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    专题1.49 《全等三角形》挑战综合(压轴)题分类专题(专项练习)-八年级数学上册基础知识专项讲练(苏科版)
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    专题1.49 《全等三角形》挑战综合(压轴)题分类专题(专项练习)-八年级数学上册基础知识专项讲练(苏科版)

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    这是一份专题1.49 《全等三角形》挑战综合(压轴)题分类专题(专项练习)-八年级数学上册基础知识专项讲练(苏科版),共52页。

    专题1.49 《全等三角形》挑战综合(压轴)题分类专题(专项练习)
    【类型一】全等三角形➼➻判定★✭性质➻角度★✭线段★✭周长★✭面积
    【类型①】全等三角形➼➻直接证明➻线段★✭角
    1. (2022·浙江衢州·中考真题)已知:如图,.
    求证:.





    2.(2019·广西桂林·中考真题)如图,,点在上.
    (1)求证:平分;(2)求证:.





    【类型②】全等三角形➼➻判定★✭性质➻周长★✭面积
    3.(2020·四川宜宾·中考真题)如图,在三角形ABC中,点D是BC上的中点,连接AD并延长到点E,使,连接CE.
    (1)求证:
    (2)若的面积为5,求的面积.





    4.(2022·浙江·杭州市十三中教育集团(总校)模拟预测)如图,在①,②,③这三个条件中选择其中一个,补充在下面的问题中,并完成问题的解答.
    问题:如图,在中,D是BC边上一点,DE,DF分别是和高,EF交AD于O,若______,
    (1) 求证:;
    (2) 若,,求的面积.



    【类型③】全等三角形➼➻判定★✭性质➻尺规作图★✭证明
    5.(2019·广西柳州·中考真题)已知:.
    求作:,使得.
    作法:
    ①以为圆心,任意长为半径画弧,分别交,于点;
    ②画一条射线,以点为圆心,长为半径画弧,交于点;
    ③以点为圆心,长为半径画弧,与第②步中所画的弧相交于点;
    ④过点画射线,则.
    根据上面的作法,完成以下问题:
    (1)使用直尺和圆规,作出(请保留作图痕迹).
    (2)完成下面证明的过程(注:括号里填写推理的依据).
    证明:由作法可知,,   ,
    ∴≌(   )
    ∴.(   )

    6.(2019·河北张家口·二模)嘉淇同学要证,她先用下列尺规作图步骤作图:①;②以点为圆心,长为半径画弧,与射线相交于点,连接;③过点作,垂足为点.并写出了如下不完整的已知和求证.
    (1)在方框中填空,补全已知和求证;
    (2)按嘉淇的想法写出证明过程.

    【类型④】全等三角形➼➻条件开放性问题
    7.(2022·江苏南通·二模)在①DE=BC,②,③AE=AC这三个条件中选择其中一个,补充在下面的问题中,并完成问题的解答.
    问题:如图,AC平分,D是AC上的一点,.若______,求证:.





    8.(2022·甘肃兰州·一模)如图,BD平分∠ABC,点E在BD上.从下面①②③中选取两个作为已知条件,另一个作为结论,构成一个命题,判断该命题真假并说明理由.
    ①;②;③.
    你选择的已知条件是______,结论是______(填写序号);该命题为______(填“真”或“假”)命题.
    注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.



    【类型⑤】全等三角形➼➻结论开放性问题
    9.(2020·广西河池·中考真题)(1)如图(1),已知CE与AB交于点E,AC=BC,∠1=∠2.求证:△ACE≌△BCE.
    (2)如图(2),已知CD的延长线与AB交于点E,AD=BC,∠3=∠4.探究AE与BE的数量关系,并说明理由.






    10.(2022·北京石景山·一模)如图,△ACB中,,,D为边BC上一点(不与点C重合),,点E在AD的延长线上,且,连接BE,过点B作BE的垂线,交边AC于点F.
    (1) 依题意补全图形;
    (2) 求证:;
    (3) 用等式表示线段AF与CD的数量关系,并证明.


