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2021-2022学年河南省郑州市郑东新区八年级（下）期末数学试卷
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这是一份2021-2022学年河南省郑州市郑东新区八年级（下）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省郑州市郑东新区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列说法不一定成立的是（ ）
A．若a＜b，则a+c＜b+c B．若a+c＜b+c，则a＜b
C．若a＜b，则ac2＜bc2 D．若ac2＜bc2，则a＜b
3．（3分）若关于x的分式方程＝2的解为x＝2，则a的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．2
4．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解集如图所示，则m的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
5．（3分）如图，跷跷板AB的支柱OC经过它的中点O，且垂直于地面于点C，OC＝0.60m．当它的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（ ）
A．0.60m B．1.00m C．1.10m D．1.20m
6．（3分）反证法是从反面思考问题的证明方法．乐乐想运用反证法证明下面这个命题：已知△ABC，AB＝AC．求证：∠C＜90°，第一步他应先假设（ ）成立．
A．∠C＜90° B．AB≠AC
C．∠C≥90° D．AB≠AC且∠C≥90°
7．（3分）如图，四边形ABCD是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式m2+3mn+2n2因式分解，其结果正确的是（ ）
A．（m+2n）2 B．（m+2n）（m+n）
C．（2m+n）（m+n） D．（m+2n）（m﹣n）
8．（3分）生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种性质相同的图形拼接而成的．像这样的用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．如果只用一种几何图形镶嵌整个地面，下列哪一种不能单独镶嵌成一个平面图形（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
9．（3分）已知，在△ABC中，AB＝AC，根据以下各图所保留的作图痕迹，一定能使点O到△ABC三边距离相等的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，平行四边形纸片ABCD的面积为72cm2，AD＝12cm．沿着两条对角线可以将四边形ABCD剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并形成一个如图2所示的对称图形，则图2的两条对角线长度之和为（ ）
A．18cm B．20cm C．24cm D．28cm
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若分式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（3分）请写出一个多项式，要求该多项式能利用平方差公式进行因式分解，且有一项是4a2．符合要求的多项式可以是 ．
13．（3分）平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB'C'D'（点B'与点B是对应点，点C'与点C是对应点，点D'与点D是对应点），点B'恰好落在BC边上，B'C'与CD交于点E，则∠CEB'＝ ．
14．（3分）如图所示，若正比例函数y1＝kx（k≠0）和一次函数y2＝﹣2x+b的图象相交于点P（2，1），下面四个结论中：①当x＞0时，y1＞0；②当y2＞5时，x＜0；③不等式kx＞﹣2x+b的解集是x＞2；其中正确的是 ．（填写序号）
15．（3分）乐乐在学习中遇到了这样的问题：
如图所示的三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC沿某一条直线剪开，使其变成两个三角形，且要求其中的一个三角形是等腰三角形，你有几种方法呢？
经过思考，乐乐发现要想沿一条直线把三角形分割成两个三角形，这条直线需要经过三角形的某个定点，请你帮助乐乐写出当这条直线经过点A时，剪出的等腰三角形的面积是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共75分）
16．（8分）下面是乐乐同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解不等式：
解：3（x+5）﹣6≤2（3x+2）……第一步
3x+15﹣6≤6x+4……第二步
3x﹣6x≤4+6﹣15……第三步
﹣3x≤﹣5……第四步
x≤……第五步
任务一：填空：①以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的．
②第 步出现错误，这一步错误的原因是 ．
任务二：请直接写出该不等式的正确解集 ．
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
17．（9分）先化简，再求值：（﹣x+1）÷，请从﹣1，0，1，2选取一个适当的数代入求值．
18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，把△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，再绕点B1顺时针方向旋转90度得到△A2B1C2．
（1）分别在图中画出平移和旋转后的两个图形．
（2）图中的△A2B1C2能否由△ABC绕着某一点P顺时针旋转得到？如果能，请写出旋转中心P的坐标，并说明通过如何旋转得到；如果不能，请说明理由．
19．（12分）求证：等腰三角形两底角的平分线相等．
20．（12分）为加快推进生态郑州建设，2020年12月郑州市政府下发了《2021年城市园林绿化工作实施方案》，按照“东强”“西美”“南动”“北静”“中优”“外联”功能布局，大幅增加了城市绿地面积．如图，某校操场角落处有一片四边形空地，它的四个顶点A，B，C，D处均有一棵大树．学校也准备进行一次绿化扩建，想使这片空地的面积扩大一倍，又想保持四棵大树在边上不动，并要求扩建后的区域是平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若不能，请说明理由．若能，请你设计出所要求的平行四边形，并对所设计方案进行简要说
明（图形画规范，不要求用尺规作图；平行四边形四个顶点分别用M、N、P、Q来表示；说理时可以在图形上用S1，S2，S3……进行标注）．
21．（12分）2022年北京冬奥会和冬残奥会点燃了全民健身热情，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”也受到了大家的喜爱．某电商网店抓住了这次冬奥商机，从厂家选中了两种吉祥物摆件进行网上销售．已知“冰墩墩”摆件的销售单价比“雪容融”摆件的销售单价贵30元．据调查，该网店3600元销售“冰墩墩”摆件的数量与2700元销售“雪容融”摆件的数量是相同的．
（1）求这两种摆件的销售单价．
（2）已知“冰墩墩”摆件的进价是每个80元，“雪容融”摆件的进价是每个60元．第二次进货时，厂家为了促销“雪容融”摆件，规定“冰墩墩”摆件进货数量不得超过“雪容融”摆件进货数量的一半．该电商网店计划购进两种摆件90个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
22．（12分）八年级某数学兴趣小组在学习过“平行四边形”之后，决定利用对称变换来探究平行四边形背景下特殊三角形的一类存在性问题．以下是该小组讨论的一个片段，请仔细阅读，完成下列学习任务：
