第十二章 证明 【过关测试基础】（原卷+解析）-七年级数学下册单元复习过过过（苏科版）

第十二章 证明（简单）

一．选择题（共8小题）

1．下列命题正确的是（　　）

A．三角形的角平分线，中线，高均在三角形内部 

B．三角形中至少有一个内角不小于60° 

C．直角三角形仅有一条高 

D．直角三角形斜边上的高等于斜边的一半

【分析】根据三角形的中线、高、角平分线的定义，三角形的内角和定理，直角三角形的斜边上的中线的性质一一判断即可．

【解答】解：A、钝角三角形的高在三角形的外部．故错误；

B、根据内角和定理，可知三角形中至少有一个内角不小于60°．故正确；

C、直角三角形有3条高，其中2条在它的直角边上．故错误；

D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故错误．

故选：B．

【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．

判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

2．下面a、b的取值，能够说明命题“若a＜b，则|a|＜|b|”是假命题的是（　　）

A．a＝2，b＝3 B．a＝﹣2，b＝3 C．a＝﹣5，b＝﹣3 D．a＝﹣3，b＝5

【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断即可．

【解答】解：当a＝﹣5，b＝﹣3时，a＜b，而|a|＞|b|，

所以能够说明命题“若a＜b，则|a|＜|b|”是假命题的是a＝﹣5，b＝﹣3，

故选：C．

【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．

3．对假命题“若a＞b，则a2＞b2”举一个反例，符合要求的反例是（　　）

A．a＝﹣1，b＝﹣2 B．a＝2，b＝一1 C．a＝2，b＝1 D．a＝﹣1，b＝0

【分析】根据有理数的大小比较法则、有理数的乘方法则计算，判断即可．

【解答】解：当a＝﹣1，b＝﹣2时，a＞b，而a2＜b2，

∴“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，

故选：A．

【点评】本题考查的命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

4．下列命题中，假命题的是（　　）

A．直角三角形的两个锐角互余 

B．等腰三角形的两底角相等 

C．面积相等的两个三角形全等 

D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

【分析】根据直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的概念、等边三角形的判定定理判断即可．

【解答】解：A、直角三角形的两个锐角互余，本选项说法是真命题；

B、等腰三角形的两底角相等，本选项说法是真命题；

C、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；

D、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，本选项说法是真命题；

故选：C．

【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

5．下列命题中，假命题是（　　）

A．直角三角形的两个锐角互余 

B．三角形的外角和等于360° 

C．同位角相等 

D．三角形的任意两边之差小于第三边

【分析】根据三角形的内角和对A进行判断；根据多边形的外角为360度对B进行判断；根据平行线的性质对C进行判断；根据三角形三边的关系对D进行判断．

【解答】解：A、直角三角形的两个锐角互余，所以A选项为真命题；

B、三角形的外角和等于360°，所以B选项为真命题；

C、两直线平行，同位角相等，所以C选项为假命题；

D、三角形的任意两边之差小于第三边，所以D选项为真命题．

故选：C．

【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

6．命题“若a＝b，则|a|＝|b|”与其逆命题的真假性为（　　）

A．原命题与其逆命题都是真命题 

B．原命题与其逆命题都是假命题 

C．原命题是假命题，其逆命题是真命题 

D．原命题是真命题，其逆命题是假命题

【分析】写出其逆命题，进而判断即可．

【解答】解：命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题为：若|a|＝|b|，则a＝b，是假命题，而命题“若a＝b，则|a|＝|b|”是真命题；

故选：D．

【点评】本题考查命题的真假判断，考查原命题、逆命题等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．

7．给出下列5个命题：①两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；②互补的两个角中一定是一个为锐角，另一个为钝角；③平行于同一条直线的两条直线平行；④两直线平行，同旁内角相等．其中真命题的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】根据全等三角形的判定定理、补角的定义、平行公理、平行线的性质判断即可．

