2023年北京十三中中考数学零模试卷（含解析）

2023年北京十三中中考数学零模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一次，第届冬奥会将于年在北京和张家口举办下列四个图分别是第届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  据北京晚报报道，截止至年月日：时，北京市累计有人完成了新冠疫苗第二针的接种，将用科学记数法表示正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  比大，比小的整数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如果，那么代数式的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  某餐厅规定等位时间达到分钟包括分钟可享受优惠．现统计了某时段顾客的等位时间分钟，如图是根据数据绘制的统计图．下列说法正确的是(    )

A. 此时段有桌顾客等位时间是分钟 B. 此时段平均等位时间小于分钟
C. 此时段等位时间的中位数可能是 D. 此时段有桌顾客可享受优惠

8.  下面的三个问题中都有两个变量：
汽车从地匀速行驶到地，汽车的剩余路程与行驶时间；
将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间；
用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长．
其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.  若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是          ．

10.  分解因式：          ．

11.  方程的解为______．

12.  在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则______填“”“”或“”．

13.  某商场准备进双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的双滑冰鞋的鞋号，数据如下：

根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为______双．

14.  如图，在中，平分，若，，则          ．

15.  如图，在矩形中，若，，，则的长为______．

16.  某生产线在同一时间只能生产一笔订单，即在完成一笔订单后才能开始生产下一笔订单中的产品一笔订单的“相对等待时间”定义为该笔订单的等待时间与生产线完成该订单所需时间之比例如，该生产线完成第一笔订单用时小时，之后完成第二笔订单用时小时，则第一笔订单的“相对等待时间”为，第二笔订单的“相对等待时间”为，现有甲、乙、丙三笔订单，管理员估测这三笔订单的生产时间单位：小时依次为，，，其中，则使三笔订单“相对等待时间”之和最小的生产顺序是          ．

三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）

17.  计算：．

四、解答题（本大题共11小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
解不等式组：，并写出该不等式组的非负整数解．

19.  本小题分
关于的一元二次方程．
求证：方程总有两个实数根；
若方程有一个根小于，求的取值范围．

20.  本小题分
下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．

21.  本小题分
在平面直角坐标系中，函数的图象过点，，且与轴交于点．
求该函数的解析式及点的坐标；
当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围．

22.  本小题分
如图，在平行四边形中，过点作于点，的延长线交于点过点作交于点交于点过点作于点．
求证：四边形为矩形；
若，，，求线段的长．

23.  本小题分
某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
甲、乙两位同学得分的折线图：

丙同学得分：
，，，，，，，，，
甲、乙、丙三位同学得分的平均数：

根据以上信息，回答下列问题：
求表中的值；
在参加比赛的同学中，如果某同学得分的个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对______的评价更一致填“甲”或“乙”；
如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是______填“甲”“乙”或“丙”．

24.  本小题分
如图，是的直径，是的一条弦，，连接，．
求证：；
连接，过点作，交的延长线于点，延长，交于点若为的中点，求证：直线为的切线．

25.  本小题分
要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，记喷出的水与池中心的水平距离为，距地面的高度为测量得到如表数值：

小腾根据学习函数的经验，发现是的函数，并对随的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；
结合函数图象，出水口距地面的高度为______，水达到最高点时与池中心的水平距离约为______结果保留小数点后两位；
为了使水柱落地点与池中心的距离不超过，如果只调整水管的高度，其他条件不变，结合函数图象，估计出水口至少需要______填“升高”或“降低” ______结果保留小数点后两位．
 

26.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．
若，
求此抛物线的对称轴；
当时，直接写出的取值范围；
若，点在该抛物线上，且，请比较，的大小，并说明理由．

27.  本小题分
如图，在中，，，是中点，连接点在线段上不与点，重合，连接，点在的延长线上且，连接．

比较与的大小，并证明；
用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

28.  本小题分
在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将图形绕直线上某一点顺时针旋转，再关于直线对称，得到图形，我们称图形为图形关于点的二次关联图形．已知点．
若点的坐标是，直接写出点关于点的二次关联图形的坐标______；
若点关于点的二次关联图形与点重合，求点的坐标直接写出结果即可；
已知的半径为，点关于点的二次关联图形在上且不与点重合．若线段，其关于点的二次关联图形上的任意一点都在及其内部，求此时点坐标及点的纵坐标的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、是轴对称图形；
故选：．
根据轴对称图形的概念判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
 

