2023年广东省惠州五中中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省惠州五中中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  用数学的眼光观察下面的网络图标，其中可以抽象成轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  如图，在中，若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  在体育课的跳远比赛中，以米为标准，若小东跳出了米，可记做，那么小东跳出了米，记作(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，点，，都在上，连接，，，，，，则的大小是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  某校九年级班名同学在“二十大知识”竞赛中的成绩如表所示：，，，，，，，，，则这个班学生成绩的众数、中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

8.  已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D.

9.  如图，和是以点为位似中心的位似图形，：：，的周长为，则的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  二次函数为常数，中，与的部分对应值如表：

对于下列结论：；是方程的一个根；当时，随的增大而减小；若，且点，在该二次函数的图象上，则；对于任意实数，都有其中正确结论的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  一个六边形的外角和为       

12.  祖冲之发现的圆周率的分数近似值，称为密率，比的值只大，这个数用科学记数法可表示为        ．

13.  因式分解：        ．

14.  已知：点，，都在反比例函数图象上，用“”表示、、的大小关系是        ．

15.  如图，将边长为的正方形绕点逆时针旋转到正方形的位置，则图中阴影部分的面积为        ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

16.  先化简，再求值：，其中，．

四、解答题（本大题共7小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
如图，与交于点，，，为延长线上一点，过点作，交的延长线于点．
求证；
若，，，求的长．

18.  本小题分
如图，在中，，．
尺规作图：作的平分线交于点；不写作法，保留作图痕迹
若，求的长．

19.  本小题分
我区某校想知道学生对“老瀛山”，“古剑山”，“东溪古镇”等旅游名片的了解程度，随机抽查了部分学生进行问卷调查，问卷有四个选项每位被调查的学生必须且只能选一项：不知道，了解较少，了解较多，十分了解将问卷调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

本次调查了多少名学生？
根据调查信息补全条形统计图；
该校共有名学生，请你估计“十分了解”的学生共有多少名？
在被调查“十分了解”的学生中，有四名同学普通话较好，他们中有名男生和名女生，学校想从这四名同学中任选两名同学，做家乡旅游品牌的宣传员，请你用列表法或画树状图法，求出被选中的两人恰好是一男一女的概率．

20.  本小题分
年第届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某商场在世界杯开始之前，用元购进，两种世界杯吉祥物共个，且用于购买种吉祥物与购买吉祥物的费用相同，且种吉祥物的单价是种吉祥物的倍．
求，两种吉祥物的单价各是多少元？
世界杯开始后，商场的吉祥物很快就卖完了，于是计划用不超过元的资金再次购进，两种吉祥物共个，已知，两种吉祥物的进价不变求种吉祥物最多能购进多少个？

21.  本小题分
如图，是的直径，弦于点，点在上，与交于点，点在的延长线上，且是的切线，延长交的延长线于点．
求证：；
连接，若，，求的长．

22.  本小题分
如图，将直角三角板的直角顶点放在正方形上，使直角顶点与重合，三角板的一边交于点，另一边交的延长线于点则 ______填“”“”或“”；
将中“正方形”改成“矩形”，且，，其他条件不变．
如图，若，求长．
如图，若平分，则的长为______．
 

23.  本小题分
如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点．
求抛物线的表达式；
是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标；
为抛物线上一点，连接，过点作交抛物线对称轴于点，当时，请直接写出点的横坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：互为倒数的两个数乘积为，
的倒数是，
故选：．
直接利用倒数的定义得出答案．
本题主要考查倒数的定义，熟练掌握知识点是解题的关键，需注意倒数不改变数的正负．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
解得：．
故选：．
利用锐角三角函数关系得出答案即可．
此题主要考查了解直角三角形，掌握锐角三角函数关系是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
故A不符合题意；
，
故B不符合题意；
，
故C符合题意；
，
故D不符合题意，
故选：．
根据算术平方根，负整数指数幂，幂的乘方运算法则分别判断即可．
本题考查了算术平方根，负整数指数幂，幂的乘方运算，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正数和负数，注意高于标准用正数表示，低于标准用负数表示。
根据高于标准记为正，可得低于标准记为负。
【解答】
解：以米为标准，若小东跳出了米，可记做，
小东跳出了米，记作米，
故选：。  

6.【答案】 

【解析】解：，
是等腰三角形，
，
，即，
，
．
故选：．
根据题意可知是等腰三角形，，可得出的度数，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得出答案．
本题主要考查的是等腰三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，掌握这些知识点是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：从小到大排列此数据为：，，，，，，，，，，数据出现了三次最多为众数，，处在第位和第位，所以本题这组数据的中位数是，
故选：．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
 

8.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，，
解得：且．
故选：．
根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据一元二次方程的定义结合根的判别式列出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：与是位似图形，点为位似中心，
，
且∽，
：：，
，
又∽，
：：：，
的周长为，
的周长为．
故选：．
先根据位似的性质得到与的位似比为：，再利用比例性质得到：：，然后利用相似三角形的性质即可求出答案．
本题考查了位似变换，解题关键是掌握位似变换的相关性质，运用比例解题．
 

