专题1.49 《全等三角形》挑战综合(压轴)题分类专题(专项练习)-八年级数学上册基础知识专项讲练(苏科版)
展开专题1.49 《全等三角形》挑战综合(压轴)题分类专题(专项练习)
【类型一】全等三角形➼➻判定★✭性质➻角度★✭线段★✭周长★✭面积
【类型①】全等三角形➼➻直接证明➻线段★✭角
1. (2022·浙江衢州·中考真题)已知:如图,.
求证:.
2.(2019·广西桂林·中考真题)如图,,点在上.
(1)求证:平分;(2)求证:.
【类型②】全等三角形➼➻判定★✭性质➻周长★✭面积
3.(2020·四川宜宾·中考真题)如图,在三角形ABC中,点D是BC上的中点,连接AD并延长到点E,使,连接CE.
(1)求证:
(2)若的面积为5,求的面积.
4.(2022·浙江·杭州市十三中教育集团(总校)模拟预测)如图,在①,②,③这三个条件中选择其中一个,补充在下面的问题中,并完成问题的解答.
问题:如图,在中,D是BC边上一点,DE,DF分别是和高,EF交AD于O,若______,
(1) 求证:;
(2) 若,,求的面积.
【类型③】全等三角形➼➻判定★✭性质➻尺规作图★✭证明
5.(2019·广西柳州·中考真题)已知:.
求作:,使得.
作法:
①以为圆心,任意长为半径画弧,分别交,于点;
②画一条射线,以点为圆心,长为半径画弧,交于点;
③以点为圆心,长为半径画弧,与第②步中所画的弧相交于点;
④过点画射线,则.
根据上面的作法,完成以下问题:
(1)使用直尺和圆规,作出(请保留作图痕迹).
(2)完成下面证明的过程(注:括号里填写推理的依据).
证明:由作法可知,, ,
∴≌( )
∴.( )
6.(2019·河北张家口·二模)嘉淇同学要证,她先用下列尺规作图步骤作图:①;②以点为圆心,长为半径画弧,与射线相交于点,连接;③过点作,垂足为点.并写出了如下不完整的已知和求证.
(1)在方框中填空,补全已知和求证;
(2)按嘉淇的想法写出证明过程.
【类型④】全等三角形➼➻条件开放性问题
7.(2022·江苏南通·二模)在①DE=BC,②,③AE=AC这三个条件中选择其中一个,补充在下面的问题中,并完成问题的解答.
问题:如图,AC平分,D是AC上的一点,.若______,求证:.
8.(2022·甘肃兰州·一模)如图,BD平分∠ABC,点E在BD上.从下面①②③中选取两个作为已知条件,另一个作为结论,构成一个命题,判断该命题真假并说明理由.
①;②;③.
你选择的已知条件是______,结论是______(填写序号);该命题为______(填“真”或“假”)命题.
注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
【类型⑤】全等三角形➼➻结论开放性问题
9.(2020·广西河池·中考真题)(1)如图(1),已知CE与AB交于点E,AC=BC,∠1=∠2.求证:△ACE≌△BCE.
(2)如图(2),已知CD的延长线与AB交于点E,AD=BC,∠3=∠4.探究AE与BE的数量关系,并说明理由.
10.(2022·北京石景山·一模)如图,△ACB中,,,D为边BC上一点(不与点C重合),,点E在AD的延长线上,且,连接BE,过点B作BE的垂线,交边AC于点F.
(1) 依题意补全图形;
(2) 求证:;
(3) 用等式表示线段AF与CD的数量关系,并证明.
【类型二】全等三角形➼➻几何模型
【类型①】全等三角形➼➻几何模型➻一线三直角★✭旋转
11.(2019·湖北黄冈·中考真题)如图,是正方形,是边上任意一点,连接,作,,垂足分别为G.求证:.
12.(2019·湖北黄石·中考真题)如图,在中,,为边上的点,且,为线段的中点,过点作,过点作,且、相交于点.
(1)求证:
(2)求证:
【类型②】全等三角形➼➻几何模型➻双垂线等角★✭手拉手
13. (2009·黑龙江鸡西·中考真题) 已知Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,D为AB边的中点,∠EDF=90°,∠EDF绕D点旋转,它的两边分别交AC、CB(或它们的延长线)于E、F.当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时(如图1),易证.当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立? 若成立,请给予证明;若不成立,,,又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.
