第十二讲 二次函数与几何综合-最新备战中考数学第一轮复习分点透练真题（全国通用）

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 第十二讲 二次函数与几何综合
命题点1 二次函数中线段与面积问题
1．（2021•湘西州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，求直线BC的解析式；
（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+PC的最小值；

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4； （2） y＝﹣x+4 （3）P（，）
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，得到，
解得，
∴y＝﹣x2+3x+4；
（2）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
设BC的解析式为y＝kx+b，
∵B（4，0），C（0，4），
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．

（3）如图1中，

由题意A，B关于抛物线的对称轴直线x＝对称，
连接BC交直线x＝于点P，连接PA，此时PA+PC的值最小，最小值为线段BC的长＝＝4，
此时P（，）．
2．（2021•西宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（﹣2，0），抛物线经过A，B，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AD与y轴负半轴交于点D，且∠BAO＝∠DAO，求证：OB＝OD；
（3）在（2）的条件下，若直线AD与抛物线的对称轴l交于点E，连接BE，在第一象限内的抛物线上是否存在一点P，使四边形BEAP的面积最大？若存在，请求出点P的坐标及四边形BEAP面积的最大值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1） y＝x2+x+3 （2） OB＝OD （3）P点坐标是（3，），
【解答】解：（1）令y＝0，则﹣x+3＝0，解得x＝6，
令x＝0，则y＝3，
∴A（6，0），B（0，3），
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
把A，B，C三点坐标代入解析式，得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x+3；
（2）证明：∵在平面直角坐标系xOy中，
∴∠BOA＝∠DOA＝90°，
在△BOA和△DOA中，
，
∴△BOA≌△DOA （ASA），
∴OB＝OD，
（3）存在，理由如下：
如图，过点E作EM⊥y轴于点M，
∵y＝x2+x+3＝（x﹣2）2+4，
∴抛物线的对称轴是直线x＝2，
∴E点的横坐标是2，即EM＝2，
∵B（0，3），
∴OB＝OD＝3，
∴BD＝6，
∵A（6，0），
∴OA＝6，
∴S△ABE＝S△ABD﹣S△DBE＝×6×6﹣×6×2＝12，
设点P的坐标为（t，t2+t+3），
连接PA，PB，过点P作PN⊥x轴于点H1，交直线AB于点N，过点B作H2⊥PN于点H2，
∴N（t，﹣t+3），
∴PN＝t2+t+3﹣（﹣t+3）＝t2+t，
∵AH1+BH2＝OA＝6，S△ABP＝S△NBP+S△ANP＝PN•BH2+PN•AH1＝PN•OA，
∴S△ABP＝×6（t2+t）＝（t﹣3）2+，
∵＜0，抛物线开口向下，函数有最大值，
∴当t＝3时，△BPA面积的最大值是，此时四边形BEAP的面积最大，
∴四边形BEAP的面积最大值为+12＝，
∴当P点坐标是（3，）时，四边形BEAP面积的最大值是．

3．（2021•阜新）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），过点B的直线y＝x﹣2交抛物线于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求△PBC面积的最大值；
（3）若点M在抛物线上，将线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，是否存在点M，使点N恰好落在直线BC上？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3 （2） m＝时，S△PBC的最大值为
（3）M1（0，﹣3），M2 ，M3，M4（，）
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3 中，得：
，
解得：，
∴该抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）如图1，过点P作PD∥y轴，交x轴于点D，交BC于点E，作CF⊥PD于点F，连接PB，PC，
设点P（m，m2﹣2m﹣3），则点E （m，），
∴PE＝PD﹣DE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+2）＝﹣m2+m+1，
联立方程组：，
解得：，，
∵点B坐标为（3，0），
∴点C的坐标为（，﹣），
∴BD+CF＝3+，
∴S△PBC＝S△PEB+S△PEC
＝PE•BD+PE•CF
＝PE（BD+CF）
＝（﹣m2+m+1）•
＝（）2+，（其中＜m＜3），
∵，
∴这个二次函数有最大值．
当m＝时，S△PBC的最大值为．
（3）如图2，设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，n﹣2），
作MG⊥y轴于点G，NH⊥x轴于H，
∴∠OGM＝∠OHN＝90°，
∵线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，
∴OM＝ON，∠MON＝90°，
∵∠GOH＝90°，
∴∠MOG＝∠NOH，
在△OGM与△OHN中，
，
∴△OGM≌△OHN（AAS），
∴GM＝NH，OG＝OH，
∴，
解得：，，
M1（0，﹣3），M2 ，
如图3，设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，n﹣2），
作MG⊥x轴于点G，NH⊥x轴于H，
∴∠OGM＝∠OHN＝90°，
∵线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，
∴OM＝ON，∠MON＝90°，
∵∠GOH＝90°，
∴∠MOG＝∠NOH，
在△OGM与△OHN中，
，
∴△OGM≌△OHN（AAS），
∴GM＝NH，OG＝OH，
∴，
解得：t1＝，t2＝，
∴M3，M4（，）；
综上所述，点M的坐标为M1（0，﹣3），M2 ，M3，M4（，）．




