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专题3.14 《勾股定理》中考常考考点专题（巩固篇）（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）
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这是一份专题3.14 《勾股定理》中考常考考点专题（巩固篇）（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版），共48页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题3.14 《勾股定理》中考常考考点专题（巩固篇）
（专项练习）
（说明：本专题涉及到二次根式的知识，建议学习第四章《实数》后进行复习或选择性进行复习）
一、单选题
【考点一】勾股定理解直角三角形★★应用
1．（2022·广西桂林·中考真题）如图，在ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则ABC的面积是（ ）
A． B．1+ C．2 D．2+
2．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在中，，将边沿折叠，使点B落在上的点处，再将边沿折叠，使点A落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点N、M，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【考点二】勾股数★★勾股树
3．（2022·浙江杭州·一模）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成，其中 ，现把图2中的直角三角形继续作下去如图3所示，若 的值是整数，且1≤n≤30，则符合条件的n有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2018·湖南邵阳·中考模拟）直角三角形的三边为a﹣b，a，a+b且a、b都为正整数，则三角形其中一边长可能为（ ）
A．61 B．71 C．81 D．91
【考点三】勾股定理★★面积
5．（2021·福建莆田·一模）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，．若的三边所围成的区域面积记为，黑色部分面积记为，其余部分面积记为，则下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2019·广东佛山·模拟预测）如图，正方形ABCD外有一点P，P在BC外侧，并在平行线AB与CD之间，若PA＝，PB＝，PC＝，则PD＝（ ）
A．2 B． C．3 D．
【考点四】勾股定理★★网格
7．（2020·陕西·中考真题）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2007·安徽芜湖·中考真题）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、C的边长为5cm，则正方形D的边长为（ ）
A．cm B．4cm C．cm D．3cm
【考点五】勾股定理★★折叠
9．（2012·浙江绍兴·中考真题）如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交于点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设Pn﹣1Dn﹣2的中点为Dn﹣1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn﹣1重合，折痕与AD交于点Pn（n＞2），则AP6的长为【 】
A． B． C． D．
10．（2021·山东枣庄·中考真题）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点，沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F，已知EF=，则BC的长是（ ）
A． B．3 C．3 D．3
【考点六】勾股定理的证明
11．（2019·湖北咸宁·中考真题）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2017·浙江温州·中考真题）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为的小正方形EFGH，已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=EF，则正方形ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．
【考点七】勾股定理★★弦图
13．（2018·四川泸州·中考真题）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为
A．9 B．6 C．4 D．3
14．（2017·湖北襄阳·中考真题）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点八】勾股定理★★最值
15．（2018·山东东营·中考真题）如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
16．（2015·湖北武汉·中考真题）如图，△ABC、△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【考点九】勾股定理★★应用
17．（2019·四川绵阳·中考模拟）如图，长、宽、高分别为2，1，1的长方体木块上有一只蚂蚁从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到顶点B，则它爬行的最短路程是（ ）
A． B．3 C． D．
18．（2021·山东济南·二模）如图，一般客轮从小岛A沿东北方向航行，同时一艘补给船从小岛A正东方向相距（100+100），沿北偏西60°方向航行，与客轮同时到达C处给客轮进行补给，则客轮与补给船的速度之比为（ ）
A．：2 B．：1 C．：2 D．：1
二、填空题
【考点一】勾股定理解直角三角形★★应用
19．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是 _____．
20．（2021·四川内江·中考真题）已知，在中，，，，则的面积为 __．
【考点二】勾股数★★勾股树
21．（2020·四川成都·二模）如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为②．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的面积是_____．
22．（2021·云南大理·二模）观察下列各组勾股数，并寻找规律：
①4，3，5； ②6，8，10； ③8，15，17； ④10，24，26 ……
请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数：____________．
【考点三】勾股定理★★面积
23．（2020·河南郑州·二模）如图，正方形ABCD边长为2，E是AB的中点，以E为圆心，线段ED的长为半径作半圆，交直线AB于点M，N，分别以线段MD，ND为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_____________
24．（2021·福建龙岩·一模）一直角三角形两边分别为3和4，则斜边长为_____，斜边上的高为_____．
【考点四】勾股定理★★网格
25．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，点A，B，C，O在网格中小正方形的顶点处，直线l经过点C，O，将ABC沿l平移得到MNO，M是A的对应点，再将这两个三角形沿l翻折，P，Q分别是A，M的对应点．已知网格中每个小正方形的边长都等于1，则PQ的长为__．
26．（2019·北京·中考真题）如图所示的网格是正方形网格，则＝_____°（点A，B，P是网格线交点）.