14.(2017·黑龙江哈尔滨·中考真题)已知:和都是等腰直角三角形,,连接,交于点,与交于点,与交于点.
(1)如图1,求证:;
(2)如图2,若,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四对全等的直角三角形.
【类型三】全等三角形➼➻作辅助线➻截长补短★✭倍长中线
15.(2022·江西·景德镇一中七年级期末)如图,在△ABC中,∠A=100°,AB=AC,BE是∠ABC的平分线,求证:AE+BE=BC.
16.(2022·福建·模拟预测)如图,在△ABC中,点D是AB边上的中点,已知AC=4,BC=6
(1)尺规作图:作AB边上的中点D和△BCD关于点D的中心对称图形;
(2)根据图形说明线段CD长的取值范围.
【类型四】全等三角形➼➻三角形内角和★✭角平分线性质
17.(2022·山东·济南育英中学模拟预测)如图1,在△ABC中,∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O.
(1)求证:∠AOC=90°+∠ABC;
(2)当∠ABC=90°时,且AO=3OD(如图2),判断线段AE,CD,AC之间的数量关系,并加以证明.
18.(2021·江苏·沭阳县修远中学一模)如图,已知,AE,BD是的角平分线,且交于点P.
(1)求的度数.
(2)求证:点在的平分线上.
(3)求证:①; ②.
【类型五】全等三角形➼➻拓展探究★✭能力提升
【类型①】全等三角形➼➻综合探究
19.(2022·江西抚州·七年级阶段练习)综合与探究:
如图1所示的是由两块三角板组成的图形,其中在中,,,在中,,,点B,E,D在同一条直线上,AC与BD交于点F,连接CD并延长,交BA的延长线于点G.
(1) 当时,试用含的代数式表示∠BAE的度数.
(2) 当时,试探究BC与BG的数量关系,并说明理由.
(3) 过点C作,交BD的延长线于点H,如图2所示,在满足(2)的情况下,求∠DCH的度数,并直接写出与∠DCH相等的角(除∠G外,写两个即可).
20.(2022·山东济南·七年级期末)(初步探索)(1)如图:在四边形中,,,、分别是、上的点,且,探究图中、、之间的数量关系.
(1)(1)小明同学探究此问题的方法是:延长到点,使.连接,先证明,再证明,可得出结论,他的结论应是_____________;
(2)(灵活运用)(2)如图2,若在四边形中,,,、分别是、上的点,且,上述结论是否仍然成立,并说明理由;
【类型②】全等三角形➼➻问题背景
21.(2022·河南漯河·八年级期末)
(1)【自主学习】填空:
如图1,点是的平分线上一点,点A在上,用圆规在上截取,连接,可得 ,其理由根据是 ;
(2)【理解运用】如图2,在中,,,平分,试判断和、之间的数量关系并写出证明过程.
(3)【拓展延伸】如图3,在中,,,分别是,的平分线,,交于点,若,,请直接写出的长.
22.(2022·辽宁沈阳·七年级期中)【问题情境】如图1,A,B两点分别位于一个池塘的两端,小明想用绳子测量A,B间的距离,但绳子不够长,一个叔叔帮他出了这样一个主意:先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C,连接并延长到D,使;连接并延长到E,使,连接并测量出它的长度,如果米,那么间的距离为___________米.
【探索应用】如图2,在中,若,求边上的中线的取值范围.
解决此问题可以用如下方法:延长到点E使,再连接(或将绕着点D逆时针旋转得到),把集中在中,利用三角形三边的关系即可判断,中线的取值范围是___________;
【拓展提升】如图3,在中,的延长线交于点F,求证:.
【类型六】全等三角形➼➻线段垂直平分线★✭作图
23.(2019·湖北省鹤峰县实验中学二模)已知:如图,在中,∠BAC=90°,,垂直平分AC,点D在BA的延长线上,.求证(1)△DAF≌△EFC;(2)DF=BE.
