江苏省泰州市兴化市周庄高级中学2023-2024学年高一数学上学期开学考试试题（Word版附解析）

数学试题

（考试时间：120分钟；总分：150分）

一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域）.

1. 若实数满足，则实数对应于图中数轴上的点可以是三点中的点（    ）

A. A B. B C. C D.

【答案】D

【解析】

【分析】直接去绝对值解方程求得值，再对应图中点即可得解.

【详解】因为，所以，故或.

结合图形可知可以是点.

故选：D.

2. 函数，则的值为（    ）.

A.  B.  C. 2 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】由函数的解析式先计算，再计算即可得解．

【详解】因为，

所以，则．

故选：C．

3. 若长方体的长、宽、高分别是，且，，则长方体的全面积是（    ）

A. 50 B. 164 C. 132 D. 98

【答案】C

【解析】

【分析】利用整体法与三元完全平方公式即可得解.

【详解】因为，

又，

所以，

则，

所以长方体的全面积为.

故选：C.

4. 计算图中最大的长方形的面积，通过不同的计算方法，你发现的结论是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用长方形与正方形的面积公式，结合切割法即可得解.

【详解】依题意，由图可知长方形长为，宽为，

从而长方形面积为，

又由图可知长方形是由3个边长为的正方形，5个长为宽为的长方形，2个边长为的正方形组成，

所以长方形的面积为，

从而有.

故选：B.

5. 一次函数与二次函数在同一坐标系中图象大致是(　　)

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分类讨论，和时，由一次函数的单调性与二次函数图象的开口方向，排除一些选项，再由的的正负，确定二次函数对称轴的位置，从而可得最后结果.

【详解】若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向上，故可排除A；若a＜0，同理可排除D.对于选项B，由直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B.故选C.

【点睛】本题巧妙地利用二次函数与一次函数图象经过特殊点，结合排除法解答．在遇到此类问题时，要牢记在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a的正负决定抛物线开口的方向，c确定抛物线在y轴上的截距，b与a确定顶点的横坐标(或对称轴的位置)．

6. 已知抛物线与双曲线的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式的解集是（    ）

A. 或 B.

C. 或 D.

【答案】A

【解析】

【分析】由图分析出与双曲线的交点的横坐标是，再将不等式变形结合图象即可得到范围.

【详解】抛物线关于轴对称的抛物线为虚线所表示的图象，

抛物线与双曲线的交点的横坐标是1，

与双曲线的交点的横坐标是，

不等式，即，则由图知其解集为或，

故选：A.

7. 已知在正方形网格的格点上，则（    ）.

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用勾股定理求得，再利用三角形面积相等求得，从而得解.

【详解】如图，作于点，

由勾股定理，得，

又，则，

所以.

故选：B.

8. 已知函数（其中b是实数）中，y的取值范围是，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为（    ）

A. 16 B. 25 C. 9 D. 8

【答案】A

【解析】

【分析】首先根据值域得，再利用韦达定理代入即可得到方程，解出即可.

【详解】因为y的取值范围是，则，且，解得，

因为不等式的解集为，

则令，即，两根，

则，

即，且判别式，

解得，

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9. 给出下列等式，其中因式分解正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用平方差公式，立方和差公式进行因式分解即可得解.

【详解】对于A，，故A正确；

对于B，，故B错误；

对于C，，故C正确；

对于D，，故D正确.

故选：ACD.

10. 下列说法中正确的是（    ）

A. 不论m为何实数，关于x的方程有两个不相等的实数根

B. 不论m为何实数，关于x的方程有两个相等的实数根

C. 当时，关于x的方程有两个不相等的实数根

D. 当且时，关于x的方程有两个不相等的实数根

【答案】BD

【解析】

【分析】利用一元二次方程根的判别式可直接判断即可.

【详解】对于方程，，

所以不论为何实数，关于的方程有两个相等的实数根，故A错误，B正确；

若关于的方程有两个不相等的实数根，

则，且，

所以，且，所以C错误，D正确.

故选：BD.

11. 已知二次函数，图象过点，对称轴为直线，下列四个结论中正确的有（）

A.  B.

C. 当时，或 D.

【答案】BC

【解析】

【分析】利用二次函数的性质，结合图形逐一判断即可.

【详解】因为的图象开口向下，对称轴为，

又该函数的对称轴为，所以，则，，故D错误；

因为的图象过点，

所以，则，，故A错误，B正确；

由二次函数的对称性得，抛物线与轴的另一交点坐标是，

所以当时，或，故C正确.

故选：BC.

12. 在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为.根据这个法则，下列结论中正确的是（    ）.

A.

B. 若，则

C. 方程的根是，

D. 若m，n是实数，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据新定义运算一一分析即可.

【详解】对A，，故A正确；

对B，，则，

则，故B正确；

对C，，即，

即，解得，故C错误；

对D，，故D正确.

