北京市顺义区2022届高三下学期二模数学试卷（原卷+解析）

北京市顺义区2022届高三下学期二模数学试卷

一、单选题

1．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

2．如图，在复平面内，复数对应的点为，则复数（    ）

A． B． C． D．

3．展开式中的常数项为（    ）

A． B． C．15 D．30

4．已知双曲线的一个焦点为，则双曲线的一条渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

5．设等比数列的前项和为，公比为.若， 则（    ）

A． B． C． D．

6．为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如下图.该样本数据的55%分位数大约是（    ）

A． B． C． D．

7．在中，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要件

8．已知圆截直线所得弦的长度为2，那么实数的值为（    ）

A． B． C． D．

9．已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

10．如图，设分别是长方体棱上的两个动点，点在点的左边，且满足，有下列结论：

①平面；

②三棱锥体积为定值；

③平面；

④平面平面；

其中，所有正确结论的序号是（    ）

A．①② B．②③ C．②④ D．③④

二、填空题

11．已知集合，，则 ____________.

12．已知函数，若，则_____________.

13．已知是定义在上的函数，其值域为，则可以是________.（写出一个满足条件的函数表达式即可）

14．向量集合，对于任意，，以及任意，都有，则称集合是“凸集”，现有四个命题：

①集合是“凸集”；

② 若为“凸集”，则集合也是“凸集”；

③若都是“凸集”，则也是“凸集”；

④若都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”．

其中，所有正确的命题的序号是_____________________．

三、解答题

15．已知函数.

(1)求在区间上的最大值和最小值；

(2)设，求的最小正周期.

16．如图，在正方体中，为的中点.

(1)过点作出一条与平面平行的直线，并说明理由；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

17．为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的（）班（）班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽名学生进行身体素质监测.经统计，每班名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下：（轴表示对应的班号，轴表示对应的优秀人数）

(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测人，求该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；

(2)若从以上统计的高一（）班的名学生中抽出人，设表示人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求的分布列及其数学期望；

(3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取名同学，用“”表示第班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第班抽到的这名同学身体素质不是优秀．写出方差的大小关系（不必写出证明过程）．

18．已知椭圆过定点，离心率.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)斜率为的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，求面积的最大值及此时直线的方程.

19．若函数.

(1)判断方程解的个数，并说明理由；

(2)当，设，求的单调区间.

20．设正整数数列满足．

(1)若，请写出所有可能的取值；

(2)记集合，证明：若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数；

(3)若为周期数列，求所有可能的取值.

四、双空题

21．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直抛物线准线于点.若为等边三角形，则点的横坐标为___________，的面积是________________.

参考答案：

1．A

【分析】由对数函数的性质和二次根式的性质求解．

【详解】由题意，解得．

故选：A．

2．D

【分析】根据点的坐标求得复数，再根据复数的乘法运算，即可求得结果.

【详解】由图可知，点的坐标为，故，

则.

故选：D.

3．C

【分析】由二项式写出展开式的通项，再判断常数项对应的r值，即可求常数项.

【详解】由题设，，

所以，当时常数项为.

故选：C

4．A

【分析】根据双曲线的焦点坐标求得，再求渐近线方程即可.

【详解】根据题意，，故可得，则，

故双曲线的渐近线方程为，故是其中一条渐近线.

故选：A.

5．C

【分析】对通过赋值，结合数列等比，求得，即可求得.

【详解】因为，故可得，

又数列是等比数列，公比为，则，即，解得或；

若，则；

若，则不满足题意，舍去.

故.

故选：C.

6．C

【分析】由已知，可通过频率分布直方图的性质求解出的值，然后设出样本数据的55%分位数为，根据题意列出等量关系，求解即可.

【详解】由直方图的性质可得：

，

解得，

由已知，设该样本数据的55%分位数大约是，由

，

解得.

故选：C.

7．B

【分析】由正弦定理解三角形后，根据充分必要条件的定义判断．

【详解】中，，由正弦定理，，，

，所以，可为锐角也可为钝角，

所以或，

因此“”是“”的必要不充分条件．

故选：B．

8．D

【分析】先计算圆心到直线距离的表达式，再结合弦长公式求解即可．

【详解】圆圆心为半径为

点到直线的距离为

则弦长为，得

解得

故选：D．

9．C

【分析】利用向量的几何意义，结合平面直角坐标系进行求解

【详解】如图以向量的起点为原点建立平面直角坐标系，设的终点为A，的终点为B，根据向量的几何意义可知的最小值，表达是A点到向量的距离，即图中虚线段的长度，

故可设向量所在的直线方程为，即，点，故

故选：C

10．C

【分析】根据线面位置关系、面面位置关系判断命题①③④，由棱锥体积公式判断②．

【详解】与显然不垂直，而，因此与显然不垂直，从而平面是错误的，①错；

，三棱锥中，平面即平面，到平面的距离为是定值，中，的长不变，到的距离不变，面积为定值，因此三棱锥体积是定值，②正确；

平面就是平面，而与平面相交，③错；

长方体中平面，平面，所以平面平面，即平面平面，④正确．

故选：C．

11．

【分析】利用并集概念及运算法则进行计算.

【详解】在数轴上画出两集合，如图：

.

故答案为：

12．4

【分析】根据对数运算和指数运算，结合已知条件，即可求得结果.

【详解】因为，则，则，即；

又.