4．（2021•东营）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+2过B、C两点，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：△AOC∽△ACB；
（3）点M（3，2）是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PM的最小值．

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2 （2） 略 （3）PD+PM的最小值为
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+2过B、C两点，
当x＝0时，代入y＝﹣x+2，得y＝2，即C（0，2），
当y＝0时，代入y＝﹣x+2，得x＝4，即B（4，0），
把B（4，0），C（0，2）分别代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）∵抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，
∴﹣x2+x+2＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴点A的坐标为（﹣1，0），
∴AO＝1，AB＝5，
在Rt△AOC中，AO＝1，OC＝2，
∴AC＝，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝，
又∵∠OAC＝∠CAB，
∴△AOC∽△ACB；
（3）设点D的坐标为（x，﹣x2+x+2），
则点E的坐标为（x，﹣x+2），
∴DE＝﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）
＝﹣x2+x+2+x﹣2
＝﹣x2+2x
＝﹣（x﹣2）2+2，
∵﹣＜0，
∴当x＝2时，线段DE的长度最大，
此时，点D的坐标为（2，3），
∵C（0，2），M（3，2），
∴点C和点M关于对称轴对称，
连接CD交对称轴于点P，此时PD+PM最小，
连接CM交直线DE于点F，则∠DFC＝90°，点F的坐标为（2，2），
∴CD＝＝，
∵PD+PM＝PC+PD＝CD，
∴PD+PM的最小值为．



命题点2 二次函数中的特殊角
5．（2021•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）．
（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；
（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；
（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．

【答案】（1） y＝x+1 （2） △PAD的面积的最大值为，P（1，）．
（3）Q的坐标为（0，）或（0，﹣9）
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，
∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），
∵D（4，3）在抛物线上，
∴3＝a（4+2）×（4﹣6），
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+x+3，
∵直线l经过A（﹣2，0）、D（4，3），
设直线l的解析式为y＝kx+m（k≠0），
则，
解得，，
∴直线l的解析式为y＝x+1；
（2）如图1中，过点P作PK∥y轴交AD于点K．设P（m，﹣m2+m+3），则K（m，m+1）．

∵S△PAD＝•（xD﹣xA）•PK＝3PK，
∴PK的值最大值时，△PAD的面积最大，
∵PK＝﹣m2+m+3﹣m﹣1＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣1）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝1时，PK的值最大，最大值为，此时△PAD的面积的最大值为，P（1，）．

（3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（﹣5，6），

设DT交y轴于点Q，则∠ADQ＝45°，
∵D（4，3），
∴直线DT的解析式为y＝﹣x+，
∴Q（0，），
作点T关于AD的对称点T′（1，﹣6），
则直线DT′的解析式为y＝3x﹣9，
设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′＝45°，
∴Q′（0，﹣9），
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，）或（0，﹣9）．
6．（2021•德阳）如图，已知：抛物线y＝x2+bx+c与直线l交于点A（﹣1，0），C（2，﹣3），与x轴另一交点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点P，使△ACP的内心在x轴上，求点P的坐标；
（3）M是抛物线上一动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N，连接BM．在（2）的条件下，是否存在点M，使∠MBN＝∠APC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3 （2） P（4，5） （3）（，），（，）
【解答】解：（1）把点A（﹣1，0），C（2，﹣3）代入y＝x2+bx+c，
得到方程组：，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）作点C关于x轴的对称点C'，则C'（2，3），连接AC'并延长与抛物线交于点P，由图形的对称性可知P为所求的点，