【考点五】勾股定理★★折叠
27．（2019·辽宁葫芦岛·中考真题）如图，在Rt△ABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13．点D在边BC上，以AD为折痕将△ADB折叠得到△ADB′，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是___．
28．（2021·江苏·常州实验初中二模）如图，长方形中，点为射线上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为___．
【考点六】勾股定理的证明
29．（2017·北京西城·二模）如图是由三个直角三角形组成的梯形，根据图形，写出一个正确的等式______．
30．（2022·全国·八年级课时练习）如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是__．
【考点七】勾股定理★★弦图
31．（2022·四川内江·中考真题）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝_____．
32．（2020·湖南娄底·中考真题）由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积的和证明了勾股定理，还可以用来证明结论：若、且为定值，则当_______时，取得最大值．
【考点八】勾股定理★★最值
33．（2019·黑龙江伊春·中考真题）如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为_____．
34．（2016·江苏淮安·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=60°，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_________．
【考点九】勾股定理★★应用
35．（2020·四川·中考真题）如图，海中有一小岛A，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行_____海里就开始有触礁的危险．
36．（2022·湖北·随州市曾都区教学研究室一模）《九章算术》中记载着这样一个问题：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/分，乙的速度为3步/分，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：如图，设甲乙两人出发后x分钟相遇．根据勾股定理可列得方程为______．
三、解答题
37．（2022·四川资阳·中考真题）如图，在中，过点C作，在上截取，上截取，连接．
(1) 求证：；
(2) 若，求的面积．
38．（2021·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，垂足为，，延长至，使得，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的周长和面积．
39．（2019·河北·中考真题）已知：整式，整式．
尝试: 化简整式．
发现: ，求整式．
联想:由上可知，，当n＞1时为直角三角形的三边长，如图．填写下表中的值：
直角三角形三边
勾股数组Ⅰ
/
8
勾股数组Ⅱ
/
40．（2018·山东威海·中考真题）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF=+1，求BC的长．
41．（2006·江苏常州·中考真题）已知：如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，，D为AB边上一点．
求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）．
参考答案
1． D
【分析】如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，先证明△ADC是等腰直角三角形，得AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，再证明AD＝BD，计算AE和BC的长，根据三角形的面积公式可解答．
解：如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，
∵∠C＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°，
∴∠DAB＝22.5°，
∴∠B＝∠DAB，
∴AD＝BD＝2，
∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴DE＝CE，
∴
∴△ABC的面积．
故选：D．
【点拨】本题考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，熟知掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．
2． B
【分析】利用勾股定理求出AB=10，利用等积法求出CN＝，从而得AN＝，再证明∠NMC＝∠NCM＝45°，进而即可得到答案．
解：∵
∴AB=，
∵S△ABC＝×AB×CN＝×AC×BC
∴CN＝，
∵AN＝，
∵折叠
∴AM＝A'M，∠BCN＝∠B'CN，∠ACM＝∠A'CM，
∵∠BCN+∠B'CN+∠ACM+∠A'CM=90°，
∴∠B'CN +∠A'CM＝45°，
∴∠MCN＝45°，且CN⊥AB，
∴∠NMC＝∠NCM＝45°，
∴MN＝CN＝，
∴A'M＝AM＝AN−MN＝-=．
故选B．
【点拨】本题考查了翻折变换，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
3． C
【分析】利用勾股定理可求出OA2，OA3，OA4，即可得到OA3·OAn=，再根据OA3·OAn是整数及1≤n≤30，由此可求出n的值的个数．
解：由题意得
；
；
；
∵ 1≤n≤30，
∴OA3·OAn的值是整数，
∴·OAn的值可以是，，
是整数的有3个．
故答案为：C．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用；探索图形规律，找到规律是解题的关键．
4． C
解：由题可知：(a−b)2+a2=(a+b)2，解之得：a=4b，
所以直角三角形三边分别为3b、4b、5b.
当b=27时，3b=81.
故选C.
5． A
【分析】根据面积的和差关系表示出与，与的关系，再利用勾股定理即可得答案．
解：∵的三边所围成的区域面积记为，黑色部分面积记为，其余部分面积记为，
∴==，
=，
∵在Rt△ABC中，，
∴，
故选：A．
【点拨】本题考查了勾股定理及圆的面积公式；熟练掌握勾股定理，正确表示出各图形的面积关系是解题的关键．
6． A
【分析】用EF，BE，AB分别表示AP，BP，用CF，PF，DC分别表示DP，CP，得AP2+CP2=DP2+BP2，已知AP，BP，CP代入上式即可求DP．
解：延长AB，DC，过P分作PE⊥AE，PF⊥DF，则CF＝BE，
AP2＝AE2+EP2，BP2＝BE2+PE2，
DP2＝DF2+PF2，CP2＝CF2+FP2，
∴AP2+CP2＝CF2+FP2+AE2+EP2，
DP2+BP2＝DF2+PF2+BE2+PE2，
即AP2+CP2＝DP2+BP2，
代入AP，BP，CP得DP＝.
故选A．
【点拨】考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了正方形各边相等的性质，本题中求证AP2+CP2=DP2+BP2是解题的关键．
7． D
【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求的面积，由三角形的面积法求高即可．
解：由勾股定理得：AC＝＝，
∵S△ABC＝3×3﹣＝，
∴，
∴，
∴BD＝，
故选：D．
【点拨】本题考查了网格与勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
8． A
解：运用直角三角形的勾股定理，设正方形D的边长为，则
，（负值已舍），故选A
9． A
解：由题意得，AD=BC=，AD1=AD﹣DD1=，AD2=，AD3=，…∴ADn=．
故AP1=，AP2=，AP3=…APn=．
∴当n=14时，AP6=．故选A
10． B
【分析】折叠的性质主要有：1.重叠部分全等；2.折痕是对称轴,对称点的连线被对称轴垂直平分. 由折叠的性质可知,所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知,所以,的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．
解：
AB＝AC，
,
故选B.
【点拨】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．
11． B
【分析】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．
解：“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：
故选B.
【点拨】本题主要考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
12． C
【分析】设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2
解：由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，
∵AM=2EF，
∴2a=2b，
∴a=b，
∵正方形EFGH的面积为S，
∴b2=S，
∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=9b2=9S，
故选C．
13． D
【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，
每一个直角三角形的面积为：，
，
，
