江苏省泰州市民兴实验中学2021-2022学年高二数学上学期第一次月考试题（Word版附解析）

2021-2022学年江苏省泰州市民兴实验中学高二年级

第一次月考（数学）

一、单选题

1. 已知直线l的斜率为k，倾斜角为，若，则k的取值范围为（　　）

A． （—1，1）             B．

C． [—1，1]                 D．

2. 无论k为何值，直线都过一个定点，则定点坐标为（　　）

A． （1，3） B． （—1，3） C． （3，1） D． （3，—1）

3. 如果圆总存在两个点到原点的距离均为，则实数a的取值范围是（　　）

A．       B.      C． [—1，1]      D.

4. 如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点M，N。若过点的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（　　）

A．        B．         C．      D．

5. 在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上的两个动点，有一定点M（3，4），则的最小值是（　　）

A． 10     B． 11       C． 12         D． 13

6. 若直线与曲线有公共点，则实数b的取值范围为（　　）

A． [-2，2]          B.          C． （0，2]        D． [—2，2]

7. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个命题：平面内与两定点的距离的比为常数k（）的点的轨迹为圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知O（0，0），A（3，0），圆C：上有且只有一个点P满足|。则r的取值可以是（　　）

A． 1       B．2          C． 3           D．4

8. 已知点1，是椭圆的两个焦点，点M是该椭圆上的一个点，且，则△MF1F2的面积为（　　）

A． 16        B． 16       C． 8       D． 8

二、多选题

9. 若圆与圆的公共弦长为，则实数a的值可能为。（　　）

A． ±2          B． ±         C． ±1         D． ±

10.若椭圆的焦距为2，则实数m的值可为（　　）

A． 1         B． 4       C．6          D． 7

11. 椭圆的左、右焦点分别为，F2，O为坐标原点，则以下说法正确的是（　　）

A． 过点的直线与椭圆C交于A，B两点，则的周长为8

B． 椭圆C上存在点P，使得

C．椭圆C的离心率为

D． P为椭圆C上一点，Q为圆上一点，则点P、Q的最大距离为3

12.（多选）已知圆，直线l：，下面四个命题中是真命题的是（　　）

A． 对任意实数k与θ，直线l和圆M相切：

B． 对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点；

C． 对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切

D． 对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与和圆M相切

三、填空题

13. 已知、是椭圆的左、右焦点，点P在C上，则的周长为___________。

14. 已知图，过点P（0，1）的直线l交圆C于不同的两点，当圆上的点到直线l的距离的最大值为6时，直线l的方程为___________。

15. 若直线与直线交于点P，则P到坐标原点距离的最大值为___________。

16. 已知两定点A（—1，0），B（1，0），点P（x，y）是直线上的一个动点，则以A，B为焦点且过点P的椭圆的离心率的最大值为___________。

四、解答题

17. 在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（—3，0），B（2，0），C（0，-4），经过这三个点的圆记为M。

（1）求BC边上的中线AD所在直线的一般式方程；

（2）求圆M的方程。

18.求满足下列条件的椭圆的标准方程。

（1）过点Q（2，1），且与椭圆有公共的焦点；

（2）中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P），Q（0， ）。

19. 已知图和圆

（1）试判断两圆的位置关系，若相交，求出公共弦所在的直线方程；

（2）若直线l过点（1，0）且与圆相切，求直线l的方程

20.如图所示，已知椭圆C的两焦点分别为F1（—1，0），（1，0），P为椭圆上一点，且。

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若点P在第二象限，，求的面积。

21.某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东40海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线像一个椭圆，其焦点恰好是A、B两岛。曾有渔船在距A岛正西20海里发现过鱼群。某日，研究人员在A、B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），A、B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5：3。你能否确定鱼群此时分别与A、B两岛的距离？

