综合复习与测试（3）（第一二章）（培优篇）（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

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综合复习与测试（3）（第一二章）
（培优篇）（专项练习）
一、 单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BE的两侧，AB∥DE，BF＝CE，添加一个适当的条件后，仍不能使得△ABC≌△DEF（　　）

A．AC＝DF B．AC∥DF C．∠A＝∠D D．AB＝DE
2．如果△ABC的三边长分别为3、5、7，△DEF的三边长分别为3，3x-2，2x-1，若这两个三角形全等，则x的值为(   )
A． B．4 C．3 D．5
3．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝12，∠B＝60°，将△ABC沿着射线BC的方向平移4个单位后，得到△，连接A′C，则△的面积是（　　）

A．16 B． C． D．
4．如图，在的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点，，，都在格点上，连接，相交于，那么的大小是（   ）

A． B． C． D．
5．若二元一次方程组的解x，y的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则m的值为（  ）
A．4 B．1.5或2 C．2 D．4或2
6．如图，E是BC延长线上的一点，AD∥BC，BD，CD，AP，DP分别平分∠ABC，∠ACE，∠BAC，∠BDC，则∠P的度数为（   ）

A．30° B．42° C．45° D．50°
7．如图所示,在中，，AD平分，于点E，则下列结论：①DA平分；②∠=∠；③DE平分∠；④．其中正确的有（    ）

A．①② B．①④ C．③④ D．①②④
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，AE是中线，过点B作BF⊥AE于点F，过点C作CD⊥BC交BF的延长线于点D．下列结论：①BE＝CE；②AE＝BD；③∠BAE＝∠CBD；④∠EAC＝∠BAE；⑤BC＝2CD．正确的个数是（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．如图，在中，，点为线段上一动点不与点，重合，连接，作，交线段于点下列结论：
；
若，则；
当时，则为中点；
当为等腰三角形时，．
其中正确的有个．(    )

A．个 B．个 C．个 D．个
10．如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到△ECF．若BC＝1，则△ECF的周长为（　　）

A． B． C． D．
二、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=10,AC=4,则AD的取值范围是_____.
12．等腰△ABC两腰上的高所在直线夹角为45°，则顶角∠A的度数为 _____．
13．如图，在中，，，平分，于，若，则为______．

14．如图，在四边形ABCD中，AD＝AB，DC＝BC，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，E在AD上，F是AB延长线上一点，且DE＝BF，若G在AB上，且∠ECG＝60°，则DE、EG、BG之间的数量关系是_____．

15．如图，在第1个中，，；在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长到，使，得到第3个，…按此做法继续下去，则第2021个三角形中以为顶点的底角度数是___________．

16．如图，△ACE中，AC＝AE，延长EC至点B，BD⊥AE交EA的延长线于点D，若∠BAD＝∠CAE，AB＝6，AE＝2，则AD的长为____.

17．如图在△ABC中，D为AB中点，DE⊥AB，∠ACE＋∠BCE＝180°，EF⊥BC交AC于F，AC＝8，BC＝12，则BF的长为________．

18．如图所示，在中，，，在射线BA上找一点D，使为等腰三角形，则的度数为_________．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）在中，，是的两条角平分线，且交于点F．
(1) 用含的式子表示，则_______；
(2) 当时，用等式表示这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．




20．（8分）如图，在四边形中，点E在上，，，．
(1) 求证：；
(2) 若，求的度数．




21．（10分）已知：点为平分线上一点，于于，点、分别是射线、上的点，且．
(1) 当点M在线段上，点N在线段的延长线上时（如图1），求证：；
(2) 在（1）的条件下， ___________；
(3) 当点M在线段的延长线上时（如图2），若，求四边形的面积．












22．（10分）在中，，直线经过点C，且于D，于E．
(1) 当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①；
②．
(2) 当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；
(3) 当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．






23．（10分）已知，如图1，在中，，点，分别为、边上的点，连接，，使，在上截取，连接并延长交于F．
(1) 求证：；
(2) 如图2，过作，垂足为，并延长交于，求证：；
(3) 在（2）的条件下，试探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由．





24．（12分）已知ABC．
(1) 如图1，按如下要求用尺规作图：
①作出ABC的中线CD；
②延长CD至E，使DE＝CD，连接AE；（不要求写出作法，但要保留作图痕迹．）
(2) 在（1）中，直线AE与直线BC的关系是 ；
(3) 如图2，若∠ACB＝，CD是中线．试探究CD与AB之间的数量关系，并说明理由；
(4)如图3，若∠ACB＝，AC＝BC，CD是ABC的中线，过点B作BE⊥AC于E，交CD于点F，连接DE．若CF＝4，则DE的长是 ．