    【类型二】全等三角形➼➻几何模型
    【类型①】全等三角形➼➻几何模型➻一线三直角★✭旋转
    11.(2019·湖北黄冈·中考真题)如图,是正方形,是边上任意一点,连接,作,,垂足分别为G.求证:.





    12.(2019·湖北黄石·中考真题)如图,在中,,为边上的点,且,为线段的中点,过点作,过点作,且、相交于点.
    (1)求证:
    (2)求证:






    【类型②】全等三角形➼➻几何模型➻双垂线等角★✭手拉手
    13. (2009·黑龙江鸡西·中考真题) 已知Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,D为AB边的中点,∠EDF=90°,∠EDF绕D点旋转,它的两边分别交AC、CB(或它们的延长线)于E、F.当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时(如图1),易证.当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立? 若成立,请给予证明;若不成立,,,又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.




    14.(2017·黑龙江哈尔滨·中考真题)已知:和都是等腰直角三角形,,连接,交于点,与交于点,与交于点.
    (1)如图1,求证:;
    (2)如图2,若,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四对全等的直角三角形.


    【类型三】全等三角形➼➻作辅助线➻截长补短★✭倍长中线
    15.(2022·江西·景德镇一中七年级期末)如图,在△ABC中,∠A=100°,AB=AC,BE是∠ABC的平分线,求证:AE+BE=BC.








    16.(2022·福建·模拟预测)如图,在△ABC中,点D是AB边上的中点,已知AC=4,BC=6
    (1)尺规作图:作AB边上的中点D和△BCD关于点D的中心对称图形;
    (2)根据图形说明线段CD长的取值范围.






    【类型四】全等三角形➼➻三角形内角和★✭角平分线性质
    17.(2022·山东·济南育英中学模拟预测)如图1,在△ABC中,∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O.
    (1)求证:∠AOC=90°+∠ABC;
    (2)当∠ABC=90°时,且AO=3OD(如图2),判断线段AE,CD,AC之间的数量关系,并加以证明.





    18.(2021·江苏·沭阳县修远中学一模)如图,已知,AE,BD是的角平分线,且交于点P.
    (1)求的度数.
    (2)求证:点在的平分线上.
    (3)求证:①; ②.



    【类型五】全等三角形➼➻拓展探究★✭能力提升
    【类型①】全等三角形➼➻综合探究
    19.(2022·江西抚州·七年级阶段练习)综合与探究:
    如图1所示的是由两块三角板组成的图形,其中在中,,,在中,,,点B,E,D在同一条直线上,AC与BD交于点F,连接CD并延长,交BA的延长线于点G.
    (1) 当时,试用含的代数式表示∠BAE的度数.
    (2) 当时,试探究BC与BG的数量关系,并说明理由.
    (3) 过点C作,交BD的延长线于点H,如图2所示,在满足(2)的情况下,求∠DCH的度数,并直接写出与∠DCH相等的角(除∠G外,写两个即可).












    20.(2022·山东济南·七年级期末)(初步探索)(1)如图:在四边形中,,,、分别是、上的点,且,探究图中、、之间的数量关系.
    (1)(1)小明同学探究此问题的方法是:延长到点,使.连接,先证明,再证明,可得出结论,他的结论应是_____________;
    (2)(灵活运用)(2)如图2,若在四边形中,,,、分别是、上的点,且,上述结论是否仍然成立,并说明理由;













    【类型②】全等三角形➼➻问题背景
    21.(2022·河南漯河·八年级期末)
    (1)【自主学习】填空:
    如图1,点是的平分线上一点,点A在上,用圆规在上截取,连接,可得  ,其理由根据是  ;
    (2)【理解运用】如图2,在中,,,平分,试判断和、之间的数量关系并写出证明过程.
    (3)【拓展延伸】如图3,在中,,,分别是,的平分线,,交于点,若,,请直接写出的长.
