（1）猜想证明：如图1，在▱ABCD中，AB＞AD，将△ABD沿BD翻折至△A′BD，A′B交CD于点O，连接A′C，猜想A′C与BD之间的位置关系及△BOD的形状，并说明理由；
（2）应用探究：在（1）的条件下，如图2，若∠A＝60°，AB＝2，当△A′OD是直角三角形时，请直接写出AD的长（计算结果中分母中可以含有根号）．
2021-2022学年河南省郑州市郑东新区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）下列说法不一定成立的是（ ）
A．若a＜b，则a+c＜b+c B．若a+c＜b+c，则a＜b
C．若a＜b，则ac2＜bc2 D．若ac2＜bc2，则a＜b
【分析】根据不等式的基本性质逐一判断可得．
【解答】解：A、若a＜b，则a+c＜b+c，此选项正确；
B、若a+c＜b+c，则a＜b，此选项正确；
C、若a＜b，当c＝0时ac2＝bc2，此选项错误；
D、若ac2＜bc2，则a＜b，此选项正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查不等式的性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
3．（3分）若关于x的分式方程＝2的解为x＝2，则a的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．2
【分析】把分式方程转化为整式方程，再将x＝2代入求解可得．
【解答】解：方程两边都乘以（x+1），得：x﹣a＝2（x+1），
将x＝2代入，得：2﹣a＝2×（2+1），
解得a＝﹣4，
故选：A．
【点评】本题主要考查分式方程的解，解题的关键是掌握分式方程的解的概念．
4．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解集如图所示，则m的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大，结合不等式组的解集可得答案．
【解答】解：由2x+1＞3，得：x＞1，
由1﹣x＜﹣m，得：x＞1+m，
由不等式组解集在数轴上的表示知，该不等式组的解集为x＞1，
则1+m≤1，
解得m≤0，
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5．（3分）如图，跷跷板AB的支柱OC经过它的中点O，且垂直于地面于点C，OC＝0.60m．当它的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（ ）
A．0.60m B．1.00m C．1.10m D．1.20m
【分析】过点B作BD⊥AC交AC的延长线于D，根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：过点B作BD⊥AC交AC的延长线于D，
∵OC⊥AC，
∴OC∥BD，
∵AO＝OB，
∴AC＝CD，
∴OC是△ABD的中位线，
∴BD＝2OC＝1.2m，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
6．（3分）反证法是从反面思考问题的证明方法．乐乐想运用反证法证明下面这个命题：已知△ABC，AB＝AC．求证：∠C＜90°，第一步他应先假设（ ）成立．
A．∠C＜90° B．AB≠AC
C．∠C≥90° D．AB≠AC且∠C≥90°
【分析】根据反证法的一般步骤判断即可．
【解答】解：求证：∠C＜90°．运用反证法证明这个命题时，第一步应假设∠C≥90°，
故选：C．
【点评】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
7．（3分）如图，四边形ABCD是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式m2+3mn+2n2因式分解，其结果正确的是（ ）
A．（m+2n）2 B．（m+2n）（m+n）
C．（2m+n）（m+n） D．（m+2n）（m﹣n）
【分析】根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法，从而得到等式．
【解答】解：观察图形可知m2+3mn+2n2＝（m+2n）（m+n）．
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的实际运用，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积．
8．（3分）生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种性质相同的图形拼接而成的．像这样的用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．如果只用一种几何图形镶嵌整个地面，下列哪一种不能单独镶嵌成一个平面图形（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【分析】正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°．判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．
【解答】解：A选项，等边三角形的内角为60°，360°÷60°＝6（个），所以6个等边三角形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
B选项，正方形的内角为90°，360°÷90°＝4（个），所以4个正方形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
C选项，正五边形的内角为108°，360÷108°＝3，所以正五边形不能在一个顶点处实现内角之和等于360°，符合题意；
D选项，正六边形的内角为120°，360°÷120°＝3（个），所以3个正六边形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平面镶嵌，掌握平面镶嵌的条件是解题的关键．
9．（3分）已知，在△ABC中，AB＝AC，根据以下各图所保留的作图痕迹，一定能使点O到△ABC三边距离相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据等腰三角形的性质和角平分线的定义以及线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【解答】解：一定能使点O到△ABC三边距离相等的是D，
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，灵活运用所学知识解决问题．
10．（3分）如图，平行四边形纸片ABCD的面积为72cm2，AD＝12cm．沿着两条对角线可以将四边形ABCD剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并形成一个如图2所示的对称图形，则图2的两条对角线长度之和为（ ）
A．18cm B．20cm C．24cm D．28cm
【分析】由题意可得对角线EF⊥AD，且EF与平行四边形的高相等，进而利用面积与边的关系求出BC边的高即可．
【解答】解：如图，连接AD、EF，
则可得对角线EF⊥AD，且EF与平行四边形的高相等．
∵平行四边形纸片ABCD的面积为72cm2，AD＝12cm，
∴BC＝AD＝12cm，EF×AD＝×72，
∴EF＝6cm，
又BC＝12cm，
∴则图形戊中的四边形两对角线长度之和为12+6＝18cm，
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及图形的对称问题，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若分式有意义，则实数x的取值范围是 x≠ ．
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案．