参考答案
1．A
【分析】根据AB∥DE证得∠B＝∠E，又已知BF＝CE证得BC＝EF，即已具备两个条件：一边一角，再依次添加选项中的条件即可判断.
解：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
∴BC＝EF，
若添加AC＝DF，则不能判定△ABC≌△DEF，故选项A符合题意；
若添加AC∥DF，则∠ACB＝∠DFE，可以判断△ABC≌△DEF（ASA），故选项B不符合题意；
若添加∠A＝∠D，可以判断△ABC≌△DEF（AAS），故选项C不符合题意；
若添加AB＝DE，可以判断△ABC≌△DEF（SAS），故选项D不符合题意；
故选：A．

【点拨】此题考查三角形全等的判定定理，熟练掌握定理，并能通过定理去判断条件是否符合全等是解决此题的关键.
2．C
【分析】根据全等三角形的对应边相等分类讨论，分别求出x值判断即可．
解：此题需要分类讨论．
①若，则，
所以
所以此种情况不符合题意；
②若，则，
所以．
所以此种情况符合题意．
综上所述：
故选C．
【点拨】此题考查的是根据全等三角形的性质求字母的值，掌握全等三角形的对应边相等是解决此题的关键．
3．C
【分析】根据平移的性质可得，，再求出，过点作于D，再求出，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
解：∵△ABC沿着射线BC的方向平移4个单位后，得到，
又∵，，，
∴，，，
∴，
过点作于D，连接，

∵，，，
∴，
∴，
即在中，有，
则有，
则，
∴的面积．
故选：C．
【点拨】本题考查为了平移的性质以及含特殊角的直角三角形的性质等知识，掌握平移的性质得出是解答本题的关键．
4．C
【分析】取格点，连接，先证明，得出，再证明得出，最后证明是等腰直角三角形，得出，从而得出即可．
解：取格点，连接，
由已知条件可知：，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴,
∴是等腰直角三角形，
∴,
即，
故选：．