    22.(2022·辽宁沈阳·七年级期中)【问题情境】如图1,A,B两点分别位于一个池塘的两端,小明想用绳子测量A,B间的距离,但绳子不够长,一个叔叔帮他出了这样一个主意:先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C,连接并延长到D,使;连接并延长到E,使,连接并测量出它的长度,如果米,那么间的距离为___________米.
    【探索应用】如图2,在中,若,求边上的中线的取值范围.
    解决此问题可以用如下方法:延长到点E使,再连接(或将绕着点D逆时针旋转得到),把集中在中,利用三角形三边的关系即可判断,中线的取值范围是___________;
    【拓展提升】如图3,在中,的延长线交于点F,求证:.









    【类型六】全等三角形➼➻线段垂直平分线★✭作图
    23.(2019·湖北省鹤峰县实验中学二模)已知:如图,在中,∠BAC=90°,,垂直平分AC,点D在BA的延长线上,.求证(1)△DAF≌△EFC;(2)DF=BE.





    24.(2019·江苏无锡·一模)(1)如图1,已知垂直平分,垂足为,与相交于点,连接.
    求证:.
    (2)如图2,在中,,为的中点.
    ①用直尺和圆规在边上求作点,使得(保留作图痕迹,不要求写作法);
    ②在①的条件下,如果,,P为MN中点,求MQ的长度.








    参考答案
    1.见分析【分析】由∠3=∠4可得∠ACB=∠ACD,然后即可根据ASA证明△ACB≌△ACD,再根据全等三角形的性质即得结论.
    解:∵,,,
    ∴,
    ∵ ,
    ∴△ACB≌△ACD,
    ∴.
    【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质,证明△ACB≌△ACD是解本题的关键.
    2. (1)见分析;(2)见分析.
    【分析】(1)由题中条件易知:△ABC≌△ADC,可得AC平分∠BAD;
    (2)利用(1)的结论,可得△BAE≌△DAE,得出BE=DE.
    解:(1)在与中,


    即平分;
    (2)由(1)
    在与中,得


    【点拨】熟练运用三角形全等的判定,得出三角形全等,转化边角关系是解题关键.
    3.(1)详见分析;(2)10.【分析】(1)根据中点定义、对顶角相等以及已知条件运用SAS即可证明;
    (2)先根据三角形中点的性质和全等三角形的性质得到、,再结合以及解答即可.
    证明:(1)∵D是BC的中点,
    ∴BD=CD
    在△ABD和△CED中,

    所以;
    (2)∵在△ABC中,D 是BC的中点





    答:三角形ACE的面积为10.
    【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质等知识,其中掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键.
    4.(1)证明过程见分析(2)16
    【分析】(1)若①,利用证明;若②,利用证明;若③,利用证明;
    (2)根据,可得,根据即可求解.
    (1)证明:若①∵DE,DF分别是 ​和 ​
    高∴在和中


    若②∵DE,DF分别是 ​和 ​
    高∴在和中


    若③∵DE,DF分别是 ​和 ​
    高∴在和中


    (2) 解:∵



    【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质,三角形面积等知识点,掌握全等三角形的判定方法和性质是解答本题的关键.
    5. (1)详见分析;(2),,全等三角形的对应角相等.
    【分析】(1)根据题意作出图形即可;(2)根据全等三角形的判定和性质即可得到结论.
    解:(1)如图所示,即为所求;
    (2)证明:由作法可知,,,
    ∴≌()
    ∴.(全等三角形的对应角相等)
    故答案为,,全等三角形的对应角相等.