设直线AC'的解析式为y＝mx+n，
由题意得：，
解得：，
∴直线AC'的解析式为y＝x+1，
将直线和抛物线的解析式联立得：
，
解得（舍去）或，
∴P（4，5）；
（3）存在点M，
过点P作x轴的垂线，由勾股定理得AP＝，
同理可求得AC＝，PC＝，

∴AP2+AC2＝PC2，∠PAC＝90°，
∴tan∠APC＝，
∵∠MBN＝∠APC，
∴tan∠MBN＝tan∠APC，
∴，
设点M（m，m2﹣2m﹣3），则（m≠3），
解得m＝或m＝﹣，
当m＝时，m2﹣2m﹣3＝，
∴M（﹣，），
当m＝，m2﹣2m﹣3＝，
∴M（，），
∴存在符合条件的点M，M的坐标为（，），（，）．

命题点3 二次函数与三角形的存在性
7．（2021•攀枝花）如图，开口向上的抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且AC⊥BC，其中x1，x2是方程x2+3x﹣4＝0的两个根．
（1）求点C的坐标，并求出抛物线的表达式；
（2）垂直于线段BC的直线l交x轴于点D，交线段BC于点E，连接CD，求△CDE的面积的最大值及此时点D的坐标；
（3）在（2）的结论下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PDE是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1） y＝x2+x﹣2 （2） D（﹣，0）
（3）（﹣，）或（﹣，﹣）或（﹣，﹣2）或（﹣，﹣）．
【解答】解：（1）由x2+3x﹣4＝0得x1＝﹣4，x2＝1，
∴A（﹣4，0），B（1，0），
∴OA＝4，OB＝1，
∵AC⊥BC，
∴∠ACO＝90°﹣∠BCO＝∠OBC，
∵∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴＝，即＝，
∴OC＝2，
∴C（0，﹣2），
设抛物线解析式为y＝a（x+4）（x﹣1），
将C（0，﹣2）代入得﹣2＝﹣4a，
∴a＝，
∴抛物线解析式为y＝（x+4）（x﹣1）＝x2+x﹣2；
（2）如图：

由A（﹣4，0），B（1，0），C（0，﹣2）得：AB＝5，BC＝，AC＝2，
∵DE⊥BC，AC⊥BC，
∴DE∥AC，
∴△ABC∽△DBE，
∴＝＝，
设D（t，0），则BD＝1﹣t，
∴＝＝，
∴DE＝（1﹣t），BE＝（1﹣t），
∴S△BDE＝DE•BE＝（1﹣t）2，
而S△BDC＝BD•OC＝（1﹣t）×2＝1﹣t，
∴S△CDE＝S△BDC﹣S△BDE＝1﹣t﹣（1﹣t）2＝﹣t2﹣t+＝﹣（t+）2+，
∵﹣＜0，
∴t＝﹣时，S△CDE最大为，
此时D（﹣，0）；
（3）存在，
由y＝x2+x﹣2知抛物线对称轴为直线x＝﹣，
而D（﹣，0），
∴D在对称轴上，
由（2）得DE＝×[1﹣（﹣）]＝，
当DE＝DP时，如图：

∴DP＝，
∴P（﹣，）或（﹣，﹣），
当DE＝PE时，过E作EH⊥x轴于H，如图：

∵∠HDE＝∠EDB，∠DHE＝∠BED＝90°，
∴△DHE∽△DEB，
∴＝＝，即＝＝，
∴HE＝1，DH＝2，
∴E（，﹣1），
∵E在DP的垂直平分线上，
∴P（﹣，﹣2），
当PD＝PE时，如图：

设P（﹣，m），
则m2＝（﹣﹣）2+（m+1）2，
解得m＝﹣，
∴P（﹣，﹣），
综上所述，P的坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）或（﹣，﹣2）或（﹣，﹣）．
8．（2021•济南）抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），顶点为C．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点E是线段AC上（与点A，C不重合）的动点，连接PE，作∠PEF＝∠CAB，边EF交x轴于点F，设点F的横坐标为m，求m的取值范围．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3，顶点C（1，4） （2）∴P（）
（3）点F的横坐标m的取值范围为﹣1＜m≤
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得：．
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点C（1，4）．
（2）设AC交y轴于点F，连接DF，过点C作CE⊥x轴于点E，如图，

