2023高三讲义-椭圆、双曲线、抛物线选填专题-二轮复习

这是一份2023高三讲义-椭圆、双曲线、抛物线选填专题-二轮复习，共44页。学案主要包含了典型例题，课前诊断，巩固练习——基础篇，巩固练习——提高篇等内容，欢迎下载使用。

\l "_Tc56069357" 1.2双曲线的定义及性质 PAGEREF _Tc56069357 \h 14
\l "_Tc56069358" 1.3抛物线的定义及性质 PAGEREF _Tc56069358 \h 25
1.1椭圆的定义与性质
【课前测】
成绩（满分10）：完成情况：优/中/差
1．过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为
A．B．C．D．
2．点到直线的距离的取值范围为
A． B． C． D．
3．若圆上存在点，直线上存在点
，使得，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
【知识点一：椭圆的定义与标准方程】
椭圆的定义
平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．
若，则的轨迹为线段．
依椭圆的定义，设是椭圆上一点，则有，（为常数且
椭圆的标准方程
①
焦点在轴上，，，且
②
焦点在轴上，，，且
【典型例题】
考点一：椭圆的定义与标准方程
例1．设定点，动点满足条件，则点的轨迹是
（A）椭圆（B）线段
（C）不存在（D）椭圆或线段
例2．已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，，则
（A）2（B）10（C）12（D）14
例3. “”是“方程表示椭圆”的
（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件
（C）充要条件（D）既不是充分条件又不是必要条件
例4．已知表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是
（A）或（B）
（C）（D）或
例5．求焦点的坐标分别为和，且过点的椭圆的方程．
练1．到两定点，的距离之和的绝对值等于6的点的轨迹
（A）椭圆（B）线段（C）双曲线（D）两条射线
练2．在棱长为1的正方体中，点在底面内运动，使得的面积为，则动点的轨迹为
（A）椭圆一部分（B）双曲线一部分
（C）一段圆弧（D）一条直线
练3．“”是“曲线方程表示焦点在轴上的椭圆”的
（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件
（C）充要条件（D）既不是充分条件又不是必要条件
练4. 已知为坐标原点，椭圆上的点到左焦点的距离为，为的中点，则的值等于
（A）（B）（C）（D）
练5．是椭圆上的一点，，分别是椭圆的左右焦点，则的周长是．
练6．已知椭圆上一点，为椭圆的两个焦点，且，求椭圆的方程．
【知识点二：椭圆的性质及离心率】
一、椭圆的简单几何性质：
1．范围：，；
2．对称性：以轴、轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；
3．椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的；
4．长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段．
5．椭圆的离心率：，焦距与长轴长之比，，越趋近于1，椭圆越扁；
反之，越趋近于0，椭圆越趋近于圆
【典型例题】
考点一：椭圆的焦点与轴长
例1．已知椭圆的一个焦点为，则的值为
（A）（B）（C）6（D）8
例2．已知三点、，那么以、为焦点且过点的椭圆的短轴长为
（A）3（B）6（C）9（D）12
例3．若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦点到同侧长轴端点的距离为，求椭圆的方程．
练1．椭圆的一个焦点坐标为
（A）（B）（C）（D）
考点二：椭圆的离心率
例1．椭圆的离心率为
（A）（B）（C）（D）
例2．已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，则的值为
（A）（B）（C）（D）或
例3．已知椭圆的两个焦点分别为，点是椭圆上一点，且，，那么椭圆的离心率是
（A）（B）（C）1（D）
例4．已知椭圆的两个焦点分别为，，若椭圆上存在点使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是
（A）（B）（C）（D）
练1．椭圆的焦距和离心率分别为
（A）和（B）和（C）和（D）和
练2．已知椭圆的长轴长是焦距的倍，则椭圆的离心率为
（A）（B）（C）（D）
练3．椭圆的两焦点分别为，以为边作正三角形，若正三角形的第三个顶点恰好是椭圆短轴的一个端点，则椭圆的离心率为
（A）（B）（C）（D）
练4．椭圆的左右焦点分别为，抛物线的准线过椭圆的焦点，交椭圆于两点，，则椭圆的离心率等于
（A）（B）（C）（D）
【知识点三：椭圆的综合问题】
【典型例题】
1．若椭圆：（）和椭圆：（）的焦点相同且．给出如下四个结论：
①椭圆和椭圆一定没有公共点；②；
③；④．
其中，所有正确结论的序号是
（A）②③④（B）①③④（C）①②④（D）①②③
2．已知点是椭圆的两个焦点，点是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是
（A）0（B）1（C）2（D）
3．椭圆上的点若满足为椭圆的两个焦点，称这样的点为椭圆的“焦垂点”．椭圆有个“焦垂点”
4． 如图，半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中．和分别是“果圆”与轴，轴的交点．给出下列三个结论：
① ；
② 若，则；
③ 若在“果圆”轴右侧部分上存在点，
使得，则.