2.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
比大，比小的整数是．
故选：．
分别估算出和的取值范围即可．
本题考查的是估算无理数的大小，先根据题意算出和的取值范围是解答此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：列表如下：

所有等可能的情况有种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有种情况，
所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为，
故选：．
列表得出所有等可能的情况数，找出第一次摸到红球、第二次摸到绿球的情况数，即可确定出所求的概率．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

5.【答案】 

【解析】解：

，
，
，
则原式，
故选：．
根据单项式乘多项式的运算法则、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入计算，得到答案．
本题考查的是整式的化简求值，掌握完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据图形可以得到：
；
所以：、、都是错误的；
故选：．
利用数轴得与实数得关系，及正负数在数轴上的表示求解．
本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由直方图可知：有桌顾客等位时间在至分钟，不能说是分钟，故A选项错误；
B.平均等位时间为分钟分钟，故B选项错误；
C.因为样本容量是，中位数落在之间，故C选项错误；
D.分钟以上的人数为，故D选项正确．
故选：．
观察频数分布直方图，获取信息，然后逐一进行判断即可．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

8.【答案】 

【解析】解：汽车从地匀速行驶到地，根据汽车的剩余路程随行驶时间的增加而减小，故符合题意；
将水箱中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水量随放水时间的增大而减小，故符合题意；
用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长的二次函数，故不符合题意；
所以变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是．
故选：．
根据汽车的剩余路程随行驶时间的增加而减小判断即可；
根据水箱中的剩余水量随放水时间的增大而减小判断即可；
根据矩形的面积公式判断即可．
本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
 

9.【答案】 

【解析】解：在实数范围内有意义，
，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件，可得：，据此求出实数的取值范围即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．直接提取公因式，进而分解因式得出答案．
【解答】
解：．
故答案为．  

11.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
故答案为：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
反比例函数的图象在一、三象限，
，
点，在第一象限，随的增大而减小，
，
故答案为：．
先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性解答．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，比较简单．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据统计表可得，号的鞋卖的最多，
则估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为双．
故答案为：．
应用用样本估计总体的方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了用样本估计总体，熟练掌握用样本估计总体的方法进行求解是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【解答】解：过点作于，如图，
平分，，，
，
．
故答案为：．
【分析】过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式计算．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．  

15.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
由矩形的性质得出，，利用勾股定理求出，利用相似三角形的性质，即可求出的长．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
 

16.【答案】，， 

【解析】解：由题意知：
上一笔订单完成的时间越短，
则此订单的“相对等待时间”越小，
因此，“相对等待时间”之和最小的生产顺序是，，，
故答案为，，．
由相对等待时间的定义可知，上一笔订单完成的时间越短，则此订单的“相对等待时间”越小．
此题考查新定义，对定义的理解是解本题的关键．
 

17.【答案】解：原式
             
             ． 

【解析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
直接利用二次根式以及负整数幂的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
 

18.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
所以不等式组的非负整数解为和． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出其整数解．
本题考查的是解一元一次不等式组及不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】证明：，，，



，
此方程总有两个实数根．
解：，
．
，．
此方程有一个根小于．
．
． 

【解析】先根据方程有两个相等的实数根列出关于的一元二次方程，求出的值即可；
利用求根公式得到，根据题意得到即可求得．
本题考查的是根的判别式及一元二次方程解的定义，在解答时得到方程的两个根是解题的关键．
 

20.【答案】证明：方法一：，
，，
，
；
方法二：延长，如图，

，
，，
，
． 

【解析】方法一：由平行线的性质得：，，再由平角的定义可得，从而可求解；
方法二：延长，由平行线的性质得：，，再由平角的定义可得，从而可求解．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
 

21.【答案】解：把，分别代入得，
解得，
函数解析式为，
当时，，
点坐标为；
当时，当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值． 

【解析】先利用待定系数法求出函数解析式为，然后计算自变量为时对应的函数值得到点坐标；
当函数与轴的交点在点含点上方时，当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关键．也考查了一次函数的性质．
 

22.【答案】证明：，，
，，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形为矩形；
解：由得：四边形为矩形，
，，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
． 

【解析】证，，则四边形是平行四边形，即可得出结论；
由矩形的性质得，，再由锐角三角函数定义求出，由勾股定理得，则，然后证≌，得，即可求解．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数定义、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：；
甲；
丙． 