【解答】解：根据题意得2x﹣3≠0，
解得x≠，
故答案为：x≠．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键．
12．（3分）请写出一个多项式，要求该多项式能利用平方差公式进行因式分解，且有一项是4a2．符合要求的多项式可以是 4a2﹣1（答案不唯一） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：由题意可得，符合要求的多项式可以是：4a2﹣1（答案不唯一）．
故答案为：4a2﹣1（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
13．（3分）平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB'C'D'（点B'与点B是对应点，点C'与点C是对应点，点D'与点D是对应点），点B'恰好落在BC边上，B'C'与CD交于点E，则∠CEB'＝ 45° ．
【分析】根据旋转的性质和平行四边形的性质，可以求得∠EB′C和∠C的度数，然后根据三角形内角和即可得到∠CEB'的度数．
【解答】解：∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB'C'D'，点B'恰好落在BC边上，B'C'与CD交于点E，
∴∠BAB′＝30°，AB＝AB′，∠B＝∠AB′C′，
∴∠B＝∠AB′B＝75°，
∴∠AB′C′＝75°，∠C＝105°，
∴∠EB′C＝30°，
∴∠CEB′＝180°﹣∠C﹣∠EB′C＝180°﹣105°﹣30°＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查旋转的性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是求出∠EB′C和∠C的度数．
14．（3分）如图所示，若正比例函数y1＝kx（k≠0）和一次函数y2＝﹣2x+b的图象相交于点P（2，1），下面四个结论中：①当x＞0时，y1＞0；②当y2＞5时，x＜0；③不等式kx＞﹣2x+b的解集是x＞2；其中正确的是 ①②③ ．（填写序号）
【分析】根据正比例函数和一次函数的性质判断即可．
【解答】解：∵正比例函数y1＝kx（k≠0）和一次函数y2＝﹣2x+b的图象相交于点P（2，1），
∴y1＝x，y2＝﹣2x+5，
∵正比例函数y1＝kx经过原点，且y随x的增大而增大，
∴当x＞0时，y1＞0，故①正确；
∵y2＝﹣2x+5与y轴的交点为（0，5），且y随x的增大而减小，
∴当y2＞5时，x＜0，故②正确；
当x＞2时，正比例函数y1＝kx在一次函数y2＝﹣x+b图象上方，
∴不等式kx＞﹣2x+b的解集是x＞2，故③正确；
故答案为：①②③．
【点评】此题考查一次函数与一元一次不等式，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断．
15．（3分）乐乐在学习中遇到了这样的问题：
如图所示的三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC沿某一条直线剪开，使其变成两个三角形，且要求其中的一个三角形是等腰三角形，你有几种方法呢？
经过思考，乐乐发现要想沿一条直线把三角形分割成两个三角形，这条直线需要经过三角形的某个定点，请你帮助乐乐写出当这条直线经过点A时，剪出的等腰三角形的面积是 4.5或 ．
【分析】要分两种情况进行讨论：①PC＝AC＝3时，△ACP是等腰直角三角形，根据三角形面积公式可求剪出的等腰三角形的面积；②AP＝BP时，△ABP是等腰三角形，根据勾股定理可求CP，再根据三角形面积公式可求剪出的等腰三角形的面积．
【解答】解：①如图1：PC＝AC＝3时，△ACP是等腰直角三角形，
则S△ACP＝×3×3＝4.5；
②如图2：AP＝BP时，△ABP是等腰三角形，
在△ACP中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
则AC2+CP2＝AP2，即32+CP2＝（4﹣CP）2，
解得CP＝，
则S△ABP＝S△ABC﹣S△ACP＝×4×3﹣×3×＝．
综上所述，剪出的等腰三角形的面积是4.5或．
故答案为：4.5或．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，以及等腰三角形的性质，关键是掌握三角形的面积计算．
三、解答题（本大题共7小题，共75分）
16．（8分）下面是乐乐同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解不等式：
解：3（x+5）﹣6≤2（3x+2）……第一步
3x+15﹣6≤6x+4……第二步
3x﹣6x≤4+6﹣15……第三步
﹣3x≤﹣5……第四步
x≤……第五步
任务一：填空：①以上解题过程中，第一步是依据 不等式的基本性质2 进行变形的．
②第 五 步出现错误，这一步错误的原因是 不等号的方向未改变 ．
任务二：请直接写出该不等式的正确解集 x≥ ．
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
【分析】根据不等式的基本性质和解一元一次不等式的步骤求解即可．
【解答】解：任务一：①以上解题过程中，第一步是依据不等式的基本性质2进行变形的；
②乐乐同学解答过程在第五步出错，错误原因是不等号的方向未改变．
任务二：3（x+5）﹣6≤2（3x+2），
3x+15﹣6≤6x+4，
3x﹣6x≤4+6﹣15，
﹣3x≤﹣5，
x≥；
任务三：去分母和化系数为1可能用到性质3，不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号方向改变，其它都不会改变不等号方向．
故答案为：不等式的基本性质2；五，不等号的方向未改变；x≥．
【点评】本题考查解一元一次不等式，解一元一次不等式的依据是不等式的基本性质．
17．（9分）先化简，再求值：（﹣x+1）÷，请从﹣1，0，1，2选取一个适当的数代入求值．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝•
＝，
由分式有意义的条件可知：x不能取±1，
故x＝2，
原式＝
＝1．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，把△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，再绕点B1顺时针方向旋转90度得到△A2B1C2．
（1）分别在图中画出平移和旋转后的两个图形．
（2）图中的△A2B1C2能否由△ABC绕着某一点P顺时针旋转得到？如果能，请写出旋转中心P的坐标，并说明通过如何旋转得到；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）根据平移的性质和旋转的性质即可分别在图中画出平移和旋转后的两个图形；
（2）根据对称点连线的垂直平分线的交点是旋转中心，连接AA2，BB1，分别作AA2，BB1的垂直平分线，交于点P即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1，△A2B1C2即为所求；
（2）△A2B1C2能由△ABC绕着某一点P顺时针旋转得到，旋转中心P的坐标为（2，﹣7），
△A2B1C2是由△ABC绕着点P顺时针旋转旋转90°得到．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，平移变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
19．（12分）求证：等腰三角形两底角的平分线相等．
【分析】根据等腰三角形的两底角相等可得到∠ABC＝∠ACB，再根据角平分线的性质可得到∠BCE＝∠CBF，从而可利用ASA判定△BCE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等即可证得结论．
【解答】已知：△ABC中，AB＝AC，BF，CE分别∠ABC，∠ACB的角平分线．