其中，所有正确结论的序号是
5．曲线是平面内与两个定点 ，的距离的积等于的点的轨迹，给出下列四个结论：
= 1 \* GB3 ①曲线关于坐标轴对称；
②△周长的最小值为；
③点到轴距离的最大值为；
④点到原点距离的最小值为．
其中所有正确结论的序号是_______．
6．两个端点分别为和，点在椭圆上，且满足．当变化时，给出下列三个命题：
①点的轨迹关于轴对称；
②存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个；
③的最小值为．
其中，所有正确命题的序号是______．
1.2双曲线的定义及性质
【课前诊断】
成绩（满分10）：完成情况：优/中/差
1．椭圆的焦距和离心率分别为
（A）2和（B）1和（C）2和（D）1和
2．已知椭圆的一个焦点为，则的值为
（A）（B）（C）6（D）8
3．在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，过的直线交椭圆于两点，且的周长为16，则椭圆C的方程为
（A）（B）（C）（D）
【知识点一：双曲线的定义和标准方程】
一、双曲线的定义
平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．两焦点的距离叫做双曲线的焦距．
依定义，设是双曲线上一点，则有且
当时，的轨迹是以为端点的射线
二、双曲线的标准方程
①
焦点在轴上，，，且
②
焦点在轴上，，，且
【典型例题】
考点一、双曲线定义和性质
例1． “”是“方程表示双曲线”的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
例2．已知中心在原点的双曲线的右焦点坐标为，且两条渐
近线互相垂直，则此双曲线的标准方程为．
例3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点，则该双曲线的渐近线方程为；．
练1． “”是“曲线是焦点在轴上的双曲线”的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
练2．能说明“若，则方程表示的曲线为
椭圆或双曲线”是错误的一组的值是
练3．对于双曲线，给出下列三个条件：
①离心率为；
②一条渐近线的倾斜角为；
③实轴长为，且焦点在轴上．
写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程__________．
【知识点二：双曲线的简单几何性质】
双曲线的简单几何性质
1．范围：或；
2．对称性：以轴、轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，这个对称中心又叫做双曲线的中心．
3．顶点：双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点．
4．实轴与虚轴：两个顶点间的线段叫做双曲线的实轴．如图中，为顶点，线段为双曲线的实轴，在轴上作点，线段叫做双曲线的虚轴．
5．渐近线：直线（焦点在轴）或（焦点在轴）；
6．离心率：叫做双曲线的离心率，．双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．
【典型例题】
考点一：离心率与渐近线
例1．曲线与曲线的
A．焦距相等B．实半轴长相等
C．虚半轴长相等D．离心率相等
例2．双曲线（）的离心率是；渐近线方程是．
例3．已知点A，点，分别为双曲线的左、右顶点．若△ABC为正三角形，则该双曲线的离心率为_________．
例4．已知双曲线，则的渐近线方程是；过的左焦点且与轴垂直的直线交其渐近线于两点，为坐标原点，则的面积是．
例5．已知双曲线C的中心在坐标原点，且经过点P（,），下列条件中哪一个条件能确定唯一双曲线C,该条件的序号是______；满足该条件的双曲线C的标准方程是_________.
条件①:双曲线C的离心率e＝2；
条件②:双曲线C的渐近线方程为y＝；
条件⑧:双曲线C的实轴长为2.
练1．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为．
练2．在中，，．若以，为焦点
的双曲线经过点，则该双曲线的离心率为
A．B. C. D.
练3．若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的
倍，且一个顶点的坐标为，则双曲线的标准方程为
A． \f(x2,4) B．
C． D． \f(x2,8)
练4.已知双曲线（，）的左焦点为
，右顶点为，过作的一条渐近线的垂线，为垂足．若，则
的离心率为
A．B．C．D．
练5．设，是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在双曲线上，且，则△的面积为
A．B．C．D．
考点二：双曲线小题综合
例1．已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线交于两点，且，则的面积为
（A）（B）（C）（D）
例2．如果方程所对应的曲线与函数的图象完全重合，那么对于函数有如下结论：
= 1 \* GB3 ①函数在上单调递减；
= 2 \* GB3 ②的图象上的点到坐标原点距离的最小值为；
= 3 \* GB3 ③函数的值域为；
= 4 \* GB3 ④函数有且只有一个零点．
其中正确结论的序号是．
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。
例3.已知椭圆,双曲线.若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆的离心率为;双曲线的离心率为.
