2023重庆市长寿中学校高二下学期4月期中考试数学含答案

重庆市长寿中学校2024届高二下•半期考试

数学试题

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.10分从这个数字取出个数字，试问：

（1）有多少个没有重复数字的排列方法

（2）能组成多少个没有重复数字的三位数？

（3）能组成多少个没有重复数字的三位数奇数？

注：要有适当的文字说明，最终结果用数字表示

18.12分已知函数．

（1）设为偶函数，当时，，求曲线在点处的切线方程；（2）设，求函数的极值；

19.12分已知函数在处有极值．
（1）求，的值；
（2）求在上的最小值．

20.12分某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研得知，发现系列每日的销售量单位：千克与销售价格元千克近似满足关系式，其中，为常数。已知销售价格为元千克时，每日可售出系列千克．
  （1）求函数的解析式；
  （2）若系列的成本为元千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大．

21.12分已知函数，，其中为常数．

（1）当时，试判断的单调性；

（2）若在其定义域内为增函数，求实数的取值范围；

（3）设函数，当时，若存在，对任意的，总有成立，求实数的取值范围．

22.（12分）已知函数，其中．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，判断的零点个数，并加以证明；

（3）当时，证明：存在实数，使恒成立．

重庆市长寿中学校2024届高二下•半期考试数学参考答案

1-5、BBBCD     1-8、BAA

9、AC    10、ABD    11、ACD    12、ABD

13、7    14、696     15、135°    16、4

17、解：任取个数字，然后再排列，故有个．        
第一位数字不能为，故有种取法，其它个位置任意，故有，
个位从，，，，这五个数中任选个，有种取法；
百位从除和个位数外个数中任选一个，有种取法，
十位从其他个数中任选一个，有种取法，
共有个， 

18、解：时，，是偶函数，
故，，
，故，
故切线方程是：，
即；
，，
，
时，，在递增，函数无极值，
时，令，解得：，令，解得：，
故在递增，在递减，
故的最大值是；无极小值；

19、解：因为在处有极值，
所以即，
解得：或，
当时，满足题意，
当时，不合题意，
所以；
，
令得，，
列表如下：

因为，，
所以最小值为． 

20、解：有题意可知，当时，即，解得，
所以，．
设该商场每日销售系列所获得的利润为，
则，
，令，
得或舍去，
所以当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减．
故．
所以当销售价格为元千克时，系列每日所获得的利润最大． 

21、解：当时，，定义域为，
因为在定义域上恒成立，
所以在上是单调递增函数；
的定义域为，
因为在上为增函数，
所以对恒成立，
即对恒成立，
由基本不等式，当且仅当时，的最小值为，
所以的最大值为，
所以，即实数的取值范围；
由题意，等价条件为，
当时，，
，
令，得，
令，得，
易得在上递增，在上递减，
在上，，
由二次函数的图象知，，
所以
，
所以，
综上所述，实数的取值范围为 

22、解：Ⅰ时，，，
故，，故切线方程为：，
即；
Ⅱ存在一个零点，理由：
，，
显然恒成立，故在上是增函数，
又时，，时，，
故存在唯一的零点，使得；
Ⅲ，，
，故是增函数，
而当时，，时，，
故存在，使得，
且时，，时，，
故是的极小值点，也是最小值点，
存在实数，使恒成立．