24.(2019·江苏无锡·一模)(1)如图1,已知垂直平分,垂足为,与相交于点,连接.
求证:.
(2)如图2,在中,,为的中点.
①用直尺和圆规在边上求作点,使得(保留作图痕迹,不要求写作法);
②在①的条件下,如果,,P为MN中点,求MQ的长度.
参考答案
1.见分析【分析】由∠3=∠4可得∠ACB=∠ACD,然后即可根据ASA证明△ACB≌△ACD,再根据全等三角形的性质即得结论.
解:∵,,,
∴,
∵ ,
∴△ACB≌△ACD,
∴.
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质,证明△ACB≌△ACD是解本题的关键.
2. (1)见分析;(2)见分析.
【分析】(1)由题中条件易知:△ABC≌△ADC,可得AC平分∠BAD;
(2)利用(1)的结论,可得△BAE≌△DAE,得出BE=DE.
解:(1)在与中,
∴
∴
即平分;
(2)由(1)
在与中,得
∴
∴
【点拨】熟练运用三角形全等的判定,得出三角形全等,转化边角关系是解题关键.
3.(1)详见分析;(2)10.【分析】(1)根据中点定义、对顶角相等以及已知条件运用SAS即可证明;
(2)先根据三角形中点的性质和全等三角形的性质得到、,再结合以及解答即可.
证明:(1)∵D是BC的中点,
∴BD=CD
在△ABD和△CED中,
所以;
(2)∵在△ABC中,D 是BC的中点
∴
∵
.
答:三角形ACE的面积为10.
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质等知识,其中掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键.
4.(1)证明过程见分析(2)16
【分析】(1)若①,利用证明;若②,利用证明;若③,利用证明;
(2)根据,可得,根据即可求解.
(1)证明:若①∵DE,DF分别是 和
高∴在和中
∵
∴
若②∵DE,DF分别是 和
高∴在和中
∵
∴
若③∵DE,DF分别是 和
高∴在和中
∵
∴
(2) 解:∵
∴
∵
∴
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质,三角形面积等知识点,掌握全等三角形的判定方法和性质是解答本题的关键.
5. (1)详见分析;(2),,全等三角形的对应角相等.
【分析】(1)根据题意作出图形即可;(2)根据全等三角形的判定和性质即可得到结论.
解:(1)如图所示,即为所求;
(2)证明:由作法可知,,,
∴≌()
∴.(全等三角形的对应角相等)
故答案为,,全等三角形的对应角相等.
【点拨】本题考查了作图-基本作图,全等三角形的判定和性质,正确的作出图形是解题的关键.
6. (1)BE;BF;(2)见分析
【分析】(1)以点 B 为圆心, BC 长为半径画弧得到BC=BE,根据题目第一句话得AE=BF;
(2)根据平行线的性质得到∠AEB=∠FBC,然后根据AAS证明△ABE≌△FCB,然后利用全等三角形的性质即可证明.
解:(1)∵以点B为圆心,BC长为半径画弧
∴BC=BE
根据已知条件第一句话,得到AE=BF
故答案为:BE;BF;
(2)证明:∵CF⊥BE,
∴∠BFC=90°,
又∵AD∥BC,
∴∠AEB=∠FBC.
∵以点B为圆心,BC长为半径画弧,
∴BE=BC,
在△ABE与△FCB中,
∴△ABE≌△FCB,
∴AE=BF
【点拨】本题考查了尺规作图,和三角形全等的判定及性质,熟练掌握全等三角形的判定条件,和性质是本题的关键.
7. 证明见分析
【分析】选②,根据角平分线的性质可得∠EAD=∠BAC.由三角形的内角和定理可得,,即可求解,若选③,证明,即可求解.
解:若选②;
证明:∵AC平分∠BAE,
∴∠EAD=∠BAC.
∵∠E=∠C,
∴.
∵,.
∴∠ADE=∠ABC.
若选③,
证明:∵AC平分∠BAE,∴.
在△ABC和△ADE中,
∴.
∴.
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理,三角形求得的性质与判定,综合运用以上知识是解题的关键.
8. ①②,③,真,理由见分析.
【分析】以①②为条件,③为结论,结合全等三角形的判定方法及真假命题的定义解答.