求证：BF＝CE，即等腰三角形的两底角的平分线相等
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BF，CE分别是∠ABC，∠ACB的角平分线，
∴∠BCE＝∠CBF，
∵∠ABC＝∠ACB，BC＝BC，
∴△BCE≌△CBF，
∴BF＝CE，即等腰三角形两底角的平分线相等．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合运用．
20．（12分）为加快推进生态郑州建设，2020年12月郑州市政府下发了《2021年城市园林绿化工作实施方案》，按照“东强”“西美”“南动”“北静”“中优”“外联”功能布局，大幅增加了城市绿地面积．如图，某校操场角落处有一片四边形空地，它的四个顶点A，B，C，D处均有一棵大树．学校也准备进行一次绿化扩建，想使这片空地的面积扩大一倍，又想保持四棵大树在边上不动，并要求扩建后的区域是平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若不能，请说明理由．若能，请你设计出所要求的平行四边形，并对所设计方案进行简要说
明（图形画规范，不要求用尺规作图；平行四边形四个顶点分别用M、N、P、Q来表示；说理时可以在图形上用S1，S2，S3……进行标注）．
【分析】把地扩大成平行四边形，而且面积要为原来的一倍．就可连接对角线AC，BD交于点O，过点A作BD的平行线，过点C作BD的平行线，过点B作AC的平行线，过点D作AC的平行线，四条平行线依次交于M，N，P，Q四点，则可得四边形AODQ，AOBM，BOCN，OCPD均为平行四边形．由全等形就可证明扩大后的是原来的一倍．
【解答】解：能设计出所要求的平行四边形，理由如下：
连接对角线AC，BD交于点O，过点A作BD的平行线，过点C作BD的平行线
过点B作AC的平行线，过点D作AC的平行线，
四条平行线依次交于M，N，P，Q四点，
则可得四边形AODQ，AOBM，BOCN，OCPD均为平行四边形．
在▱AODQ中，AO＝QD，AQ＝OD，AD＝AD，
∴△AHD≌△AOD（SSS），
∴S△AHD＝S△AOD，
同法可证S△COD＝S△CPD，S△BOC＝S△BCN，S△AOB＝S△ABM
∴S▱MNGH＝2S四边形ABCD，
∴▱MNGH即为所示．
故能设计出所要求的平行四边形．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行四边形的性质和判定定理，对边平行且相等的四边形是平行四边形．
21．（12分）2022年北京冬奥会和冬残奥会点燃了全民健身热情，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”也受到了大家的喜爱．某电商网店抓住了这次冬奥商机，从厂家选中了两种吉祥物摆件进行网上销售．已知“冰墩墩”摆件的销售单价比“雪容融”摆件的销售单价贵30元．据调查，该网店3600元销售“冰墩墩”摆件的数量与2700元销售“雪容融”摆件的数量是相同的．
（1）求这两种摆件的销售单价．
（2）已知“冰墩墩”摆件的进价是每个80元，“雪容融”摆件的进价是每个60元．第二次进货时，厂家为了促销“雪容融”摆件，规定“冰墩墩”摆件进货数量不得超过“雪容融”摆件进货数量的一半．该电商网店计划购进两种摆件90个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）设“冰墩墩”摆件的销售单价为x元，则“雪容融”摆件的销售单价为（x﹣30）元，由题意：该网店3600元销售“冰墩墩”摆件的数量与2700元销售“雪容融”摆件的数量是相同的．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进“冰墩墩”摆件m个，则购进“雪容融”摆件（90﹣m）个，由题意：规定“冰墩墩”摆件进货数量不得超过“雪容融”摆件进货数量的一半．列出一元一次不等式，解得m≤30，设销售利润为w元，再求出w＝10m+2700，然后由一次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）设“冰墩墩”摆件的销售单价为x元，则“雪容融”摆件的销售单价为（x﹣30）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝120，
经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣30＝120﹣30＝90，
答：“冰墩墩”摆件的销售单价是120元，“雪容融”摆件的销售单价是90元；
（2）设购进“冰墩墩”摆件m个，则购进“雪容融”摆件（90﹣m）个，
由题意得：m≤（90﹣m），
解得：m≤30，
设销售利润为w元，
由题意得：w＝（120﹣80）m+（90﹣60）×（90﹣m）＝10m+2700，
∵10＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝30时，w的值最大＝10×30+2700＝3000，
此时，90﹣m＝60，
答：购进“冰墩墩”摆件30个，则购进“雪容融”摆件60个，才能获得最大利润，最大利润是3000元．
【点评】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准数量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
22．（12分）八年级某数学兴趣小组在学习过“平行四边形”之后，决定利用对称变换来探究平行四边形背景下特殊三角形的一类存在性问题．以下是该小组讨论的一个片段，请仔细阅读，完成下列学习任务：
（1）猜想证明：如图1，在▱ABCD中，AB＞AD，将△ABD沿BD翻折至△A′BD，A′B交CD于点O，连接A′C，猜想A′C与BD之间的位置关系及△BOD的形状，并说明理由；
（2）应用探究：在（1）的条件下，如图2，若∠A＝60°，AB＝2，当△A′OD是直角三角形时，请直接写出AD的长（计算结果中分母中可以含有根号）．
【分析】（1）由折叠性质得∠ABD＝∠A′BD，AB＝A′B，再根据平行线的性质得∠OBD＝∠ODB，便可得到△BOD为等腰三角形，利用对顶角性质及三角形内角和定理得∠ODB＝∠OCA′，便可得A′C∥BD；
（2）分两种情况：∠A′OD＝90°或∠A′DO＝90°，分别求得∠ABA′的度数，进而在△ABD中构造直角三角形求得AD便可．
【解答】解：（1）A′C∥BD，△BOD为等腰三角形．
理由如下：
由折叠知，∠ABD＝∠A′BD，AB＝A′B，
∵四边形ABCD平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABD＝∠CDB，A′B＝CD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴OB＝OD，
∴△BOD为等腰三角形，
∵A′B＝CD，
∴A′B﹣OB＝CD﹣OD，
即OA′＝OC，
∴∠OA′C＝∠OCA′，
∵∠BOD＝∠A′OC，∠BOD+∠OBD+∠ODB＝∠A′OC+∠OCA′+∠OA′C＝180°，
∴∠ODB＝∠OCA′，
∴A′C∥BD，
综上，∴△BOD为等腰三角形；
（2）当∠A′DO＝90°时，如图，
∵∠OA′D＝∠A＝60°，
∴∠A′OD＝30°，
∵CD∥AB，
∴∠ABA′＝∠A′OD＝30°，
∴∠ABD＝∠ABA′＝15°，
过D作DE⊥AD，DE与AB交于点E，
∴∠AED＝30°，
∴∠BDE＝∠AED﹣∠EBD＝15°，
∴DE＝BE，
设AD＝x，则AE＝2AD＝2x，DE＝BE＝AD＝x，
∵AE+BE＝AB＝2，
∴2x+x＝2，
解得x＝4﹣2，
∴AD＝4﹣2；
当∠A′OD＝90°时，如图，
∵CD∥AB，
∴∠ABA′＝∠A′OD＝90°，
∴∠ABD＝∠ABA′＝45°，
过D作DE⊥AD，DE与AB交于点E，
∴DE＝BE，
设AD＝x，则AE＝AD＝x，DE＝BE＝ADx，
∵AE+BE＝AB＝2，
∴x+x＝2，
解得x＝2﹣2，
∴AD＝2﹣2；
综上，AD＝4﹣2或2﹣2．