【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定与性质，所求角转换成容易求出度数的角，合理的添加辅助线是解决本题的关键．
5．C
【分析】解二元一次方程组，分三种情况考虑，根据周长为7得关于m的方程求得m，并结合构成三角形的条件判断即可．
解：
①-②得：y=3-m
把y=3-m代入②，得x=3m-3
故方程组的解为
①若x为腰，y为底，则2x+y=7，
即2(3m-3)+3-m=7，解得：m=2，
此时x=3，y=1，满足构成三角形的条件
②若y为腰，x为底，则2y+x=7，
即2(3-m)+3m-3=7，解得：m=4，
此时x=9，y=-1，不合题意；
③若x=y，即3m-3=3-m，
解得：，此时腰为，底为，
但+<4，不符合构成三角形的条件，
故不合题意，
所以满足条件的m为2．
故选C．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次方程的解法，三条线段构成三角形的条件，涉及分类讨论思想，方程思想，要注意的是，求出m的值后，要验证是否符合构成三角形的条件．
6．C
【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质、等角对等边得出AB＝AC．利用等腰三角形的性质得出AP⊥BC．∠PAD＝90°．设∠ADB＝∠CBD＝∠ADB＝x，利用各角之间的数量关系求解即可得出结果．
解：∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB．
∴AB＝AD．
同理：AC＝AD．
∴AB＝AC．
∵AP平分∠BAC，
∴AP⊥BC．
∵AD∥BC，
∴AP⊥AD．
∴∠PAD＝90°．
设∠ADB＝∠CBD＝∠ADB＝x，
∴∠ABC＝2x．
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝2x．
∴∠PAC＝90°﹣2x．
∵DP平分∠BDC，
∴设∠BDP＝∠CDP＝y，
∴∠BDC＝2y．
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝x+2y．
∵AC＝DA，
∴∠ACD＝∠ADC＝x+2y．
∴∠DAC＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣2（x+2y）．
∵∠PAD＝90°，
∴∠PAC+∠DAC＝90°．
∴90°﹣2x+180°﹣2（x+2y）＝90°．
整理得：x+y＝45°，
∵∠ADP＝∠ADB+∠BDP＝x+y，
∴∠ADP＝45°．
∴∠P＝90°﹣∠ADP＝45°．
故选：C．
【点拨】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用等，理解题意，找准各角之间的数量关系是解题关键．
7．D
【分析】根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，选出正确的结果．
解：∵AD平分∠BAC
∴∠DAC=∠DAE
∵∠C=90°，DE⊥AB
∴∠C=∠E=90°
∵AD=AD
∴△DAC≌△DAE
∴∠CDA=∠EDA
∴①AD平分∠CDE正确；
无法证明∠BDE=60°，
∴③DE平分∠ADB错误；
∵BE+AE=AB，AE=AC
∴BE+AC=AB
∴④BE+AC=AB正确；
∵∠BDE=90°-∠B，∠BAC=90°-∠B
∴∠BDE=∠BAC
∴②∠BAC=∠BDE正确．
故选D．
【点拨】考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题关键是灵活运用角平分线的性质进行分析．
8．C
【分析】根据三角形的中线即可进行判断①和④；利用AAS证明△BCD≌△ABE，即可进行判断③④⑤的正确性．
解：①∵AE是中线，
∴BE＝CE，故①正确；
②∵DC⊥BC，BF⊥AE，
∴∠DBC+∠D＝∠DBC+∠BEA＝90°．
∴∠D＝∠BEA．
∵∠DCB＝∠ABE＝90°，
在△DBC与△ABE中，
，
∴△BCD≌△ABE（AAS）．
∴BD＝AE，故②正确；
③∵△BCD≌△ABE，
∴∠BAE＝∠CBD；故③正确；
④∵AE是中线，
∴∠EAC≠∠BAE，故④错误；
⑤∵△BCD≌△ABE，
∴BE＝CD，
∵BC＝2BE，
∴BC＝2CD，故⑤正确．
∴正确的结论有①②③⑤，共4个．
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明△BCD≌△ABE．
9．C
【分析】根据三角形外角的性质即可得到；
当时，；
根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到；
根据三角形外角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到．
解：，，
．
，
．
由三角形内角和定理知：．
故正确；
，
，
由知：．
．
．
，
故正确；
为中点，，
，
，
，
，
，
，
故正确；
，
，
，
为等腰三角形，
或，
当时，，
，
，
故不正确．
故选：．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，计算各角的度数是解题的关键．
10．A
【分析】第一次翻折可得，EM=1，∠ADM=∠EDM=45°，第二次折叠，可得，，由∠DCN=45°，可得，则，再求的周长即可．
解：如图，

第一次折叠，如图②，
，
，
，
由折叠的性质，，
，
第二次折叠，如图③，，，
，
，
，
，
，
，
的周长，
故选：A．
【点拨】本题考查翻折的性质，熟练掌握翻折的性质，对应两次翻折求出∠EDM=45°是解题的关键．
11．3＜AD＜7
【分析】连接AD并延长到点E，使DE=DA，连接BE，利用SAS证得△BDE≌△CDA，进而得到BE=CA=4，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可求得AE的取值范围，进而求出AD的取值范围.
解：
如图，连接AD并延长到点E，使DE=DA，连接BE，
∵在△ABC中，AD是BC边上的中线
∴BD=CD
在△BDE和△CDA中

∴△BDE≌△CDA（SAS）
∴BE=CA=4
在△ABE中，AB+BE>AE，且AB﹣BE＜AE
∵AB=10,AC=4,
∴6＜AE＜14
∴3＜AD＜7
故答案为3＜AD＜7
【点拨】本题考点涉及三角形全等的判定及性质、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握相关性质定理是解题关键.
12．135°或45°
解：如图，当∠BAC是钝角时，

由题意：AB＝AC，∠AEH＝∠ADH＝90°，∠EHD＝45°，
四边形内角和为，
∴∠BAC＝∠EAD＝
=360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°；
如图，当∠A是锐角时，

由题意：AB＝AC，∠CDA＝∠BEA＝90°，∠CHE＝45°，
∴∠DHE＝180°﹣∠CHE＝135°，

∴∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣135°＝45°，
故答案为：135°或45°．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质，四边形内角和定理等，能够运用分类讨论思想来思考问题是关键．
13．4
【分析】延长BA，CE交于点F，证△BEF≌△BEC，△ABD≌△ACF，得出EF＝EC，ECCF，及BD＝CF，则CEBD，可以求出其值．
解：延长BA，CE交于点F，
∵∠BAC＝90°，，
∴∠BAC=∠BEC=∠FAC，
∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠CDE+∠ACF＝90°，
∵∠ADB=∠CDE，
∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中