解:条件是:①;②,结论是:③.
BD平分∠ABC,
又,
.
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、命题的定义等知识,是基础考点,掌握相关知识是解题关键.
9. (1)证明见分析;(2)AE=BE;理由见分析
【分析】(1)根据SAS可得出答案;
(2)在CE上截取CF=DE,证明△ADE≌△BCF(SAS),可得出AE=BF,∠AED=∠CFB,则可得出BE=BF.结论得证.
解:(1)证明:在△ACE和△BCE中,
∵,
∴△ACE≌△BCE(SAS);
(2)AE=BE.
理由如下:
在CE上截取CF=DE,
在△ADE和△BCF中,
∵,
∴△ADE≌△BCF(SAS),
∴AE=BF,∠AED=∠CFB,
∵∠AED+∠BEF=180°,∠CFB+∠EFB=180°,
∴∠BEF=∠EFB,
∴BE=BF,
∴AE=BE.
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定等知识,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
10.(1)见分析(2)见分析(3),证明见分析
【分析】(1)根据题目步骤作图即可;
(2)过E作EM⊥BC于M,先由中线倍长证明,得到,再证明,得到;
(3)由(2)中全等可得到,即可推理出.
解:(1)依题意补全图形如下:
(2)过E作EM⊥BC于M
在和中
∴(AAS)
∴
∵
∴
∵BE⊥BF
∴
在和中
∴ (ASA),
∴
(3),证明如下:
由(2)得,
∴,
∴,
∴.
【点拨】本题考查全等三角形的性质与判定,解题的关键是根据倍长中线模型作垂直构造全等.
11. 详见分析
【分析】根据正方形的性质可得AB=AD,再利用同角的余角相等求出∠BAF=∠ADG,再利用“角角边”证明△BAF和△ADG全等,根据全等三角形对应边相等可得BF=AG,根据线段的和与差可得结论.
证明:四边形是正方形,
,
,
,
,
,
在和中,
,
,
,,
,
,
.
【点拨】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,证明△BAF≌△ADG是解题的关键.
12.(1)见分析;(2)见分析【分析】(1)由等腰三角形的性质可得AD⊥BC,由余角的性质可得∠C=∠BAD;
(2)由“ASA”可证△ABC≌△EAF,可得AC=EF.
解:(1)如图
∵,
∴是等腰三角形
又∵为的中点,
∴(等腰三角形三线合一)
在和中,
∵为公共角,,
∴.
另解:∵为的中点,
∵,又,,
∴,
∴,又,
∴
∴,
在和中,
∵为公共角,,
∴.
(2)∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
又∵,
∴,
∴.
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,熟练运用全等三角形的判定是本题的关键.
13.见分析解: 图2成立;图3不成立 2分
证明图2:
解:过点D作DM⊥AC,DN⊥BC
则∠DME=∠DNF=∠MDN=90°
再证∠MDE=∠NDF,DM=DN
有△DME≌△DNF
∴S△DME= S△DNF
∴S四边形DMCN=S四边形DECF=S△DEF+ S△CEF
由信息可知S四边形DMCN=S△ABC
∴S△DEF+ S△CEF=S△ABC···························· 4分
图3不成立,S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是:
S△DEFS△CEF=S△ ABC 2分
14. (1)证明见分析;(2)△ACB≌△DCE(SAS),△EMC≌△BCN(ASA),△AON≌△DOM(AAS),△AOB≌△DOE(HL)
试题分析:(1)根据全等三角形的判定(SAS)证明△ACE≌△BCD,从而可知AE=BD;
(2)根据条件判断出图中的全等直角三角形即可;
解:(1)∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,
∴AC=BC,DC=EC,
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,
∴∠BCD=∠ACE,
在△ACE与△BCD中, ,
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴AE=BD,
(2) ∵AC=DC,
∴AC=CD=EC=CB,△ACB≌△DCE(SAS);
由(1)可知:∠AEC=∠BDC,∠EAC=∠DBC,
∴∠DOM=90°,
∵∠AEC=∠CAE=∠CBD,
∴△EMC≌△BCN(ASA),
∴CM=CN,
∴DM=AN,△AON≌△DOM(AAS),
∵DE=AB,AO=DO,∴△AOB≌△DOE(HL)
考点:1.全等三角形的判定与性质;2.等腰直角三角形.
