2023年河南省洛阳市宜阳县九年级第一次学情诊断数学试题（含答案）

2022—2023学年下学期第一次学情诊断

九年级  数学

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．

1．下列各式是最简二次根式的是（    ）

A． B． C． D．

2．“抛掷一枚普通硬币，落地后正面朝上”这一事件是（    ）

A．确定事件 B．必然事件 C．随机事件 D．不可能事件

3．如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的面积的比是（    ）

A．1：2 B．1：3 C．1：9 D．9：1

4．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（    ）

A． B． C． D．

5．如图，有一张矩形纸片，长10cm、宽6cm，在它的四角各剪去一个同样大小的小正方形，然后将其折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是x cm，根据题意可列方程为（    ）

A．  B．

C．  D．

6．如图，AB是的直径，，则的度数为（    ）

A．45° B．55° C．60° D．75°

7．如图，在中，，D、E分别是AB，AC的中点，F是DE上一点，，连结AF、CF，若，则AC的长度为（    ）

A．10 B．12 C．13 D．16

8．对于一元二次方程，当时，方程有两个相等的实数根．若将c的值在的基础上减小，则此时方程根的情况是（    ）

A．没有实数根  B．有两个相等的实数根

C．有两个不相等的实数根  D．无法确定

9．如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得，点E在AC上．若，，则BE＝（    ）

A． B． C． D．2

10．如图，在中，，，，直线l经过点A，且垂直于AB，直线l从点A出发，沿AB以1cm/s的速度向点B运动，运动过程中，直线l与AB交于点M，与AC或BC交于点N，当直线l经过点B时停止运动．若运动过程中的面积是，直线l的运动时间是x（s），则y与x之间函数关系的图象大致是（    ）

A．  B．

C． D．

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．

12．某商场举行有奖竞猜活动，有A，B，C，D四个问题，其中A，B为体育类问题，C，D为文化类问题，小华从四个问题中不重复地选择两个，则两个问题类型相同的概率为______．

13．设α，β是一元二次方程的两个根，则______．

14．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m时，水面宽4m，当水面下降2m时，水面的宽度为______m．

15．将三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点，折痕为EF，已知，．若以，F，C为顶点的三角形与相似，则BF的长度是______．

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16．（8分）（1）计算：；

（2）解方程：．

17．（9分）已知关于x的一元二次方程．

（1）求证：无论k为何值，方程总有两个实数根；

（2）若该方程有一个实数根大于2，求k的取值范围．

18．（9分）为庆祝中国共青团成立100周年，某校开展四项活动：A项参观学习，B项团史宣讲，C项经典诵读，D项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动．该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．

（1）本次调查的样本容量是______，B项活动所对应扇形的圆心角的大小是______，条形统计图中C项活动的人数是______；

（2）若该校有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的学生有多少名．

19．（9分）如图，在中，点D，G分别在边AB，BC上，，AG与CD交于点F．

（1）求证：；

（2）若，求证：AG平分．

20．（9分）春节来临之际，某商户购进一批特色农产品，已知该农产品成本价为18元/kg．售价y（元/kg）与每天销售量x（kg）（x为正整数）之间满足如图所示的函数关系，其中售价不得低于成本价．

（1）求出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）当销售量为多少时，获利最大？最大利润是多少？

21．（10分）应天门是隋唐洛阳城中轴建筑群上著名的“七天建筑”之一，是古代举行重大国事庆典与外交活动的重要场所．

问题提出：如何测量应天门东阙楼的高度？

方案设计：如图，某数学课题研究小组通过调查研究和实地测量，他们在B处测得东阙楼楼顶A的仰角为41°，沿BC向前走了20m至点C处（B，C，D三点在同一水平线上），测得东阙楼楼顶A的仰角为60°．

问题解决：根据上述方案和数据，求应天门东阙楼AD的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，，）

22．（10分）如图，抛物线与x轴交于点，，点A在点B的右侧，与y轴交于点C．

（1）若直线AC的解析式为，求抛物线的解析式；

（2）在（1）的条件下，过点B的直线与抛物线交于另一点P．若直线AC与直线BP平行，求点P的坐标；

（3）点，为平面直角坐标系内两点，连结MN．若抛物线与线段MN只有一个公共点，直接写出c的取值范围．

23．（11分）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理：如图1，AB是的弦，点P在上，于点C，点D在弦AB上且，在上取一点Q，，连接BQ，则．

（1）如图2，小亮尝试说明，于是他连接了PA，PD，PQ，DQ．请你帮助他完成下列证明．

①求证：；②求证：．

（2）如图了，将材料中的“弦AB”改为“直径AB”，作直线l与相切于点Q．过点P作直线l于点G，其余条件不变，连接PA，PQ．若，，求的半径OA的长。

2022—2023学年下学期第一次学情诊断

九年级数学参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．B    2．C    3．C    4．A    5．D    6．D    7．A    8．C    9．A    10．B

二、填空题（每小题3分，共15分）

11． 12． 13． 14．

15．或2

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16．解：（1）原式

（2）移项，得．

配方，得，即．

由此可得．

∴，．

17．解：（1）证明：∵，

∴无论k为何值，方程总有两个实数根．

（2）解方程，得．

∴，．

根据题意，得．∴．

18．解：（1）80    54°    20

（2）（名）．

所以，估计该校意向参加“参观学习”活动的学生有800名．

19．证明：（1）∵，，∴．∴．

∴．

（2）∵，∴．

∵，∴．∴．∴AG平分．

20．解：（1）当且x为正整数时，；

当时，设售价y与每天销售量x之间的函数关系式为．

把，代入，得，解得

∴．

把代入，得．解得．

∴且x为正整数．

综上所述，y与x之间所满足的函数关系式为

（2）设所获利润为w元，当且x为正整数时，．

∴．

∵，w随着x的增大而增大．

∴当时，w有最大值，最大值为440；

当且x为正整数时，．

∴．

∵，∴当时，w有最大值，最大值为512．

∵，∴当，即销售量为32kg时，获利最大，最大利润是512元．

21．解：设．在中，，，

∴．

∵，∴．

在中，，，

∴，即．解得．∴．

答：应天门东阙楼AD的高度约为35m．

22．解：（1）在中，令，得．点．

∵抛物线与y轴交于点C，∴．

∴抛物线的解析式为．

（2）在中，令，得．解得，．

∵点A在点B的右侧，∴点．

∵直线AC与直线BP平行，直线AC的解析式为，

∴设直线BP的解析式为．

∵直线BP经过点，

∴．解得．

∴直线BP的解析式为．

令．解得（舍去），．

把代入，得．

∴点．

（3）c的取值范围为或．

23．解：（1）证明：①：∵，，∴PC垂直平分线段AD．

∴．∴．

四边形ABQP为的内接四边形，∴．

∴

∵∴．

②∵，∴．

由①知，

∴．∴．

∵，

∴，即．

∴．

（2）如图，连接OP，OQ．

∴．

∵，∴．

∵，∴．∴．

∵，，∴．

∴．

∵直线l与相切于点O，∴，∴．

∴．

∴．∴．

∴．∴．

与（1）同理，可得．

∴．

∴的半径．