专题6.21 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式（知识讲解）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

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专题6.21 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式
（知识讲解）
【学习目标】
1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想．
2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．
【要点梳理】
要点一、一次函数与一元一次不等式
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.
特别说明：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.
要点二、一元一次方程与一元一次不等式
我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.
要点三、如何确定两个不等式的大小关系
（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．
【典型例题】
类型一、数形结合——直线与坐标轴交点求方程的解
1、如图是函数的图象，根据图象填空：
（1）求m的值；
（2）求a的值；
（3）方程的解是________；
（4）当x=________时，y的值是-1.

【答案】（1）3；（2）  ；（3）；（4）-1.
【分析】（1）把（0,2）代入解析式即可求出m；
（2）令y=0,即可解出a的值；
（3）根据直线与方程的关系即可得到方程的解为直线与x轴的交点横坐标；
（4）令y=-1，解出x即可.
解：（1）把（0,2）代入解析式得，解得m=3；
∴
（2）令y=0,即=0，解得x=,
∴a=
（3）由图可知方程的解是x=
（4）令y=-1，即=-1，解得x=-1
【点拨】此题主要考查一次函数的图像，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质.
举一反三：
【变式1】如图，一次函数的图象交轴于点，交y轴于点，点在线段上（不与点重合），过点分别作和的垂线，垂足为，设点的坐标为．
(1) 请用含的代数式表示的长：___________，___________，___________．
(2) 若的长为时，求点P的坐标．

【答案】(1)，，(2)
【分析】（1）根据题意得出的横坐标为，根据点在一次函数上，求得的纵坐标，进而求得，根据一次函数与坐标轴的交点求得点的坐标，进而求得的长；
（2）勾股定理结合题意求得的值，进而求得点的坐标即可求解．
（1）解：∵点的坐标为，轴，轴，
∴的横坐标为，
∵点在一次函数上，
∴，
∴
由，令，得，
∴
∴；
故答案为：，，；
（2）解：∵，轴，
∴中，，
又∵的长为，
∴，则，，
∴．
【点拨】本题考查了坐标与图形，一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，数形结合是解题的关键．
【变式2】根据一次函数的图象，直接写出问题的答案：
(1) 关于的方程的解；
(2) 代数式的值；
(3) 关于的方程的解.

【答案】(1)x= -1(2)4(3)x=0.5
【分析】（1）利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可；
（2）利用函数图象写出x=1时对应的函数值即可
（3）利用函数图象写出函数值为-3时对应的自变量的值即可．
解：（1）当x=-1时，y=0，
所以方程kx+b=0的解为x=-1；
（2）由图可以看出的图象过（-1，0），（0，2）两点，
可得，解得：
所以一次函数关系式为：y=2x+2，
当x=1时，y=4，即k+b=4，
所以代数式k+b的值为4；
（3）因为一次函数关系式为：y=2x+2，
所以当y=3时，得2x+2=3，解得x=0.5，
所以方程kx+b=-3的解为x=0.5．
【点拨】本题考查了一次函数与一元一次方程，利用数形结合是求解的关键．
类型二、数形结合——由一元一次方程的解判断直线与x轴交点坐标
2、如图，直线AD:与轴交于点，直线与轴、轴分别交于、两点，并与直线交于点．
（1）求点的坐标；
（2）求四边形的面积．

【答案】（1）；（2）
【分析】（1）把与联立组成二元一次方程组，解出的值，即可求出点D的坐标，
（2）分别求出点A，B，C的坐标，可得AB=5，BC=2,再分别求出和的面积，利用二者的面积差可求四边形面积．
解：（1）直线AD与直线BC交于点D，
可列方程组：，
解得，
∴，
（2）∵直线与轴、轴分别交于、两点，
∴，，
∵直线中，当时，，解得，
∴，
又∵，
∴四边形的面积，