15. 见分析
【分析】延长BE到F,使BF=BC,连接FC,由AB=AC,∠A=100°,得到∠ABC=∠ACB=40°,由于BE平分∠ABC,于是得到∠ABE=∠EBC=20°,通过△FCE≌△F′CE,得到EF=EF′,∠EF′C=∠F=80°,证得△ABE≌△F′BE,于是得到AE=EF′,于是得到结论.
解:如图,延长BE到F,使BF=BC,连接FC,
∵AB=AC,∠A=100°,
∴∠ABC=∠ACB=40°,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBC=20°,
∵BF=BC,
∴∠F=∠BCF=80°,
∴∠FCE=∠ACB=40°,
在BC上取CF′=CF,连接EF′,
在△FCE与△F′CE中,,
∴△FCE≌△F′CE(SAS),
∴EF=EF′,∠EF′C=∠F=80°,
∴∠BF′E=100°,
∴∠A=∠BF′E,
在△ABE与△F′BE中,,
∴△ABE≌△F′BE(AAS),
∴AE=EF′,
∴AE=EF,
∴AE+BE=BE+EF=BC.
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质,角平分线的性质,等腰三角形的性质,作辅助线构建全等三角形是解题的关键.
16. (1)见分析;(2)1<CD<5.
【分析】(1)由题知CD为中线,只要使DE=CD,然后连接AE即可;
(2)根据三角形三边关系,先求出CE的取值范围,即可求出CD的取值范围.
解:(1)中点D如图所示,△ADE即为所求.
(2)由题意AE=BC=6,
∴6﹣4<EC<4+6,
∴2<EC<10,
∵EC=2CD,
∴1<CD<5.
【点拨】本题是对尺规作图和三角形第三边取值范围的考查,熟练掌握尺规作图和三角形三边关系是解决本题的关键.
17.(1)见分析(2)AE+CD=AC,证明见分析
【分析】(1)求出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC,根据角平分线定义求出∠OAC=∠BAC,∠OCA=∠BCA,即可求出∠OAC+∠OCA的度数,根据三角形内角和定理求出即可;
(3)在AC上分别截取AM、CN,使AM=AE,CN=CD,连接OM,ON,证△AEO≌△AMO,△DCO≌△NCO,推出∠EOA=∠MOA,∠CON=∠COD,OD=ON,求出∠MON=∠MOA=45°,根据角平分线性质求出MK=ML,据此计算即可求解.
(1)证明:∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,
∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC,
∵∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O.
∴∠OAC=∠BAC,∠OCA=∠BCA,
∴∠OAC+∠OCA=(∠BAC+∠BCA)=(180°-∠ABC)=90°-∠ABC,
∴∠AOC=180°-(∠OAC+∠OCA)=180°-(90°-∠ABC),
即∠AOC=90°+∠ABC;
(2)解:AE+CD=AC,
证明:如图2,∵∠AOC=90°+∠ABC=135°,
∴∠EOA=45°,
在AC上分别截取AM、CN,使AM=AE,CN=CD,连接OM,ON,
则在△AEO和△AMO中,,
∴△AEO≌△AMO,
同理△DCO≌△NCO,
∴∠EOA=∠MOA,∠CON=∠COD,OD=ON,
∴∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°,
∴∠MON=∠MOA=45°,
过M作MK⊥AD于K,ML⊥ON于L,
∴MK=ML,
S△AOM=AO×MK,S△MON=ON×ML,
∴,
∵,
∴,
∵AO=3OD,
∴,
∴,
∴AN=AM=AE,
∵AN+NC=AC,
∴AE+CD=AC.
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定,角平分线定义和性质,三角形的面积,三角形内角和定理的应用,熟练掌握各性质定理是解答此题的关键.
18. (1);(2)见分析;(3)①见分析,②见分析
【分析】(1)根据三角形的内角和定理和角平分线的性质即可得解;
(2)根据角平分线上的点到两边的距离相等,作,,分别垂直于,,,即可得解;
(3)①根据(2)所做图像,证明全等即可得解;②在AB上取,证明,,得到,证明,得到,证明,得到,再结合图像即可证明.