例4． 是双曲线上的一点，， ，设，△的面积为S，则的值为_______．
练1．已知点是双曲线的一条渐近线上一点，是双曲线的右焦点，若△的面积为，则点的横坐标为
A. B. C. D.
练2.设双曲线的左焦点为，右顶点为．若在双曲线上，有且只有2个不同的点P使得成立，则实数的取值范围是____．
练3．已知椭圆和双曲线
．经过的左顶点和上顶点的直线与的渐近线在第一象限的
交点为，且，则椭圆的离心率，双曲线的离心率．
练4．若直线与双曲线无公共点，则双曲线
的离心率可能是
A．B．C．D．
1.3抛物线的定义及性质
【课前诊断】
成绩（满分10）：完成情况：优/中/差
1．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则等于
（A）（B）（C）4（D）
2．双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线，交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为
（A）（B）（C）（D）
3．点在双曲线的右支上，若点到右焦点的距离等于，则．
4．在平面直角坐标系中，方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为．
5．已知圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是．
【知识点一：抛物线的定义及标准方程】
一、抛物线定义
1．平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。
2．对高档耐用品需求量的影响比较大（需求弹性大）。
二、抛物线的标准方程的四种形式：
【典型例题】
考点一：抛物线的定义及标准方程
轨迹问题
例1．到定点与定直线的距离相等的点的轨迹是
（A）圆（B）抛物线（C）线段（D）直线
练1．若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为
（A）圆（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线
练2．已知点，直线，点是上的动点，过点垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹是
抛物线（B）椭圆（C）双曲线的一支（D）直线
焦点问题
例2．抛物线的焦点坐标是
（A）（B）（C）（D）
练3．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为
（A）（B）（C）（D）
距离问题
例3．已知抛物线的焦点为，是上一点，，则
（A）1（B）2（C）4（D）8
练4．过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，若，则的中点到轴的距离等于
（A）1（B）2（C）3（D）4
练5．已知点在抛物线上，抛物线的焦点为，那么．
练6．如果抛物线上一点到准线的距离是6，那么__．
练7．抛物线上的点到其焦点的最短距离为
（A）4（B）2（C）1（D）
【知识点二：抛物线的几何性质】
（根据抛物线的标准方程研究性质）：
1．范围：抛物线在轴的右侧，开口向右，向右上方和右下方无限延伸．
2．对称性：以轴为对称轴的轴对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
3．顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．此处为原点．
4．离心率：抛物线上的点与焦点和准线距离的比叫做抛物线的离心率，用表示，．
【典型例题】
考点一：抛物线的几何性质
例1．直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于不同
的两点，．若，则弦的长是
（A）（B）（C）（D）
例2．设抛物线的顶点为，焦点为，准线为，是抛物线上异于
的一点，过作于，则线段的垂直平分线
A．经过点B．经过点
C．平行于直线D．垂直于直线
例3．已知抛物线C:y2＝2px的焦点为F，点A为抛物线C上横坐
标为3的点，过点A的直线交x轴的正半轴于点B，且△ABF为正三角形，则p＝
A．1B．2C．9D．18
例4．已知抛物线的焦点为，过点作
轴的垂线交抛物线于点，且满足，则抛物线的方程为；设直
线交抛物线于另一点，则点的纵坐标为．
例5．（202104西城一模08）抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射
后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图，从抛物线的
焦点发出的两条光线分别经抛物线上的两点反射，已知两条入射光线与轴所
成锐角均为，则两条反射光线和之间的距离为
A．B．
C．D．
练1．若抛物线的焦点为，点在此抛物线上且横坐标
为，则等于
（A）（B）
（C）（D）
练2．若抛物线上任意一点到焦点的距离恒大于
1，则的取值范围是
练3．抛物线上到其焦点的距离为1的点的个数为
．
练4．过抛物线的焦点作倾斜角为60°的直
线与抛物线交于两个不同的点（点在轴上方），则的值为
练5．已知抛物线的焦点到准线的距离为，过
焦点的直线与抛物线交于两点，且，则点到轴的距离为
A．5B．4C．3D．2
【知识点三：抛物线的综合问题】
例1．已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与抛物线上相交于，两点，且，两点在准线上的投影分别为，两点，则△的面积为
A． B． C． D．
例2．已知抛物线与椭圆有一个公共焦点，则点的坐标是________; 若抛物线的准线与椭圆交于两点，是坐标原点，且△是直角三角形，则椭圆的离心率________.