    【点拨】本题考查了作图-基本作图,全等三角形的判定和性质,正确的作出图形是解题的关键.
    6. (1)BE;BF;(2)见分析
    【分析】(1)以点 B 为圆心, BC 长为半径画弧得到BC=BE,根据题目第一句话得AE=BF;
    (2)根据平行线的性质得到∠AEB=∠FBC,然后根据AAS证明△ABE≌△FCB,然后利用全等三角形的性质即可证明.
    解:(1)∵以点B为圆心,BC长为半径画弧
    ∴BC=BE
    根据已知条件第一句话,得到AE=BF
    故答案为:BE;BF;
    (2)证明:∵CF⊥BE,
    ∴∠BFC=90°,
    又∵AD∥BC,
    ∴∠AEB=∠FBC.
    ∵以点B为圆心,BC长为半径画弧,
    ∴BE=BC,
    在△ABE与△FCB中,

    ∴△ABE≌△FCB,
    ∴AE=BF
    【点拨】本题考查了尺规作图,和三角形全等的判定及性质,熟练掌握全等三角形的判定条件,和性质是本题的关键.
    7. 证明见分析
    【分析】选②,根据角平分线的性质可得∠EAD=∠BAC.由三角形的内角和定理可得,,即可求解,若选③,证明,即可求解.
    解:若选②;
    证明:∵AC平分∠BAE,
    ∴∠EAD=∠BAC.
    ∵∠E=∠C,
    ∴.
    ∵,.
    ∴∠ADE=∠ABC.
    若选③,
    证明:∵AC平分∠BAE,∴.
    在△ABC和△ADE中,

    ∴.
    ∴.
    【点拨】本题考查了三角形的内角和定理,三角形求得的性质与判定,综合运用以上知识是解题的关键.
    8. ①②,③,真,理由见分析.
    【分析】以①②为条件,③为结论,结合全等三角形的判定方法及真假命题的定义解答.
    解:条件是:①;②,结论是:③.
    BD平分∠ABC,

    又,


    【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、命题的定义等知识,是基础考点,掌握相关知识是解题关键.
    9. (1)证明见分析;(2)AE=BE;理由见分析
    【分析】(1)根据SAS可得出答案;
    (2)在CE上截取CF=DE,证明△ADE≌△BCF(SAS),可得出AE=BF,∠AED=∠CFB,则可得出BE=BF.结论得证.
    解:(1)证明:在△ACE和△BCE中,
    ∵,
    ∴△ACE≌△BCE(SAS);
    (2)AE=BE.
    理由如下:
    在CE上截取CF=DE,

    在△ADE和△BCF中,
    ∵,
    ∴△ADE≌△BCF(SAS),
    ∴AE=BF,∠AED=∠CFB,
    ∵∠AED+∠BEF=180°,∠CFB+∠EFB=180°,
    ∴∠BEF=∠EFB,
    ∴BE=BF,
    ∴AE=BE.
    【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定等知识,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
    10.(1)见分析(2)见分析(3),证明见分析
    【分析】(1)根据题目步骤作图即可;
    (2)过E作EM⊥BC于M,先由中线倍长证明,得到,再证明,得到;
    (3)由(2)中全等可得到,即可推理出.
    解:(1)依题意补全图形如下:

    (2)过E作EM⊥BC于M

    在和中

    ∴(AAS)



    ∵BE⊥BF

    在和中

    ∴ (ASA),

    (3),证明如下:   
    由(2)得,
    ∴,
    ∴,
    ∴.
    【点拨】本题考查全等三角形的性质与判定,解题的关键是根据倍长中线模型作垂直构造全等.
    11. 详见分析
    【分析】根据正方形的性质可得AB=AD,再利用同角的余角相等求出∠BAF=∠ADG,再利用“角角边”证明△BAF和△ADG全等,根据全等三角形对应边相等可得BF=AG,根据线段的和与差可得结论.
    证明:四边形是正方形,