∵A（﹣1，0），C（1，4），
∴OA＝1，OE＝1，CE＝4．
∴OA＝OE，AC＝＝2．
∵FO⊥AB，CE⊥AB，
∴FO∥CE，
∴OF＝CE＝2，F为AC的中点．
∵△DAC是以AC为底的等腰三角形，
∴DF⊥AC．
∵FO⊥AD，
∴△AFO∽△FDO．
∴．
∴．
∴OD＝4．
∴D（4，0）．
设直线CD的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得：．
∴直线CD的解析式为y＝﹣．
∴，
解得：，．
∴P（）．
（3）过点P作PH⊥AB于点H，如下图，

则OH＝，PH＝，
∵OD＝4，
∴HD＝OD﹣OH＝，
∴PD＝＝．
∴PC＝CD﹣PD＝5﹣＝．
由（2）知：AC＝2．
设AF＝x，AE＝y，则CE＝2﹣y．
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C．
∵∠CAB+∠AEF+∠AFE＝180°，
∠AEF+∠PEF+∠CEP＝180°，
又∵∠PEF＝∠CAB，
∴∠CEP＝∠AFE．
∴△CEP∽△AFE．
∴．
∴．
∴x＝﹣+y＝﹣+．
∴当y＝时，x即AF有最大值．
∵OA＝1，
∴OF的最大值为﹣1＝．
∵点F在线段AD上，
∴点F的横坐标m的取值范围为﹣1＜m≤．
9．（2021•毕节市）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，顶点为D，点B的坐标为（3，0）．
（1）填空：点A的坐标为 　 　，点D的坐标为 　 　，抛物线的解析式为 　 　；
（2）当二次函数y＝x2+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最小值为，求m的值；
（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）（1，0），（2，﹣1），y＝x2﹣4x+3 （2） m的值为或﹣
（3）P点坐标为（2，2）或（2，1）
【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝2，
∴b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x+c，
∵点B（3，0）是抛物线与x轴的交点，
∴9﹣12+c＝0，
∴c＝3，
∴y＝x2﹣4x+3，
令y＝0，x2﹣4x+3＝0，
∴x＝3或x＝1，
∴A（1，0），
∵D是抛物线的顶点，
∴D（2，﹣1），
故答案为（1，0），（2，﹣1），y＝x2﹣4x+3；
（2）当m+2＜2时，即m＜0，
此时当x＝m+2时，y有最小值，
则（m+2）2﹣4（m+2）+3＝，
解得m＝，
∴m＝﹣；
当m＞2时，此时当x＝m时，y有最小值，
则m2﹣4m+3＝，
解得m＝或m＝，
∴m＝；
当0≤m≤2时，此时当x＝2时，y有最小值为﹣1，与题意不符；
综上所述：m的值为或﹣；
（3）存在，理由如下：
A（1，0），C（0，3），
∴AC＝，AC的中点为E（，），
设P（2，t），
∵△PAC是以AC为斜边的直角三角形，
∴PE＝AC，
∴＝，
∴t＝2或t＝1，
∴P（2，2）或P（2，1），
∴使△PAC是以AC为斜边的直角三角形时，P点坐标为（2，2）或（2，1）．
10．（2021•黔东南州）如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标；
（3）已知点M是x轴上的动点，过点M作x的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1） y＝x2﹣2x﹣3 （2） P、Q的坐标分别为（1，﹣3）、（4，0）或（1，3）、（﹣2，0）； （3）点M的坐标为：M（0，0）或M（，0）或M（6，0）或
M（，0）
【解答】解：（1）将点B（3，0），C（0，﹣3）分别代入y＝ax2﹣2x+c中，得：，解得，
∴抛物线的函数关系为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝﹣＝1，
故设点P（1，m），点Q（x，0），B（3，0），C（0，﹣3），
①以PB为对角线时，
，解得：，
∴P（1，﹣3），Q（4，0）；
②以PC为对角线时，
，解得：，
∴P（1，3），Q（﹣2，0）；
故点P、Q的坐标分别为（1，﹣3）、（4，0）或（1，3）、（﹣2，0）；
（3）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），
又y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点D的坐标为（1，﹣4），
∵C（0，﹣3）、B（3，0）、D（1，﹣4），
∴BD2＝22+42＝20，CD2＝12+12，BC2＝32+32，
∴BD2＝CD2+BC2，
∴△BDC是直角三角形，且∠BCD＝90°，
设点M的坐标（m，0），则点G的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
根据题意知：∠AMG＝∠BCD＝90°，
∴要使以A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，需要满足条件：，
①当m＜﹣1时，此时有：，
解得：，m2＝﹣1或m1＝0，m2＝﹣1，都不符合m＜﹣1，所以m＜﹣1时无解；
②当﹣1＜m≤3时，此时有：，
解得：，m2＝﹣1（不符合要求，舍去）或m1＝0，m2＝﹣1（不符合要求，舍去），
∴M（）或M（0，0），
③当m＞3时，此时有：或，
解得：（不符合要求，舍去）或m1＝6，m2＝﹣1（不符要求，舍去），
∴点M（6，0）或M（，0），
答：存在点M，使得A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，点M的坐标为：M（0，0）或M（，0）或M（6，0）或M（，0）．