或（舍去），
故选：D．
【点拨】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
14． C
解：如图所示，∵（a+b）2=21
∴a2+2ab+b2=21，
∵大正方形的面积为13，即：a2+b2=13，
∴2ab=21﹣13=8，
∴小正方形的面积为13﹣8=5．
故选C．
15． C
【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．
解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A、C之间的最短距离为线段AC的长．
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，
AD为底面半圆弧长，AD=π，
∴AC=，
故选C．
【点拨】本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．
16． D
解：当EF⊥BC时，BM最短．根据题意可得：B、D、M三点共线，且点M和点G重合，根据等边三角形的性质可得DM=，BD=1，则BM=BD+DM=+1．
考点：等边三角形的性质．
17． D
【分析】蚂蚁有两种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短路程．
解：如图所示，
路径一：；
路径二： ，
，
蚂蚁爬行的最短路程为 ．
故选：D．
【点拨】本题考查了立体图形中的最短路线问题；通常应把立体几何中的最短路线问题转化为平面几何中的求两点间距离的问题；注意长方体展开图形应分情况进行探讨．
18． A
【分析】过C作CD⊥AB于D，设AD=x，根据特殊三角形的性质，分别用含x的代数式表示出CD，BD，根据AB的长求出x，再根据勾股定理求出AC，BD，即可得到答案．
解：过C作CD⊥AB于D，
设AD=x，
由题意得∠CAD=45°，∠NBC=60°，
在Rt△ACD中，∠ACD=90°-45°=45°，
∴∠ACD=∠CAD，
∴CD=AD=x，
∴ ，
在Rt△BCD中，∠CBD=90°-60°=30°，
∴BC=2CD=2x，
∴ ，
∵AB=100+100 ，
∴AD+BD=x+x=100+100，
∴（1+）x=100（1+），
∴x=100，
即AD=100海里，
∴AC=100海里，BC=200海里，
∵时间一定时速度与路程成正比，
∴客轮与补给船的速度之比为100：200=：2，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解决问题的关键．
19．12
【分析】延长BE交AD于点F，由“ASA”可证△BCE≌△FDE，可得DF＝BC＝5，BE＝EF，由勾股定理可求AB的长．
解：如图，延长BE交AD于点F，
∵点E是DC的中点，
∴DE＝CE，
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠ D＝∠BCE，∠FED＝∠BEC，
∴ △BCE≌△FDE（ASA），
∴DF＝BC＝5，BE＝EF，
∴BF＝2BE＝13，AF=5,
在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB＝12．
故答案为：12．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
20．2或14#14或2
【分析】过点B作AC边的高BD，Rt△ABD中，∠A=45°，AB=4，得BD=AD=4，在Rt△BDC中，BC=4，得CD==5，①△ABC是钝角三角形时，②△ABC是锐角三角形时，分别求出AC的长，即可求解．
解：过点作边的高，
中，，，
，
在中，，
，
①是钝角三角形时，
，
；
②是锐角三角形时，
，
，
故答案为：2或14．
【点拨】本题考查了勾股定理，三角形面积求法，解题关键是分类讨论思想．
21．4．
【分析】根据勾股定理可得两条直角边的平方和等于斜边的平方，即第①个正方形的面积＝第②个正方形面积的两倍；同理，第③个正方形面积是第②个正方形面积的一半，依此类推即可解答．
解：第①个正方形的面积为16，
由分析可知：第②个正方形的面积为8，
第③个正方形的面积为4，
故答案为：4．
【点拨】本题是图形类的变化规律题，考查了勾股定理与面积的关系及等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
22．16，63，65
【分析】根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第n组数，则这组数中的第一个数是2（n+1），第二个是：n（n+2），第三个数是：（n+1）2+1．根据这个规律即可解答．
解：根据①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26 ……
可得这组数中的第一个数是2（n+1），第二个是：n（n+2），第三个数是：（n+1）2+1
因此可求第⑦组数为：16，63，65．
故答案为16，63，65．
【点拨】此题考查的知识点是勾股数，此题属规律性题目，观察已知的几组数的规律，是解决本题的关键．
23．2
【分析】根据图形可知阴影部分的面积＝两个小的半圆的面积+△DMN的面积﹣大半圆的面积，MN的半圆的直径，从而可知∠MDN＝90°，此阴影部分的面积＝△DMN的面积，在Rt△AED中，求出DE＝，所以MN＝2，然后利用三角形的面积公式求解即可．
解：根据图形可知阴影部分的面积＝两个小的半圆的面积+△DMN的面积﹣大半圆的面积．
∵MN是半圆的直径，
∴∠MDN＝90°．
在Rt△MDN中，MN2＝MD2+DN2，
∴两个小半圆的面积＝大半圆的面积．
∴阴影部分的面积＝△DMN的面积．
在Rt△AED中，DE＝，
∴MN＝2DE＝2，
∴阴影部分的面积＝△DMN的面积＝MN•AD＝×2×2＝2．
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查的是求不规则图形的面积，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积是解答此类问题的常用方法，发现阴影部分的面积＝△DMN的面积是解题的关键．
24． 5或4 或．
【分析】分两种情形用勾股定理求出斜边长，然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可．
解：①当3，4为直角边时，由勾股定理可得：斜边长2＝32+42＝25，
则斜边长＝5，
直角三角形面积S＝×3×4＝×5×斜边的高，
可得：斜边的高＝．
②当4为斜边时，斜边上的高为
故答案为：5或4，或．
【点拨】本题考查勾股定理，解答本题的关键是学会利用面积法求直角三角形斜边上的高．
25．
【分析】连接PQ，AM，根据PQ＝AM即可解答．
解：连接PQ，AM，
由图形变换可知：PQ＝AM，
由勾股定理得：AM＝，
∴PQ＝．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理等知识，明确翻折前后对应线段相等是解题的关键．
26．45
【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，求得PD2+DB2=PB2，于是得到∠PDB=90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，
∴PD2+DB2=PB2，
∴∠PDB=90°，
即△PBD为等腰直角三角形，
∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°，
故答案为：45．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
27．7或．
【分析】由勾股定理可以求出BC的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当△DEB′为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出BD的长．
解：在Rt△ABC中，，
（1）当∠EDB′＝90°时，如图1，
过点B′作B′F⊥AC，交AC的延长线于点F，
由折叠得：AB＝AB′＝13，BD＝B′D＝CF，
设BD＝x，则B′D＝CF＝x，B′F＝CD＝12﹣x，
在Rt△AFB′中，由勾股定理得：
，
即：x2﹣7x＝0，解得：x1＝0（舍去），x2＝7，
因此，BD＝7．
（2）当∠DEB′＝90°时，如图2，此时点E与点C重合，
由折叠得：AB＝AB′＝13，则B′C＝13﹣5＝8，
设BD＝x，则B′D＝x，CD＝12﹣x，
在中，由勾股定理得：，解得：，
因此．
故答案为7或．
【点拨】考查轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，分类讨论思想的应用注意分类的原则是不遗漏、不重复．
28．2或18##18或2．
【分析】分两种情况：①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，利用全等三角形的判定和性质进行解答即可．
解：分两种情况讨论：
①当点在线段上时，如图所示：
，
，
，
，
、、三点共线，
的面积，，
，
，
；
②当点在线段的延长线上，且经过点时，满足条件，如图所示：
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
综上所知，的长为2或18，
故答案为：2或18．
【点拨】本题考查了翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折的性质，分类探讨的思想方法是解决问题的关键．
29.c2=a2+b2
【分析】该图形的面积是由3个直角三角形组成的一个直角梯形，根据三角形的面积公式、梯形的面积公式进行解答.
解：依题意得：ab+c2+ab=(a+b)(a+b)，
ab+c2+ab=(a2+2ab+b2)，
ab+c2+ab=a2+ab+b2，
c2=a2+b2，
c2=a2+b2.
故答案是：c2=a2+b2.
【点拨】本题考查了勾股定理的证明，解题时，采用了分割法求图形的面积.
