人教版数学必修一第一册第三章测试

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保密★启用前人教版数学必修一第一册第三章测试数学（全卷满分120分，考试用时120分钟）姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．定义在上的奇函数满足，且在上有，则（    ）A． B． C． D．2．已知函数，若函数恰有7个不同零点,则实数a的取值范围是（    ）A．(0,1) B．[-1,1] C．(-1,1) D．(-1,0)∪(0,1)3．函数的定义域为（    ）A． B． C． D．4．函数的定义域为（    ）A． B．C． D．5．函数与的图象如图所示，则的部分图象可能是（    ）A． B．C． D．6．设是定义在R上，以1为周期的函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为（     ）A． B． C． D． 二、多选题7．中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.给出定义：在平面直角坐标系中，能够将圆心在坐标原点的圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”.给出下列命题：①对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个；②函数可以是某个圆的“优美函数”；③余弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形.其中，所有真命题的选项为（    ）A．① B．② C．③ D．④8．已知幂函数为偶函数，则关于函数的下列四个结论中正确的是（    ）A．的图象关于原点对称 B．的值域为C．在上单调递增 D． 三、填空题9．已知函数，则关于的表达式的解集为__________.10．设m为实数，若函数是偶函数，则m的值是_______．11．已知是定义域为的奇函数，且满足，当时，，则_______．12．若是偶函数，且当时，，则的解集是_______. 四、解答题13．已知函数．(1)分别计算，的值．(2)由（1）你发现了什么结论？并加以证明．(3)利用（2）中的结论计算的值．14．定义域为的函数，对于给定的非空集合，，若对于中的任意元素，都有成立，则称函数是“集合上的函数”.(1)给定集合，函数是“集合上的函数”，求证：函数是周期函数；(2)给定集合，，若函数是“集合上的函数”，求实数、、所满足的条件；(3)给定集合，函数是集合上的函数，求证：“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”．15．已知函数（1）求，（2）画出函数的图像（3）若，求x的值16．已知函数定义在上的奇函数，且.(1)求a，b；(2)判断函数f（x）在上的单调性并加以证明；(3)解不等式.
参考答案：1．B【分析】由题意可得出函数是以4为周期的函数，所以，再由在上有，即可得出答案.【详解】定义在上的奇函数满足，，，，，即函数是以4为周期的函数，，又当时，有，则，则.故选：B.2．D【分析】利用十字相乘法法进行因式分解，然后利用换元法，作出的图象，利用数形结合判断根的个数即可，【详解】由得：则或，作出的图象如图，则若，则或，设，由得，此时或，当时，，有两个根，当时，，有1个根，则必须有，有4个根，设，由得，若，由得，或，有2个根，有1个根，此时有3个根，不满足条件．若，由得，有1个根，不满足条件．若，由得，或 当时，，有3个根，当时，，有1个根，此时有个根，满足条件．若，由得或，有1个根，有2个根，此时有3个根，不满足条件．若，由得，或或当时，有1个根，当时，有2个根， 当时，有1个根，此时有个根，满足条件．若，由得，有1个根，不满足题意.综上，a的取值范围是.故选：D．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为两个函数的图象交点个数，结合数形结合以及利用分类讨论的思想是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．3．D【解析】根据函数成立列出不等式组，解不等式组即可.【详解】由题知：，解得：.故选：【点睛】本题主要考查函数的定义域的求法，需要注意真数大于零，分母不等于零以及偶次方根被开方数大于等于零，属于简单题.4．D【分析】利用一元二次不等式得解法结合分式型函数的分母不为零即可求解.【详解】解：函数的定义域满足解得：故选：D.5．A【分析】根据函数与的奇偶性得到函数的奇偶性，根据函数的奇偶性以及在内函数值的符号进行排除可得答案.【详解】由图象可知的图象关于轴对称，是偶函数，的图象关于原点对称，是奇函数，并且定义域，所以的定义域是，因为所以函数奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，又时，，，所以，排除C，D.