22.已知平面直角坐标系上一动点P（x，y）到点A（—2，0）的距离是点P到点B（1，0）的距离的2倍。

（1）求点P的轨迹方程：

（II）若点P与点Q关于点（—1，4）对称，求P、Q两点间距离的最大值；

（III）若过点A的直线l与点P的轨迹C相交于E、F两点，M（2，0），则是否存在直线1，使S△EFM取得最大值，若存在，求出此时l的方程，若不存在，请说明理由。

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：当°时。，当°时，，∴k的取值范围是。

故选B

2.【答案】D

【解析】解：直线方程可化为，由直线系方程知，此直线系过两直线的交点，由，解得，所以交点为（3，—1）。

故选D

3.【答案】A

【解析】解：到原点的距离为的点的轨迹为圆，

因此圆上总存在两个点到原点的距离均为，

转化为圆与圆有两个交点，

∵两圆的圆心和半径分别为（0，0），，C（a，a），，

∴，

∴

解得实数a的取值范围是。

故选A。

4.【答案】A

【解析】解：由题意

∴，

∴椭圆的离心率。

故选A。

5.【答案】A

【解析】解：如图，点M（3，4）关于y轴的对称点为P（-3，4），关于x轴的对称点为Q（3，-4），

则。当A与B重合于坐标原点O时，

；

当A与B不重合时，，

综上可知，当A与B重合于坐标原点O时，取得最小值10。

故选A。

6.【答案】A

【解析】解，曲线表示以（0，0）为圆心，半径为2的圆的上半部分（包括端点），如下图所示。

由图形知，当直线经过点（2，0）时，直线与曲线有一个公共点，此时有，

当直线与圆相切时，可得，解得或，结合图形可得实数b的取值范围是[—2，2]。

故选A。

7.【答案】A

【解析】解：设P（x，y），由，得，

整理得，又圆上有且仅有一点P满足，

所以两圆相切，圆的圆心坐标为（—1，0），半径为2，圆C：的圆心坐标为（2，0），半径为r，两圆的圆心距为3，当两圆外切时，，得，当两圆内切时，，得。

故选A。

8.【答案】C

【解析】解：因为点，F2是椭圆的两个焦点，点M是该椭圆上的一个点，所以（O是坐标原点）

而，因此，即

又因为，所以，因此|

所以，因此，所以。

又因为由椭圆定义得：，所以

，因此，所以

故选C。

9.【答案】CD

【解析】

解：解：由圆和圆，

两式相减，可得公共弦所在直线的方程为，

因为两圆的公共弦长为，且圆的圆心为（1，—1），半径为2，

设圆心（1，—1）到直线的距离为的距离d，可得，又由圆心（1，—1）到直线的距离

即，解得或±。

故选：CD。

10.【答案】BC

【解析】解：若焦点在x轴上，则，故；

若焦点在y轴上，则，故。

故选BC。

11.【答案】ABD

【解析】解：选项A：因为，分别为椭圆的左右焦点，

过点的直线与椭圆C交于A，B两点，

由椭圆定义可得：，

因此的周长为，故A正确；

选项B：设点P（x，y）为椭圆上任意一点，

则点P坐标满足，且，

又（—，0），（，0），

所以

因此，

由，可得：，故B正确：

选项C：因为，所以，即，所以离心率为故C错误：

选项D：设点P（x，y）为椭圆上任意一点，由题意可得：点P（x，y）到圆的圆心的距离为：，

因为，所以，故D正确。

故答案选：ABD

12.【答案】BD

【解析】解：∵圆心到直线l的距离为

∴

∴1恒成立，但等号不一定恒成立，

∴B项对，A项不一定对；

若当时，，

∴当时，k不存在：

当k给定时，θ存在；

∴D项对，C项不对。

故答案选：BD

13.【答案】10

【解析】解：由题意知：椭圆中，

由椭圆的定义可得，，

∴周长为|

故答案为：10。

14.【答案】

【解析】解：圆，圆心C（0，—1），半径为4，

由点P（0，1）可得，所以点P（0，1）在圆的内部，

设圆的圆心到直线的距离为d，则圆上的点到直线的距离的最大值为

所以，可得，当直线l的斜率存在时，直线方程，即，

_