30.a2+b2＝c2
【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而列出等式，发现边与边之间的关系．
解：此图可以这样理解，有三个Rt△其面积分别为 ab，ab和 c2．
还有一个直角梯形，其面积为 （a+b）（a+b）．
由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，
整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
故答案为：a2+b2＝c2．
【点拨】此题考查的知识点是勾股定理的证明，主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2．
31．48
【分析】设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，然后分别求出S1、S2、S3，即可得到答案．
解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：
S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，
且：a2+b2＝EF2＝16，
∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16
＝2×16+16
＝48．
故答案为：48．
【点拨】本题考查了正方形的面积，勾股定理的应用，解题的关键是利用直角三角形两直角边与三个正方形的面积的关系，可寻找出三正方形面积之间的关系．
32． =
【分析】设为定值，则，先根据“张爽弦图”得出，再利用平方数的非负性即可得．
解：设为定值，则
由“张爽弦图”可知，
即
要使的值最大，则需最小
又
当时，取得最小值，最小值为0
则当时，取得最大值，最大值为
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用、平方数的非负性，掌握勾股定理是解题关键．
33．
【分析】由于S△PAB=S△PCD，这两个三角形等底同高，可得点P在线段AD的垂直平分线上，根据最短路径问题，可得PC+PD=AC此时最小，有勾股定理可求结果．
解：为矩形，
又
点到的距离与到的距离相等，即点线段垂直平分线上，
连接，交与点，此时的值最小，
且
故答案为
【点拨】此题考查垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，解题关键在于作辅助线
34． ．
【分析】延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．运用勾股定理求解.
解：如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．
∵AC=6，CF=2，
∴AF=AC-CF=4，
∵∠A=60°，∠AMF=90°，
∴∠AFM=30°，
∴AM=AF=2，
∴FM==2 ，
∵FP=FC=2，
∴PM=MF-PF=2-2，
∴点P到边AB距离的最小值是2-2．
故答案为: 2-2．
【点拨】本题考查了翻折变换，涉及到的知识点有直角三角形两锐角互余、勾股定理等，解题的关键是确定出点P的位置.
35．4.5
【分析】过A作AC⊥BD于点C，求出∠CAD、∠CAB的度数，求出∠BAD和∠ABD，根据等角对等边得出AD＝BD＝12，根据含30度角的直角三角形性质求出CD，根据勾股定理求出AC即可．
解：
如图，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，
∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，
∴∠BAD＝60°﹣30°＝30°，∠ABD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABD＝∠BAD，
∴BD＝AD＝12海里，
∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，
∴CD＝AD＝6海里，
由勾股定理得：AC＝＝6（海里），
如图，设渔船还需航行x海里就开始有触礁的危险，即到达点D′时有触礁的危险，
在直角△AD′C中，由勾股定理得：（6﹣x）2+（6）2＝10.52．
解得x＝4.5．
渔船还需航行 4.5海里就开始有触礁的危险．
故答案是：4.5．
【点拨】本题主要考查方位角及勾股定理，关键是根据题意得到角的度数，然后利用特殊角的关系及勾股定理进行求解即可．
36．
【分析】设甲、乙二人出发后相遇的时间为x ，然后利用勾股定理列出方程即可．
解：设经 x秒二人在C处相遇，这时乙共行 AC =3x，甲共行AB +BC =7x，
∵AB =10，
∴ BC =7x -10，
又∵∠A =90°，
∴BC2= AC2 + AB2，
∴(7x -10)2=(3x)2+102，
故答案是：(7x -10)2= (3x)2+102．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形．
37．(1)证明见分析(2)
【分析】（1）根据，可以得到，即可用SAS证明得出结论；
（2）根据全等三角形的性质，可以得到，设，则，因为在中，，而在中，，即可列出方程求出三角形的面积．
（1）证明：∵
∴
又∵
∴；
（2）由（1），
∴，
设，∵，则，
在中，，
在中，，
∴，
即，整理得：，
解得：（舍去），
∴，
∴，，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，解一元二次方程，用方程思想解决几何问题是本题的关键．
38． （1）证明见分析；（2）周长为，面积为22．
【分析】（1）先根据垂直的定义可得，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；
（2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再利用勾股定理可得，从而可得，然后利用勾股定理可得，最后利用三角形的周长公式和面积公式即可得．
解：（1）证明：，
，
在和中，，
，
；
（2），，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则的周长为，
的面积为．
【点拨】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．
39． 尝试：；发现：；联想：17，37.
