安徽省十校联盟2023届高三下学期开学考试数学试题

安徽省十校联盟2023届高三开学考试

数学试题

2023.02 

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知集合，，则（    ）．

A． B． C． D．

2．疫情期间，部分小区实行封控管理，志愿者的服务态度成为了影响居民生活质量的重要因素之一，因此对志愿者的管理也成为疫情期间必不可少的环节之一．为了解志愿者服务的相关情况，调研人员现要求A小区居民对志愿者的服务态度进行打分，所得分数统计如下图所示，据此可以估计，A小区志愿者服务态度的平均分为（    ）．

A．85 B．82.5 C．80 D．75

3．已知向量，，，若，则实数（    ）．

A．1或 B．或4 C．0或8 D．0或

4．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）．

A． B． C． D．

5．已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（    ）．

A． B． C． D．

6．若直线是曲线在某点处的切线，则实数（    ）．

A． B．1 C．2 D．3

7．已知是定义在R上的函数，且为奇函数．若函数与函数图象有5个交点，其横坐标从左到右依次为，，，，，则（    ）．

A．0 B．5 C．6 D．10

8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P是E右支上一点，，O是坐标原点，，则E的离心率为（    ）．

A．  B．

C．  D．

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9．若复数，，则下列说法正确的是（    ）．

A．

B．在复平面内，复数所对应的点位于第四象限

C．的实部为13

D．的虚部为

10．若经过点的直线与抛物线恒有公共点，则C的准线可能是（    ）．

A． B． C． D．

11．已知函数，则下列说法正确的是（    ）．

A．函数的最小正周期为

B．为函数图象的一条对称轴

C．函数在上单调递减

D．函数在上有3个零点

12．已知正方体的棱长为2，过棱，的中点E，F作正方体的截面，下列说法正确的是（    ）．

A．该正方体外接球的表面积是

B．若截面是正六边形，则直线与截面垂直

C．若截面是正六边形，则直线与截面所成角的正弦值为

D．若截面过点，则截面周长为

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知直线与圆相切，则实数__________．

14．若的展开式中的系数为9，则实数__________．

15．数字中暗藏着一些潜在的规律，古希腊毕达哥拉斯学派通过石子的排列发现了三角形数、正方形数等；有时将数字进行拆分后也能够发现新的规律，现将一组数据拆分如下：

，

，，

，，，

，，，，

……

观察可知，这组数据中的第8个数为，则是该组数据的第__________个数．

16．若不等式对恒成立，则正数的取值范围为__________．

四、解答题（本题共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分10分）

在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求C；

（2）若，求．

18．（本小题满分12分）

已知数列的前n项和为，，且．

（1）求证：数列为等差数列；

（2）若，求数列的前n项和．

19．（本小题满分12分）

某大型国有企业计划在某双一流大学进行招聘面试，面试共分两轮，且第一轮通过后才能进入第二轮面试，两轮均通过方可录用．甲、乙、丙、丁4名同学参加面试，已知这4人面试第一轮通过的概率分别为，，，，面试笫二轮通过的概率分别为，，，，且4人的面试结果相互独立．

（1）求甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被录用的概率；

（2）记甲、乙、丙、丁4人中最终被录用的人数为X，求X的分布列和数学期望．

20．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，，，为正三角形，，，O为的中点．

（1）求证；平面；

（2）求二面角的余弦值．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆的右焦点为F，P，Q分别为右顶点和上顶点，O为坐标原点，（e为椭圆的离心率），的面积为．