解:(1)已知,
,
又 AE,BD是的角平分线,
,
;
(2)作,,分别垂直于,,如图,
AE,BD是的角平分线,
,
在的平分线上;
(3)①:如图所示,在四边形中,
,(对顶角),
,
,
又,,
,
;
②:在AB上取,
,
,
同理可证,
,,
又,
,
,,
又,
,
又
,
.
【点拨】本题考查了角平分线的性质,三角形的内角和定理,全等三角形的判定与性质;掌握好相关的基本性质定理,熟练地使用全等三角形的性质是关键.
19.(1)45°-α(2)BC=BG,理由见分析(3)∠DFC,∠DCB,∠DAG,∠AFE,∠FAE
【分析】(1)证明△DAC≌△EAB(SAS),由全等三角形的性质可得出∠ACD=∠ABE,由三角形外角的性质可得出结论;
(2)证明△CBD≌△GBD(ASA),由全等三角形的性质可得出BC=BG;
(3)由平行线的性质及直角三角形的性质可得出结论.
(1)解:∵∠DAE=∠BAC=90°,
∴∠BAE=∠DAC,
∵AD=AE,AC=AB,
∴△DAC≌△EAB(SAS),
∴∠ACD=∠ABE,
∵∠AED=45°,
∴∠BAE=∠AED-∠ABE=45°-∠ACD=45°-α;
(2)BC=BG,理由如下:
∵∠ACD=∠CBD,∠ACD=∠ABE,
∴∠CBD=∠ABE,
∵∠DFC=∠AFB,∠ACD=∠FBA,
∴∠FAB=∠CDF=90°,
∴∠CDB=∠GDB=90°,
∵DB=DB,
∴△CBD≌△GBD(ASA),
∴BC=BG;
(3)∵BC=BG,∠CBD=∠GBD,
∴CD=GD,
∵∠GAC=90°,
∴CD=AD=GD,
∴∠G=∠DAG,∠ACD=∠DAC,
∵CH∥BG,
∴∠DCH=∠G=∠DAG,
∵∠DCH+∠DCF=90°,∠DCF+∠DFC=90°,
∴∠DCH=∠DFC,
又∵∠DFC=∠AFE,
∴∠DCH=∠AFE,
∵∠ACD=∠DAC,
∴∠FAE=∠DFC,
∴∠DCH=∠FAE.
故与∠DCH相等的角有∠DFC,∠DCB,∠DAG,∠AFE,∠FAE.
【点拨】本题是三角形综合题,主要考查了平行线的性质,全等三角形的性质与判定,等腰直角三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
20.(1)(初步探索)结论:∠BAE+∠FAD=∠EAF;(2)(灵活运用)成立,理由见分析
【分析】(1)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,可判定△ABE≌△ADG,进而得出∠BAE=∠DAG,AE=AG,再判定△AEF≌△AGF,可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF,据此得出结论;
(2)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先判定△ABE≌△ADG,进而得出∠BAE=∠DAG,AE=AG,再判定△AEF≌△AGF,可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF.
(1)解:∠BAE+∠FAD=∠EAF.
理由:如图1,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,
∵,
∴,
∵DG=BE,,
∴△ABE≌△ADG,
∴∠BAE=∠DAG,AE=AG,
∵EF=BE+FD,DG=BE,
∴,且AE=AG,AF=AF,
∴△AEF≌△AGF,
∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF.
故答案为:∠BAE+∠FAD=∠EAF;
(2)如图2,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,
∵∠B+∠ADF=180°,∠ADG+∠ADF=180°,
∴∠B=∠ADG,
又∵AB=AD,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴∠BAE=∠DAG,AE=AG,
∵EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,
∴△AEF≌△AGF(SSS),
∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF
【点拨】本题考查了全等三角形的判定以及性质的综合应用,解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形,根据全等三角形的对应角相等进行推导变形.解题时注意:同角的补角相等.
21.(1),SAS(2),证明见分析(3)5
【分析】(1)由角平分线的定义得出,根据可证明;
(2)先截取,连接,根据判定,得出,,,进而得出结论;
(3)在上取一点,使,证明,由全等三角形的性质得出,证明,由全等三角形的性质得出,则可求出答案.