    在和中,


    ,,



    【点拨】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,证明△BAF≌△ADG是解题的关键.
    12.(1)见分析;(2)见分析【分析】(1)由等腰三角形的性质可得AD⊥BC,由余角的性质可得∠C=∠BAD;
    (2)由“ASA”可证△ABC≌△EAF,可得AC=EF.
    解:(1)如图

    ∵,
    ∴是等腰三角形
    又∵为的中点,
    ∴(等腰三角形三线合一)
    在和中,
    ∵为公共角,,
    ∴.
    另解:∵为的中点,
    ∵,又,,
    ∴,
    ∴,又,

    ∴,
    在和中,
    ∵为公共角,,
    ∴.
    (2)∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    又∵,
    ∴,
    ∴.
    【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,熟练运用全等三角形的判定是本题的关键.
    13.见分析解: 图2成立;图3不成立 2分
    证明图2:

    解:过点D作DM⊥AC,DN⊥BC
    则∠DME=∠DNF=∠MDN=90°
    再证∠MDE=∠NDF,DM=DN
    有△DME≌△DNF
    ∴S△DME= S△DNF
    ∴S四边形DMCN=S四边形DECF=S△DEF+ S△CEF
    由信息可知S四边形DMCN=S△ABC
    ∴S△DEF+ S△CEF=S△ABC···························· 4分
    图3不成立,S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是:
    S△DEFS△CEF=S△ ABC 2分
    14. (1)证明见分析;(2)△ACB≌△DCE(SAS),△EMC≌△BCN(ASA),△AON≌△DOM(AAS),△AOB≌△DOE(HL)
    试题分析:(1)根据全等三角形的判定(SAS)证明△ACE≌△BCD,从而可知AE=BD;
    (2)根据条件判断出图中的全等直角三角形即可;
    解:(1)∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,
    ∴AC=BC,DC=EC,
    ∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,
    ∴∠BCD=∠ACE,
    在△ACE与△BCD中, ,
    ∴△ACE≌△BCD(SAS),
    ∴AE=BD,
    (2) ∵AC=DC,
    ∴AC=CD=EC=CB,△ACB≌△DCE(SAS);
    由(1)可知:∠AEC=∠BDC,∠EAC=∠DBC,
    ∴∠DOM=90°,
    ∵∠AEC=∠CAE=∠CBD,
    ∴△EMC≌△BCN(ASA),
    ∴CM=CN,
    ∴DM=AN,△AON≌△DOM(AAS),
    ∵DE=AB,AO=DO,∴△AOB≌△DOE(HL)
    考点:1.全等三角形的判定与性质;2.等腰直角三角形.
    15. 见分析
    【分析】延长BE到F,使BF=BC,连接FC,由AB=AC,∠A=100°,得到∠ABC=∠ACB=40°,由于BE平分∠ABC,于是得到∠ABE=∠EBC=20°,通过△FCE≌△F′CE,得到EF=EF′,∠EF′C=∠F=80°,证得△ABE≌△F′BE,于是得到AE=EF′,于是得到结论.
    解:如图,延长BE到F,使BF=BC,连接FC,

    ∵AB=AC,∠A=100°,
    ∴∠ABC=∠ACB=40°,
    ∵BE平分∠ABC,
    ∴∠ABE=∠EBC=20°,
    ∵BF=BC,
    ∴∠F=∠BCF=80°,
    ∴∠FCE=∠ACB=40°,
    在BC上取CF′=CF,连接EF′,
    在△FCE与△F′CE中,,
    ∴△FCE≌△F′CE(SAS),
    ∴EF=EF′,∠EF′C=∠F=80°,
    ∴∠BF′E=100°,
    ∴∠A=∠BF′E,
    在△ABE与△F′BE中,,
    ∴△ABE≌△F′BE(AAS),
    ∴AE=EF′,
    ∴AE=EF,
    ∴AE+BE=BE+EF=BC.
    【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质,角平分线的性质,等腰三角形的性质,作辅助线构建全等三角形是解题的关键.
    16. (1)见分析;(2)1<CD<5.
    【分析】(1)由题知CD为中线,只要使DE=CD,然后连接AE即可;
    (2)根据三角形三边关系,先求出CE的取值范围,即可求出CD的取值范围.
    解:(1)中点D如图所示,△ADE即为所求.