例3．在平面直角坐标系中，直线过抛物线
的焦点，且与该抛物线相交于两点．若直线的倾斜角为，则△的面积
为 ．
例4．抛物线的焦点为.对于上一点，若的准线上只存在一个点，使得为等腰三角形，则点的横坐标为
A．B．C．D．
例5．已知抛物线的焦点为，准线为，点是直线上的动点．若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为
A．B．C．D．
练1．椭圆的右焦点与抛物线
的焦点重合，点为椭圆与抛物线的公共点，且轴．那
么椭圆的离心率为
A．B．C．D．
练2.已知直线过点且垂直于轴.若被抛物线截得的
线段长为,则抛物线的焦点坐标为_____.
练3．设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，点，则
的取值范围是．
练4.已知点，点在曲线上运动，点为抛物
线的焦点，则的最小值为
（A）（B）（C）（D）
练5．已知斜率为的直线与抛物线交于两点，线段的中点为，则斜率的取值范围是
（A）（B）（C）（D）
练6．如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，
其中点在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是
（A）（B）
（C）（D）
练7．曲线是平面内到定点和定直线的距离之和等于的点的轨迹，给出下列三个结论：
= 1 \* GB3 ①曲线关于轴对称；
= 2 \* GB3 ②若点在曲线上，则满足；
= 3 \* GB3 ③若点在曲线上，则；
其中，正确结论的序号是_____________．
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。
【巩固练习——基础篇】
1．已知椭圆的离心率为，则
A．B．
C．D．
2. 若抛物线上任意一点到焦点的距离恒大于
1，则的取值范围是
A．B.
C. D.
3.已知点及抛物线上一动点，则
的最小值是
A．B. C. D.
4.设双曲线经过点,且与具有相同渐近线,则的方
程为;渐近线方程为.
5．已知双曲线的两个焦点为，一个顶点是
，则的标准方程为__________；的焦点到其渐近线的距离是__________．
6.设抛物线的焦点为，准线为．则以为圆心，且与相
切的圆的方程为________
7．已知抛物线过点，那么抛物线的
准线方程为，为平面直角坐标系内一点，若线段的垂直平分线过
抛物线的焦点，那么线段的长度为.
8．已知点在抛物线上，若以点为圆心的圆与轴和
其准线都相切，则点到其顶点的距离为．
9．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，
，则点的横坐标是，△（为坐标原点）的面积为．
10．对于抛物线，给出下列三个条件：
①对称轴为轴；②过点；③焦点到准线的距离为.
写出符合其中两个条件的一个抛物线的标准方程_____ .
【巩固练习——提高篇】
1.已知，分别是双曲线
的两个焦点，双曲线和圆的一个交点为，且，那么双曲线
的离心率为
A．B．C．2D．
2．已知抛物线的焦点为，过点倾斜角为60°的直线l与抛物线C
在第一、四象限分别交于，两点，则的值等于
2B. 3C. 4D. 5
3. 已知点是抛物线上的动点，且点在轴上的射影是，点，则
的最小值是
A. B. C. D.
4. 抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的
最小值是
A. B. C. D.
5. 已知是抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，
（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是
A. B. C. D.
6. 设为抛物线上一点，为抛物线的焦点，以为圆心，|为
半径的圆和抛物线的准线相交，则的取值范围是
A. B. C. D.
7. 已知点及抛物线，若抛物线上点满足，则的最
大值为．
8.已知双曲线， 为等边三角
形．若点在轴上，点在双曲线上，且双曲线的实轴为的中位线，则
双曲线的离心率为__________．
9.双曲线（,）的渐近线为正方形的边
,所在的直线,点为该双曲线的焦点．若正方形的边长为,则=_______．
10．已知双曲线的左焦点为F1，A，B为双曲线M
上的两点，为坐标原点若四边形为菱形，则双曲线M的离心率为 .
11．曲线是平面内与两个定点 ，的距离的积等
于的点的轨迹，给出下列四个结论：
= 1 \* GB3 ①曲线关于坐标轴对称；
②△周长的最小值为；
③点到轴距离的最大值为；
④点到原点距离的最小值为．
其中所有正确结论的序号是_______．
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
标准方程
图形
对称轴
焦点坐标
准线方程
轴
轴
（A）
（B）
（C）
（D）