．
【点拨】本题考查了两直线相交的问题，关键是掌握两直线相交时，就是联立两个函数解析式，组成方程组，解出方程组即可得到交点坐标．
举一反三：
【变式1】已知一次函数y=2x+4
（1）求图象与x轴的交点A的坐标，与y轴交点B的坐标；
（2）在（1）的条件下，求出DAOB的面积．
【答案】（1）A（-2，0），B（0，4）；（2）4．
【分析】（1）分别将x=0、y=0代入一次函数解析式中求出与之对应的y、x的值，进而即可得出点B、A的坐标；
（2）由点A、B的坐标即可得出OA、OB的长度，再根据三角形的面积公式即可求出△AOB的面积．
解：（1）当x=0时，y=2x+4=4，
∴B（0，4）；
当y=2x+4=0时，x=-2，
∴A（-2，0）．
（2）∵A（-2，0），B（0，4），
∴OA=2，OB=4，
∴S△AOB=OA•OB=4．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出一次函数图象与坐标轴的交点坐标；（2）套用三角形的面积求出S△AOB．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B.
（1）求A、B两点的坐标.
（2）求△AOB的面积.
（3）若点C在直线AB上，且S△BOC=2，求点C的坐标．

【答案】（1）B（0，-2）；（2）1；（3）点C的坐标为（2，2）或（－2，－6）．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征求A点和B点坐标；
（2）利用三角形面积公式解答即可；
（3）设点C的坐标为（x，y），根据三角形的面积公式求出x的值，再代入函数解析式求出y的值.
解：（1）y=2x－2，
当y=0时，2x－2=0，x=1，∴A（1,0）.
当x=0时，y=-2，∴B（0，-2）.       
（2）∵A（1,0），B（0，-2），∴OA=1，OB=2.
∴.    
（3）设点C的坐标为（x，y）．
∵OB=2，S△BOC=2，∴x =2．
当时，．
∴点C的坐标为（2，2）．  
当时，．
∴点C的坐标为（－2，－6）．
∴点C的坐标为（2，2）或（－2，－6）．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据坐标轴上点的坐标特征求A点和B点坐标是解（1）（2）的关键，根据三角形的面积公式求出x的值是解（3）的关键．
类型三、数形结合——图象法解一元一次方程
3、已知一次函数y＝﹣x+2．
(1) 求该直线与坐标轴的交点坐标；
(2) 画出一次函数的图象；
(3) 由图可知，若方程﹣x+2＝0，则方程的解为 ．

【答案】(1)与x轴的交点坐标为（4，0）， 与y轴的交点坐标为（0，2）(2)见分析(3)x=4．
【分析】（1）分别令x=0和y=0即可求出与y轴和x轴的坐标；
（2）根据（1）中结果即可画出图象；
（3）直接根据图象解答即可．
（1）解：当x=0时，y＝0+2=2，
∴与y轴的交点坐标为（0，2）．
当y=0时，0＝﹣x+2，∴x=4，
∴与x轴的交点坐标为（4，0）．
（2）解：如图，

（3）解：图可知，若方程﹣x+2＝0，则方程的解为x=4．
故答案为：x=4．
【点拨】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，画一次函数图象，以及利用函数图象解方程等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
举一反三：
【变式1】（1）如图1，结合函数的图象填空：y随x的增大而__________，当时，该函数的最大值为2，最小值为__________．
（2）根据学习函数的经验来探究函数的性质．
x
…


0
1
2
3
4
…
y
…
4
3
2
1
2
3
4
…
①在平面直角坐标系中描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象；
②函数的最小值为__________；若点和点是该函数图象上的两点，则＝__________．
③请结合a的取值范围判断方程的解的个数．（直接写出结果）

【答案】（1）增大，-2；（2）①见分析；②1，2；③见分析
【分析】（1）根据一次函数的性质结合图象可知；
（2）①通过描点画出如下图象；
②从图象看，函数的最小值为1；由函数的对称性，从表格看，相同的y值对应的x轴的和为2，即可求解；
③从图象看，当a＜1时，原方程无解，当a=1时，原方程有1个解，当a＞1时，原方程有两个不相等的解（或有两个解）．
解：（1）k=1＞0，故y随x的增大而增大，
x=-1时，y取得最小值为-2，
故答案为：增大，-2；
（2）①通过描点画出如下图象：

