高考物理一轮复习【专题练习】 专题28 开普勒行星运动定律、天体质量密度估算和不同位置重力加速度

高考物理一轮复习策略

首先，要学会听课：

1、有准备的去听，也就是说听课前要先预习，找出不懂的知识、发现问题，带着知识点和问题去听课会有解惑的快乐，也更听得进去，容易掌握;

2、参与交流和互动，不要只是把自己摆在“听”的旁观者，而是“听”的参与者。

3、听要结合写和思考。

4、如果你因为种种原因，出现了那些似懂非懂、不懂的知识，课上或者课后一定要花时间去弄懂。

其次，要学会记忆：

1、要学会整合知识点。把需要学习的信息、掌握的知识分类，做成思维导图或知识点卡片，会让你的大脑、思维条理清醒，方便记忆、温习、掌握。

2、合理用脑。

3、借助高效工具。学习思维导图，思维导图是一种将放射性思考具体化的方法，也是高效整理，促进理解和记忆的方法。最后，要学会总结：

一是要总结考试成绩，通过总结学会正确地看待分数。

1.摸透主干知识       2.能力驾驭高考      3.科技领跑生活

2023届高三物理一轮复习重点热点难点专题特训

专题28 开普勒行星运动定律、天体质量密度估算和不同位置重力加速度

【特训典例】

一、开普勒行星运动定律

1．宇宙中有一孤立星系，中心天体周围有三颗行星，如图所示。中心天体质量远大于行星质量，不考虑行星之间的万有引力，三颗行星的运动轨道中，有两个为圆轨道，半径分别为r1、r3，一个为椭圆轨道，半长轴为a，。在时间内，行星Ⅱ、行星Ⅲ与中心天体连线扫过的面积分别为S2、S3；行星Ⅰ的速率为v1、行星Ⅱ在B点的速率为、行星Ⅱ在E点的速率为、行星Ⅲ的速率为v3，下列说法正确的是（　　）

A．

B．行星Ⅱ与行星Ⅲ的运行周期相等

C．行星Ⅱ与行星Ⅲ在P点时的向心加速度大小相等

D．

【答案】B

【详解】AB．根据题意可知，行星Ⅱ椭圆轨道的半长轴与行星Ⅲ的轨道半径相等，由开普勒第三定律可得，行星Ⅱ与行星Ⅲ的运行周期相等，令等于一个周期，它们与中心天体连线扫过的面积为椭圆面积和圆面积，由于行星Ⅱ椭圆轨道的半长轴与行星Ⅲ的轨道半径相等，则椭圆面积小于圆面积，即故A错误B正确；

C．根据牛顿第二定律有可知，行星Ⅱ与行星Ⅲ在P点时加速度相等，向心加速度为垂直于速度方向的加速度，则行星Ⅲ在P点时加速度即为向心加速度，而行星Ⅱ在该点的向心加速度为此加速度沿P至椭圆圆心方向的分量，则行星Ⅱ在该点的向心加速度小于行星Ⅲ在P点的向心加速度，故C错误；

D．根据万有引力提供向心力有可得设行星在E点绕中心天体匀速圆周运动所需的速度，则有行星从Ⅰ到Ⅱ的过程中，做离心运动，则需在B点点火加速，则若行星从轨道Ⅱ椭圆轨道到E点开始做圆周运动，则需在E点点火加速，即则有故D错误。

故选B。

2．现将火星和水星的运行轨道看成圆轨道，如图所示。、分别为火星和水星的公转周期，、分别为火星和水星的公转半径。则过点（，）的直线的图像为（　　）

A．       B．

C．      D．

【答案】D

【详解】根据开普勒第三定律可得则有可得可知过点（，）的直线的图像的斜率为，D正确，ABC错误。故选D。

3．北京冬奥开幕式24节气倒计时惊艳全球，如图是地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，下列说法正确的是（　　）

A．夏至时地球的运行速度最大

B．从冬至到春分的运行时间为公转周期的

C．若用代表椭圆轨道的半长轴，代表公转周期，则，地球和火星对应的值是不同的

D．太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上

【答案】D

【详解】A．根据开普勒第二定律可知，地球与太阳中心连线在相同时间内扫过的面积相等，根据

可知近日点离太阳最近，近日点的运行速度最大，远日点离太阳最远，远日点的运行速度最小，故夏至时地球的运行速度最小，A错误；

B．根据对称性可知，从冬至到夏至的运行时间为公转周期的，由于从冬至到春分地球的运行速度大于从春分到夏至地球的运行速度，可知从冬至到春分的运行时间小于从春分到夏至的运行时间，故从冬至到春分的运行时间小于公转周期的，B错误；