    (2)由题意AE=BC=6,
    ∴6﹣4<EC<4+6,
    ∴2<EC<10,
    ∵EC=2CD,
    ∴1<CD<5.
    【点拨】本题是对尺规作图和三角形第三边取值范围的考查,熟练掌握尺规作图和三角形三边关系是解决本题的关键.
    17.(1)见分析(2)AE+CD=AC,证明见分析
    【分析】(1)求出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC,根据角平分线定义求出∠OAC=∠BAC,∠OCA=∠BCA,即可求出∠OAC+∠OCA的度数,根据三角形内角和定理求出即可;
    (3)在AC上分别截取AM、CN,使AM=AE,CN=CD,连接OM,ON,证△AEO≌△AMO,△DCO≌△NCO,推出∠EOA=∠MOA,∠CON=∠COD,OD=ON,求出∠MON=∠MOA=45°,根据角平分线性质求出MK=ML,据此计算即可求解.
    (1)证明:∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,
    ∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC,
    ∵∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O.
    ∴∠OAC=∠BAC,∠OCA=∠BCA,
    ∴∠OAC+∠OCA=(∠BAC+∠BCA)=(180°-∠ABC)=90°-∠ABC,
    ∴∠AOC=180°-(∠OAC+∠OCA)=180°-(90°-∠ABC),
    即∠AOC=90°+∠ABC;
    (2)解:AE+CD=AC,
    证明:如图2,∵∠AOC=90°+∠ABC=135°,
    ∴∠EOA=45°,
    在AC上分别截取AM、CN,使AM=AE,CN=CD,连接OM,ON,
    则在△AEO和△AMO中,,
    ∴△AEO≌△AMO,
    同理△DCO≌△NCO,
    ∴∠EOA=∠MOA,∠CON=∠COD,OD=ON,
    ∴∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°,
    ∴∠MON=∠MOA=45°,
    过M作MK⊥AD于K,ML⊥ON于L,

    ∴MK=ML,
    S△AOM=AO×MK,S△MON=ON×ML,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∵AO=3OD,
    ∴,
    ∴,
    ∴AN=AM=AE,
    ∵AN+NC=AC,
    ∴AE+CD=AC.
    【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定,角平分线定义和性质,三角形的面积,三角形内角和定理的应用,熟练掌握各性质定理是解答此题的关键.
    18. (1);(2)见分析;(3)①见分析,②见分析
    【分析】(1)根据三角形的内角和定理和角平分线的性质即可得解;
    (2)根据角平分线上的点到两边的距离相等,作,,分别垂直于,,,即可得解;
    (3)①根据(2)所做图像,证明全等即可得解;②在AB上取,证明,,得到,证明,得到,证明,得到,再结合图像即可证明.
    解:(1)已知,