所以，解得，所以直线方程为，当直线的斜率不存在时，直线1为，不满足题意，所以直线方程为。

故答案为

15.【答案】

【解析】解：直线化为，过定点A（1，2），

直线化为，过定点B（3，2）：

且满足，∴两条直线互相垂直，则其交点P在以AB为直径的圆上，圆心为C（2，2），如图所示：

，

结合图形知，OP长度的最大值为。

故答案为：

16.【答案】

【解析】解：因为点A（—1，0），B（1，0），所以以A，B为焦点的椭圆的焦距，即

又因为以A，B为焦点且过点P的椭圆的长轴长，所以当最小时，a最小，此时椭圆的离心率最大。设B（1，0）关于直线的对称点为B0（x0，y0），

则，解得，即B0（， ）

连接，交直线于因为点P（x，y）是直线上的一个动点，所以

即|PA|+|PB|的最小值为，

因此当P与重合时，a取得最小值，最小值为，

所以椭圆的离心率的最大值为'

故答案为.

17.【答案】解：（1）在平面直角坐标系中，B（2，0），C（0，—4），设BC的中点D（x，y）,所以，则D（1，—2）所以直线AD的斜率，则直线AD的方程为：整理成一般式为：。

（2）已知△ABC三个顶点坐标分别为A（—3，0），B（2，0），C（0，—4），经过这三个点的圆记为M，设圆的方程为：

则，解得

所以圆M的方程为：

18.【答案】解：（1）方法一，设所求椭圆的标准方程为，

由，得，即，①

又点Q（2，1）在所求椭圆上，∴，②

由①②得，

即所求椭圆的标准方程是；

方法二，设所求椭圆的方程为

∵点Q（2，1）在所求椭圆上，

∴，解得，

∴所求椭圆的标准方程为。

（2）方法一 当椭圆的焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为。

依题意有 ，得

由知，不符合题意，故舍去。

当椭圆的焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为。

依题意有，得

∴所求椭圆的标准方程为

方法二 设椭圆的方程为。

依题意有，解得

∴所求椭圆的方程为，

故椭圆的标准方程为

19.【答案】解：（1）由圆，得圆心（4，2），半径，

由圆，得圆心C2（1，3），半径，

∵，圆心距，

∴，得两圆的位置关系是相交；

圆和圆

∴圆和圆的方程两边对应相减，化简得，

即两圆公共弦所在直线方程为

（2）过点（1，0）斜率不存在的直线为

（4，2）到直线距离为，所以过点（1，0）斜率不存在的直线与圆不相切，

则直线的斜率存在，设切线方程为，即

∵圆心（4，2）到切线l的距离等于半径2，

∴，解得或

∴切线方程为，即，或

所以所求的直线l的方程是，或。

20.【答案】解：（1）设椭圆的标准方程为，焦距为2c，则由已知得

所以，所以，

所以，

所以椭圆的标准方程为

（2）在中，，

由余弦定理，得

即，

所以

所以。

21.【答案】解：以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，设椭圆方程为：且，

因为焦点A的正西方向椭圆上的点为左顶点，所以

又，则，故，所以鱼群的运动轨迹方程是，由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为，因此设此时距A，B两岛的距离分别为5k，3k，由椭圆的定义可知

，得，即鱼群分别距A，B两岛的距离为50海里和30海里。

22.【答案】解：（I）由已知，

化简得，即，所以点P的轨迹方程为：

（II）设Q（m，n），

∵点P与点Q关于点（—1，4）对称，

∴点P坐标为

∵点P在圆上运动，

∴，

即点Q的轨迹方程为

∴；

（III）由题意知l的斜率一定存在，

设直线l的斜率为k，且E（x1，y1），F（x2，y2），

则：

联立方程，得

∴，可得

又∵直线l不经过点M（2，0），则

∵点M（2，0）到直线l的距离，

∴，

∵，

∴

∴当时，取得最大值2，此时，，得