【点评】本题主要考查轴对称的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，第（2）题关键在分情况讨论和解直角三角形．
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2021-2022学年河南省郑州市郑东新区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列说法不一定成立的是（ ）
A．若a＜b，则a+c＜b+c B．若a+c＜b+c，则a＜b
C．若a＜b，则ac2＜bc2 D．若ac2＜bc2，则a＜b
3．（3分）若关于x的分式方程＝2的解为x＝2，则a的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．2
4．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解集如图所示，则m的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
5．（3分）如图，跷跷板AB的支柱OC经过它的中点O，且垂直于地面于点C，OC＝0.60m．当它的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（ ）
A．0.60m B．1.00m C．1.10m D．1.20m
6．（3分）反证法是从反面思考问题的证明方法．乐乐想运用反证法证明下面这个命题：已知△ABC，AB＝AC．求证：∠C＜90°，第一步他应先假设（ ）成立．
A．∠C＜90° B．AB≠AC
C．∠C≥90° D．AB≠AC且∠C≥90°
7．（3分）如图，四边形ABCD是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式m2+3mn+2n2因式分解，其结果正确的是（ ）
A．（m+2n）2 B．（m+2n）（m+n）
C．（2m+n）（m+n） D．（m+2n）（m﹣n）
8．（3分）生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种性质相同的图形拼接而成的．像这样的用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．如果只用一种几何图形镶嵌整个地面，下列哪一种不能单独镶嵌成一个平面图形（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
9．（3分）已知，在△ABC中，AB＝AC，根据以下各图所保留的作图痕迹，一定能使点O到△ABC三边距离相等的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，平行四边形纸片ABCD的面积为72cm2，AD＝12cm．沿着两条对角线可以将四边形ABCD剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并形成一个如图2所示的对称图形，则图2的两条对角线长度之和为（ ）
A．18cm B．20cm C．24cm D．28cm
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若分式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（3分）请写出一个多项式，要求该多项式能利用平方差公式进行因式分解，且有一项是4a2．符合要求的多项式可以是 ．
13．（3分）平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB'C'D'（点B'与点B是对应点，点C'与点C是对应点，点D'与点D是对应点），点B'恰好落在BC边上，B'C'与CD交于点E，则∠CEB'＝ ．
14．（3分）如图所示，若正比例函数y1＝kx（k≠0）和一次函数y2＝﹣2x+b的图象相交于点P（2，1），下面四个结论中：①当x＞0时，y1＞0；②当y2＞5时，x＜0；③不等式kx＞﹣2x+b的解集是x＞2；其中正确的是 ．（填写序号）
15．（3分）乐乐在学习中遇到了这样的问题：
如图所示的三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC沿某一条直线剪开，使其变成两个三角形，且要求其中的一个三角形是等腰三角形，你有几种方法呢？
经过思考，乐乐发现要想沿一条直线把三角形分割成两个三角形，这条直线需要经过三角形的某个定点，请你帮助乐乐写出当这条直线经过点A时，剪出的等腰三角形的面积是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共75分）
16．（8分）下面是乐乐同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解不等式：
解：3（x+5）﹣6≤2（3x+2）……第一步
3x+15﹣6≤6x+4……第二步
3x﹣6x≤4+6﹣15……第三步
﹣3x≤﹣5……第四步
x≤……第五步
任务一：填空：①以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的．
②第 步出现错误，这一步错误的原因是 ．
任务二：请直接写出该不等式的正确解集 ．
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
17．（9分）先化简，再求值：（﹣x+1）÷，请从﹣1，0，1，2选取一个适当的数代入求值．
18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，把△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，再绕点B1顺时针方向旋转90度得到△A2B1C2．
（1）分别在图中画出平移和旋转后的两个图形．
（2）图中的△A2B1C2能否由△ABC绕着某一点P顺时针旋转得到？如果能，请写出旋转中心P的坐标，并说明通过如何旋转得到；如果不能，请说明理由．
19．（12分）求证：等腰三角形两底角的平分线相等．
20．（12分）为加快推进生态郑州建设，2020年12月郑州市政府下发了《2021年城市园林绿化工作实施方案》，按照“东强”“西美”“南动”“北静”“中优”“外联”功能布局，大幅增加了城市绿地面积．如图，某校操场角落处有一片四边形空地，它的四个顶点A，B，C，D处均有一棵大树．学校也准备进行一次绿化扩建，想使这片空地的面积扩大一倍，又想保持四棵大树在边上不动，并要求扩建后的区域是平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若不能，请说明理由．若能，请你设计出所要求的平行四边形，并对所设计方案进行简要说
明（图形画规范，不要求用尺规作图；平行四边形四个顶点分别用M、N、P、Q来表示；说理时可以在图形上用S1，S2，S3……进行标注）．
21．（12分）2022年北京冬奥会和冬残奥会点燃了全民健身热情，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”也受到了大家的喜爱．某电商网店抓住了这次冬奥商机，从厂家选中了两种吉祥物摆件进行网上销售．已知“冰墩墩”摆件的销售单价比“雪容融”摆件的销售单价贵30元．据调查，该网店3600元销售“冰墩墩”摆件的数量与2700元销售“雪容融”摆件的数量是相同的．
（1）求这两种摆件的销售单价．
（2）已知“冰墩墩”摆件的进价是每个80元，“雪容融”摆件的进价是每个60元．第二次进货时，厂家为了促销“雪容融”摆件，规定“冰墩墩”摆件进货数量不得超过“雪容融”摆件进货数量的一半．该电商网店计划购进两种摆件90个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
22．（12分）八年级某数学兴趣小组在学习过“平行四边形”之后，决定利用对称变换来探究平行四边形背景下特殊三角形的一类存在性问题．以下是该小组讨论的一个片段，请仔细阅读，完成下列学习任务：
（1）猜想证明：如图1，在▱ABCD中，AB＞AD，将△ABD沿BD翻折至△A′BD，A′B交CD于点O，连接A′C，猜想A′C与BD之间的位置关系及△BOD的形状，并说明理由；