故答案为：4.

13．

【分析】根据函数值域，直接写出满足条件的函数即可.

【详解】因为定义域为，且值域为满足题意.

故或其它满足题意的函数均可.

故答案为：.

14．①②④

【分析】理解新定义，对结论逐一判断

【详解】由题意得，若对于任意，线段上任意一点，都有，则集合是“凸集”，由此对结论逐一分析

对于①，，若对于任意满足，则，

由函数的图象知，对线段上任意一点，都有，即，故为“凸集”，①正确

对于②，若为“凸集”，则对于任意，此时，其中

对于任意，，故为“凸集”，②正确

对于③，可举反例，若，

易知都是“凸集”，而不是“凸集”，故③错误

对于④，若都是“凸集”， 则对于任意，任意

则，且，

故，故也是“凸集”

故答案为：①②④

15．(1)

(2)

【分析】（1）由三角函数性质求解

（2）由三角恒等变化公式化简后求解

（1）

因为，所以，

所以

所以此时

，此时

（2）

=

==

==

所以，最小正周期

16．(1)答案见解析；

(2).

【分析】（1）根据线面平行的判定，只需过点作与平面中任一一条直线平行的直线即可；

（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，利用向量法即可求得线面角的正弦值.

(1)

取的中点，连结，如下所示：

因为为正方体，为的中点，为的中点，所以//，

又因为平面，平面，所以//平面，

故过点可以作出与平面平行，也可以做出其它直线，答案不唯一.

(2)

因为是正方体，设其棱长为，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，

如下所示：

则有，，，，

所以，，，

设为平面的一个法向量，则，

所以有，令，可得，所以，

所以=，

设直线与平面所成的角为，则，

即直线与平面所成的角的正弦值为.

17．(1)

(2)分布列见解析，数学期望

(3)

【分析】（1）根据散点图可求得抽取的人中，身体素质监测成绩达到优秀的人数，由古典概型概率公式可得结果；

（2）首先可确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望；

（3）由两点分布方差计算公式可求得的值，由此可得大小关系.

【详解】（1）抽取的人中，身体素质监测成绩达到优秀有人，

从高一年级学生中任意抽测人，该生身体素质监测成绩达到优秀的概率.

（2）由散点图可知：高一（）班的名学生中，身体素质监测成绩达到优秀的人数为人，

所有可能的取值为，

；；；

则的分布列为：

数学期望.

（3）由散点图知：，，；

，，；

，，；

，，；

.

18．(1)

(2)1，

【分析】（1）由题意得出后写标准方程

（2）待定系数法设直线方程，与椭圆方程联立后由韦达定理表示弦长与面积，转化为函数求最值

【详解】（1）依题意可得

所以可解得，，

所以椭圆的标准方程为

（2）设直线的方程为，

联立方程组，消去得，化简得

所以，即

所以==

又原点到直线的距离

所以=

当且仅当即时取等号

所以，面积的最大值为，此时直线的方程为

19．(1)仅有一个，理由见解析；

(2)答案见解析.

【分析】（1）由题可得，进而可得函数的极大值为，即得；

（2）由题可得，分，，讨论即得.

【详解】（1）方程仅有一个解，

因为，

所以，

令可解得，

所以单调性如下表：

又，即的极大值为，

所以方程仅有一个解；

（2）因为，

所以，

令可得或

分类讨论如下：（i）当时，

所以的单调性如下

所以的单调增区间为，，单调减区间为；

（ii）当时，，此时恒成立

所以的单调增区间为，无单调减区间

（iii）当，，

所以的单调性如下

所以的单调增区间为，，单调减区间为.

20．(1)，，

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）根据递推公式求出、即可求出，再分类讨论，分别计算可得；

（2）首先证明如果存在为3的倍数，根据递推公式得到都是3的倍数，再证都是3的倍数，即可得证；

（3）依题意数列一定有最小值，设为，再或，即可得到当数列中出现或时数列为周期数列，即可得解；

【详解】（1）解：因为正整数数列满足，

当时，，所以，，所以，则或，即或，

当时，或，所以或；

当时，，所以；

所以的可能取值为、、；

（2）证明：如果存在正整数，满足是的倍数，则对，都是的倍数；

如果存在为3的倍数，根据，可知也是3的倍数，

以此类推，都是3的倍数；

另一方面，当时，由于，当为3的倍数时，可知也是3的倍数，以此类推，都是3的倍数；

综上所述，若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数；

（3）证明：

首先注意到是正整数数列，则数列一定有最小值，设为，下证或；

当为偶数时，设，则，与是最小值矛盾；                   

所以是奇数；不妨设，则是偶数，，                 

假设，则，与是最小值矛盾；

综上，只能是小于的正奇数，即或；                                    

当数列中出现1时，后面的项为4，2，1，4，2，1，4，2，1…循环；

当数列中出现3时，后面的项为6，3，6，3…循环；

所以数列为周期数列时，只能为1，2，3，4，6中某一个数；

经检验，当时，数列确实是周期数列；

21．     3；     .

【分析】利用等边三角形的性质，结合抛物线的定义、两点间距离公式进行求解即可.

【详解】设点，抛物线的准线为：，

焦点坐标为：，由题意可知：，

因为为等边三角形，所以有,

因此有，所以点的横坐标为；

因此，因此的面积是，

故答案为：3；