    又 AE,BD是的角平分线,


    (2)作,,分别垂直于,,如图,
    AE,BD是的角平分线,

    在的平分线上;
    (3)①:如图所示,在四边形中,
    ,(对顶角),


    又,,


    ②:在AB上取,


    同理可证,
    ,,
    又,

    ,,
    又,






    【点拨】本题考查了角平分线的性质,三角形的内角和定理,全等三角形的判定与性质;掌握好相关的基本性质定理,熟练地使用全等三角形的性质是关键.
    19.(1)45°-α(2)BC=BG,理由见分析(3)∠DFC,∠DCB,∠DAG,∠AFE,∠FAE
    【分析】(1)证明△DAC≌△EAB(SAS),由全等三角形的性质可得出∠ACD=∠ABE,由三角形外角的性质可得出结论;
    (2)证明△CBD≌△GBD(ASA),由全等三角形的性质可得出BC=BG;
    (3)由平行线的性质及直角三角形的性质可得出结论.
    (1)解:∵∠DAE=∠BAC=90°,
    ∴∠BAE=∠DAC,
    ∵AD=AE,AC=AB,
    ∴△DAC≌△EAB(SAS),
    ∴∠ACD=∠ABE,
    ∵∠AED=45°,
    ∴∠BAE=∠AED-∠ABE=45°-∠ACD=45°-α;
    (2)BC=BG,理由如下:
    ∵∠ACD=∠CBD,∠ACD=∠ABE,
    ∴∠CBD=∠ABE,
    ∵∠DFC=∠AFB,∠ACD=∠FBA,
    ∴∠FAB=∠CDF=90°,
    ∴∠CDB=∠GDB=90°,
    ∵DB=DB,
    ∴△CBD≌△GBD(ASA),
    ∴BC=BG;
    (3)∵BC=BG,∠CBD=∠GBD,
    ∴CD=GD,
    ∵∠GAC=90°,
    ∴CD=AD=GD,
    ∴∠G=∠DAG,∠ACD=∠DAC,
    ∵CH∥BG,
    ∴∠DCH=∠G=∠DAG,
    ∵∠DCH+∠DCF=90°,∠DCF+∠DFC=90°,
    ∴∠DCH=∠DFC,
    又∵∠DFC=∠AFE,
    ∴∠DCH=∠AFE,
    ∵∠ACD=∠DAC,
    ∴∠FAE=∠DFC,
    ∴∠DCH=∠FAE.
    故与∠DCH相等的角有∠DFC,∠DCB,∠DAG,∠AFE,∠FAE.
    【点拨】本题是三角形综合题,主要考查了平行线的性质,全等三角形的性质与判定,等腰直角三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
    20.(1)(初步探索)结论:∠BAE+∠FAD=∠EAF;(2)(灵活运用)成立,理由见分析
    【分析】(1)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,可判定△ABE≌△ADG,进而得出∠BAE=∠DAG,AE=AG,再判定△AEF≌△AGF,可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF,据此得出结论;
    (2)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先判定△ABE≌△ADG,进而得出∠BAE=∠DAG,AE=AG,再判定△AEF≌△AGF,可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF.
    (1)解:∠BAE+∠FAD=∠EAF.
    理由:如图1,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,

    ∵,
    ∴,
    ∵DG=BE,,
    ∴△ABE≌△ADG,
    ∴∠BAE=∠DAG,AE=AG,
    ∵EF=BE+FD,DG=BE,
    ∴,且AE=AG,AF=AF,
    ∴△AEF≌△AGF,
    ∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF.
    故答案为:∠BAE+∠FAD=∠EAF;
    (2)如图2,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,

    ∵∠B+∠ADF=180°,∠ADG+∠ADF=180°,
    ∴∠B=∠ADG,
    又∵AB=AD,
    ∴△ABE≌△ADG(SAS),
    ∴∠BAE=∠DAG,AE=AG,
    ∵EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,
    ∴△AEF≌△AGF(SSS),
    ∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF
    【点拨】本题考查了全等三角形的判定以及性质的综合应用,解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形,根据全等三角形的对应角相等进行推导变形.解题时注意:同角的补角相等.
    21.(1),SAS(2),证明见分析(3)5
    【分析】(1)由角平分线的定义得出,根据可证明;
    (2)先截取,连接,根据判定,得出,,,进而得出结论;
    (3)在上取一点,使,证明,由全等三角形的性质得出,证明,由全等三角形的性质得出,则可求出答案.
    (1)解:点是的平分线上一点,