∴△ABD≌△ACF，
∴BD＝CF=8，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵CE⊥BD，
∴∠BEF＝∠BEC＝90°
在△BEF和△BEC中

∴△BEF≌△BEC，
∴EF＝EC，
∴ECCF=4．

故答案为：4
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质及判定，会添加辅助线构造全等是解题关键．
14．DE+BG＝EG
【分析】连接，利用全等三角形的判定和性质，求解即可．
解：猜想DE、EG、BG之间的数量关系为：DE+BG＝EG．理由如下：
连接AC，如图所示，

在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴
又∵∠ECG＝60°，
∴∠DCE＝∠ACG，∠ACE＝∠BCG，
∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠DCB＝360°，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，
∴∠D+∠ABC＝360°﹣60°﹣120°＝180°，
又∵∠CBF+∠ABC＝180°，
∴∠D＝∠CBF，
在△CDE和△CBF中，
，
∴△CDE≌△CBF（SAS），
∴CE＝CF，∠DCE＝∠BCF，
∴∠BCG+∠BCF＝∠ACE+∠DCE＝60°，即∠FCG＝60°，
∴∠ECG＝∠FCG，
在△CEG和△CFG中，
，
∴△CEG≌△CFG（SAS），
∴EG＝FG，
又∵DE＝BF，FG＝BF+BG，
∴DE+BG＝EG
故答案为：DE+BG＝EG
【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质．
15．
【分析】根据等腰三角形的性质，由，，得，，那么；由，得，根据三角形外角的性质，由，得，以此类推，运用特殊到一般的思想解决此题．
解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
…，
以此类推，以为顶点的内角度数是，
∴以为顶点的内角度数是．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形外角的性质以及特殊到一般的猜想归纳思想是解决本题的关键．
16．2
【分析】延长AD至点G，使得AD=DG，连接BG，即有BD垂直平分AG，则有AB=BG，∠BAD=∠BGD；再证明，则有∠GBE=∠ACE，根据AC=AE，有∠ACE=∠AEC，进而有∠GBE=∠AEC，则BG=GE，即可求解．
解：延长AD至点G，使得AD=DG，连接BG，如图，

∵BD⊥AG，AD=DG，
∴BD垂直平分AG，
∴AB=BG，
∵AB=6，
∴BG=6，
∴∠BAD=∠BGD，
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠CAE=∠BGD，
∴，
∴∠GBE=∠ACE，
∵AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC，
∴∠GBE=∠AEC，
∴在△GBE中，有BG=GE，
∵BG=6，
∴GE=6，
∵AE=2，AD=DG，GD+AD+AE=GE，
∴AD=2，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了垂直平分线的性质、平行的判定与性质、等角对等边以及等边对等角的知识，构造辅助线BG，证明BG=GE是解答本题的关键．
17．10
【分析】根据角平分线的性质得到EF＝EG，证明Rt△EFC≌Rt△EGC，根据全等三角形的性质得到CF＝CG，根据题意列式计算即可．
解：连接AE，过点E作EG⊥AC交AC的延长线于点G，如图所示：
∵D为AB中点，DE⊥AB，
∴EA＝EB，
∵∠ACE＋∠BCE＝180°，∠ACE＋∠ECG＝180°，
∴∠ECG＝∠BCE，
∵EF⊥BC，EG⊥AC，
∴EG＝EF，
在Rt△EFC和Rt△EGC中，
，
∴Rt△EFC≌Rt△EGC（HL），
∴CF＝CG，
∴12﹣CF＝8＋CF，解得：CF＝2，
∴BF＝12﹣2＝10，
故答案为：10．

【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，根据角平分线的性质得出EF＝EG是解题的关键．
18．或或
【分析】首先在△ABC，已知其中两个角的度数，可求出∠CAB=40°，依题意可知有三种情况，第一种AC=AD时，∠ADC=∠ACD，根据三角形内角和可得出∠ADC度数；第二种情况，当时，，根据三角形内角和可得出度数；第三种情况，当时，，根据三角形外角性质可得出度数．
解：在△ABC中，
∵，，
∴∠CAB=40°.
如图：①当AC=AD时，

