2022-2023学年四川省成都市金牛区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年四川省成都市金牛区八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本题共8小题，共32分）

1.  下列给出的四组数中，能构成直角三角形三边的一组是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

2.  的算术平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  点关于轴的对称点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列命题正确的个数有(    )
实数与数轴上的点一一对应；
无限不循环的小数是无理数；
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；
两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5.  如果是关于和的二元一次方程的解，那么的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，并且顶点、分别落在直线、上，若直线，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  甲、乙、丙三个人进行排球垫球测试，他们的平均成绩相同，方差分别是：，，，成绩最稳定的是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 三个都一样

8.  一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(    )

A.
B.
C. 随的增大而减小
D. 函数的图象不经过第三象限
二、填空题（本题共10小题，共40分）

9.  已知，则        ．

10.  比较大小：       

11.  关于，的二元一次方程组的解为，则直线：与直线：的交点坐标为        ．

12.  如图是“赵爽弦图”，，，和是四个全等的直角三角形，四边形和四边形都是正方形，如果，，则四边形的面积为        ．

13.  如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使，分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点若，，则的面积为        ．

14.  如图，正方形边长为，，则数轴上点对应的数是        ．

15.  已知关于、的方程组的解满足，则        ．

16.  定义：我们把直线与直线的交点称为直线的“不动点”例如求直线的“不动点”：联立方程，解得，则的“不动点”为若直线的“不动点”为，则、的值分别为        ．

17.  如图，在中，是中线，作点关于对称的点，连接、、，若，，则点到的距离        ．

18.  如图，在中，，，以为边向上作等边，连接，当        时，最大，最大值为        ．

三、解答题（本题共8小题，共78分）

19.  计算：

解方程组：．

20.  如图，点在线段上，点，在线段上，，．
求证：；
若于点，平分，，求的度数．

21.  为了解学生每天回家完成作业时间情况，某中学对学生每天回家完成作业时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，根据图示，请回答下列问题：
被抽样调查的学生有______ 人，并补全条形统计图；
每天回家完成作业时间的中位数是______ 小时，众数是______ 小时；
该校共有名学生，请估计该校每天回家完成作业时间超过小时的学生有多少人？
 

22.  如图，在平面直角坐标系内，已知点的坐标为，点的坐标为，点为直线上任意一点不与、重合，点是点关于轴的对称点．
在方格纸中标出、，并求出的面积；
设点的纵坐标为，求点的坐标；
设和的面积相等，且点在点的上方，求出此时点坐标．

23.  如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点．
求直线的解析式；
若直线：与轴、轴、直线分别交于点、、，求面积；
如图，在的条件下，点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，交轴于点当为直角三角形时，求点的坐标．
 

24.  某商店销售台型和台型电脑的利润为元，销售台型和台型电脑的利润为元．
求每台型电脑和型电脑的销售利润各多少元？
该商店计划一次购进两种型号的电脑共台，设购进型电脑台，这台电脑的销售总利润为元求关于的函数关系式．

25.  如图，在直角坐标系中，已知直线：，直线：直线与轴交于点．
直接写出点的坐标为        ．
若点在直线上，点在直线上，且轴，，求点的坐标．
若点在轴上，当的面积等于的面积的三分之一时，求的度数．

26.  中，，，点为边上一点．
如图，若，，
求证：；
若，求的值．
如图，点为线段上一点，且，，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
的算术平方根是．
故选C．
根据求算术平方根的方法可以求得的算术平方根．
本题考查算术平方根，解题的关键是明确求算术平方根的方法．
 

3.【答案】 

【解析】解：点关于轴的对称点的坐标是．
故选：．
根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
 

4.【答案】 

【解析】解：实数与数轴上的点一一对应，正确，符合题意；
无限不循环的小数是无理数，正确，符合题意；
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，正确，符合题意；
两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题错误，不符合题意．
正确的有个，
故选：．
利用实数的性质、无理数的定义、三角形的外角的性质及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及性质，难度较小．
 

5.【答案】 

【解析】解：把代入方程得：
，
解得：，
故选：．
把代入方程得出，再求出即可．
本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：过点作直线，交于点，如图所示．
直线，直线，
直线，
，，
，
．
故选：．
过点作直线，交于点，利用“两直线平行，内错角相等”，可得出，，结合，即可求出的度数．
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，，
，
成绩最稳定的是乙，
故选：．
根据方差的意义，方差越小数据越稳定即可求解．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

