北京市西城区2022届高三下学期二模数学试卷（原卷+解析）

北京市西城区2022届高三下学期二模数学试卷

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

2．已知双曲线的焦点分别为，，，双曲线上一点满足，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．3

3．已知为等差数列，首项，公差，若，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（    ）

A． B．

C． D．

5．已知直线与圆：交于，两点，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．2

6．已知是单位向量，向量满足，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

7．已知函数，，那么“”是“在上是增函数”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8．已知，记关于的方程的所有实数根的乘积为，则（    ）

A．有最大值，无最小值 B．有最小值，无最大值

C．既有最大值，也有最小值 D．既无最大值，也无最小值

9．若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

10．如图为某商铺、两种商品在2022年前3个月的销售情况统计图，已知商品卖出一件盈利20元，商品卖出一件盈利10元.图中点、、的纵坐标分别表示商品2022年前3个月的销售量，点、、的纵坐标分别表示商品2022年前3个月的销售量.根据图中信息，下列四个结论中正确的是（    ）

①2月、两种商品的总销售量最多；

②3月、两种商品的总销售量最多；

③1月、两种商品的总利润最多；

④2月、两种商品的总利润最多.

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

二、填空题

11．二项式的展开式中的系数为21，则__________.

12．已知复数在复平面内所对应的点的坐标为，则为__________.

13．已知数列是首项为16，公比为的等比数列，是公差为2的等差数列.若集合中恰有3个元素，则符合题意的的一个取值为__________.

14．已知四棱锥的高为1，和均是边长为的等边三角形，给出下列四个结论：

①四棱锥可能为正四棱锥；

②空间中一定存在到，，，，距离都相等的点；

③可能有平面平面；

④四棱锥的体积的取值范围是.

其中所有正确结论的序号是__________.

三、解答题

15．在中，.

(1)求的大小；

(2)若，证明：.

16．2021年12月9日，《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》发布.义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分.其中过程性考核40分，现场考试30分.该评价方案从公布之日施行，分学段过渡、逐步推开.现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设置22项考试内容.某区在九年级学生中随机抽取1100名男生和1000名女生作为样本进行统计调查，其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为和，选考1分钟跳绳的比例分别为和.假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立.

(1)从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，估计该学生选考乒乓球的概率；

(2)从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率；

(3)已知乒乓球考试满分8分.在该区一次九年级模拟考试中，样本中选考乒乓球的男生有60人得8分，40人得7.5分，其余男生得7分；样本中选考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分.记这次模拟考试中，选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为，其中男生的乒乓球平均分的估计值为，试比较与的大小.（结论不需要证明）

17．如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E.

(1)求证：；

(2)若，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB与平面所成角的正弦值.条件①：平面平面；条件②：；条件③：.

18．已知函数.

(1)若，求的值；

(2)当时，

①求证：有唯一的极值点；

②记的零点为，是否存在使得？说明理由.

19．已知椭圆：的左顶点为，圆：经过椭圆的上、下顶点.

(1)求椭圆的方程和焦距；

(2)已知，分别是椭圆和圆上的动点（，不在坐标轴上），且直线与轴平行，线段的垂直平分线与轴交于点，圆在点处的切线与轴交于点.求线段长度的最小值.

20．已知数列：，，…，，其中是给定的正整数，且.令，，，，，.这里，表示括号中各数的最大值，表示括号中各数的最小值.

(1)若数列：2，0，2，1，-4，2，求，的值；

(2)若数列是首项为1，公比为的等比数列，且，求的值；

(3)若数列是公差的等差数列，数列是数列中所有项的一个排列，求的所有可能值（用表示）.

四、双空题

21．已知抛物线的焦点为，准线为，则焦点到准线的距离为___________；直线与抛物线分别交于、两点（点在轴上方），过点作直线的垂线交准线于点，则__________.

参考答案：

1．A

【分析】先求，再求并集即可

【详解】易得，故

故选：A

2．C

【分析】由双曲线的定义和焦距即可求出和的值，进而可求离心率.

【详解】因为，所以，

又因为，所以由双曲线的定义可知，解得，

则双曲线的离心率，

故选：.

3．D

【分析】首先求出通项公式，再代入得到方程，解得即可；

【详解】解：因为首项，公差，所以，

因为，所以，解得

故选：D

4．D

【分析】根据指对函数的性质判断A、B，由正弦函数性质判断C，对于D有，即可判断奇偶性和单调性.

【详解】由为奇函数且在上递增，

A、B：、非奇非偶函数，排除；

C：为奇函数，但在上不单调，排除；

D：，显然且定义域关于原点对称，在上递增，满足.