【分析】先根据完全平方公式和整式的混合运算法则求出A，进而求出B，再把n的值代入即可解答．
解：A=（n2﹣1）2+（2n）2=n4﹣2n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2．
∵A=B2，B＞0，∴B=n2+1，当2n=8时，n=4，∴n2+1=42+1=17；
当n2﹣1=35时，n2+1=37．
故答案为17；37．
【点拨】本题考查了勾股数的定义．掌握勾股数的定义是解答本题的关键．
40． BC的长为3++．
【分析】由题意知∠3=180°﹣2∠1=45°、∠4=180°﹣2∠2=30°、BE=KE、KF=FC，作KM⊥BC，设KM=x，知EM=x、MF=x，根据EF的长求得x=1，再进一步求解可得．
解：∵∠1=67.5°，∠2=75°，
∴∠3=180°﹣2∠1=45°，∠4=180°﹣2∠2=30°，
由折叠可知，BE=KE、KF=FC，
如图，过点K作KM⊥BC于点M，
设KM=x，则EM=x，KF=2x，
，，
∴x+x=+1，
解得：x=1，
∴EK=，KF=2，
∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3++，
∴BC的长为3++．
【点拨】本题主要考查翻折变换和勾股定理，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
41． （1）证明见分析；（2）证明见分析
【分析】（1）由题意知DC=EA，AC=BC，∠ACB=∠ECD，∠ACD是公共角，可知∠BCD=∠ACE，根据SAS得出△ACE≌△BCD．
（2）由（1）的论证结果得出∠DAE=90°，从而求出AD2+AE2=DE2．
解：（1）证明：∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，
∴CE=CD，AC=CB，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△BCD中
∴△ACE≌△BCD（SAS）．
（2）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=∠BAC=45°，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠B=∠CAE=45°，
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，
∴在Rt△AED中，由勾股定理得：AD2+AE2=DE2．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，主要考查学生的推理能力．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
专题3.14 《勾股定理》中考常考考点专题（巩固篇）
（专项练习）
（说明：本专题涉及到二次根式的知识，建议学习第四章《实数》后进行复习或选择性进行复习）
一、单选题
【考点一】勾股定理解直角三角形★★应用
1．（2022·广西桂林·中考真题）如图，在ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则ABC的面积是（ ）
A． B．1+ C．2 D．2+
2．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在中，，将边沿折叠，使点B落在上的点处，再将边沿折叠，使点A落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点N、M，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【考点二】勾股数★★勾股树
3．（2022·浙江杭州·一模）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成，其中 ，现把图2中的直角三角形继续作下去如图3所示，若 的值是整数，且1≤n≤30，则符合条件的n有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2018·湖南邵阳·中考模拟）直角三角形的三边为a﹣b，a，a+b且a、b都为正整数，则三角形其中一边长可能为（ ）
A．61 B．71 C．81 D．91
【考点三】勾股定理★★面积
5．（2021·福建莆田·一模）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，．若的三边所围成的区域面积记为，黑色部分面积记为，其余部分面积记为，则下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2019·广东佛山·模拟预测）如图，正方形ABCD外有一点P，P在BC外侧，并在平行线AB与CD之间，若PA＝，PB＝，PC＝，则PD＝（ ）
A．2 B． C．3 D．
【考点四】勾股定理★★网格
7．（2020·陕西·中考真题）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2007·安徽芜湖·中考真题）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、C的边长为5cm，则正方形D的边长为（ ）
A．cm B．4cm C．cm D．3cm
【考点五】勾股定理★★折叠
9．（2012·浙江绍兴·中考真题）如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交于点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设Pn﹣1Dn﹣2的中点为Dn﹣1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn﹣1重合，折痕与AD交于点Pn（n＞2），则AP6的长为【 】
A． B． C． D．
10．（2021·山东枣庄·中考真题）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点，沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F，已知EF=，则BC的长是（ ）
A． B．3 C．3 D．3
【考点六】勾股定理的证明
11．（2019·湖北咸宁·中考真题）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2017·浙江温州·中考真题）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为的小正方形EFGH，已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=EF，则正方形ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．
【考点七】勾股定理★★弦图
13．（2018·四川泸州·中考真题）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为
A．9 B．6 C．4 D．3
14．（2017·湖北襄阳·中考真题）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点八】勾股定理★★最值
15．（2018·山东东营·中考真题）如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
16．（2015·湖北武汉·中考真题）如图，△ABC、△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【考点九】勾股定理★★应用
17．（2019·四川绵阳·中考模拟）如图，长、宽、高分别为2，1，1的长方体木块上有一只蚂蚁从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到顶点B，则它爬行的最短路程是（ ）
A． B．3 C． D．
18．（2021·山东济南·二模）如图，一般客轮从小岛A沿东北方向航行，同时一艘补给船从小岛A正东方向相距（100+100），沿北偏西60°方向航行，与客轮同时到达C处给客轮进行补给，则客轮与补给船的速度之比为（ ）
A．：2 B．：1 C．：2 D．：1
二、填空题
【考点一】勾股定理解直角三角形★★应用
19．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是 _____．
20．（2021·四川内江·中考真题）已知，在中，，，，则的面积为 __．
【考点二】勾股数★★勾股树
21．（2020·四川成都·二模）如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为②．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的面积是_____．
22．（2021·云南大理·二模）观察下列各组勾股数，并寻找规律：
①4，3，5； ②6，8，10； ③8，15，17； ④10，24，26 ……
请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数：____________．
【考点三】勾股定理★★面积
23．（2020·河南郑州·二模）如图，正方形ABCD边长为2，E是AB的中点，以E为圆心，线段ED的长为半径作半圆，交直线AB于点M，N，分别以线段MD，ND为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_____________
24．（2021·福建龙岩·一模）一直角三角形两边分别为3和4，则斜边长为_____，斜边上的高为_____．
【考点四】勾股定理★★网格
25．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，点A，B，C，O在网格中小正方形的顶点处，直线l经过点C，O，将ABC沿l平移得到MNO，M是A的对应点，再将这两个三角形沿l翻折，P，Q分别是A，M的对应点．已知网格中每个小正方形的边长都等于1，则PQ的长为__．
26．（2019·北京·中考真题）如图所示的网格是正方形网格，则＝_____°（点A，B，P是网格线交点）.
