综合复习与测试（5）（第三四章）（巩固篇）（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

综合复习与测试（5）（第三四章）（巩固篇）

（专项练习）

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．＝（　　）

A．±4 B．4 C．±2 D．2

2．在，，0，这四个数中，为无理数的是( )

A． B． C． D．

3．由下列条件不能判定为直角三角形的是（    ）

A． B．，，

C．  D．，，

4．下列各式中正确的是　　

A． B．

C． D．

5．无理数2﹣3在（　　）

A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间

6．在△ABC中，AB=1，BC=，下列选项中，可以作为AC长度的是（　　）

A．2 B．4 C．5 D．6

7．若与的和是单项式，则的平方根为（　　）．

A．4 B．8 C．±4 D．±8

8．已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（    ）．

A．8 B．6或8 C．7 D．7或8

9．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ）

A．B．C． D．

10．如图，在中，，，，按下列步骤作图：步骤1：以点为圆心，小于的长为半径作弧分别交、于点、．步骤2：分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点．步骤3：作射线交于点．则的长为（      ）

A．6 B． C． D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

11．27的立方根为_____．

12．若，则_________．

13．与 最接近的自然数是 ________．  

14．已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状为_______ ．

15．如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是 _____．

16．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm．

17．如图，在中，，，，点，分别在，上，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在上，连接，若，则的长为_________．

18．观察下列各式：

，

，

，

……

请利用你所发现的规律，

计算+++…+，其结果为_______．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）

19．（8分）计算：

(1)      (2)

20．（8分）求下列各式中的x值：

(1) （3x＋1）2＝49     (2) 2（x－1）3＋128＝0

21．（10分）（1）如图①是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；

（2）如图②，，且B、C、D三点在一条直线上．试证明；

（3）伽菲尔德（Garfield，1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图②证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试该证明过程．

22．（10分）如图，等边中，，D是的中点，E是延长线上的一点，，垂足为F．

(1) 求的长；

(2) 求证：；

(3) 求的面积．

23．（10分）如图1，，，，BD、CE相交于点F．

(1)  求证：；

(2)  如图2，当时，取CE、BD的中点分别为点M、N，连接AM、AN、MN，求证：；

(3)  在（2）问的条件下直接写出AM和MN的数量关系．

24．（12分）如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到如图（2）的大正方形．

问题发现

若大正方形的面积为，则小正方形的面积是__________，边长为___________；

知识迁移

某兴趣小组想将图（1）中的一个小正方形纸片，沿与边平行的方向剪裁出面积为，且长宽之比为3∶2的长方形纸片．兴趣小组能否剪裁出符合要求的长方形纸片？请说明理由．

拓展延伸

如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由．

参考答案

1．B

【分析】表示16的算术平方根，为正数，再根据二次根式的性质化简．

解：，

故选B．

【点拨】本题考查了算术平方根，本题难点是平方根与算术平方根的区别与联系，一个正数算术平方根有一个，而平方根有两个．

2．A

解：试题解析：在，，0，这四个数中，是无理数

故选A.

考点：无理数.

3．D

【分析】根据直角三角形的性质，结合选项中所给的条件逐项判定：当，根据三角形内角和定理可以判定三角形是直角三角形；当，，，根据勾股定理的逆定理确定三角形是直角三角形；根据，展开后根据勾股定理的逆定理即可判断三角形是直角三角形；当，，，结合勾股定理的逆定理即可判断三角形不是直角三角形，从而确定答案．

解：，，

，

为直角三角形，故A不符合题意；

，，，

，

是直角三角形，故B不符合题意；

，

即，

是直角三角形，故C不符合题意；

，，，

，

不是直角三角形，故D符合题意，

故选：D．

【点拨】本题考查直角三角形的判定，涉及到三角形内角和定理、直角三角形角的性质和勾股定理的逆定理，熟练掌握直角三角形的判定是解决问题的关键．

4．D

【分析】原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值．

解：A.原式=3，不符合题意；

B.原式=|-3|=3，不符合题意；

C.原式不能化简，不符合题意；

D.原式=2-=，符合题意，

故选：D．

【点拨】本题考查了立方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解题的关键．

5．B

【分析】首先得出2的取值范围进而得出答案．

解：∵2=，

∴6＜＜7，

∴无理数2-3在3和4之间．

故选B．

【点拨】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键．

6．A

【分析】根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可以得到AC的长度可以取得的数值的取值范围，从而可以解答本题．

解：∵在△ABC中，AB=1，BC=，

∴﹣1＜AC＜+1，

∵﹣1＜2＜+1，4＞+1，5＞+1，6＞+1，

∴AC的长度可以是2，

故选项A正确，选项B、C、D不正确；

故选：A．

【点拨】本题考查了三角形三边关系以及无理数的估算，解答本题的关键是明确题意，利用三角形三边关系解答．

7．D

【分析】根据单项式的定义可得和是同类项，因此可得参数m、n,代入计算即可.