（2）应用探究：在（1）的条件下，如图2，若∠A＝60°，AB＝2，当△A′OD是直角三角形时，请直接写出AD的长（计算结果中分母中可以含有根号）．
2021-2022学年河南省郑州市郑东新区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）下列说法不一定成立的是（ ）
A．若a＜b，则a+c＜b+c B．若a+c＜b+c，则a＜b
C．若a＜b，则ac2＜bc2 D．若ac2＜bc2，则a＜b
【分析】根据不等式的基本性质逐一判断可得．
【解答】解：A、若a＜b，则a+c＜b+c，此选项正确；
B、若a+c＜b+c，则a＜b，此选项正确；
C、若a＜b，当c＝0时ac2＝bc2，此选项错误；
D、若ac2＜bc2，则a＜b，此选项正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查不等式的性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
3．（3分）若关于x的分式方程＝2的解为x＝2，则a的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．2
【分析】把分式方程转化为整式方程，再将x＝2代入求解可得．
【解答】解：方程两边都乘以（x+1），得：x﹣a＝2（x+1），
将x＝2代入，得：2﹣a＝2×（2+1），
解得a＝﹣4，
故选：A．
【点评】本题主要考查分式方程的解，解题的关键是掌握分式方程的解的概念．
4．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解集如图所示，则m的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大，结合不等式组的解集可得答案．
【解答】解：由2x+1＞3，得：x＞1，
由1﹣x＜﹣m，得：x＞1+m，
由不等式组解集在数轴上的表示知，该不等式组的解集为x＞1，
则1+m≤1，
解得m≤0，
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5．（3分）如图，跷跷板AB的支柱OC经过它的中点O，且垂直于地面于点C，OC＝0.60m．当它的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（ ）
A．0.60m B．1.00m C．1.10m D．1.20m
【分析】过点B作BD⊥AC交AC的延长线于D，根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：过点B作BD⊥AC交AC的延长线于D，
∵OC⊥AC，
∴OC∥BD，
∵AO＝OB，
∴AC＝CD，
∴OC是△ABD的中位线，
∴BD＝2OC＝1.2m，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
6．（3分）反证法是从反面思考问题的证明方法．乐乐想运用反证法证明下面这个命题：已知△ABC，AB＝AC．求证：∠C＜90°，第一步他应先假设（ ）成立．
A．∠C＜90° B．AB≠AC
C．∠C≥90° D．AB≠AC且∠C≥90°
【分析】根据反证法的一般步骤判断即可．
【解答】解：求证：∠C＜90°．运用反证法证明这个命题时，第一步应假设∠C≥90°，
故选：C．
【点评】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
7．（3分）如图，四边形ABCD是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式m2+3mn+2n2因式分解，其结果正确的是（ ）
A．（m+2n）2 B．（m+2n）（m+n）
C．（2m+n）（m+n） D．（m+2n）（m﹣n）
【分析】根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法，从而得到等式．
【解答】解：观察图形可知m2+3mn+2n2＝（m+2n）（m+n）．
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的实际运用，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积．
8．（3分）生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种性质相同的图形拼接而成的．像这样的用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．如果只用一种几何图形镶嵌整个地面，下列哪一种不能单独镶嵌成一个平面图形（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【分析】正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°．判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．
【解答】解：A选项，等边三角形的内角为60°，360°÷60°＝6（个），所以6个等边三角形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
B选项，正方形的内角为90°，360°÷90°＝4（个），所以4个正方形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
C选项，正五边形的内角为108°，360÷108°＝3，所以正五边形不能在一个顶点处实现内角之和等于360°，符合题意；
D选项，正六边形的内角为120°，360°÷120°＝3（个），所以3个正六边形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平面镶嵌，掌握平面镶嵌的条件是解题的关键．
9．（3分）已知，在△ABC中，AB＝AC，根据以下各图所保留的作图痕迹，一定能使点O到△ABC三边距离相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据等腰三角形的性质和角平分线的定义以及线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【解答】解：一定能使点O到△ABC三边距离相等的是D，
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，灵活运用所学知识解决问题．
10．（3分）如图，平行四边形纸片ABCD的面积为72cm2，AD＝12cm．沿着两条对角线可以将四边形ABCD剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并形成一个如图2所示的对称图形，则图2的两条对角线长度之和为（ ）
A．18cm B．20cm C．24cm D．28cm
【分析】由题意可得对角线EF⊥AD，且EF与平行四边形的高相等，进而利用面积与边的关系求出BC边的高即可．
【解答】解：如图，连接AD、EF，
则可得对角线EF⊥AD，且EF与平行四边形的高相等．
∵平行四边形纸片ABCD的面积为72cm2，AD＝12cm，
∴BC＝AD＝12cm，EF×AD＝×72，
∴EF＝6cm，
又BC＝12cm，
∴则图形戊中的四边形两对角线长度之和为12+6＝18cm，
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及图形的对称问题，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若分式有意义，则实数x的取值范围是 x≠ ．
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案．
【解答】解：根据题意得2x﹣3≠0，
解得x≠，
故答案为：x≠．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键．