满足条件的只有A.故选：A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了奇偶函数图象的对称性，属于基础题.6．C【分析】根据已知中是定义在上，以1为周期的函数，由函数在区间，上的值域为，，结合函数的周期性，我们可以分别求出在区间，，，，，，上的值域，进而求出在区间，上的值域．【详解】函数，．为上周期为1的函数，则，，或，当时，，利用（2）式可得：当时，则，，当时，则，，当时，则，，当时，则，，利用（1）式可得：当时，则，，当时，则，，当时，则，，当时，则，，由分段函数的值域是由每一段并起来，在区间上的值域为故答案为．【点睛】本题考查函数的周期性及函数的值域，其中根据函数的周期性求出每个单位长度区间内函数的值域，再根据分段函数值域的求法，从而得到在区间上的值域是解答本题的关键．7．AB【解析】根据定义分析，优美函数具备的特征是，函数关于圆心（即坐标原点）呈中心对称.【详解】对①，中心对称图形有无数个，①正确；对②，函数，关于原点成中心对称.②正确；对③，余弦函数不关于原点成中心对称图形，③错误；对④，充要条件应该是关于原点成中心对称图形，④错误故选：AB.【点睛】仔细阅读新定义问题，理解定义中优美函数的含义，找到中心对称图形，即可判断各项正误.8．CD【分析】根据为幂函数且为偶函数可得，进而得，根据函数的奇偶性的定义即可判断A，根据函数的单调性确定值域可判断B，C,代入计算进而可判断D.【详解】因为是幂函数,所以,解得或,又因为是偶函数,所以,故,故;对于A，由，得，所以的定义域为，，故是偶函数，图象关于轴对称，故A错误，对于B，，由于，所以，所以，故，故值域为，故B错误,对于C，,由于在单调递增，故在单调递减，故在递增，故C正确，对于D，从而，故D正确，故选：CD.9．【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.【详解】由题意可知，的定义域为，所以，所以函数是奇函数，由幂函数的性质知，函数在函数上单调递增，由，得，即，所以，即，解得，所以关于的表达式的解集为.故答案为：.10．0【分析】根据函数的奇偶性的定义可得答案.【详解】因为函数是偶函数，所以，所以，得，所以，故答案为：0.11．【分析】先由得到的最小正周期为2，再由函数为奇函数，结合题中解析式，即可求出结果.【详解】因为满足，所以，因此的最小正周期为2；又是定义域为的奇函数，当时，，所以.故答案为【点睛】本题主要考查函数奇偶性与周期性的应用，熟记函数的奇偶性与周期性即可，属于常考题型.12．【详解】试题分析：由题意可知 ，∴当时，即的解集为；当时，即的解集为；综上，的解集是．所以答案应填：．考点：１、函数的基本性质；２、不等式的解法．13．(1)，(2)结论；证明见解析(3) 【分析】（1）根据函数的解析式，代入计算，即可求解；（2）根据函数的解析式，代入运算，即可得到；（3）根据，结合分组求和，即可求解.(1)解：由题意，函数，，．(2)解：由（1），得结论．证明如下：由．(3)解：由．14．(1)证明见解析；(2)，，；(3)证明见解析. 【分析】（1）推导出且，可得出，由此可证得结论成立；（2）由已知可得对任意的恒成立，由此可得出、、所满足的条件；（3）利用函数的定义、函数周期性的定义结合充分条件、必要条件的定义可证得结论成立.(1)证明：由题意可知，对任意的，，可得，对任意的，，所以，，因此，函数为周期函数.(2)解：由题意可知，对任意的，，即，可得对任意的恒成立，所以，，即，，.(3)证明：若函数是周期函数，设其周期为，因为函数是集合上的函数，则存在、，使得，所以，，，对任意的，，所以，，所以，对任意的，，对任意的，，并且，所以，对任意的，为常数，即“是周期函数”“是常值函数”；若函数是常值函数，对任意的、，成立，且，所以，函数是周期函数.即“是周期函数”“是常值函数”.综上所述，“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，本题第三问的难点在于利用函数的周期性推导出函数为常值函数，需要充分利用题中“函数”的定义结合函数值的不等关系以及函数的周期性来进行推导.15．（1）4；（2）见解析；（3）【分析】（1）先求出，再求的值；（2）画出分段函数每一段的图象即得解；（3）分三种情况讨论解方程即得方程的解.【详解】（1），所以.（2）函数的图象如图所示：（3）当时，当时，;当时，（舍去）.所以.【点睛】本题主要考查分段函数求值和分段函数的图象的作法，考查解分段函数的方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16．(1)(2)见解析(3) 【分析】（1）由已知结合奇函数的性质及代入即可求解；（2） 结合函数的单调性的定义即可判断；（3）结合函数的单调性及奇偶性即可求解．【详解】（1）∵函数定义在上的奇函数.且，∴，且，∴；（2）由（1）知，，在上单调递增，理由如下：设，则，∵，∴，，，∴，即，所以在上的单调递增；（3）∵，∴，又为奇函数，∴，又在上的单调递增，∴，解得，故不等式的解集为.