(1)解:点是的平分线上一点,
,
在和中,
,
,
故答案为:;;
(2).
证明:在上截取,
平分,
,
在和中,
,
,
,AD=DE,
,
,
,
即,
,
,
,
.
(3)在上取一点,使,
在中,,
,
,
,
,
,
平分,
,
在和中,
,
,
,
,
,
是的平分线,
,
在和中,
,
,
,
.
【点拨】本题是三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,角平分线的性质以及等腰三角形的性质的综合应用,解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形,根据线段的和差关系进行推导.
22. (1)100米;(2)1<AD<4;(3)见详解
【分析】(1)证明△ABC≌△DEC,由全等三角形的性质即可得AB=DE;
(2)延长到点E使,再连接,由“SAS”可证△ADC≌△EDB,可得AC=BE=3,由三角形三边关系可得1<AD<4;
(3)在BC上截取BG=AF,易证△ABG≌△ADF,可得DF=AG和∠DFA=∠BGA,即可求证△ACG≌△EAF,可得GE=AF,即可解题.
(1)解:在△ABC和△DEC中,
,
∴△ABC≌△DEC(SAS),
∴DE=AB=100米;
故答案为:100米
(2)延长到点E使,再连接
如图所示
∵AD=DE,CD=BD,∠ADC=∠BDE,
∴△ADC≌△EDB(SAS)
∴AC=BE=3,
∵在△ABE中,AB﹣BE<AE<AB+BE
∴2<2AD<8,
∴1<AD<4,
故答案为:1<AD<4;
(3)证明:在BC上截取BG=AF,
∵∠BAD=∠CAE=∠ACB=90°
∴∠BAC+∠ABC=∠BAC+∠DAF=90°
∴∠CBA=∠DAF,
在△ABG和△ADF中,
,
∴△ABG≌△ADF,(SAS)
∴DF=AG,∠DFA=∠BGA,
∴∠EFA=∠CGA,
∵在△ACG和△EAF中,
,
∴△ACG≌△EAF(AAS)
∴EE=AG=FD.
∴
【点拨】考查了全等三角形的判定和性质,添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.
23. (1)证明见分析;(2)证明见分析.
【分析】(1)根据全等三角形的判定(SAS)进行证明,即可得到答案;
(2)连接,根据全等三角形的性质和垂直平分线的性质即可得到答案.
解:(1)∵垂直平分 ∴,
∵ ∴
∵ ∴
∵ 又∵
∴
在和中,
∴≌
(2)连接
∵≌ ∴
∵垂直平分 ∴
∴ ∴
∴
∴
【点拨】本题考查全等三角形的判定(SAS)和性质、垂直平分线的性质,解题的关键是掌握全等三角形的判定(SAS)和性质、垂直平分线的性质.
24. (1)见分析;(2)①作点关于的对称点,连接交于,连接,点即为所求.理由见分析;②MQ=3 .
【分析】(1)证明FC=FB,利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题.
(2)①作点P关于GN的对称点P′,连P′M交GN于Q,连接PQ,点Q即为所求.
②想办法证明GQ=GN即可.
解:(1)证明:如图1中,
垂直平分线段,
,
,
,
.
(2)①作点关于的对称点,连接交于,连接,点即为所求.
理由:垂直平分,
,,
,
,
点即为所求.
②∵P,P′关于GN对称,
∴GN⊥PP′,PK=KP′,
∴∠PKN=90°,
∵∠N=30°,
∴∠PNK=60°,
∴PN=2KP=PP′,
∵PM=PN,
∴PM=PP′,
∵∠NPK=∠PMP′+∠P′,
∴∠PMP′=∠P′=30°,
∴∠QMN=∠N=30°,
∴MQ=NQ,
∵∠G=∠QMG=60°,
∴QG=QM,
∴MQ=QG=NQ,
∵GM=3,∠N=30°,∠NMG=90°,
∴GN=2GM=6,
∴MQ=3.
【点拨】考查作图-复杂作图,线段的垂直平分线的性质,直角三角形30度角的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
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