【考点五】勾股定理★★折叠
27．（2019·辽宁葫芦岛·中考真题）如图，在Rt△ABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13．点D在边BC上，以AD为折痕将△ADB折叠得到△ADB′，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是___．
28．（2021·江苏·常州实验初中二模）如图，长方形中，点为射线上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为___．
【考点六】勾股定理的证明
29．（2017·北京西城·二模）如图是由三个直角三角形组成的梯形，根据图形，写出一个正确的等式______．
30．（2022·全国·八年级课时练习）如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是__．
【考点七】勾股定理★★弦图
31．（2022·四川内江·中考真题）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝_____．
32．（2020·湖南娄底·中考真题）由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积的和证明了勾股定理，还可以用来证明结论：若、且为定值，则当_______时，取得最大值．
【考点八】勾股定理★★最值
33．（2019·黑龙江伊春·中考真题）如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为_____．
34．（2016·江苏淮安·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=60°，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_________．
【考点九】勾股定理★★应用
35．（2020·四川·中考真题）如图，海中有一小岛A，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行_____海里就开始有触礁的危险．
36．（2022·湖北·随州市曾都区教学研究室一模）《九章算术》中记载着这样一个问题：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/分，乙的速度为3步/分，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：如图，设甲乙两人出发后x分钟相遇．根据勾股定理可列得方程为______．
三、解答题
37．（2022·四川资阳·中考真题）如图，在中，过点C作，在上截取，上截取，连接．
(1) 求证：；
(2) 若，求的面积．
38．（2021·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，垂足为，，延长至，使得，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的周长和面积．
39．（2019·河北·中考真题）已知：整式，整式．
尝试: 化简整式．
发现: ，求整式．
联想:由上可知，，当n＞1时为直角三角形的三边长，如图．填写下表中的值：
直角三角形三边
勾股数组Ⅰ
/
8
勾股数组Ⅱ
/
40．（2018·山东威海·中考真题）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF=+1，求BC的长．
41．（2006·江苏常州·中考真题）已知：如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，，D为AB边上一点．
求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）．
参考答案
1． D
【分析】如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，先证明△ADC是等腰直角三角形，得AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，再证明AD＝BD，计算AE和BC的长，根据三角形的面积公式可解答．
解：如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，
∵∠C＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°，
∴∠DAB＝22.5°，
∴∠B＝∠DAB，
∴AD＝BD＝2，
∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴DE＝CE，
∴
∴△ABC的面积．
故选：D．
【点拨】本题考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，熟知掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．
2． B
【分析】利用勾股定理求出AB=10，利用等积法求出CN＝，从而得AN＝，再证明∠NMC＝∠NCM＝45°，进而即可得到答案．
解：∵
∴AB=，
∵S△ABC＝×AB×CN＝×AC×BC
∴CN＝，
∵AN＝，
∵折叠
∴AM＝A'M，∠BCN＝∠B'CN，∠ACM＝∠A'CM，
∵∠BCN+∠B'CN+∠ACM+∠A'CM=90°，
∴∠B'CN +∠A'CM＝45°，
∴∠MCN＝45°，且CN⊥AB，
∴∠NMC＝∠NCM＝45°，
∴MN＝CN＝，
∴A'M＝AM＝AN−MN＝-=．
故选B．
【点拨】本题考查了翻折变换，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
3． C
【分析】利用勾股定理可求出OA2，OA3，OA4，即可得到OA3·OAn=，再根据OA3·OAn是整数及1≤n≤30，由此可求出n的值的个数．
解：由题意得
；
；
；
∵ 1≤n≤30，
∴OA3·OAn的值是整数，
∴·OAn的值可以是，，
是整数的有3个．
故答案为：C．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用；探索图形规律，找到规律是解题的关键．
4． C
解：由题可知：(a−b)2+a2=(a+b)2，解之得：a=4b，
所以直角三角形三边分别为3b、4b、5b.
当b=27时，3b=81.
故选C.
5． A
【分析】根据面积的和差关系表示出与，与的关系，再利用勾股定理即可得答案．
解：∵的三边所围成的区域面积记为，黑色部分面积记为，其余部分面积记为，
∴==，
=，
∵在Rt△ABC中，，
∴，
故选：A．
【点拨】本题考查了勾股定理及圆的面积公式；熟练掌握勾股定理，正确表示出各图形的面积关系是解题的关键．
6． A
【分析】用EF，BE，AB分别表示AP，BP，用CF，PF，DC分别表示DP，CP，得AP2+CP2=DP2+BP2，已知AP，BP，CP代入上式即可求DP．
解：延长AB，DC，过P分作PE⊥AE，PF⊥DF，则CF＝BE，
AP2＝AE2+EP2，BP2＝BE2+PE2，
DP2＝DF2+PF2，CP2＝CF2+FP2，
∴AP2+CP2＝CF2+FP2+AE2+EP2，
DP2+BP2＝DF2+PF2+BE2+PE2，
即AP2+CP2＝DP2+BP2，
代入AP，BP，CP得DP＝.
故选A．
【点拨】考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了正方形各边相等的性质，本题中求证AP2+CP2=DP2+BP2是解题的关键．
7． D
【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求的面积，由三角形的面积法求高即可．
解：由勾股定理得：AC＝＝，
∵S△ABC＝3×3﹣＝，
∴，
∴，
∴BD＝，
故选：D．
【点拨】本题考查了网格与勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
8． A
解：运用直角三角形的勾股定理，设正方形D的边长为，则
，（负值已舍），故选A
9． A
解：由题意得，AD=BC=，AD1=AD﹣DD1=，AD2=，AD3=，…∴ADn=．
故AP1=，AP2=，AP3=…APn=．
∴当n=14时，AP6=．故选A
10． B
【分析】折叠的性质主要有：1.重叠部分全等；2.折痕是对称轴,对称点的连线被对称轴垂直平分. 由折叠的性质可知,所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知,所以,的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．
解：
AB＝AC，
,
故选B.
【点拨】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．
11． B
【分析】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．
解：“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：
故选B.
【点拨】本题主要考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
12． C
【分析】设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2
解：由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，
∵AM=2EF，
∴2a=2b，
∴a=b，
∵正方形EFGH的面积为S，
∴b2=S，
∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=9b2=9S，
故选C．
13． D
【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，
每一个直角三角形的面积为：，
，
，