在△ACD中可得出∠ADC=∠ACD，
∵∠CAB=40°，
∴，
②当时
在中可得出，
∵，
∴；
③当时
在中可得出，
∵∠CAB=40°，且为外角，
∴；
故答案为：或或
【点拨】本题考查等腰三角形存在问题，如果题中没有说明等腰三角形的腰或者底分别是哪条线段，都要进行分类讨论，让三条线段分别两两相等，得出三种情况，再根据题意看有没有需要排除的情况，然后再一一分析符合条件的图形．
19．(1)(2)，理由见详解
【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．
（2）利用角平分线得出，进而得出，求出，即可判断出，即可判断出即可得出结论；
解：（1）∵，
∴，
∵分别是的平分线，
∴，
在中，．
故答案为：；
（2），理由如下：

在上取一点M，使，
∵是的两条角平分线，
∴，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∵是的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
【点拨】主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出．
20．(1)证明见分析(2)
【分析】利用可证，即可证明；
根据等腰直角三角形的性质，得到，再根据，得到，即可求出的度数．
（1）解：∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键．
21．(1)见分析(2)2(3)32
【分析】（1）由点为平分线上一点，于于，根据角平分线的性质，可得，又由，利用，即可判定，则可证得结论；
（2）由角平分线的性质易证得，又由，即可证得结论；
（3）由，即可求得的长，又由，即可求得四边形的面积．
解：（1）点为平分线上一点，，
，
在和中，
，
，
；
（2），
，
，
，
；
故答案为：；
（3），
，
，






【点拨】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的面积问题．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
22．(1)①见分析；②见分析(2)见分析(3)，证明见分析
【分析】（1）①由垂直关系可得，则由即可证明；
②由的性质及线段和的关系即可证得结论；
（2）由垂直可得，则由可证明，由全等三角形的性质及线段差的关系即可证得结论；
（3）由垂直可得，则由可证得，由全等三角形的性质及线段的和差关系即可得到三线段间的关系．
解：（1）解：如图
①∵，
∴，
∴．
又∵，，
∴．

②∵，
∴，，
∴．
（2）∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．

（3）当旋转到图3的位置时，所满足的等量关系是（或等）．
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，互余的性质等知识，证明两个三角形全等是问题的关键．
23．(1)见分析(2)见分析(3)，理由见分析
【分析】（1）由题意易得，然后可得，进而问题可求证；
（2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证；
（3）连接并延长交的延长线于点，则有，然后可得，进而问题可求证．
解：（1）证明：∵，
∴，
∵，，且，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）证明：，
理由如下：连接并延长交的延长线于点，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
24．(1)见分析(2)(3)，理由见分析(4)
【分析】（1）①根据三角形的中线的定义，作的垂直平分线，交于点，连接即可．
②根据要求，延长CD至E，使DE＝CD，连接AE即可．
（2）结论：，利用全等三角形的判定和性质证明即可．
（3）结论：．利用全等三角形的判定和性质证明即可．
（4）利用全等三角形的性质证明，再利用（3）中结论解决问题．
解：（1）①如图1所示，作的垂直平分线，交于点，连接，则线段CD即为所求；
②如图1中，线段DE，AE即为所求；

（2）结论：．
理由：在△CDB和△EDA中，
，
∴△CDB≌△EDA（SAS），
∴∠B=∠DAE，
∴．
故答案为：．
（3）AB与CD的数量关系是：AB=2CD，理由如下：
如图3-2，延长CD至E，使DE=DC，连接BE，

∵CD是中线，
∴AD=BD，
在△ADC和△BDE中，
，
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴∠E=∠ACD，AC=BE，
∴，
∴∠ACB+∠EBC=，
∵∠ACB=，
∴∠EBC=，
在△ACB和△EBC中，
，
∴△ACB≌△EBC（SAS），
∴AB=CE，
∵CE=2CD，
∴AB=2CD．
（4）如图3中，

∵BE⊥AC，∠ACB=，
∴∠CEB=∠BEA=，∠ECB=∠EBC=，
∴EC=EB，
∵AC=BC，CD是中线，
∴CD⊥AB，
∵∠CEF=∠BDF=，∠CFE=∠BFD，
∴∠ECF=∠ABE，
在△CEF和△BEA中，
，
∴△CEF≌△BEA（ASA），
∴CF=AB=4，
∵AD=BD，∠AEB=，
∴DE=AB=2．
故答案为：2．
【点拨】本题考查了三角形的中线的定义，全等三角形的判定和性质等知识，等腰三角形的性质，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．