江苏省泰州市兴化市第一中学2022-2023学年高二数学下学期期初考试试题（Word版附解析）

兴化市第一中学2023春学期期初考试卷高二年级 数学学科

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知两条平行直线,则与的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先将直线进行化简,再利用平行线间的距离公式即可得出结果.

【详解】解:由题知,

即,

由,

根据平行线间的距离公式可得:

.

故选:B

2. 已知为等差数列，，，则=（    ）

A. 5 B. 10 C. 13 D. 15

【答案】D

【解析】

【分析】根据等差数列性质即可求解.

【详解】由等差中项得，所以，故，

所以，

故选：D

3. 抛物线的焦点坐标是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】将抛物线方程化为标准方程，由此可得抛物线的焦点坐标．

【详解】将抛物线的化为标准方程为，，开口向上，焦点在轴的正半轴上，

所以焦点坐标为．

故选：C．

4. 已知定义在上的函数的图象如图，则不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数图象得到单调性，从而确定不等式的解集.

【详解】由图象可知：在，上单调递增，在上单调递减，

故等式的解集为.

故选：B

5. 双曲线与椭圆焦点相同且离心率是椭圆离心率的倍，则双曲线的标准方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据椭圆的方程求出焦点坐标与离心率，设双曲线的标准方程为，可得，求解即可.

【详解】椭圆的焦点坐标为,离心率为.

设双曲线的标准方程为，

由题意可得，解得.

所以双曲线的标准方程为.

故选:C.

6. 设函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由函数单调递增，可得在上恒成立，孤立参数，再设，确定的单调性求最值，即可得实数的取值范围.

【详解】解：函数在上单调递减，则在上恒成立，

所以，在上恒成立，设函数，则，

所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以，所以，

则实数的取值范围是.

故选：D.

7. 在等比数列中，是函数的极值点，则a5＝（    ）

A. 或 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意可知：是方程的两根，利用韦达定理和等比数列的性质即可求解.

【详解】因为，所以.

又因为是函数的极值点，

即是方程的两根，则有，

由为等比数列可知：，因为，且，所以，则有，所以，

故选：.

8. 已知数列满足，且前项和为，若，，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用递推关系可得，即数列是等差数列，结合条件得，再利用等差数列求和公式即得.

【详解】∵，

当时，，

又①，∴②，

由①－②，得，即，

∴数列是等差数列.

由，设为公差，则

，解得，

则.

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分.部分选对的特2分，有选错的得0分.

9. 若函数导函数的部分图像如图所示，则（    ）

A. 是的一个极大值点

B. 是的一个极小值点

C. 是的一个极大值点

D. 是的一个极小值点

【答案】AB

【解析】

【分析】根据导函数值正负，与原函数单调性之间的关系，进行逐一判断.

【详解】对于A选项，由图可知，在左右两侧，函数左增右减，是的一个极大值点，A正确.

对于B选项，由图可知，在左右两侧，函数左减右增，是的一个极小值点，B正确.

对于C选项，由图可知，在左右两侧，函数单调递增，不是的一个极值点，C错误.

对于D选项，由图可知，在左右两侧，函数左增右减，是的一个极大值点，D错误.

故选：AB

10. 已知无穷等差数列的前项和为，且，则（    ）

A. 在数列中，最大； B. 在数列中，最大

C.  D. 当时，

【答案】AD

【解析】

【分析】由题得，即可解决.

【详解】由题知，无穷等差数列的前项和为，且，

所以，

所以等差数列为递减数列，

所以在数列中，最大；当时，；

故选：AD

11. 已知圆M：与圆N：的交点为A，B，则（    ）

A. 直线AB的方程为

B. 线段AB的中垂线方程为

C. 在过A，B的所有圆中，圆 M的半径最小

D. 线段AB的长度为

【答案】AC

【解析】

【分析】求得直线AB的方程判断选项A；求得线段AB的中垂线方程判断选项B；求得以线段AB为直径的圆判断选项C；求得线段AB的长度判断选项D.

【详解】圆M方程为：，圆心M，半径

圆N的方程为：圆心N，半径

∵两圆相交于A，B，联立上述两方程得，

圆心在直线上，则直线与圆M相交

则直线AB的方程为：，选项A判断正确；

∵线段AB的中垂线过N点，又，与直线AB垂直的直线斜率为1

∴AB的中垂线方程为，即，则选项B判断错误；

∵满足，∴M在公共弦AB上，

∴AB的长为圆M的直径，即，∴选项D不对，选项C对.

故选：AC.

12. 已知数列的前项和，数列是首项和公比均为2的等比数列，将数列和中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列，则下列结论正确的是（    ）

A.  B. 数列中与之间共有项

C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】根据题意可得：数列是以为首项，为公差的等差数列，则，，然后根据数列的性质逐项判断即可求解.

【详解】由题意可知：数列的前项和，当时，；

当时，；经检验，当时也满足，所以；

又因为数列是首项和公比均为2的等比数列，所以.

则数列为：，

所以，故选项正确；

数列是由连续奇数组成的数列，都是偶数，所以与之间包含的奇数个数为，故选项正确；

因为，则为偶数，但为奇数，所以，故选项错误；

因为，前面相邻的一个奇数为，令，解得：，

所以数列从1到共有，也即，故选项错误，

故选：

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 在由正数组成的等比数列中，则=___________.