10.【答案】 

【解析】解：二次函数为常数，，
该函数图象开口向下，
由表格可知，对称轴为直线，
，故正确，符合题意；
点在二次函数的图象上，
点也在二次函数的图象上，
是方程的一个根，故正确，符合题意；
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故错误，不符合题意；
若，且点，在该二次函数的图象上，则，故正确，符合题意；
对称轴为直线，
，
，
，
当时，该函数取得最大值，
对于任意实数，都有，
即，
，
，故正确，符合题意；
故选：．
根据表格中的数据和二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系，可以判断各个小题中的结论是否成立．
本题考查二次函数的性质、一元二次方程的解、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：六边形的外角和是．
故答案为：．
根据任何多边形的外角和是度即可求出答案．
考查了多边形的外角和定理，任何多边形的外角和是度．外角和与多边形的边数无关．
 

12.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

13.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提取公因式，再用公式法因式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：反比例函数中，
函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小．
，
点位于第三象限，
，
，
点，位于第一象限，
．
．
故答案为：．
先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：作于，如图，
四边形为正方形，
，，
正方形绕点逆时针旋转到正方形的位置，
，，，
，
为等边三角形，
，，
，
为等腰三角形，
，
在中，，
．
故答案为：．
作于，如图，利用正方形的性质得，，则根据旋转的性质得，，，再证明为等腰三角形得到，，接着证明为等边三角形得到，则利用含度的直角三角形三边的关系计算出，然后利用三角形面积公式计算即可．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
 

16.【答案】解：


，
当，时，原式． 

【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将、的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 

17.【答案】证明：在和中，
，
；
解：由得：，
，
，，
，
，
∽，
，
即，
解得：． 

【解析】由证明即可；
由全等三角形的性质得，再证∽，得，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图射线即为所求；


，，
，
平分，
，
，
，
． 

【解析】利用尺规作出的平分线交于点；
只要证明，求出即可解决问题；
本题考查基本作图，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：人，
答：本次调查了人．
组人数为：人，
补全条形图如图所示：

“十分了解”人数为：人；
树状图如下：

共有种等可能情况，其中被选中的两人恰好是一男一女有种．
所以，所选两人恰好是一男一女的概率为． 

【解析】根据组人数以及百分比计算即可解决问题；
求出组人数，画出条形图即可解决问题；
用“十分了解”所占的比例即可；
先画出树状图，继而根据概率公式可求出被选中的两人恰好是一男一女的概率．
此题考查条形统计图和扇形统计图相关联，由样本估计总体，用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
 

20.【答案】解：元．
设种吉祥物的单价是元，则种吉祥物的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：种吉祥物的单价是元，种吉祥物的单价是元；
设购进个种吉祥物，则购进个种吉祥物，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为．
答：种吉祥物最多能购进个． 

【解析】设种吉祥物的单价是元，则种吉祥物的单价是元，利用数量总价单价，结合购进，两种世界杯吉祥物共个，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出种吉祥物的单价，再将其代入中，即可求出种吉祥物的单价；
设购进个种吉祥物，则购进个种吉祥物，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

21.【答案】证明：连接，

，
，
，
，
是的切线，


，
；
解：连接，

由得，，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
负值舍去，
． 

【解析】连接，根据，可得，再由切线的性质，可得，然后根据等腰三角形的性质可得结论；
连接，先证得∽，再根据可得，，从而得的长，然后由勾股定理可得答案．
此题主要考查了圆的综合题目，熟练掌握切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，理解锐角三角函数是解题的关键．
 

22.【答案】解：；
四边形是矩形，
．
，
．
又．
∽，
，
设，则，
，．
由勾股定理得，在中，，
代入得，
解得或舍去，
即．
的长为；
 ． 

【解析】【详解】四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：；
见答案；
如图所示，延长到，使，连接，

设，则，
∽，
，，
，
则，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
又，
，
，即，
解得，即，
，
故答案为：．

由四边形是正方形知，，结合得，证可得答案；
证∽得，设，则，，，在中，由勾股定理得到关于的方程，解之即可；
延长到，使，连接，设，则，由∽得，，，，再证得，，结合知，从而得，据此求出的值，最后利用勾股定理求解即可得出答案．
本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形和正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．
 

23.【答案】解：把点和代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
过点作轴，交于点，如图所示：

设，直线的解析式为，
由可得：，
，解得：，
直线的解析式为，
，
，
轴，
∽，
，
，
当时，的值最大，
；
由题意可得如图所示：

过点作轴的平行线，分别过点、作于，于，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
设点，
由题意可知：抛物线的对称轴为直线，，
，，
当时，解得：，
当时，解得：．
综上：点的横坐标为或或或． 

【解析】把点和代入解析式求解即可；
过点作轴，交于点，由设，直线的解析式为，然后可求出直线的解析式，则有，进而可得，最后根据∽可进行求解；
由题意可作出图象，设，然后根据题意及型相似可进行求解．
本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角函数及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质、三角函数及相似三角形的性质与判定是解题的关键．