【解答】解：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，①是真命题；

互补的两个角中是一个为锐角，另一个为钝角或两个角都是直角，②是假命题；

平行于同一条直线的两条直线平行，③是真命题；

两直线平行，同旁内角相等，④是假命题，

故选：B．

【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

8．下列命题中正确的是（　　）

A．数轴上的点与实数一一对应 

B．无理数是带根号的数 

C．无限小数都是无理数 

D．零是最小的实数

【分析】根据实数与数轴、无理数的概念判断即可．

【解答】解：A、数轴上的点与实数一一对应，本选项说法正确，符合题意；

B、无理数是无限不循环小数，故本选项说法错误，不符合题意；

C、无限不循环小数都是无理数，故本选项说法错误，不符合题意；

D、没有最小的实数，故本选项说法错误，不符合题意；

故选：A．

【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握实数与数轴、无理数的概念是解题的关键．

二．填空题（共7小题）

9．命题“若ac＜bc，则a＜b”是　假　命题．（填“真”或“假”）

【分析】根据不等式的性质3、假命题的概念解答即可．

【解答】解：当ac＜bc，c＜0时，a＞b，

∴命题“若ac＜bc，则a＜b”是假命题，

故答案为：假．

【点评】本题考查的是命题的真假判断、不等式的性质，掌握假命题的概念、不等式的基本性质3是解题的关键．

10．命题“如果|a|＝|b|，那么a3＝b3”，是 　假　（选填“真”或“假”）命题．

【分析】根据绝对值的性质、有理数的乘方法则计算，判断即可．

【解答】解：当a＝﹣2，b＝2时，a3＝﹣8，b3＝8，此时|a|＝|b|，但a3≠b3”，

故命题“如果|a|＝|b|，那么a3＝b3”，是假命题，

故答案为：假．

【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．

11．“等角的补角相等”的条件是　两个角分别是某两个相等角的补角　，结论是　这两个角相等　．

【分析】把命题写成“如果…那么…的形式”，则如果后面为条件，那么后面为结论．

【解答】解：等角的补角相等的条件是两个角分别是某两个相等角的补角，结论为这两个角相等．

故答案为两个角分别是某两个相等角的补角，这两个角相等．

【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．

12．“同位角相等”的逆命题是　相等的角是同位角　．

【分析】“同位角相等”的题设为两个角为同位角，结论为这两个角相等，然后交换题设与结论即可得到原命题的逆命题．

【解答】解：“同位角相等”的逆命题为：相等的两个角为同位角．

故答案为：相等的角是同位角．

【点评】本题考查了逆命题，关键找出题设和结论部分，然后交换题设和结论即为逆命题．

13．命题：“平行于同一条直线的两条直线平行”的题设是　两条直线平行于同一条直线　，结论是　这两条直线平行　．

【分析】每一个命题都一定能用“如果…那么…”的形式来叙述．“如果”后面的内容是“题设”，“那么”后面的内容是“结论”．

【解答】解：命题：“平行于同一条直线的两条直线平行”的题设是两条直线平行于同一条直线，结论是这两条直线平行．

【点评】解决本题的关键是理解命题的题设和结论的定义．题设是命题的条件部分，结论是由条件得到的结论．

14．用一组a，b的值说明“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，若小亮取a＝3，则b＝　﹣4（答案不唯一）　．

【分析】举出一个反例：a＝3，b＝﹣4，说明命题“若a＞b，则a2＞b2”是错误的即可．

【解答】解：当a＝3，b＝﹣4时，满足a＞b，但是a2＜b2，

∴命题“若a＞b，则a2＞b2”是错误的．

故答案为：﹣4（答案不唯一）．

【点评】此题主要考查了命题与定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

15．要通过“举反例”的方法说明命题“因为3＜5，所以3m＜5m”是错误的，可以举的m值为 　﹣2（答案不唯一）．　．（写出一个即可）

【分析】根据不等式的性质分别举出m的值即可．

【解答】解：当m＜0时满足3＜5，且3m＞5m，

如m＝﹣2时，3×（﹣2）＜5×（﹣2）是错误的，

故答案为：﹣2（答案不唯一）．

【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质，难度不大．

三．解答题（共7小题）

16．如图，从①∠1＝∠2②∠C＝∠D③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题．

（1）这三个命题中，真命题的个数为 　3　；

（2）选择一个真命题，并且证明，（要求写出每一步的依据）

如图，已知 　①∠1＝∠2，②∠C＝∠D　，

求证：　③∠A＝∠F　

证明：　∵∠1＝∠2，∠1＝∠3（已知），

∴∠3＝∠2（等量代换），

∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行），

∴∠D＝∠4（两直线平行，同位角相等），

∵∠C＝∠D（已知），

∴∠4＝∠C（等量代换），

∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行），

∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）．　

【分析】（1）直接利用平行线的判定与性质得出题设和结论的正确性；

（2）根据同位角相等，两直线平行得出DB∥EC，DF∥AC，然后根据平行线的性质得出结论．

【解答】解：（1）由 ①②，得 ③；由①③，得②；由②③，得①；均正确，

故答案为3

（2）如图所示：

∵∠1＝∠2，∠1＝∠3（已知），

∴∠3＝∠2（等量代换），

∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行），

∴∠D＝∠4（两直线平行，同位角相等），

∵∠C＝∠D（已知），

∴∠4＝∠C（等量代换），

∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行），

∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）．

证明步骤同上．

故答案为：①∠1＝∠2，②∠C＝∠D；∠A＝∠F；

【点评】此题主要考查了平行线的判定和性质，正确掌握平行线的判定与性质是解题关键．

17．（1）已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，∠B+∠1＝180°，∠2＝∠3．求证：∠B+∠F＝180°．

（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题．

【分析】（1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断AB∥CD，CD∥EF，则利用平行线的传递性得到AB∥EF，然后根据平行线的性质得到结论；