或（舍去），
故选：D．
【点拨】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
14． C
解：如图所示，∵（a+b）2=21
∴a2+2ab+b2=21，
∵大正方形的面积为13，即：a2+b2=13，
∴2ab=21﹣13=8，
∴小正方形的面积为13﹣8=5．
故选C．
15． C
【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．
解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A、C之间的最短距离为线段AC的长．
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，
AD为底面半圆弧长，AD=π，
∴AC=，
故选C．
【点拨】本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．
16． D
解：当EF⊥BC时，BM最短．根据题意可得：B、D、M三点共线，且点M和点G重合，根据等边三角形的性质可得DM=，BD=1，则BM=BD+DM=+1．
考点：等边三角形的性质．
17． D
【分析】蚂蚁有两种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短路程．
解：如图所示，
路径一：；
路径二： ，
，
蚂蚁爬行的最短路程为 ．
故选：D．
【点拨】本题考查了立体图形中的最短路线问题；通常应把立体几何中的最短路线问题转化为平面几何中的求两点间距离的问题；注意长方体展开图形应分情况进行探讨．
18． A
【分析】过C作CD⊥AB于D，设AD=x，根据特殊三角形的性质，分别用含x的代数式表示出CD，BD，根据AB的长求出x，再根据勾股定理求出AC，BD，即可得到答案．
解：过C作CD⊥AB于D，
设AD=x，
由题意得∠CAD=45°，∠NBC=60°，
在Rt△ACD中，∠ACD=90°-45°=45°，
∴∠ACD=∠CAD，
∴CD=AD=x，
∴ ，
在Rt△BCD中，∠CBD=90°-60°=30°，
∴BC=2CD=2x，
∴ ，
∵AB=100+100 ，
∴AD+BD=x+x=100+100，
∴（1+）x=100（1+），
∴x=100，
即AD=100海里，
∴AC=100海里，BC=200海里，
∵时间一定时速度与路程成正比，
∴客轮与补给船的速度之比为100：200=：2，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解决问题的关键．
19．12
【分析】延长BE交AD于点F，由“ASA”可证△BCE≌△FDE，可得DF＝BC＝5，BE＝EF，由勾股定理可求AB的长．
解：如图，延长BE交AD于点F，
∵点E是DC的中点，
∴DE＝CE，
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠ D＝∠BCE，∠FED＝∠BEC，
∴ △BCE≌△FDE（ASA），
∴DF＝BC＝5，BE＝EF，
∴BF＝2BE＝13，AF=5,
在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB＝12．
故答案为：12．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
20．2或14#14或2
【分析】过点B作AC边的高BD，Rt△ABD中，∠A=45°，AB=4，得BD=AD=4，在Rt△BDC中，BC=4，得CD==5，①△ABC是钝角三角形时，②△ABC是锐角三角形时，分别求出AC的长，即可求解．
解：过点作边的高，
中，，，
，
在中，，
，
①是钝角三角形时，
，
；
②是锐角三角形时，
，
，
故答案为：2或14．
【点拨】本题考查了勾股定理，三角形面积求法，解题关键是分类讨论思想．
21．4．
【分析】根据勾股定理可得两条直角边的平方和等于斜边的平方，即第①个正方形的面积＝第②个正方形面积的两倍；同理，第③个正方形面积是第②个正方形面积的一半，依此类推即可解答．
解：第①个正方形的面积为16，
由分析可知：第②个正方形的面积为8，
第③个正方形的面积为4，
故答案为：4．
【点拨】本题是图形类的变化规律题，考查了勾股定理与面积的关系及等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
22．16，63，65
【分析】根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第n组数，则这组数中的第一个数是2（n+1），第二个是：n（n+2），第三个数是：（n+1）2+1．根据这个规律即可解答．
解：根据①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26 ……
可得这组数中的第一个数是2（n+1），第二个是：n（n+2），第三个数是：（n+1）2+1
因此可求第⑦组数为：16，63，65．
故答案为16，63，65．
【点拨】此题考查的知识点是勾股数，此题属规律性题目，观察已知的几组数的规律，是解决本题的关键．
23．2
【分析】根据图形可知阴影部分的面积＝两个小的半圆的面积+△DMN的面积﹣大半圆的面积，MN的半圆的直径，从而可知∠MDN＝90°，此阴影部分的面积＝△DMN的面积，在Rt△AED中，求出DE＝，所以MN＝2，然后利用三角形的面积公式求解即可．
解：根据图形可知阴影部分的面积＝两个小的半圆的面积+△DMN的面积﹣大半圆的面积．
∵MN是半圆的直径，
∴∠MDN＝90°．
在Rt△MDN中，MN2＝MD2+DN2，
∴两个小半圆的面积＝大半圆的面积．
∴阴影部分的面积＝△DMN的面积．
在Rt△AED中，DE＝，
∴MN＝2DE＝2，
∴阴影部分的面积＝△DMN的面积＝MN•AD＝×2×2＝2．
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查的是求不规则图形的面积，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积是解答此类问题的常用方法，发现阴影部分的面积＝△DMN的面积是解题的关键．
24． 5或4 或．
【分析】分两种情形用勾股定理求出斜边长，然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可．
解：①当3，4为直角边时，由勾股定理可得：斜边长2＝32+42＝25，
则斜边长＝5，
直角三角形面积S＝×3×4＝×5×斜边的高，
可得：斜边的高＝．
②当4为斜边时，斜边上的高为
故答案为：5或4，或．
【点拨】本题考查勾股定理，解答本题的关键是学会利用面积法求直角三角形斜边上的高．
25．
【分析】连接PQ，AM，根据PQ＝AM即可解答．
解：连接PQ，AM，
由图形变换可知：PQ＝AM，
由勾股定理得：AM＝，
∴PQ＝．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理等知识，明确翻折前后对应线段相等是解题的关键．
26．45
【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，求得PD2+DB2=PB2，于是得到∠PDB=90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，
∴PD2+DB2=PB2，
∴∠PDB=90°，
即△PBD为等腰直角三角形，
∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°，
故答案为：45．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
27．7或．
【分析】由勾股定理可以求出BC的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当△DEB′为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出BD的长．
解：在Rt△ABC中，，
（1）当∠EDB′＝90°时，如图1，
过点B′作B′F⊥AC，交AC的延长线于点F，
由折叠得：AB＝AB′＝13，BD＝B′D＝CF，
设BD＝x，则B′D＝CF＝x，B′F＝CD＝12﹣x，
在Rt△AFB′中，由勾股定理得：
，
即：x2﹣7x＝0，解得：x1＝0（舍去），x2＝7，
因此，BD＝7．
（2）当∠DEB′＝90°时，如图2，此时点E与点C重合，
由折叠得：AB＝AB′＝13，则B′C＝13﹣5＝8，
设BD＝x，则B′D＝x，CD＝12﹣x，
在中，由勾股定理得：，解得：，
因此．
故答案为7或．
【点拨】考查轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，分类讨论思想的应用注意分类的原则是不遗漏、不重复．
28．2或18##18或2．
【分析】分两种情况：①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，利用全等三角形的判定和性质进行解答即可．
解：分两种情况讨论：
①当点在线段上时，如图所示：
，
，
，
，
、、三点共线，
的面积，，
，
，
；
②当点在线段的延长线上，且经过点时，满足条件，如图所示：
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
综上所知，的长为2或18，
故答案为：2或18．
【点拨】本题考查了翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折的性质，分类探讨的思想方法是解决问题的关键．
29.c2=a2+b2
【分析】该图形的面积是由3个直角三角形组成的一个直角梯形，根据三角形的面积公式、梯形的面积公式进行解答.
解：依题意得：ab+c2+ab=(a+b)(a+b)，
ab+c2+ab=(a2+2ab+b2)，
ab+c2+ab=a2+ab+b2，
c2=a2+b2，
c2=a2+b2.
故答案是：c2=a2+b2.
【点拨】本题考查了勾股定理的证明，解题时，采用了分割法求图形的面积.