    在和中,


    故答案为:;;
    (2).
    证明:在上截取,

    平分,

    在和中,


    ,AD=DE,



    即,




    (3)在上取一点,使,

    在中,,





    平分,

    在和中,





    是的平分线,

    在和中,




    【点拨】本题是三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,角平分线的性质以及等腰三角形的性质的综合应用,解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形,根据线段的和差关系进行推导.
    22. (1)100米;(2)1<AD<4;(3)见详解
    【分析】(1)证明△ABC≌△DEC,由全等三角形的性质即可得AB=DE;
    (2)延长到点E使,再连接,由“SAS”可证△ADC≌△EDB,可得AC=BE=3,由三角形三边关系可得1<AD<4;
    (3)在BC上截取BG=AF,易证△ABG≌△ADF,可得DF=AG和∠DFA=∠BGA,即可求证△ACG≌△EAF,可得GE=AF,即可解题.
    (1)解:在△ABC和△DEC中,

    ∴△ABC≌△DEC(SAS),
    ∴DE=AB=100米;
    故答案为:100米
    (2)延长到点E使,再连接
    如图所示

    ∵AD=DE,CD=BD,∠ADC=∠BDE,
    ∴△ADC≌△EDB(SAS)
    ∴AC=BE=3,
    ∵在△ABE中,AB﹣BE<AE<AB+BE
    ∴2<2AD<8,
    ∴1<AD<4,
    故答案为:1<AD<4;
    (3)证明:在BC上截取BG=AF,

    ∵∠BAD=∠CAE=∠ACB=90°
    ∴∠BAC+∠ABC=∠BAC+∠DAF=90°
    ∴∠CBA=∠DAF,
    在△ABG和△ADF中,

    ∴△ABG≌△ADF,(SAS)
    ∴DF=AG,∠DFA=∠BGA,
    ∴∠EFA=∠CGA,
    ∵在△ACG和△EAF中,

    ∴△ACG≌△EAF(AAS)
    ∴EE=AG=FD.

    【点拨】考查了全等三角形的判定和性质,添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.
    23. (1)证明见分析;(2)证明见分析.
    【分析】(1)根据全等三角形的判定(SAS)进行证明,即可得到答案;
    (2)连接,根据全等三角形的性质和垂直平分线的性质即可得到答案.
    解:(1)∵垂直平分   ∴,
    ∵ ∴
    ∵ ∴   
    ∵ 又∵

    在和中,
       ∴≌
    (2)连接

    ∵≌ ∴
    ∵垂直平分 ∴
    ∴ ∴


    【点拨】本题考查全等三角形的判定(SAS)和性质、垂直平分线的性质,解题的关键是掌握全等三角形的判定(SAS)和性质、垂直平分线的性质.
    24. (1)见分析;(2)①作点关于的对称点,连接交于,连接,点即为所求.理由见分析;②MQ=3 .
    【分析】(1)证明FC=FB,利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题.
    (2)①作点P关于GN的对称点P′,连P′M交GN于Q,连接PQ,点Q即为所求.
    ②想办法证明GQ=GN即可.
    解:(1)证明:如图1中,

    垂直平分线段,




    (2)①作点关于的对称点,连接交于,连接,点即为所求.

    理由:垂直平分,
    ,,


    点即为所求.
    ②∵P,P′关于GN对称,
    ∴GN⊥PP′,PK=KP′,
    ∴∠PKN=90°,
    ∵∠N=30°,
    ∴∠PNK=60°,
    ∴PN=2KP=PP′,
    ∵PM=PN,
    ∴PM=PP′,
    ∵∠NPK=∠PMP′+∠P′,
    ∴∠PMP′=∠P′=30°,
    ∴∠QMN=∠N=30°,
    ∴MQ=NQ,
    ∵∠G=∠QMG=60°,
    ∴QG=QM,
    ∴MQ=QG=NQ,
    ∵GM=3,∠N=30°,∠NMG=90°,
    ∴GN=2GM=6,
    ∴MQ=3.
    【点拨】考查作图-复杂作图,线段的垂直平分线的性质,直角三角形30度角的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

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