故选：D

5．B

【分析】利用圆的弦长、弦心距、半径关系，以及点线距离公式列方程求k值.

【详解】由题设且半径，弦长，

所以到的距离，

即，可得.

故选：B

6．C

【分析】根据向量数量积的定义即可求解.

【详解】依题意， ，

， ， ，

又∵ ， ，

故选：C.

7．A

【分析】求得当时，是增函数,进而判断时，函数的单调性，即可得出结果.

【详解】当，, 单调递增.

则当时，是增函数,

当时, 在单调递增，可得在上是增函数；

当时, 在单调递增，可得在上是增函数；

反之，当在上是增函数时，由，可知，此时，即不成立.

所以“”是“在上是增函数”的充分而不必要条件.

故选：A.

8．D

【分析】求出方程的实数根，从而可得，再根据指数函数的性质即可得解.

【详解】解：由，

得，所以或，

故，

所以函数既无最大值，也无最小值.

故选：D.

9．B

【分析】首先得到函数的定义域，再分析当时的取值，即可得到，再对时分和两种情况讨论，求出此时的取值，即可得到的值域，从而得到不等式，解得即可；

【详解】解：因为，所以的定义域为，，

当时，则在上单调递增，所以；

要使定义域和值域的交集为空集，显然，

当时，

若则，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，

若时在上单调递减，此时，

则，

所以，解得，即

故选：B

10．C

【分析】对①②，根据统计图的相关点纵坐标高低判断即可；

对③④，根据利润是的两倍，根据卖得更多的商品判断利润高低即可

【详解】对①②，根据统计图可得，，的纵坐标之和显然最大，故3月、两种商品的总销售量最多；故②正确；

对③④，因为商品卖出一件盈利20元，商品卖出一件盈利10元，根据统计图，若用对应的点表示对应点的纵坐标，则易得，故③正确

综上②③正确

故选：C.

11．7

【分析】写出二项式展开式通项，根据已知条件有，即可求n值.

【详解】由题设，展开式通项为，而的系数为21，

所以，即且，可得.

故答案为：7

12．

【分析】根据复数的定义以及运算规则即可求解.

【详解】由题意， ，则 ，

；

故答案为： .

13．（答案不唯一）

【分析】易得数列逐项递减，可先确定集合中的3项再列式求的范围即可

【详解】易得数列逐项递减，逐项递增，故可考虑，，

此时只需即可，即，解得，

故符合题意的的一个取值为（答案不唯一）

故答案为：（答案不唯一）

14．①②④

【分析】对①，分析当四棱锥为正四棱锥时是否满足条件即可；

对②，设四棱锥的高为，分析可得点满足；

对③，假设平面平面，再推导得出矛盾即可判断；

对④，设，得出四棱锥的体积表达式再求解即可

【详解】根据题意，设，则，又因为和均是边长为的等边三角形，易得，且

对①，当时，底面为正方形，且为底面中心，此时四棱锥可能为正四棱锥，故①正确；

对②，，故一定存在到，，，，距离都相等的点，故②正确；

对③，当平面平面时，因为，故平面，此时，又因为，此时重合，不满足题意，③错误；

对④，设，则

，因为，故，所以，故④正确

故答案为：①②④

15．(1)；

(2)证明见解析.

【分析】(1)利用降幂公式化简已知条件，求出tanB即可求出B；

(2)结合余弦定理和已知条件即可证明．

【详解】（1）在中，∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴；

（2）∵，∴．

由余弦定理得①，

∵，∴②，

将②代入①，得，

整理得，∴．

16．(1)

(2)0.32

(3)

【分析】（1）分别求出样本中男生和女生的人数，再由频率估计概率即可得解；

（2）根据题意易得从该区九年级全体男生中随机抽取1人和从该区九年级全体女生中随机抽取1人选考跳绳的概率，再分2个男生选考跳绳和1个男生和1个女生选考跳绳结合独立事件的概率公式即可得解；

（3）根据平均数公式分别求出，即可得解.

【详解】（1）解：样本中男生的人数为人，

样本中女生的人数为人，

设从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，该学生选考乒乓球为事件，

则该学生选考乒乓球的概率；

（2）解：设从该区九年级全体男生中随机抽取1人，选考跳绳为事件，

从该区九年级全体女生中随机抽取1人，选考跳绳为事件，

由题意，

则从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率为；

（3）解：，

，

所以.