命题点4 二次函数与四边形的存在性
11．（2021•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，对称轴l与x轴交于点F，直线m∥AC，点E是直线AC上方抛物线上一动点，过点E作EH⊥m，垂足为H，交AC于点G，连接AE、EC、CH、AH．
（1）抛物线的解析式为 　 　；
（2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接EF，点P是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点，以EF为一边的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1） y＝﹣x2﹣2x+3 （2） E（﹣，）；
（3）Q坐标为（﹣，）或（，﹣）或（，﹣）
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c与x轴交于（﹣3，0）、B（1，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．
故答案为：y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）如图1中，连接OE．设E（m，﹣m2﹣2m+3）．

∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴OA＝OC＝3，AC＝3，
∵AC∥直线m，
∴当直线m的位置确定时，△ACH的面积是定值，
∵S四边形AECH＝S△AEC+S△ACH，
∴当△AEC的面积最大时，四边形AECH的面积最大，
∵S△AEC＝S△AEO+S△ECO﹣S△AOC＝×3×（﹣m2﹣2m+3）+×3×（﹣m）﹣×3×3＝﹣（m+）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝﹣时，△AEC的面积最大，
∴E（﹣，）；
（3）存在．如图2中，因为点Q在抛物线上 EF是平行四边形的边，观察图象可知，满足条件的点Q的纵坐标为±，

对于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，当y＝时，﹣x2﹣2x+3＝，解得x＝﹣（舍弃）或﹣，
∴Q1（﹣，）．
当y＝﹣时，﹣x2﹣2x+3＝﹣，解得x＝，
∴Q2（，﹣），Q3（，﹣）．
综上所述，满足条件的点Q坐标为（﹣，）或（，﹣）或（，﹣）．
12．（2021•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图（甲）．若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；
（3）图（乙）中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2+4x+5 （2） P（，）
（3）M的坐标为：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）
【解答】解：（1）将A的坐标（﹣1，0），点C的坐（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）过P作PD⊥x轴于D，交BC于Q，过P作PH⊥BC于H，如图：

在y＝﹣x2+4x+5中，令y＝0得﹣x2+4x+5＝0，
解得x＝5或x＝﹣1，
∴B（5，0），
∴OB＝OC，△BOC是等腰直角三角形，
∴∠CBO＝45°，
∵PD⊥x轴，
∴∠BQD＝45°＝∠PQH，
∴△PHQ是等腰直角三角形，
∴PH＝，
∴当PQ最大时，PH最大，
设直线BC解析式为y＝kx+5，将B（5，0）代入得0＝5k+5，
∴k＝﹣1，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+5，
设P（m，﹣m2+4m+5），（0＜m＜5），则Q（m，﹣m+5），
∴PQ＝（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m＝﹣（m﹣）2+，
∵a＝﹣1＜0，
∴当m＝时，PQ最大为，
∴m＝时，PH最大，即点P到直线BC的距离最大，此时P（，）；
（3）存在，理由如下：
抛物线y＝﹣x2+4x+5对称轴为直线x＝2，
设M（s，﹣s2+4s+5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），
①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，如图：