C．根据开普勒第三定律可知，所有绕太阳转动的行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方成正比，则有其中与中心天体的质量有关，地球和火星都绕太阳转动，故地球和火星对应的值相同，C错误；

D．根据开普勒第一定律可知，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上，故太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上，D正确。故选D。

4．北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号航天员翟志刚、王亚平、叶光富完成全部既定任务，撤离空间站平安返回。空间站的轨道可认为距地面高度为H的匀速圆周运动轨道，周期为，神舟十三号返回轨道可近似为椭圆轨道，B为近地点，地球半径为R，引力常量G。下列说法正确的是（　　）

A．神舟十三号撤离空间站时需要在A点加速进入椭圆轨道

B．神舟十三号从A运动到B的最短时间为

C．忽略地球自转，地球表面重力加速度与空间站处重力加速度大小比为

D．神舟十三号在轨道运行时的机械能小于在轨道运行时的机械能

【答案】C

【详解】A．神舟十三号在轨道上运行时，万有引力提供向心力撤离空间站时做向心运动，万有引力大于所需的向心力，需要在A点减速进入椭圆轨道，A错误；

B．由图可知，轨道的半长轴为轨道的半径为根据开普勒第三定律可得

由此可知，神舟十三号在轨道上运行的周期为神舟十三号从A运动到B的最短时间为

，B错误；

C．忽略地球自转，在地球表面处重力加速度为，可得空间站处重力加速度为，可得

解得忽略地球自转，地球表面重力加速度与空间站处重力加速度大小比为，C正确；

D．神舟十三号撤离空间站时需要在轨道的A点减速进入椭圆轨道，因此，神舟十三号在轨道运行时的机械能大于在轨道运行时的机械能，D错误。故选C。

5．“嫦娥四号”月球探测器登陆月球背面的过程可以简化为如图所示的情景：“嫦娥四号”首先在半径为、周期为的圆形轨道Ⅰ上绕月球运行，某时刻“嫦娥四号”在点变轨进入椭圆轨道Ⅱ，然后在点变轨进入近月圆轨道Ⅲ。轨道Ⅱ与轨道Ⅰ、轨道Ⅲ的切点分别为、，、与月球的球心为在一条直线上。已知引力常量为，月球的半径为，体积，则（　　）

A．月球的平均密度为

B．探测器在轨道Ⅱ上、两点的线速度之比为

C．探测器在轨道Ⅱ上、两点的加速度之比为

D．探测器从点运动到点的时间为

【答案】A

【详解】A．探测器在圆形轨道Ⅰ上绕月球运行时，有又联立解得月球的平均密度为，A正确；

B．由开普勒第二定律可得可得，B错误；

C．探测器在轨道Ⅱ上、两点的合外力即为在该点所受万有引力，则有；

可得探测器在轨道Ⅱ上、两点的加速度之比为，C错误；

D．设探测器在椭圆轨道上的周期为，根据开普勒第三定律可得则探测器从点运动到点的时间为，D错误；故选A。

二、天体质量密度估算

6．随着中国航天事业的发展，不久以后中国宇航员将会登上月球。当宇宙飞船贴着月球表面做匀速圆周运动时，宇航员测得飞船完成圈运动的时间为，当宇宙飞船停止在月球表面上方时，宇航员将细管竖直固定放置，轻质细线穿过细管，两端分别与小球（视为质点）和物块相连，物块的质量是小球质量的2倍，让小球在水平面内做匀速圆周运动，物块处于静止状态（不与月球接触），不计细线与细管之间的摩擦，宇航员测得小球完成圈运动的时间为，用刻度尺测得细线倾斜部分的长度为，已知引力常量为，下列说法正确的是（　　）