解：由与的和是单项式，得

．

，64的平方根为．

故选D．

【点拨】本题主要考查单项式的定义，关键在于识别同类项，根据同类项计算参数.

8．D

【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分a的值是腰长与底边两种情况讨论求解．

解：∵，

∴

解得，

①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、3，能组成三角形，周长=2+2+3=7；

②2是底边时，三角形的三边分别为2、3、3，能组成三角形，周长=2+3+3=8，

所以该等腰三角形的周长为7或8．

故选：D．

【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值与算术平方根的非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．

9．D

解：试题分析：根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，则AB=10﹣x，BC=6，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=（10﹣x）2．

故选D．

考点：勾股定理的应用

10．B

【分析】过点F作FG⊥AB于点G，根据作图信息及角平分线的性质可推出FC＝FG，再利用等面积法求出，最后由勾股定理即可求得结果．

解：过点F作FG⊥AB于点G，

由尺规作图可知，AF平分∠BAC，

∵，

∴FC⊥AC，

∴FC＝FG，

在中，，，，

∴，

∵，

∴，

即，

解得，

在中，由勾股定理得；

故选：B．

【点拨】本题考查了角平分线的作法与性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的作法与性质及利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．

11．3

【分析】找到立方等于27的数即可．

解：∵33=27，

∴27的立方根是3，

故答案为：3．

12．5

【分析】根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解．

解：根据题意得，，，

解得，，

∴．

故答案为：5．

【点拨】本题考查了绝对值非负性，算术平方根非负性的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．

13．2

【分析】先根据得到，进而得到，因为14更接近16，所以最接近的自然数是2．

解：，可得，

∴，

∵14接近16，

∴更靠近4，

故最接近的自然数是2．

故答案为：2．

【点拨】本题考查无理数的估算，找到无理数相邻的两个整数是解题的关键．

14．等腰直角三角形

解：∵，

∴c2－a2－b2=0，且a－b=0．

由c2－a2－b2=0得c2=a2＋b2，

∴根据勾股定理的逆定理，得△ABC为直角三角形．

又由a－b=0得a=b，

∴△ABC为等腰直角三角形．

故答案为：等腰直角三角形．

15．12

【分析】延长BE交AD于点F，由“ASA”可证△BCE≌△FDE，可得DF＝BC＝5，BE＝EF，由勾股定理可求AB的长．

解：如图，延长BE交AD于点F，

∵点E是DC的中点，

∴DE＝CE，

∵AB⊥BC，AB⊥AD，

∴AD∥BC，

∴∠ D＝∠BCE，∠FED＝∠BEC，

∴ △BCE≌△FDE（ASA），

∴DF＝BC＝5，BE＝EF，

∴BF＝2BE＝13，AF=5,

在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB＝12．

故答案为：12．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

16．15

【分析】过作于，作关于的对称点，连接交于，连接，则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出，，根据勾股定理求出即可．

解：沿过的圆柱的高剪开，得出矩形，

过作于，作关于的对称点，连接交于，连接，

则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，

，，

，

，，

在△中，由勾股定理得：，

故答案为：15．

【点拨】本题考查了勾股定理，轴对称最短路线问题的应用，解题的关键是找出最短路线．

17．7.5

【分析】在中，利用勾股定理求出的长，然后根据得出，再根据折叠的性质可得．根据求得的长．

解：在中，

，

，，

．

，

，

，

．

．

．

．

将沿直线翻折，点的对应点恰好落在上，

．

．

故答案为：7.5．

【点拨】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键是在直角三角形中根据通过推理论证得到是斜边上的中线．