8.【答案】 

【解析】解：将，代入得：，
解得：，
选项A符合题意，选项B不符合题意；
C.观察函数图象，可知随的增大而增大，选项C不符合题意；
D.观察函数图象，可知函数的图象不经过第二象限，选项D不符合题意．
故选：．
利用待定系数法，可求出，的值；
C.观察函数图象，可得出随的增大而增大；
D.观察函数图象，可得出函数的图象不经过第二象限．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象，逐一分析各选项的正误是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意得，，，
解得，，
则，
故答案为：．
根据非负数的性质分别求出、的值，代入计算即可．
本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为时，则其中的每一项都必须等于是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故答案为：．
先估算出的值的范围，从而估算出的值的范围，即可解答．
本题考查了实数大小比较，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：关于，的二元一次方程组的解为，
直线：与直线：的交点坐标为．
故答案为：．
函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，据此即可求解．
本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
 

12.【答案】 

【解析】解：、、和是四个全等的直角三角形，
，，
在中，
，
，
四边形是正方形，
四边形的面积为，
故答案为：．
由全等三角形的性质和勾股定理求得，，再由正方形的性质即可得出答案．
本题考查了勾股定理的证明、全等三角形的性质、正方形的性质等知识；熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：过点作于点，
由题意得，为的平分线，
，
，
，
≌，
，
，
由勾股定理得，，
设，则，
由勾股定理得，，
解得，
的面积为．
故答案为：．
过点作于点，由题意得，为的平分线，即可得，≌，则，，，设，则，由勾股定理得，，求出的值，结合三角形的面积公式计算即可．
本题考查作图基本作图、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的作图方法及性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解答本题的关键．
 

14.【答案】解：原式
．
，
得：，
，
，
将代入式中，．
故二元一次方程组的解为． 

【解析】根据零指数幂的意义、负整数指数幂的意义以及二次根式的乘法运算法则即可求出答案．
根据二元一次方程组的解法即可求出答案．
本题考查实数的运算以及二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用零指数幂的意义、负整数指数幂的意义、二次根式的乘法运算法则以及二元一次方程组的解法，本题属于基础题型．
 

15.【答案】证明：，
，
，
，
；
解：，
，
，，
，
平分，
，
，
的度数为． 

【解析】利用平行线的性质可得，再结合已知可得，然后利用平行线的判定，即可解答；
根据垂直定义可得，再利用平行线的性质可得，然后利用角平分线的定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答．
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
 

16.【答案】     

【解析】解：人，
完成时间在“小时以上”的所占的百分比为，
完成时间在“小时”的所占的百分比为，
完成时间在“小时”的人数为人，补全条形统计图如图所示：

这名学生完成作业时间出现次数最多的是“小时”，共出现次，因此众数是小时，
将这名学生完成作业时间从小到大排列后处在中间位置的两个数都是小时，因此中位数是小时，
故答案为：，；
人，
答：该校名学生中每天回家完成作业时间超过小时的有人．
由两个统计图可知，完成作业在“小时”的有人，中调查人数的，可求出调查人数；求出完成作业时间在“小时”的人数即可补全条形统计图；
根据中位数、众数的意义求解即可；
求出完成作业时间超过小时的学生中总人数的百分比，即可求出相应的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中的数量和数量关系是解决问题的关键．
 

17.【答案】解：的面积；
是点关于轴的对称点，
的坐标是；
和的面积相等，且点在点的上方，
，
点在点的上方，
，
，
的坐标是 

【解析】由三角形的面积公式，即可计算；
关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，由此即可得到答案；
由和的面积相等，且点在点的上方，得到，即可求出的坐标．
本题考查关于，轴对称的点的坐标，三角形的面积，关键是掌握关于，轴对称的点的坐标的特点．
 

18.【答案】解：把代入得，，
，
直线：；
直线：，
点的坐标为，
直线：与轴、轴、直线分别交于点、、，
当时，，当时，，解得，
、，
联立与得，解得，
，
，
，
的面积为；
如图，当时，过点作轴于，