A．若月球的半径为，则月球的第一宇宙速度为

B．月球的密度为

C．若小球做匀速圆周运动的半径为，则小球的向心加速度大小为

D．月球表面的重力加速度大小为

【答案】B

【详解】A．宇宙飞船贴着月球表面做匀速圆周运动的周期月球的第一宇宙速度就是宇宙飞船贴着月球表面做匀速圆周运动的线速度，则有解得，A错误；

B．由万有引力充当向心力可得月球的密度解得，B正确；

C．小球做匀速圆周运动的周期向心加速度大小解得，C错误；

D．设小球、物块的质量分别为、2对小球进行受力分析，细线的拉力与小球所受重力的合力沿水平方向，充当向心力，设细线与竖直方向的夹角为，由牛顿第二定律可得

对物块由二力平衡可得解得，D错误。故选B。

7．2020年4月24日，中国邮政发行《中国第一颗人造地球卫星发射成功五十周年》纪念邮票，如图所示。1970年4月24日在酒泉卫星发射中心成功发射的“东方红一号”卫星，是我国发射的第一颗人造地球卫星。假设该卫星在离地球高为的圆轨道上运行的周期为．已知地球的半径为、引力常量为则（　　）

A．“东方红一号”卫星的发射速度必须大于

B．“东方红一号”卫星的运行速度一定大于

C．可以估算地球的质量为

D．可以估算地球的密度为

【答案】D

【详解】AB．发射人造地球卫星必须大于第一宇宙速度7.9km/s、小于第二宇宙速度11.2km/s，而人造地球卫星运行速度都小于7.9km/s，故AB错误；

CD．由万有引力提供向心力得解得地球的质量为

地球的密度为地球的密度为故C错误，D正确。故选D。

8．如图甲所示，南京紫金山天文台展示的每隔2h拍摄的某行星及其一颗卫星的照片。小齐同学取向左为正方向，在图甲照片上用刻度尺测得行星球心与卫星之间的距离L如图乙所示。已知该卫星围绕行星做匀速圆周运动，在图甲照片上测得行星的直径为2cm，万有引力常量为。下列说法正确的是（　　）

A．该卫星围绕行星运动的周期为 B．该卫星围绕行星运动的周期为

C．该行星的平均密度 D．该行星的平均密度

【答案】C

【详解】AB．由题意可知，卫星绕行星做匀速圆周运动的周期为照片上行星的半径为

照片上的轨道半径由开普勒第三定律可知解得该行星的近地卫星的环绕周期故AB错误；

CD．由行星体积为行星密度为联立解得

故C正确，D错误。故选C。

9．北京时间2021年5月15日，在经历“黑色九分钟”后，中国首辆火星车“祝融号”与着陆器成功登陆火星，这也意味着“天问一号”火星探测器已经实现了“绕”和“落”两项目标。火星可以看成半径为，质量为的均匀球体，“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动一周的时间为，“祝融号”与着陆器总质量为，假如登陆后运动到火星赤道上，静止时对水平地面压力大小为，引力常量为，下列说法正确的是（　　）

A．火星的第一宇宙速度大小为

B．“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动的加速度小于“祝融号”与着陆器静止在赤道上的加速度

C．火星自转角速度大小为

D．火星的平均密度为

【答案】C

【详解】A．“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动，则有则火星的第一宇宙速度为

A错误；

B．“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动，则有解得“祝融号”与着陆器静止在火星赤道上时，则有解得可得，B错误；

C．“祝融号”与着陆器在火星赤道表面上静止，则有解得，C正确；

D．“天问一号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可得

又联立解得火星的平均密度为，D错误。故选C。

10．2021年5月15日，天问一号着落器着陆于火星表面。着落器的着陆过程简化如下：首先在距火星表面高为h处悬停，接着以恒定加速度a竖直下降，下降过程火箭产生的反推力大小恒为F。当四条“缓冲脚''接触火星表面时，火箭立即停止工作，着落器再经时间t速度减至0，已知着落器的质量为m，火星半径为，万有引力常量为G。则下列说法正确的是（　　）

A．火星的质量约为

B．若将火星视做均匀球体，则其平均密度为

C．火箭反推力对着落器所做的功约为

D．着落器对火星表面的平均冲击力大小约为

【答案】AB

【详解】A．设火星表面的重力加速度为g，则有；联立解得

所以A正确；

B．若将火星视做均匀球体，则其平均密度为所以B正确；

C．火箭产生反推力的作用时间不确定，所以火箭反推力对着落器所做的功不等于

所以C错误；

D．火星表面对着落器的平均冲击力大小约为，则有；；

联立解得由牛顿第三定律可知，着落器对火星表面的平均冲击力大小约为

所以D错误；故选AB。

三、天体表面重力加速度

11．科学家研究表明：地球自转的角速度在逐渐减小，假设这种趋势持续下去，每经过时间，地球自转周期增加。若地球半径为，地球可视为质量均匀分布的球体；现在地球的自转周期为，地球表面重力加速度在赤道处的大小为，其他条件都不变，则经过时间，地球表面重力加速度在赤道处的大小应为（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【详解】设赤道处质量为的物体受到的万有引力为，则物体的重力为经过时间后，地球的自转周期为赤道处物体的重力为联立以上三式，约掉质量，可得