（2）利用了平行线的判定与性质定理求解．

【解答】（1）证明：∵∠B+∠1＝180°，

∴AB∥CD，

∵∠2＝∠3，

∴CD∥EF，

∴AB∥EF，

∴∠B+∠F＝180°；

（2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．

【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

18．给出：①BE平分∠ABC；②CD⊥AB；③∠CFE＝∠CEF，从中选择两个填在下面的文字“且”之后，再将剩余的一个作为结论填在“则”后面，构成一个命题．判断命题是否正确，并说明理由．

如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别在边AB、AC上，且　BE平分∠ABC，CD⊥AB　，则　∠CFE＝∠CEF　．

【分析】根据题意写出已知和求证，根据角平分线的定义、直角三角形的性质证明即可．

【解答】解：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别在边AB、AC上，且BE平分∠ABC，CD⊥AB，则∠CFE＝∠CEF，

证明：∵BE平分∠ABC，

∴∠CBE＝∠ABE，

∵∠ACB＝90°，

∴∠CBE+∠CEF＝90°，

∵CD⊥AB，

∴∠ABE+∠BFD＝90°，

∴∠CEF＝∠BFD，

∵∠CFE＝∠BFD，

∴∠CFE＝∠CEF．

故答案为：BE平分∠ABC，CD⊥AB；∠CFE＝∠CEF．

【点评】本题考查的是命题和定理、角平分线的定义、直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．

19．已知，一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合图探索这两个角的关系．

（1）如图1，AB∥EF，BC∥ED，∠1与∠2的关系是 　∠1＝∠2　．

证明：

（2）如图2，AB∥EF，BC∥DE，则∠1与∠2的关系是 　∠1+∠2＝180°　．

证明：

（3）经过探索，综合上述，我们可以得一个真命题是 　如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补　．

【分析】（1）根据平行线的性质易得∠1＝∠3，∠2＝∠3，则∠1＝∠2；

（2）根据平行线的性质易得∠1＝∠3，∠2+∠3＝180°，所以∠1+∠2＝180°；

（3）由（1）和（2）的结论进行回答．

【解答】解：（1）∠1＝∠2．

证明如下：∵AB∥CD，

∴∠1＝∠3，

∵BE∥DF，

∴∠2＝∠3，

∴∠1＝∠2；

（2）∠1+∠2＝180°．

证明如下：∵AB∥CD，

∴∠1＝∠3，

∵BE∥DF，

∴∠2+∠3＝180°，

∴∠1+∠2＝180°；

（3）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．

故答案为：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．

【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．

20．如图，①AB∥CD，②BE平分∠ABD，③∠1+∠2＝90°，④DE平分∠BDC．

（1）请以其中三个为条件，第四个为结论，写出一个命题；

（2）判断这个命题是否为真命题，并说明理由．

【分析】（1）根据命题的概念写出一个命题；

（2）根据角平分线的定义、平行线的判定定理证明结论．

【解答】解：（1）如果BE平分∠ABD，∠1+∠2＝90°，DE平分∠BDC，那么AB∥CD；

（2）这个命题是真命题，

理由如下：∵BE平分∠ABD，

∴∠1∠ABD，

∵DE平分∠BDC，

∴∠2∠BDC，

∵∠1+∠2＝90°，

∴∠ABD+∠BDC＝180°，

∴AB∥CD．

【点评】本题考查的是命题的真假判断、平行线的判定、角平分线的定义，掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题是解题的关键．

21．下面的判断是否正确，为什么？

（1）对于所有的自然数n，n2的末位数都不是2．

（2）当n＝0，1，2，3，4，5时，n2+n的值是偶数吗？你能否得到结论：对于所有的自然数n，n2+n的值都是偶数．

【分析】（1）根据0到9的数的平方的末位数只能为0，1，4，5，6，9进行判断；

（2）由于为n2+n＝n（n+1），则可根据任意两个连续自然数的积为偶数进行判断．

【解答】解：（1）正确．因为对于0到9的数的平方的末位数只能为0，1，4，5，6，9，所以对于所有的自然数n，n2的末位数都不是2．

（2）正确．因为n2+n＝n（n+1），即n2+n的值为任意两个连续自然数的积，所以n2+n的值都是偶数．

【点评】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．

22．如图所示：

（1）若DE∥BC，∠1＝∠3，∠CDF＝90°，求证：FG⊥AB．

（2）若把（1）中的题设“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否是真命题？说明理由．

【分析】（1）直接利用平行线的性质以及结合平行线的判定方法分析得出答案；

（2）直接利用平行线的性质以及结合平行线的判定方法分析得出答案．

【解答】（1）证明：∵DE∥BC（已知），

∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），

∵∠1＝∠3（已知），

∴∠2＝∠3，

∴DC∥FG（同位角相等，两直线平行），

∴∠BFG＝∠FDC＝90°（两直线平行，同位角相等）

∴FG⊥AB（垂直定义）；

（2）解：是真命题．

理由：∵FG⊥AB（已知），

∴∠BFG＝90°＝∠FDC，

∴DC∥FG（同位角相等，两直线平行），

∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），

∵∠1＝∠3（已知），

∴∠1＝∠2（等量代换），

∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．

【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，正确掌握相关判定与性质是解题关键．