由翻折得，
，
，
，，
，
，
，
，
由翻折得，
点的坐标为；
如图，当时，

由翻折得，
，，
，，
，
点的坐标为；
综上，点的坐标为或 

【解析】把代入，求出，即可得得直线：；
求出点、、的坐标，根据三角形的面积公式即可求解；
分两种情况讨论，当时，求出，得，得，得点坐标，进而可得点的坐标；当时，由翻折得，根据勾股定理得，则，即可得点的坐标为
此题为一次函数的综合题，考查了待定系数法，两直线的交点，勾股定理，三角形的面积，直角三角形的性质和判定，翻折的性质等，解题的关键是数形结合以及分类思想的运用．
 

19.【答案】 

【解析】解：由题意得，数轴上点对应的数是，
，
即，
数轴上点对应的数是，
故答案为：．
先确定点对应的数和线段的长，再求解点对应的数．
此题考查了实数与数轴的应用能力，关键是能准确理解并运用数形结合思想进行求解．
 

20.【答案】 

【解析】解：，
，得，
除以，得，
关于、的方程组的解满足，
，
解得：．
故答案为：．
得出，求出，根据方程组的解满足得出，再求出即可．
本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
 

21.【答案】， 

【解析】解：一次函数的“不动点”为，
，
，
“不动点”为，
，
解得；
故答案为：，．
由定义可知一次函数的“不动点”为，再将点代入即可求的值，
本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
 

22.【答案】 

【解析】解：连接，交于点，过点作于点，如图，

点关于对称的为点，
，，
，
为的中线，
，
为的中位线，
，
，
，
在中，，，
由勾股定理得，
，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
即点到的距离为．
故答案为：．
连接，交于点，过点作于点，根据轴对称的性质可得垂直平分，以此可得，进而得到为的中位线，则，根据直角三角形斜边上的中线性质得，根据勾股定理先求出，再求出、，进而得到的长，再根据等面积法得，最后代入计算即可求解．
本题主要考查轴对称的性质、三角形中位线的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理，根据题意正确作出辅助线，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：如图，以点为中心，将按顺时针旋转，使得与重合，得到，连接，

，，，，
，
为等边三角形，
，
为等边三角形，
，
在中，，，
，
当、、三点共线时，，最大，最大值为，
即当时，最大，最大值为，
故答案为：；．
以点为中心，将按顺时针旋转，使得与重合，得到，连接，则为等边三角形，利用三角形三边关系得，则当、、三点共线时，，最大，最大值为．
本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，利用旋转构造等边三角形是解题的关键．
 

24.【答案】解：设每台型电脑的销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元，
由题意可得：，
解得，
答：每台型电脑的销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元；
由题意可得，
，
即关于的函数关系式是． 

【解析】根据商店销售台型和台型电脑的利润为元，销售台型和台型电脑的利润为元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
根据题意和题目中的数据，可以写出关于的函数关系式．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数解析式
 

25.【答案】 

【解析】解：联立，
解得，
点坐标为，
故答案为：；
，
设点的坐标为，
轴，
点的坐标为，
，
，

解得或，
当时，，
当时，，
点的坐标为或；

当时，，
，
的面积，
的面积等于的面积的三分之一，
，
，
作点关于轴的对称点，连接，，过点作轴于点，如图所示：

则有，，，
，
坐标为，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
即，
，
．
解方程组即可得到结论；
根据搞定了得到，设点的坐标为，则点的坐标为，解方程即可得到结论；
当时，得到，根据三角形的面积得到，作点关于轴的对称点，连接，，过点作轴于点，如图所示：于是得到，，，得到坐标为，根据全等三角形的性质得到，，推出是等腰直角三角形，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
本题考查了一次函数综合，涉及求交点坐标，三角形面积，全等三角形的判定和性质，轴对称等，本题综合性较强，难度较大．
 

26.【答案】证明：，
，
又，，
≌，
；
解：，，
，
≌，
，
，
又，
是等腰直角三角形，
，
；
解：，，
，
，，
，
如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，连接，过点作于，

≌，
，，，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
又，，
≌，
，
设，则，，
，
，
，
，
． 

【解析】由“”可证≌，可得；
通过证明是等腰直角三角形，可得，即可求解；
由旋转的性质可得，，，，由“”可证≌，可得，由勾股定理可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．