30.a2+b2＝c2
【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而列出等式，发现边与边之间的关系．
解：此图可以这样理解，有三个Rt△其面积分别为 ab，ab和 c2．
还有一个直角梯形，其面积为 （a+b）（a+b）．
由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，
整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
故答案为：a2+b2＝c2．
【点拨】此题考查的知识点是勾股定理的证明，主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2．
31．48
【分析】设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，然后分别求出S1、S2、S3，即可得到答案．
解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：
S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，
且：a2+b2＝EF2＝16，
∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16
＝2×16+16
＝48．
故答案为：48．
【点拨】本题考查了正方形的面积，勾股定理的应用，解题的关键是利用直角三角形两直角边与三个正方形的面积的关系，可寻找出三正方形面积之间的关系．
32． =
【分析】设为定值，则，先根据“张爽弦图”得出，再利用平方数的非负性即可得．
解：设为定值，则
由“张爽弦图”可知，
即
要使的值最大，则需最小
又
当时，取得最小值，最小值为0
则当时，取得最大值，最大值为
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用、平方数的非负性，掌握勾股定理是解题关键．
33．
【分析】由于S△PAB=S△PCD，这两个三角形等底同高，可得点P在线段AD的垂直平分线上，根据最短路径问题，可得PC+PD=AC此时最小，有勾股定理可求结果．
解：为矩形，
又
点到的距离与到的距离相等，即点线段垂直平分线上，
连接，交与点，此时的值最小，
且
故答案为
【点拨】此题考查垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，解题关键在于作辅助线
34． ．
【分析】延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．运用勾股定理求解.
解：如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．
∵AC=6，CF=2，
∴AF=AC-CF=4，
∵∠A=60°，∠AMF=90°，
∴∠AFM=30°，
∴AM=AF=2，
∴FM==2 ，
∵FP=FC=2，
∴PM=MF-PF=2-2，
∴点P到边AB距离的最小值是2-2．
故答案为: 2-2．
【点拨】本题考查了翻折变换，涉及到的知识点有直角三角形两锐角互余、勾股定理等，解题的关键是确定出点P的位置.
35．4.5
【分析】过A作AC⊥BD于点C，求出∠CAD、∠CAB的度数，求出∠BAD和∠ABD，根据等角对等边得出AD＝BD＝12，根据含30度角的直角三角形性质求出CD，根据勾股定理求出AC即可．
解：
如图，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，
∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，
∴∠BAD＝60°﹣30°＝30°，∠ABD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABD＝∠BAD，
∴BD＝AD＝12海里，
∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，
∴CD＝AD＝6海里，
由勾股定理得：AC＝＝6（海里），
如图，设渔船还需航行x海里就开始有触礁的危险，即到达点D′时有触礁的危险，
在直角△AD′C中，由勾股定理得：（6﹣x）2+（6）2＝10.52．
解得x＝4.5．
渔船还需航行 4.5海里就开始有触礁的危险．
故答案是：4.5．
【点拨】本题主要考查方位角及勾股定理，关键是根据题意得到角的度数，然后利用特殊角的关系及勾股定理进行求解即可．
36．
【分析】设甲、乙二人出发后相遇的时间为x ，然后利用勾股定理列出方程即可．
解：设经 x秒二人在C处相遇，这时乙共行 AC =3x，甲共行AB +BC =7x，
∵AB =10，
∴ BC =7x -10，
又∵∠A =90°，
∴BC2= AC2 + AB2，
∴(7x -10)2=(3x)2+102，
故答案是：(7x -10)2= (3x)2+102．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形．
37．(1)证明见分析(2)
【分析】（1）根据，可以得到，即可用SAS证明得出结论；
（2）根据全等三角形的性质，可以得到，设，则，因为在中，，而在中，，即可列出方程求出三角形的面积．
（1）证明：∵
∴
又∵
∴；
（2）由（1），
∴，
设，∵，则，
在中，，
在中，，
∴，
即，整理得：，
解得：（舍去），
∴，
∴，，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，解一元二次方程，用方程思想解决几何问题是本题的关键．
38． （1）证明见分析；（2）周长为，面积为22．
【分析】（1）先根据垂直的定义可得，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；
（2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再利用勾股定理可得，从而可得，然后利用勾股定理可得，最后利用三角形的周长公式和面积公式即可得．
解：（1）证明：，
，
在和中，，
，
；
（2），，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则的周长为，
的面积为．
【点拨】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．
39． 尝试：；发现：；联想：17，37.
【分析】先根据完全平方公式和整式的混合运算法则求出A，进而求出B，再把n的值代入即可解答．
解：A=（n2﹣1）2+（2n）2=n4﹣2n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2．
∵A=B2，B＞0，∴B=n2+1，当2n=8时，n=4，∴n2+1=42+1=17；
当n2﹣1=35时，n2+1=37．
故答案为17；37．
【点拨】本题考查了勾股数的定义．掌握勾股数的定义是解答本题的关键．
40． BC的长为3++．
【分析】由题意知∠3=180°﹣2∠1=45°、∠4=180°﹣2∠2=30°、BE=KE、KF=FC，作KM⊥BC，设KM=x，知EM=x、MF=x，根据EF的长求得x=1，再进一步求解可得．
解：∵∠1=67.5°，∠2=75°，
∴∠3=180°﹣2∠1=45°，∠4=180°﹣2∠2=30°，
由折叠可知，BE=KE、KF=FC，
如图，过点K作KM⊥BC于点M，
设KM=x，则EM=x，KF=2x，
，，
∴x+x=+1，
解得：x=1，
∴EK=，KF=2，
∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3++，
∴BC的长为3++．
【点拨】本题主要考查翻折变换和勾股定理，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
41． （1）证明见分析；（2）证明见分析
【分析】（1）由题意知DC=EA，AC=BC，∠ACB=∠ECD，∠ACD是公共角，可知∠BCD=∠ACE，根据SAS得出△ACE≌△BCD．
（2）由（1）的论证结果得出∠DAE=90°，从而求出AD2+AE2=DE2．
解：（1）证明：∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，
∴CE=CD，AC=CB，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△BCD中
∴△ACE≌△BCD（SAS）．
（2）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=∠BAC=45°，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠B=∠CAE=45°，
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，
∴在Rt△AED中，由勾股定理得：AD2+AE2=DE2．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，主要考查学生的推理能力．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
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