，C正确。故选C。

12．课堂上老师布置了一个题目：假设地球是一半径为

、质量分布均匀的球体，并忽略自转，已知质量分布均匀的球壳对内物体的引力为零，某一矿井的深度为，求矿井底部的重力加速度为和地球表面处的重力加速度大小之比．

小明同学的思考过程如下：由万有引力和重力的关系可知，（为引力常量，为地球质量，为各点距地心的距离，为该点的重力加速度）．所以地球表面的重力加速度，矿井底部的重力加速度．由此可知，矿井底部和地球表面处的重力加速度大小之比为．

对于小明的思考过程，下列说法中正确的是（       ）

A．小明的答案是正确的

B．小明的答案是错误的，因为不成立

C．小明的答案是错误的，因为不成立

D．小明的答案是错误的，比值应该为

【答案】C

【详解】小明分析时随明确在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，但是没有理解“质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在深度为d的井底，受到地球的万有引力即为半径等于（R-d）的球体在其表面产生的万有引力”，即不成立， 所以才出现小明的答案，故ABD错误，C正确．故选C．

点睛：抓住在地球表面重力和万有引力相等，在矿井底部，地球的重力和万有引力相等，要注意在矿井底部所谓的地球的质量不是整个地球的质量而是半径为（R-d）的球体的质量．

13．假设地球可视为质量分布均匀的球体。已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，地球的半径为R，地球的自转周期为T，引力常量为G，由此可知（     ）

A．地球的质量为

B．地球表面赤道处的重力加速度大小为

C．近地卫星在轨道运行的加速度大小为

D．地球同步卫星在轨道上运行的加速度大小为

【答案】BD

【详解】A．在两极，万有引力等于重力，则有解得，A错误；

B．在赤道上，则有又，联立解得地球表面赤道处的重力加速度为

，B正确；

C．近地卫星围绕地球做匀速圆周运动，则有又联立解得，C错误；

D．同步卫星所受万有引力等于向心力结合A解得

D正确。故选BD。

14．某次发射火箭的过程中，当火箭距地面的高度恰好为地球半径的3倍时，火箭的加速度为a，方向竖直向上，火箭内有一电子台秤，物体在该台秤上显示的示数为发射前在地面上静止时示数的一半。已知地球的第一宇宙速度为v，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）

A．距地面高度恰好为地球半径的3倍处的重力加速度为地球表面重力加速度的

B．地球表面的重力加速度约为16a

C．地球的半径为

D．地球的质量为

【答案】AC

【详解】A．设地球表面的重力加速度为g，由得解得，A项正确；

BC．设台秤上物体的质量为m。火箭在地面上时台秤显示的示数FN1=mg距地面3R时台称显示的示数

解得同时得到在地球表面，设近地卫星质量为m0：m0g

解得，B项错误，C项正确；

D．由解得，D项错误。故选AC。

15．2021 年 5 月 15 日，天问一号火星探测器所携带的祝融号火星车及其着陆组合体成功着陆于火星，这标志着我国首次火星探测任务火星车着陆火星取得圆满成功。假设火星为质量分布均匀的球体，已知火星质量是地球质量的 a 倍，火星半径是地球半径的 b倍，地球表面的重力加速度为 g，质量均匀的球壳对其内部物体的引力为零， 则（　　）

A．火星表面重力加速度为

B．火星表面重力加速度为

C．火星表面正下方距表面距离为火星半径处的重力加速度为

D．火星表面正下方距表面距离为火星半径处的重力加速度为

【答案】AC

【详解】AB．在地球表面有在火星表面有联立解得火星表面重力加速度为

则A正确；B错误；

CD．设火星的密度为，火星的半径为 ，由于质量均匀的球壳对其内部物体的引力为零，则在火星表面正下方距表面距离为火星半径处的重力加速度相当火星内部那部分产生的引力产生的，则火星内部那部分质量为火星表面正下方距表面距离为火星半径处的重力加速度为，则有联立解得所以C正确；D错误；故选AC。