12．（3分）请写出一个多项式，要求该多项式能利用平方差公式进行因式分解，且有一项是4a2．符合要求的多项式可以是 4a2﹣1（答案不唯一） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：由题意可得，符合要求的多项式可以是：4a2﹣1（答案不唯一）．
故答案为：4a2﹣1（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
13．（3分）平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB'C'D'（点B'与点B是对应点，点C'与点C是对应点，点D'与点D是对应点），点B'恰好落在BC边上，B'C'与CD交于点E，则∠CEB'＝ 45° ．
【分析】根据旋转的性质和平行四边形的性质，可以求得∠EB′C和∠C的度数，然后根据三角形内角和即可得到∠CEB'的度数．
【解答】解：∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB'C'D'，点B'恰好落在BC边上，B'C'与CD交于点E，
∴∠BAB′＝30°，AB＝AB′，∠B＝∠AB′C′，
∴∠B＝∠AB′B＝75°，
∴∠AB′C′＝75°，∠C＝105°，
∴∠EB′C＝30°，
∴∠CEB′＝180°﹣∠C﹣∠EB′C＝180°﹣105°﹣30°＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查旋转的性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是求出∠EB′C和∠C的度数．
14．（3分）如图所示，若正比例函数y1＝kx（k≠0）和一次函数y2＝﹣2x+b的图象相交于点P（2，1），下面四个结论中：①当x＞0时，y1＞0；②当y2＞5时，x＜0；③不等式kx＞﹣2x+b的解集是x＞2；其中正确的是 ①②③ ．（填写序号）
【分析】根据正比例函数和一次函数的性质判断即可．
【解答】解：∵正比例函数y1＝kx（k≠0）和一次函数y2＝﹣2x+b的图象相交于点P（2，1），
∴y1＝x，y2＝﹣2x+5，
∵正比例函数y1＝kx经过原点，且y随x的增大而增大，
∴当x＞0时，y1＞0，故①正确；
∵y2＝﹣2x+5与y轴的交点为（0，5），且y随x的增大而减小，
∴当y2＞5时，x＜0，故②正确；
当x＞2时，正比例函数y1＝kx在一次函数y2＝﹣x+b图象上方，
∴不等式kx＞﹣2x+b的解集是x＞2，故③正确；
故答案为：①②③．
【点评】此题考查一次函数与一元一次不等式，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断．
15．（3分）乐乐在学习中遇到了这样的问题：
如图所示的三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC沿某一条直线剪开，使其变成两个三角形，且要求其中的一个三角形是等腰三角形，你有几种方法呢？
经过思考，乐乐发现要想沿一条直线把三角形分割成两个三角形，这条直线需要经过三角形的某个定点，请你帮助乐乐写出当这条直线经过点A时，剪出的等腰三角形的面积是 4.5或 ．
【分析】要分两种情况进行讨论：①PC＝AC＝3时，△ACP是等腰直角三角形，根据三角形面积公式可求剪出的等腰三角形的面积；②AP＝BP时，△ABP是等腰三角形，根据勾股定理可求CP，再根据三角形面积公式可求剪出的等腰三角形的面积．
【解答】解：①如图1：PC＝AC＝3时，△ACP是等腰直角三角形，
则S△ACP＝×3×3＝4.5；
②如图2：AP＝BP时，△ABP是等腰三角形，
在△ACP中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
则AC2+CP2＝AP2，即32+CP2＝（4﹣CP）2，
解得CP＝，
则S△ABP＝S△ABC﹣S△ACP＝×4×3﹣×3×＝．
综上所述，剪出的等腰三角形的面积是4.5或．
故答案为：4.5或．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，以及等腰三角形的性质，关键是掌握三角形的面积计算．
三、解答题（本大题共7小题，共75分）
16．（8分）下面是乐乐同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解不等式：
解：3（x+5）﹣6≤2（3x+2）……第一步
3x+15﹣6≤6x+4……第二步
3x﹣6x≤4+6﹣15……第三步
﹣3x≤﹣5……第四步
x≤……第五步
任务一：填空：①以上解题过程中，第一步是依据 不等式的基本性质2 进行变形的．
②第 五 步出现错误，这一步错误的原因是 不等号的方向未改变 ．
任务二：请直接写出该不等式的正确解集 x≥ ．
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
【分析】根据不等式的基本性质和解一元一次不等式的步骤求解即可．
【解答】解：任务一：①以上解题过程中，第一步是依据不等式的基本性质2进行变形的；
②乐乐同学解答过程在第五步出错，错误原因是不等号的方向未改变．
任务二：3（x+5）﹣6≤2（3x+2），
3x+15﹣6≤6x+4，
3x﹣6x≤4+6﹣15，
﹣3x≤﹣5，
x≥；
任务三：去分母和化系数为1可能用到性质3，不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号方向改变，其它都不会改变不等号方向．
故答案为：不等式的基本性质2；五，不等号的方向未改变；x≥．
【点评】本题考查解一元一次不等式，解一元一次不等式的依据是不等式的基本性质．
17．（9分）先化简，再求值：（﹣x+1）÷，请从﹣1，0，1，2选取一个适当的数代入求值．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝•
＝，
由分式有意义的条件可知：x不能取±1，
故x＝2，
原式＝
＝1．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，把△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，再绕点B1顺时针方向旋转90度得到△A2B1C2．
（1）分别在图中画出平移和旋转后的两个图形．
（2）图中的△A2B1C2能否由△ABC绕着某一点P顺时针旋转得到？如果能，请写出旋转中心P的坐标，并说明通过如何旋转得到；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）根据平移的性质和旋转的性质即可分别在图中画出平移和旋转后的两个图形；
（2）根据对称点连线的垂直平分线的交点是旋转中心，连接AA2，BB1，分别作AA2，BB1的垂直平分线，交于点P即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1，△A2B1C2即为所求；
（2）△A2B1C2能由△ABC绕着某一点P顺时针旋转得到，旋转中心P的坐标为（2，﹣7），
△A2B1C2是由△ABC绕着点P顺时针旋转旋转90°得到．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，平移变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
19．（12分）求证：等腰三角形两底角的平分线相等．
【分析】根据等腰三角形的两底角相等可得到∠ABC＝∠ACB，再根据角平分线的性质可得到∠BCE＝∠CBF，从而可利用ASA判定△BCE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等即可证得结论．
【解答】已知：△ABC中，AB＝AC，BF，CE分别∠ABC，∠ACB的角平分线．
求证：BF＝CE，即等腰三角形的两底角的平分线相等
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BF，CE分别是∠ABC，∠ACB的角平分线，