②从图象看，函数的最小值为1；
由函数的对称性，从表格看，相同的y值对应的x轴的和为2，
故a+b=2，
故答案为：1，2；
③从图象看，当a＜1时，原方程无解，
当a=1时，原方程有1个解，
当a＞1时，原方程有两个不相等的解（或有两个解）．
【点拨】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，要求学生根据题设条件，确定函数的图象，再根据图象上点的特征，完成相关数据的求解．
【变式2】某班“数学兴趣小组”对函数的图像和性质进行了研究．探究过程如下，请补全完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
4
m
2
1
0
1
2
3
4
…
其中，_________．
（2）根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图像的一部分，请画出该函数图像的另一部分．
（3）观察函数图像，写出一条函数性质____________________________．
（4）进一步探究函数图像发现：
①方程的解是________________；
②方程的解是__________________；
③关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是____________．

【答案】（1）3；（2）见详解；（3）当x≥1时，y随x的增大而增大；（4）①x=1；②x=-0.5或x=2.5；③-1＜k＜1
【分析】（1）把x=-2代入，即可求解；
（2）用射线把各个点连接起来即可；
（3）根据函数的增减性，写出一条函数的性质，即可；
（4）①根据直线y=0与的图像的交点坐标为（1，0），即可求解；②根据直线y=1.5与的图像的交点坐标为（2.5，0），（-0.5，0），即可求解；③根据的图像和的图像有两个交点，分别求出当直线过（1，0）时，k=-1，当直线与射线平行时，k=1，进而即可得到k的范围．
解：（1）当x=-2时，=3，故m=3，
故答案是：3；
（2）函数图像如图所示：

（3）根据函数图像可知：当x≥1时，y随x的增大而增大，
故答案是：当x≥1时，y随x的增大而增大；
（4）①∵直线y=0与的图像的交点坐标为（1，0），
∴方程的解是x=1，
故答案是：x=1；
②∵直线y=1.5与的图像的交点坐标为（2.5，0），（-0.5，0），
∴方程的解是x=-0.5或x=2.5；
③∵关于x的方程有两个实数根，
∴的图像和的图像有两个交点，
又∵直线过点（-1，2），
当直线过（1，0）时，k=-1，当直线与射线平行时，k=1，
∴的图像和的图像有两个交点时，-1＜k＜1，
故答案是：-1＜k＜1．
【点拨】本题主要考查一次函数的图像和性质以及函数图像和方程的解的关系，掌握函数图像的交点横坐标就是对应方程的解，是解题的关键．
类型四、数形结合——直线与坐标轴交点求解集
4、已知函数，回答下列问题：
(1) 函数与x轴的交点坐标是______，函数与y轴的交点坐标是______；
(2) 根据函数与坐标轴的交点坐标，请在直角坐标系中画出函数图象．
(3) y的值随x值的增大而______；
(4) 当x______时，．

【答案】(1)，；(2)图见分析；(3)减小；(4)．
【分析】（1）令，解得：，故函数与x轴的交点坐标是；令，则，故函数与y轴的交点坐标是；
（2）利用与x轴和y轴的交点坐标，画函数图象即可；
（3）利用函数性质解答即可；
（4）结合函数图象，找出时，x的取值范围．
（1）解：令，即，解得：，∴函数与x轴的交点坐标是；
令，则，∴函数与y轴的交点坐标是；
故答案为：，
（2）解：由（1）可知：函数图象与x轴和y轴的交点坐标分别是，，
故函数图象如图所示：

（3）解：∵中，，
∴y的值随x值的增大而减小；
故答案为：减小
（4）解：由函数图象可知：当时，，
故答案为：
【点拨】本题考查一次函数的基础知识，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象及性质，一次函数与坐标轴的交点，以及结合图象求出不等式的解集．
举一反三：
【变式1】已知一次函数y＝kx+b的图像如图所示
(1) 求k、b的值；
(2) 在平面直角坐标系内画出函数y＝bx+k的图像；
(3) 利用（2）中你所画的图像，写出0＜x＜1时，y的取值范围．

【答案】(1)b＝﹣2，k＝2(2)见分析(3)0＜y＜2
【分析】（1）根据函数图象确定两点的坐标，代入一次函数解析式，即可求出求出k、b的值．
（2）根据两点确定一条直线画直线即可．
（3）根据图象得出0