（1）求E的方程；．

（2）设四边形是椭圆E的内接四边形，直线与的倾斜角互补，且交于点，求证：直线与交于定点．

22．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）若a，b为两个不相等的实数，且满足，求证：．

数学参考答案

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．B

由题意得，，，∴．故选B．

2．C

由题意得，所求平均分为．故选C．

3．D

由题意得，，

∴，解得或．故选D．

4．A

由题意得，，，

∴．故选A．

5．D

记圆锥的底面半径为r，则，解得，

∴圆锥的高，

∴该圆锥的体积为．故选D．

6．C

设切点为，由，得，

则①，

又，联立①可得，．故选C．

7．B

∵为奇函数，∴，

∴的图象关于点对称，

对于函数，有，

∴函数为奇函数，其图象关于原点对称，

∴函数的图象关于点对称，

∴，，，∴．故选B．

8．A

∵，，∽，

∴，∴．

在中，由余弦定理得，

即，解得，

又，∴，

解得，即E的离心率为．故选A．

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，）

9．ABC

由题意得，，故A正确；

在复平面内，复数所对应的点为，位于第四象限，故B正确；

∵，

∴的实部为13，虚部为11，故C正确，D错误．故选ABC．

10．BD

由题意得，点在抛物线上或其内部，则，解得，

∴其准线为，故选BD．

11．BC

由题意得，

，

∴的最小正周期，故A错误；

，故B正确；

∵，∴，∴函数在上单调递减，故C正确；

作出两数在上的大致图象如图所示，观察可知，有2个零点，故D错误．

故选BC．

12．BD

对于A，外接球的半径为，故外接球的表面积为，故A错误；

对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，

设的中点为G，则，，，，，

∴，，，

∴，，

则，，即，，

又，，正六边形截面，

∴正六边形截面，故B正确；

对于C，如图1，易得，为正六边形截面的一个法向量，

设直线与截面所成的角为，

则，故C错误；

对于D，如图2，延长，与的延长线交于点K，与的延长线交于点L，连接交于点M，连接交于点N，则截面为平面．

因此有，M为的三等分点，N为的三等分点，

于是．

∵，，，

故截面的周长为，故D正确．

故选BD．

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．

由题意得，圆心坐标为，半径为，则，解得．

14．1

展开式的通项公式为，

令或，则展开式中的系数为，解得．

15．4953

由题意得，前99行共有个数，

故是该组数据的第4953个数．

16．

不等式可化为对恒成立，

∴有，

令，则原不等式可化为，

易得函数在上单调递增，∴，即，

令，则，

由，得；由，得，

∴函数在上单调递增，在上单调递减，

∴，∴．

四、解答题（本题共6小题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分10分）

（1）由，

得，（2分）

则，即．（4分）

∵，∴，

又，∴．（5分）

（2）在中，，

由余弦定理得，（6分）

∵，∴，（8分）

∴．（10分）

18．（本小题满分12分）

（1）证明：∵，

∴，

∴，（3分）

∴，即，（5分）

又，∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列．（6分）

（2）由（1）知，则，∴，（8分）

则，

∴，

两式相减，可得

，（11分）

故．（12分）

19．（本小题满分12分）

（1）由题意得，甲被录用的概率为，

乙被录用的概率为，

丙被录用的概率为，

丁被录用的概率为．（2分）

设甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被录用为事件M，

则．（4分）

（2）由题意得，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，

∴，

，

，

，

，

∴X的分布列为

∴．（12分）

20．（本小题满分12分）

（1）取的中点E，连接，，则，．

∵，，∴且，

∴四边形为平行四边形，∴．

∵，∴，∴，

∵，∴，

又，∴平面．（5分）

（2）连接，∵为正三角形，∴，

∵平面，平面，∴平面平面，

又平面平面，∴平面．

又，∴，，两两垂直，

以O为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，

∴，，，，

∴，，．

设平面的法向量为，

则，

令，得．（9分）

设平面的法向量为，

则，

令，得，（10分）

则，（11分）

由图可知，二面角为锐二面角，

∴二面角的余弦值为．（12分）

21．（本小题满分12分）

（1）∵，∴，∴，

又，，∴，，（4分）

∴椭圆E的方程为．（5分）

（2）∵直线与的倾斜角互补，且交于点，

∴直线与关于x轴对称，∴A与D，B与C分别关于x轴对称．

设，，则，，

∴直线的方程为，

直线的方程为，

联立解得，，

∴直线与交于点．（8分）

设直线的方程为，

与椭圆E的方程联立得，

由题意得，，解得，

又，，（10分）

∴，

∴直线与交于定点．（12分）

22．（本小题满分12分）

（1）由题意知的定义城为R，，（1分）

∴当时，；当时，，（3分）

∴的单调递增区间是，单调递减区间是．（4分）

（2）将两边同时除以，

得，即，

∴．（6分）

由（1）知在上单调递增，在上单调递减，

又，，当时，．

设，则，（7分）

令，

则，

由，得，∴，∴，

∴在上单调递增．（9分）

又，∴，

当时，，

即，即，
又，∴．（11分）

又，，在上单调递减，

∴，即．（12分）

以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分．