∴∠BCE＝∠CBF，
∵∠ABC＝∠ACB，BC＝BC，
∴△BCE≌△CBF，
∴BF＝CE，即等腰三角形两底角的平分线相等．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合运用．
20．（12分）为加快推进生态郑州建设，2020年12月郑州市政府下发了《2021年城市园林绿化工作实施方案》，按照“东强”“西美”“南动”“北静”“中优”“外联”功能布局，大幅增加了城市绿地面积．如图，某校操场角落处有一片四边形空地，它的四个顶点A，B，C，D处均有一棵大树．学校也准备进行一次绿化扩建，想使这片空地的面积扩大一倍，又想保持四棵大树在边上不动，并要求扩建后的区域是平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若不能，请说明理由．若能，请你设计出所要求的平行四边形，并对所设计方案进行简要说
明（图形画规范，不要求用尺规作图；平行四边形四个顶点分别用M、N、P、Q来表示；说理时可以在图形上用S1，S2，S3……进行标注）．
【分析】把地扩大成平行四边形，而且面积要为原来的一倍．就可连接对角线AC，BD交于点O，过点A作BD的平行线，过点C作BD的平行线，过点B作AC的平行线，过点D作AC的平行线，四条平行线依次交于M，N，P，Q四点，则可得四边形AODQ，AOBM，BOCN，OCPD均为平行四边形．由全等形就可证明扩大后的是原来的一倍．
【解答】解：能设计出所要求的平行四边形，理由如下：
连接对角线AC，BD交于点O，过点A作BD的平行线，过点C作BD的平行线
过点B作AC的平行线，过点D作AC的平行线，
四条平行线依次交于M，N，P，Q四点，
则可得四边形AODQ，AOBM，BOCN，OCPD均为平行四边形．
在▱AODQ中，AO＝QD，AQ＝OD，AD＝AD，
∴△AHD≌△AOD（SSS），
∴S△AHD＝S△AOD，
同法可证S△COD＝S△CPD，S△BOC＝S△BCN，S△AOB＝S△ABM
∴S▱MNGH＝2S四边形ABCD，
∴▱MNGH即为所示．
故能设计出所要求的平行四边形．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行四边形的性质和判定定理，对边平行且相等的四边形是平行四边形．
21．（12分）2022年北京冬奥会和冬残奥会点燃了全民健身热情，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”也受到了大家的喜爱．某电商网店抓住了这次冬奥商机，从厂家选中了两种吉祥物摆件进行网上销售．已知“冰墩墩”摆件的销售单价比“雪容融”摆件的销售单价贵30元．据调查，该网店3600元销售“冰墩墩”摆件的数量与2700元销售“雪容融”摆件的数量是相同的．
（1）求这两种摆件的销售单价．
（2）已知“冰墩墩”摆件的进价是每个80元，“雪容融”摆件的进价是每个60元．第二次进货时，厂家为了促销“雪容融”摆件，规定“冰墩墩”摆件进货数量不得超过“雪容融”摆件进货数量的一半．该电商网店计划购进两种摆件90个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）设“冰墩墩”摆件的销售单价为x元，则“雪容融”摆件的销售单价为（x﹣30）元，由题意：该网店3600元销售“冰墩墩”摆件的数量与2700元销售“雪容融”摆件的数量是相同的．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进“冰墩墩”摆件m个，则购进“雪容融”摆件（90﹣m）个，由题意：规定“冰墩墩”摆件进货数量不得超过“雪容融”摆件进货数量的一半．列出一元一次不等式，解得m≤30，设销售利润为w元，再求出w＝10m+2700，然后由一次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）设“冰墩墩”摆件的销售单价为x元，则“雪容融”摆件的销售单价为（x﹣30）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝120，
经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣30＝120﹣30＝90，
答：“冰墩墩”摆件的销售单价是120元，“雪容融”摆件的销售单价是90元；
（2）设购进“冰墩墩”摆件m个，则购进“雪容融”摆件（90﹣m）个，
由题意得：m≤（90﹣m），
解得：m≤30，
设销售利润为w元，
由题意得：w＝（120﹣80）m+（90﹣60）×（90﹣m）＝10m+2700，
∵10＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝30时，w的值最大＝10×30+2700＝3000，
此时，90﹣m＝60，
答：购进“冰墩墩”摆件30个，则购进“雪容融”摆件60个，才能获得最大利润，最大利润是3000元．
【点评】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准数量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
22．（12分）八年级某数学兴趣小组在学习过“平行四边形”之后，决定利用对称变换来探究平行四边形背景下特殊三角形的一类存在性问题．以下是该小组讨论的一个片段，请仔细阅读，完成下列学习任务：
（1）猜想证明：如图1，在▱ABCD中，AB＞AD，将△ABD沿BD翻折至△A′BD，A′B交CD于点O，连接A′C，猜想A′C与BD之间的位置关系及△BOD的形状，并说明理由；
（2）应用探究：在（1）的条件下，如图2，若∠A＝60°，AB＝2，当△A′OD是直角三角形时，请直接写出AD的长（计算结果中分母中可以含有根号）．
【分析】（1）由折叠性质得∠ABD＝∠A′BD，AB＝A′B，再根据平行线的性质得∠OBD＝∠ODB，便可得到△BOD为等腰三角形，利用对顶角性质及三角形内角和定理得∠ODB＝∠OCA′，便可得A′C∥BD；
（2）分两种情况：∠A′OD＝90°或∠A′DO＝90°，分别求得∠ABA′的度数，进而在△ABD中构造直角三角形求得AD便可．
【解答】解：（1）A′C∥BD，△BOD为等腰三角形．
理由如下：
由折叠知，∠ABD＝∠A′BD，AB＝A′B，
∵四边形ABCD平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABD＝∠CDB，A′B＝CD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴OB＝OD，
∴△BOD为等腰三角形，
∵A′B＝CD，
∴A′B﹣OB＝CD﹣OD，
即OA′＝OC，
∴∠OA′C＝∠OCA′，
∵∠BOD＝∠A′OC，∠BOD+∠OBD+∠ODB＝∠A′OC+∠OCA′+∠OA′C＝180°，
∴∠ODB＝∠OCA′，
∴A′C∥BD，
综上，∴△BOD为等腰三角形；
（2）当∠A′DO＝90°时，如图，
∵∠OA′D＝∠A＝60°，
∴∠A′OD＝30°，
∵CD∥AB，
∴∠ABA′＝∠A′OD＝30°，
∴∠ABD＝∠ABA′＝15°，
过D作DE⊥AD，DE与AB交于点E，
∴∠AED＝30°，
∴∠BDE＝∠AED﹣∠EBD＝15°，
∴DE＝BE，
设AD＝x，则AE＝2AD＝2x，DE＝BE＝AD＝x，
∵AE+BE＝AB＝2，
∴2x+x＝2，
解得x＝4﹣2，
∴AD＝4﹣2；
当∠A′OD＝90°时，如图，
∵CD∥AB，
∴∠ABA′＝∠A′OD＝90°，
∴∠ABD＝∠ABA′＝45°，
过D作DE⊥AD，DE与AB交于点E，
∴DE＝BE，
设AD＝x，则AE＝AD＝x，DE＝BE＝ADx，
∵AE+BE＝AB＝2，
∴x+x＝2，
解得x＝2﹣2，
∴AD＝2﹣2；
综上，AD＝4﹣2或2﹣2．
【点评】本题主要考查轴对称的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，第（2）题关键在分情况讨论和解直角三角形．
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