【答案】8

【解析】

【分析】根据等比数列的通项公式求解.

【详解】设公比为，

因为，所以，

所以，

所以，

则，

故答案为:8.

14. 已知双曲线过点，且与双曲线有共同的渐近线，则双曲线的方程为______.

【答案】

【解析】

【分析】由题意设双曲线方程为，，再由双曲线过点求解.

【详解】解：因为与双曲线有共同的渐近线，

所以设双曲线方程为：，，

又因为双曲线过点，

所以将代入上式中得，

∴所求双曲线的方程为：，

故答案为：

15. 已知是函数的极小值点，则_____．

【答案】

【解析】

【分析】求导，根据是函数极小值点，由求解，并检验即可.

【详解】解：因为函数，

所以，

因为是函数的极小值点，

所以，即，解得或，

当时，，

当或时，，当时，，

所以，在区间上单调递增，在上单调递减，

所以当时，函数取得极大值，不符合题意；

当时，，

当或时，，当时，，

所以，在区间上单调递增，在上单调递减，

所以，当时，函数取得极小值，符合题意；

所以，

故答案为：

16. “牛顿迭代法”是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法.如图，设是的根，选取作为初始近似值，过点作的切线与轴的交点横坐标为，称是的一次近似值；过点作的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值；重复以上过程，得到的近似值序列为“牛顿数列”，即.已知函数，数列为“牛顿数列”，设，且.数列的前项和__________.

【答案】##

【解析】

【分析】求出代入计算，再计算得，左右两边同时取对数得到，即是等比数列，进而求得的前n项和.

【详解】∵，

∴，

∴，

∴

又∵

∴

又∵，

∴，又∵，

∴是首项为1，公比为2的等比数列，

∴的前n项和，

故答案为：.

四、解析题：本题共6小题，共70分.解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知圆C经过坐标原点O和点（4，0），且圆心在x轴上

（1）求圆C的方程；

（2）已知直线l：与圆C相交于A、B两点，求所得弦长的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而利用垂径定理求出弦长.

【小问1详解】

由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为；

【小问2详解】

由（1）可知：圆C半径为，设圆心（2，0）到l的距离为d，则，由垂径定理得：．

18. 已知数列满足，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)根据等比数列的定义求解通项公式；(2)利用裂项相消法求和即可.

【小问1详解】

因为数列满足，所以，

所以数列是等比数列，首项为，设公比为，

由，可得：，解得.

.

【小问2详解】

，

，

，

，

.

19. 已知函数在处取得极大值1.

（1）求函数的图象在处的切线方程；

（2）求过点与曲线相切的直线方程.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意结合导数与极值的关系求，再根据导数的几何意义求切线方程；（2）先设切点坐标，根据导数的几何意义求切线方程，根据题意列式求解，进而可得结果.

【小问1详解】

，则，

由题意可得，解得，

即，，

令，解得或，

故在上单调递增，在上单调递减，则在处取得极大值1，

即符合题意.

∵，则切点坐标为，切线斜率，

∴函数的图象在处的切线方程为，即.

【小问2详解】

由（1）可得：，，

设切点坐标为，切线斜率，

则切线方程为，

∵切线过点，则，整理得，即，

∴切线方程为，即.

20. 已知数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)根据与的关系可得，从而确定数列为等比数列，即可求通项公式；

 (2)根据错位相减法求和.

【小问1详解】

由得即，

所以，

因为，所以，

即，所以，

所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，

所以.

【小问2详解】

由（1）得，

前项和，

，

两式相减得，

即，

所以.

21. 已知函数．

（1）若函数在区间上不单调，求的取值范围；

（2）令，当时，求在区间上的最大值．

【答案】（1）   

（2）答案不唯一，具体见解析

【解析】

【分析】（1）利用导函数讨论单调性，求的范围即可；

（2）利用导函数求解在上的单调性，按照的不同取值分类讨论，即可求得最大值.

【小问1详解】

函数的定义域为

令，其对称轴为，

因为函数在区间上不单调，

所以即，

解得，所以的取值范围为．

【小问2详解】

，

函数的定义域为

①时，令得或，

令得，

所以函数在上单调递减，

所以

②时，由①知在上单调递增，在上单调递减，

所以

③时，，

所以在上单调递增，

所以

④时，令得或，

令得，

所以函数在上单调递增，

所以

综上：时，

时，

时，

22. 已知，，点满足，记点的轨迹为曲线.斜率为的直线过点，且与曲线相交于，两点.

（1）求斜率的取值范围；

（2）在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立？如果存在，求点的坐标；如果不存在，请说明理由.

【答案】（1）   

（2）存在，

【解析】

【分析】（1）由题意可得点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，从而可得曲线的方程，则可求得其渐近线方程，从而可求出斜率的取值范围；

（2）将直线的方程代入双曲线方程化简利用根与系数的关系，设，由，得，即，化简结合前面的式子可求出的值，从而可得答案.

【小问1详解】

依题意，所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支.

则，，，，

所以曲线的方程为.

曲线的方程为对应的渐近线方程为，

根据渐近线的性质可知，要使直线与曲线有2个交点，

则取值范围是

【小问2详解】

由题意得直线为，

由消去并化简得，

其中，.

设，，

则，，

设，因为，即，

则，，

，，

，

所以，

所以，，

，，，

所以存在，使成立