18．

【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．

解：由题意可得：

+++…+

=+1++1++…+1+

=9+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）

=9+

=．

故答案为．

【点拨】：此题主要考查了数字变化规律，正确将原式变形是解题关键．

19．(1)0(2)36

【分析】（1）根据算术平方根的意义计算即可．

（2）根据算术平方根、立方根的定义计算即可．

解：（1）

=

=0．

（2）

=

=

=36．

【点拨】本题考查了算术平方根即平方根中正的那个根，立方根即若，则x叫做a的立方根，熟练掌握求算术平方根，立方根是解题的关键．

20．(1)x＝2或－(2)x＝－3

【分析】（1）直接开平方根，即可求出答案；

（2）先移项整理，然后开立方根，即可求出答案．

（1）解：（3x＋1）2＝49

∴3x＋1＝±7

即3x＋1＝7或3x＋1＝－7

∴x＝2或－；

（2）解：2（x－1）3＋128＝0

∴（x－1）3＝－64

∴x－1＝＝－4

∴x＝－3；

【点拨】本题考查了利用平方根、立方根求未知数的值，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．

21．（1） ；（2）见分析；（3）见分析

【分析】（1）用两种方式表示大正方形的面积，即可得到结论；

（2）根据全等三角形的性质，即可得到结论；

（3）用两种方式表示梯形的面积，即可得到结论．

（1）解：由题意得：大正方形面积= ，大正方形面积=．

∴

（2）证明：

，

，

由于B、C、D在一条直线上，

∴；

（3）证明：梯形的面积= ．

另一方面，梯形可分成三个直角三角形，其面积=．

∴，即．

【点拨】本题主要考查勾股定理的推理，全等三角形的性质以及完全平方公式，根据图形的特征用两种方式变式同一个图形的面积是关键．

22．(1)(2)见分析(3)

【分析】（1）依据等边三角形的性质，即可得到的长，进而运用勾股定理得出的长；

（2）依据等腰三角形的性质，即可得到；

（3）先求得，再根据，即可得出，进而得到的面积．

（1）解：∵是等边的中线，

∴，平分，

∵，

∴，

∴由勾股定理得，；

（2）证明：∵是等边的中线，

∴平分，

∴，

又∵，

∴．

∴，

∴．

∵，

∴为底边上的中线．

∴；

（3）解：∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴的面积．

【点拨】本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为的知识的运用．

23．(1)见分析(2)见分析(3)AM=MN

【分析】（1）由SAS可证△ABD≌△ACE，即可解决问题；

（2）先证明△ACE≌△ABD，得到CE=BD，∠AEC=∠ADB，再证明△AEM≌△AND，即可解决问题；

（3）由△AEM≌△AND，∠MAE=∠NAD，由∠MAE+∠EAN=∠NAD+∠EAN，进而可以解决问题．

解：（1）证明：∵∠CAB=∠DAE，

∴∠DAB=∠EAC，

又∵AC=AB，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD=CE；

（2）证明：∵∠CAB=∠DAE=90°，

∴∠EAC=∠DAB，

又∵AC=AB，AD=AE，

∴△ACE≌△ABD（SAS），

∴CE=BD，∠AEC=∠ADB，

∵CE、BD的中点分别为点M、N，

∴EM=CE，DN=BD，

∴EM=DN，

又∵∠AEC=∠ADB，AE=AD，

∴△AEM≌△AND（SAS），

∴AM=DN．

（3）解：AM=MN，理由如下：

由（2）知△AEM≌△AND，

∴∠MAE=∠NAD，

∴∠MAE+∠EAN=∠NAD+∠EAN=∠DAE=90°，

∴∠MAN=90°，

∴MA⊥NA，

∵AM=AN，

∴△MAN是等腰直角三角形，

∴AM=MN．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，以及勾股定理等知识，解题的关键是证明△ACE≌△ABD．

24．问题发现：小正方形的面积为，边长为4

知识迁移：不能裁出符合要求的长方形纸片

拓展延伸：能把它剪开并拼成一个大正方形，示意图见分析，大正方形边长为

【分析】问题发现：先求出小正方形的面积，再根据正方形的面积等于边长的平方求边长；

知识迁移：设长和宽分别为3x、2x，利用面积列方程，最后检验即可；

拓展延伸：新的大正方形面积为5，则边长为，可以把它剪开并拼成一个大正方形．

解：问题发现：

小正方形的面积为，

∴小正方形的边长为4．

故答案为：16；4．

知识迁移：

设长和宽分别为3x、2x，

由题意得：，

整理得：，

∵实际问题x为正数，

∴，

∴长方形的长为，

即裁剪后的长方形的长大于小正方形的边长，

∴不能裁出符合要求的长方形纸片．

拓展延伸：能把它剪开并拼成一个大正方形，裁剪示意图如图所示：

∵原图形的面积是5，

∴裁剪后的正方形面积也是5，

∴大正方形边长为．

【点拨】本题考查了算术平方根的实际应用、正方形的面积和正方形的有关画图，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键．