17．(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）由棱柱的性质可得，即可得到平面，再根据线面平行的性质证明即可；

（2）选①②，连接，取中点，连接，，即可得到，根据面面垂直的性质得到平面，即可得到，再由，即可建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；

选②③，连接，取中点，连接，，依题意可得，再由勾股定理逆定理得到，即得到平面，后续同①②；

选①③，取中点，连接，，即可得到，由面面垂直的性质得到平面，从而得到，再由勾股定理逆定理得到后续同①②；

【详解】（1）在三棱柱中，，又面，面，

所以平面，又面面，面，

所以.

（2）选①②：连接，取中点，连接，.

在菱形中，所以为等边三角形.

又为中点，所以，

又面面，面面， 平面，

所以平面，平面，

故，又，所以.

以为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则，，，，.

所以，.

设面的一个法向量为，则，令，故.

又，设直线与面所成角为，则.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

选②③：连接，取中点，连接，.

在菱形中，所以为等边三角形.

又为中点，故，且，又，.

所以，则.

又，面，所以面，

由平面，故，又，所以.

以为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则，，，，.

所以，.

设面的一个法向量为，则，令，故.

又，设直线与面所成角为，则.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

选①③：取中点，连接，.

在中，因为，所以，且，.

又面面，面面，面，

所以平面，又平面，所以.

在中，，又，，

所以，则.

由，面，则面，

由平面，故，又，所以.

以为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则，，，，.

所以，.

设面的一个法向量为，则，令，故.

又，设直线与面所成角为，则.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

18．(1)

(2)①证明见解析，②不存在，详细见解析.

【分析】（1）求得导函数，由，代入计算即可.

(2) ①求得设, 由函数性质可知在上单调递减.进而由，可得有有唯一解，进而利用导数可判断有唯一的极值点.

②由题意，可得假设存在a，使，进而可知由在单调递减，，则，求得，与已知矛盾，则假设错误.

【详解】（1）因为，所以

因为，所以

（2）①的定义域是，

令，则.

设,因为在上单调递减，

所以在上单调递减.

因为，所以在上有唯一的零点，|

所以有有唯一解，不妨设为.

与的情况如下,

所以有唯一的极值点.

②由题意，，则

若存在a，使，则，所以

因为在单调递减，，

则需，即，与已知矛盾.

所以，不存在,使得.

19．(1)，；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，求出，写出椭圆C的方程并计算焦距作答.

（2）设出点P，Q坐标，求线段AP中垂线方程得点M，求圆O在点Q处的切线方程得点N，再借助均值不等式求解作答.

【详解】（1）依题意，，由，得，

所以椭圆C的方程为：，焦距为.

（2）设，则，依题意，设，且，

因，则线段AP的中点为，直线AP的斜率，

则线段AP的中垂线方程为：，

令得点M的纵坐标，而，则，即，

直线OQ的斜率，因此，圆O在点Q处的切线斜率为，

切线方程为，令得点N的纵坐标，即，

则有，当且仅当，即时取“=”，

所以线段长度的最小值为.

【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.

20．(1)，；

(2)；

(3)所有可能值为.

【分析】（1）根据函数定义写出，即可.

（2）讨论数列A的项各不相等或存在相等项，当各项都不相等，根据题设定义判断，当存在相等项，由等比数列通项公式求q，进而确定的值；

（3）利用数列A的单调性结合（2）的结论求的取值范围，估计所有可能取值，再应用分类讨论求证对应所有可能值均可取到，即可得结果.

【详解】（1）由题设，，，，则，

，，，则，

所以，.

（2）若数列任意两项均不相等，

当时；

当且时，，

又，，

此时；

综上，，故，不合要求；

要使，即存在且使，即，

又，则，

当，则，不合要求；

当，则，满足题设；

综上，.

（3）由题设数列单调递增且，

由（2）知：，

根据题设定义，存在且，，

则，

由比数列中个项大，，同理，

所以；

又至少比数列中一项小，，同理，

所以；

综上，.

令数列，下证各值均可取到，

ⅰ、当，而数列递增，

，且，

此时，，，

则；

ⅱ、当时，，则，

当且时，令，则，

所以，，

此时；

ⅲ、给定，

令()且()，

则()，()，

又数列递增，，

()，()，

所以，

此时且，

故，

综上，.

【点睛】关键点点睛：第三问，首先根据数列的单调性和定义求的取值范围，再由定义结合分类讨论求证范围内所有可能值都可取到.

21．     2    

【分析】求出焦点及准线方程，从而可得焦点到准线的距离，作交准线于点，易得直线过焦点，则从而可得出答案.

【详解】解：抛物线的焦点，准线为，，

所以焦点到准线的距离为2，

如图，作交准线于点，

因为直线过焦点，

则，

因为，所以轴，

又直线的倾斜角为，

所以，所以，

则.

故答案为：2；