∴，解得，
∴M（3，8），
②以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，如图：

∴，解得，
∴M（﹣3，﹣16），
③以MC、NB为对角线，则MC、NB中点重合，如图：

，解得，
∴M（7，﹣16）；
综上所述，M的坐标为：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）．
13．（2021•抚顺）直线y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A，B，与x轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交AB于点E，DF⊥AB于点F，FG⊥x轴于点G．当DE＝FG时，求点D的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，直线CD与AB相交于点M，点H在抛物线上，过H作HK∥y轴，交直线CD于点K．P是平面内一点，当以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点P的坐标．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3 （2） D（2，3）
（3）P点坐标为（5，2）或（1，2+）或（1，2﹣）
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，
∴B（0，3），
令y＝0，则x＝3，
∴A（3，0），
∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点A，B，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设D（m，﹣m2+2m+3），
∵DE∥y轴交AB于点E，
∴E（m，﹣m+3），
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝45°，
∴AG＝FG，
∵DE＝FG，
∴DE＝AG，
连接GE，延长DE交x轴于点T，
∴四边形FGED是平行四边形，
∵DF⊥AB，
∴EG⊥AB，
∴△AEG为等腰直角三角形，
∴AT＝ET＝GT＝3﹣m，
∴AG＝FG＝6﹣2m，
∴OG＝3﹣（6﹣2m）＝2m﹣3，
∴F点横坐标为2m﹣3，
∴FG＝﹣2m+6，
∴DT＝﹣2m+6+3﹣m＝﹣3m+9，
∴﹣m2+2m+3＝﹣3m+9，
解得m＝2或m＝3（舍），
∴D（2，3）；
（3）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
设CD的解析式为y＝kx+b，将C（﹣1，0）、D（2，3）代入，
∴，
∴，
∴y＝x+1，
∴∠ACM＝45°，
∴CM⊥AM，
联立x+1＝﹣x+3，
解得x＝1，
∴M（1，2），
∵以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形，
①如图2，图3，当MH⊥MK时，H点在AB上，K点在CD上，


∵H点在抛物线上，
∴H（3，0）或H（0，3），
当H（3，0）时，MH＝2，
∴KH＝4，
∴K（3，4）
∴HK的中点为（3，2），则MP的中点也为（3，2），
∴P（5，2）；
当H（0，3）时，MH＝，
∴KH＝2，
∴K（0，1），
∴HK的中点为（0，2），则MP的中点也为（0，2），
∴P（﹣1，2），
此时HK与y轴重合，
∴P（﹣1，2）不符合题意；
②如图4，图5，当MH⊥HK时，此时MH⊥y轴，


∴H（1+，2）或H（1﹣，2），
当H（1+，2）时，MH＝，
∴P（1，2+）；
当H（1﹣，2）时，MH＝，
∴P（1，2﹣）；
综上所述：当以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形时，P点坐标为（5，2）或（1，2+）或（1，2﹣）．

14．（2021•湘潭）如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1） y＝x2﹣x﹣
（2）Q的坐标为：（1，﹣）或（﹣1，0）或（3，0）
【解答】解：（1）在y＝x﹣中，令x＝0得y＝﹣，令y＝0得x＝3，
∴A（3，0），B（0，﹣），
∵二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点，
∴，解得，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣；
（2）存在，理由如下：
由二次函数y＝x2﹣x﹣可得其对称轴为直线x＝＝1，
设P（1，m），Q（n，n2﹣n﹣），而B（0，﹣），
∵C与B关于直线x＝1对称，
∴C（2，﹣），
①当BC、PQ为对角线时，如图：

此时BC的中点即是PQ的中点，即，
解得，
∴当P（1，﹣），Q（1，﹣）时，四边形BQCP是平行四边形，
由P（1，﹣），B（0，﹣），C（2，﹣）可得PB2＝＝PC2，
∴PB＝PC，
∴四边形BQCP是菱形，
∴此时Q（1，﹣）；
②BP、CQ为对角线时，如图：