【解析】

【分析】
本题考查折线统计图，平均数、方差，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．
根据平均数的定义即可求解；
计算甲、乙两位同学的方差，即可求解；
根据题意，分别求出甲、乙、丙三位同学的最后得分，即可得出结论．
【解答】
解：见答案；
甲同学的方差，
乙同学的方差，
，
评委对甲同学演唱的评价更一致．
故答案为：甲；
甲同学的最后得分为；
乙同学的最后得分为；
丙同学的最后得分为，
在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是丙．
故答案为：丙．  

24.【答案】证明：如图，连接，

是的直径，，
，
，
，
；
如图，连接，

为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
为半径，
直线为的切线． 

【解析】连接，首先利用垂径定理得，知，再利用同弧所对的圆心角等于圆周角的一半可得结论；
连接，首先由点为的中点，可得，则，再利用圆的性质，可说明，，从而得出，从而证明结论．
本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

25.【答案】解：如图，

设，
把代入可得，
，
解得，
所以与的关系式为，
当时，；顶点坐标为，
出水口距地面的高度为，水达到最高点时与池中心的水平距离约为，
故答案为：，；
当时，，
所以出水口至少要降低米，
故答案为：降低，． 

【解析】本题考查二次函数的实际应用，根据点的坐标画出函数图象是解题关键．
根据对应点画出图象即可；
根据对应点求出与的关系式即可得到答案；
把代入得到得值可得出水口要升高的高度．
 

26.【答案】解：当时，点的坐标为，
抛物线经过点，
，
，
抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线；
令，则，
解得：，，
抛物线与轴交于和，
点，，且，
点在轴的下方，
或．
，理由如下：
将代入得，
，
，
，
抛物线开口向下，
抛物线对称轴为直线，
，
，
，
且，
，
点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
． 

【解析】当时，点的坐标为，将其代入函数解析式中解得，则函数解析式为抛物线的解析式为，再根据求对称轴的公式即可求解；
令，求出抛物线与轴交于和，由题意可得，则点在轴的下方，以此即可解答；
将点坐标代入函数解析式，通过可得的取值范围，从而可得抛物线开口方向及对称轴，根据点，到对称轴的距离大小关系求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

27.【答案】解：，
理由如下：连接，

，是的中点，
垂直平分线段，，
即，
，
，
，
，，
，

；
．
证明：在线段上取一点，使得，连接，

，是的中点，，
，
，
是等边三角形，
，，
，由可知
在和中，
，
≌，
，
，，
． 

【解析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质以及全等三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
连接，由等腰三角形的性质得出垂直平分线段，，证出，由等腰三角形的性质可得出结论；
在线段上取一点，使得，连接，证出是等边三角形，由等边三角形的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论．
 

28.【答案】解：；
分析可知，点在轴的下方，设点的纵坐标为，

如图，过点作轴于点，过点作轴交于点，
由知≌，
，，
，
由题意可知，点与点关于直线对称，
，，
解得，
；
由知，
，
点在上，
，
解得舍或；
，如图，

线段，
点在以点为圆心，为半径的圆上．
若其关于点的二次关联图形上的任意一点都在及其内部，如图，可知点是一个临界点，
连接，
，
是等边三角形，
过点作轴于点，则，，
，
，
，
由对称性可知，另外一点的坐标为，
的取值范围为：． 

【解析】

【分析】
本题属于新定义类问题，主要考查轴对称最值问题，等边三角形的性质与判定，圆的定义等相关知识，关键是理解给出新定义，画出对应的图形．
根据题意画出图形，过点作轴于点，可得≌，可求出点的坐标，进而可得点的坐标；
分析可知，当点在轴上方时，不存在，则点在轴下方，根据题意作出图形，设出点的纵坐标为，表达点的坐标，可得出结论；
由可知，点的坐标，由关于点的二次关联图形在上且不与点重合可得出点的坐标，由线段，其关于点的二次关联图形上的任意一点都在及其内部，找到临界点，可得出的坐标，进而可得出点的坐标，即可得出的取值范围．
【解答】
解：如图，根据二次关联图形的定义分别找到和，过点作轴于点，

，
由旋转可知，，，
，
，
≌，
，，
，
，
故答案为：；
见答案；
见答案．