.平行        C.异面         D.相交或异面

4.在△ABC中，∠C=90°，， 则与的夹角是（　　）

A.30°       B.60°         C.120°        D.150°

5.若在复平面内，复数3-2i、1-2i、2+i所对应的点分别为A，B，C，则△ABC的面积为（　　）

A.6        B.4        C.3            D. 2

6.已知D， E分别是△ABC的边AB，AC的中点，则= （　　）

A.       B.       C.        D.

7.如图所示，正方体的面A1C1， B1C， CD1的中心分别为O1，O2，O3，则直线AO与直线O2O3所成的角为（　　）

A.90°          B.60°         C.45°           D.30°

8. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=60°，b=1， 该三角形的面积为，则的值为（　　）

A.      B.      C.     D.    

9.在三棱锥P- ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△ABC是边长为的等边三角形，PA=PB=， 则该三棱锥外接球的表面积为（　　）

A.          B. 16π          C.           D.

10.在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P为AB边上的点，若，则入的取值范围是（　　）

A.       B. [0.1]       C.       D.

11. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知，且，点O满足，，则△ABC的面积为（　　）

A.         B.          C.          D.

12.平面α过正方体的顶点A， α//平面CB1D1，α∩平面ABCD= m，α∩平面ABB1A1=n，则m，n所成角的正弦值为（　　）

A.           B.           C.         D.

二、填空题（共20分）

13已知复数z满足（1+i）·z=1-i （i为虚数单位），=_          。

14.已知向量，。若， 则=       。

15. 如图，四边形ABCD中，△ABD、△BCD分别是以AD， BD为底的等腰三角形，其中AD=1， BC=4，∠ADB=∠CDB，则AC=         。

16.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=2，BE// CD，且CD⊥平面ABC，若BD⊥AE则BE+CD的最小值为_         。

三、解答题（共70分）

17. （本题10分）已知复数z=（m2-m）+（m+3）i （m∈R）在复平面内对应点Z.

（1）若m=2，求；

（2）若点Z在直线y=x上，求m的值.

18. （本题12分）已知，a∈R .

（1）若向量，，求的值∶

（2）若向量，，证明∶

19. （本题12分）如图所示，正三棱柱的高为2，点D是A1B的中点，点E是B1C1的中点.

（1）证明∶ DE//平面ACC1A1；

（2）若三棱锥E- DBC的体积为，求该正三棱柱的底面边长.

20.（本题12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知。

（1）求cosB；

（2）若a+c=6，△ABC面积为2，求b.

21. （本题12分）在四棱锥P- ABCD中，∠ABC= ∠ACD= 90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，M为AD的中点，PA=24B=4.

（1）求证∶ EM //平面PAC；

（2）取PC中点F ，证明∶ PC⊥平面AEF ；

（3）求点D到平面ACE的距离.

22. （本题12分）如图，某运动员从A市出发沿海岸一条笔直公路以每小时15km的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在A市南偏东方向距A市75km，且与海岸距离为45km的海上B处有一艘划艇与运动员同时出发，要追上这位运动员.

（1）划艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？

（2）求划艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角.

（3）若划艇每小时最快行驶11.25km，划艇全速行驶，应沿何种路线行驶才能尽快追上这名运动员，最快需多长时间？

涡阳一中2020级高一下学期期末考试数学答案

1. D   2. B  3. D  4. C  5. C  6. C  7. A  8. A  9. A  10. C  11. D  12. A

13. 1    14. 10    15.      16.

17. （1） 29 ； （2） m=-1或m=3..

解∶（1）∵m=2， ∴z=2+5i，∴；

（2）若点Z在直线y=x上，则m2 -m=m+3，

即m2- 2m-3=0，解得m=-1或m=3.

18. （1）∶ （2）详见解析.

解∶ （1）因为

所以

所以

（2）因为

所以

所以

19. （1）详见解析； （2） 1.

[详解]

解∶ （1） 如图，连接AB1， AC1，

∴D是A1B的中点，E是B1C1的中点，

∴在△B1AC1中，DE// AC1，

∵DE平面ACC1A1， AC1平面ACC1A1，

∴DE//平面ACC1A1.

（2）由等体积法，得VE-DBC=VD-EBC

∵D是A1B的中点，

∴点D到平面BCC1B1的距离是点A到平面BCC1B1的距离的一半. .

如图，作AF⊥.BC交BC于点F，

由正三棱柱的性质可知，AF⊥平面BCC1B1.

设底面正三角形的边长a，则三棱锥D-EBC的高，

∴，解得a=1

∴该正三棱柱的底面边长为1.

20. （1）；（2） 2.

解∶ （1），∴，∵，

∴，∴，∴；

（2）由（1）可知

∵ ，∴，

∴.

∴b=2.

21. （1）见解析； （2） 见解析； （3）

解∶（1）因为E为PD的中点，M为AD的中点，

则在△PAD中，EM//A，

又因为PA平面PAC， ME平面PAC，则EM //平面PAC

（2）证明∶因为PC中点F，

在Rt△4BC中，AB=2，∠BAC=60°， 则BC=，AC=4.

而PA=4，则在等腰三角形APC中PC ⊥AF①.

又在△PCD中，PE= ED，PF=FC，则EF//CD，

因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，则PA⊥CD，

又∠ACD=90°，即AC⊥CD，AC∩PA=A，

则CD⊥平面PAC，所以PC⊥CD，因此EF⊥PC②.

又EF∩AF=F， 由①②知PC⊥平面AEF ；

（3）在Rt△ACD中，CD=，AC=4，∴，

又EM//PA，PA⊥平面ABCD，

∴EM⊥平面ABCD，即EM为三棱锥E-ACD的高，

∴

在△ACE中，AE=CE=， AC=4，∴，

设点D到平面ACE的距离为h，

则，

∴.h=， 即点D到平面ACE的距离为.

22. （1） 9km/h； （2） 90°； （3）划艇应垂直于海岸向北的方向行驶才能尽快追.上这名运动员； 4h.

解∶（1）设划艇以vkm/h的速度从B处出发，沿BC方向，th后与运动员在C处相遇，

过B作AC的垂线BD，则BD=45，AD= 60，

在△ABC中，AB=75， AC=15t， BC=vt，

则，。

由余弦定理，得，

得

整理得∶

当，即时，v2 取得最小值81，即，

所以划艇至少以9km/h的速度行驶才能把追.上这位运动员.

（2）当v=9 km/h时，

在△ABC中，AB=75， ，

由余弦定理，得，

所以∠ABC= 90°，

所以划艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角为90°.

（3）划艇每小时最快行驶11.25km全速行驶，

假设划艇沿着垂直于海岸的方向，即BD方向行驶，而BD=45，

此时到海岸距离最短，需要的时间最少，

所以需要∶，而4h时运动员向东跑了∶， .

而AD= 60，即4h时，划艇和运动员相遇在点D.

所以划艇应垂直于海岸向北的方向行驶才能尽快追上这名运动员，最快需要4h.