同理BP、CQ中点重合，可得，
解得，
∴当P（1，0），Q（﹣1，0）时，四边形BCPQ是平行四边形，
由P（1，0），B（0，﹣），C（2，﹣）可得BC2＝4＝PC2，
∴四边形BCPQ是菱形，
∴此时Q（﹣1，0）；
③以BQ、CP为对角线，如图：

BQ、CP中点重合，可得，
解得，
∴P（1，0），Q（3，0）时，四边形BCQP是平行四边形，
由P（1，0），B（0，﹣），C（2，﹣）可得BC2＝4＝PC2，
∴四边形BCQP是菱形，
∴此时Q（3，0）；
综上所述，Q的坐标为：（1，﹣）或（﹣1，0）或（3，0）．
15．（2021•淄博）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+•x+（m＞0）与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．
（1）若OC＝2OA，求抛物线对应的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，点P位于直线BC上方的抛物线上，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
（3）设直线y＝x+b与抛物线交于B，G两点，问是否存在点E（在抛物线上），点F（在抛物线的对称轴上），使得以B，G，E，F为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点E，F的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2 （2）点P（2，3）（3）
E的坐标为（0，），F的坐标为（1，﹣4）或E（3，﹣4），F（0，﹣）
【解答】解：（1）∵A的坐标为（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵OC＝2OA，
∴OC＝2，
∴C的坐标为（0，2），
将点C代入抛物线y＝﹣x2+•x+（m＞0），
得＝2，即m＝4，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+2；
（2）如图，过P作PH∥y轴，交BC于H，

由（1）知，抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+2，m＝4，
∴B、C坐标分别为B（4，0）、C（0，2），
设直线BC解析式为y＝kx+n，
则，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
设点P的坐标为（m，﹣m2+m+2）（0＜m＜4），则H（m，﹣m+2），
∴PH＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）
＝﹣m2+2m
＝﹣（m2﹣4m）
＝﹣（m﹣2）2+2，
∵S△PBC＝S△CPH+S△BPH，
∴S△PBC＝PH•|xB﹣xC|
＝[﹣（m﹣2）2+2]×4
＝﹣（m﹣2）2+4，
∴当m＝2时，△PBC的面积最大，此时点P（2，3）；
（3）存在，理由如下：
∵直线y＝x+b与抛物线交于B（m，0），
∴直线BG的解析式为y＝x﹣m①，
∵抛物线的表达式为y＝﹣x2+•x+②，
联立①②解得，或，
∴G的坐标为（﹣2，﹣m﹣1），
∵抛物线y＝﹣x2+•x+的对称轴为直线x＝，
∴点F的横坐标为，
①若BG为边，
不妨设E在x轴上方，如图，过点E作EH⊥x轴于H，

设E的坐标为（t，﹣t2+•t+），
∵∠GBE＝90°，
∴∠OBG＝∠BEH，
∴tan∠OBG＝tan∠BEH＝＝，
∴＝，
解得：t＝3或m（舍），
∴E的坐标为（3，2m﹣6），
由平移性质，
得：B的横坐标向左平移m+2个单位得到G的横坐标，
∵EF∥BG且EF＝BG，
∴E横坐标向左平移m+2个单位，
得：到F的横坐标为3﹣（m+2）＝﹣m+1，
∴＝﹣m+1，
解得m＝1，
∴E（3，﹣4），F（0，﹣），
这说明E不在x轴上方，而在x轴下方；
②若BG为对角线，
设BG的中点为M，
由中点坐标公式得，，
∴M的坐标为（，），
∵矩形对角线BG、EF互相平分，
∴M也是EF的中点，
∴E的横坐标为，
∴E的坐标为（，），
∵∠BEG＝90°，
∴EM＝，
∴＝，
整理得：16+（m2+4m+1）2＝20（m+2）2，
变形得：16+[（m+2）2﹣3]2＝20（m+2）2，
换元，令t＝（m+2）2，
得：t2﹣26t+25＝0，
解得：t＝1或25，
∴（m+2）2＝1或25，
∵m＞0，
∴m＝3，
即E的坐标为（0，），
F的坐标为（1，﹣4），
综上，即E的坐标为（0，），F的坐标为（1，﹣4）或E（3，﹣4），F（0，﹣）．