故选：ABD.

二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）.

13. 因式分解______.

【答案】

【解析】

分析】利用添项法，结合完全平方公式与平方差公式即可得解.

【详解】

.

故答案为：.

14. 在中，，于点，若，则_______.

【答案】

【解析】

【分析】利用三角形相似得到，从而得解.

【详解】依题意，作出的图形，如图，

因为，所以，

又，所以，从而有，

又，所以，

则，故，

因为，不妨设，则，

所以，则，

所以在中，.

故答案为：.

15. 已知三角形的三边长为，则其内切圆的半径_______.

【答案】

【解析】

【分析】先利用勾股定理证得，再利用三角形面积相等即可得解.

【详解】依题意，作出图形如下：

其中，圆与三边分别切于，

因为，所以，

所以，

又由圆相切易得，且，

所以

，

从而，则.

故答案为：.

16. 若AD是的中线，E是AC边的靠近C点的三等分点，BE交AD于点F，则AF:FD等于_______.

【答案】

【解析】

【分析】过作，利用三角形相似即可转化得到比值.

【详解】过作交于是的中点，则，

且，所以，

又，故.

故答案：.

三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17. 化简：（1）；        

（2）．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】（1）由于，所以直接开方可得结果；

（2）由于，所以直接开方化简即可

【详解】（1）原式

．

（2）原式=，

∵，

∴，

所以，原式＝．

【点睛】此题考查了二次根式的化简，属于中档题.

18. 解不等式：＞4．

【答案】或

【解析】

【分析】将不等式按，，三种情况去掉绝对值符号解不等式即可.

【详解】由，得；由，得；

①若，不等式可变为，

即＞4，解得x＜0，

又x＜1，

∴x＜0；

②若，不等式可变为，

即1＞4，

∴不存在满足条件的x；

③若，不等式可变为，

即＞4， 解得x＞4．

又x≥3，∴x＞4．

综上所述，原不等式的解为x＜0或x＞4．

则不等式的解集为或

【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法，属于基础题.

19. 已知，求下列各式的值：

（1）；

（2）；

（3）（提示：）；

（4）（提示：）.

【答案】（1）   

（2）   

（3）   

（4）

【解析】

【分析】（1）将等式两边平方，可求出的值；

（2）将等式两边平方，可求出的值；

（3）利用立方差公式将所求代数式化简，代入（1）中的结果计算即可；

（4）利用立方和公式将所求代数式化简，将、、的值代入计算即可.

【小问1详解】

因为，

所以，得，则.

【小问2详解】

由（1）知，

所以，得，则.

【小问3详解】

因为，

所以.

【小问4详解】

因为

，

所以.

20. 已知关于x的方程，根据下列条件，分别求a的取值范围.

（1）使得方程的两个实根都大于0；

（2）使得方程的两个实根一个大于0，另一个小于0；

（3）使得方程的两个实根一个大于3，另一个小于3.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】利用一元二次方程判别式与韦达定理，结合根的大小得到关于的不等式，从而得解.

【小问1详解】

设方程的两个实根分别为，

则有.

因为两根都大于0，

所以，解得，

所以.

小问2详解】

因为两根一个大于0，另一个小于0，

所以，解得，

所以.

【小问3详解】

因为两根一个大于3，另一个小于3，

所以，则，

即，解得，

所以.

21. 阅读材料，解答问题：

我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如的二元二次方程组，实质是将二元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解．其解法如下：

解：由②得：   ③

将③代入①得：

整理得：，解得

将代入得，

原方程组的解为

（1）请你用代入消元法解二元二次方程组：；

（2）若关于的二元二次方程组有两组不同的实数解，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）且

【解析】

【分析】（1）由①得，代入②，解得，再求出值，得方程组的解；

（2）由①得，代入②，由判别式得的范围．

【小问1详解】

由①得，，③
把③代入②得，，
整理得，，
解得，
把代入③得，，
故原方程组的解为；

【小问2详解】

由①得，，③，
把③代入②得，，
整理得，，
原二元二次方程组有两组不同的实数解，则此一元二次方程有两个不相等的实数根，
得，，
解得，
且，
，
综上，且．

22. (1)求函数，的最小值；

(2)求函数，的最大值．

【答案】(1). (2).

【解析】

【分析】（1）分别讨论，以及三种情况，即可求出结果；

（2）分别讨论和两种情况，即可求出结果.

【详解】(1)当，即时，函数在上单调递减，

所以；

当，即时，函数在上单调递增，

所以；

当，即是，函数在上单调递减，在上单调递增，所以；

综上，；

(2)当，即时，由二次函数对称性可知，离对称轴较远，

所以函数的最大值为；

当，即时，由二次函数对称性可知，离对称轴较远，

所以函数的最大值为；

综上，.

【点睛】本题主要考查二次函数的最值，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型.