2022-2023学年青海省西宁市城西区青海湟川中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年青海省西宁市城西区青海湟川中学高二上学期12月月考数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】先求出共轭复数再判断结果.
【详解】由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C．
【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目．
2．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，若=++，则（ ）．
A．x＝1，，B．x＝1，，
C．，y＝1，D．，y＝1，
【答案】B
【分析】利用空间向量的加减及数乘运算法则进行计算，解决空间向量基本定理问题.
【详解】由题意得：
，
所以
故选：B
3．设非零向量，满足，则
A．⊥B．
C．∥D．
【答案】A
【详解】由平方得，即，则，故选A.
【点睛】本题主要考查了向量垂直的数量积表示，属于基础题.
4．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件，可以求,运用公式，求出.
【详解】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件，
所以，因此,故本题选A.
【点睛】本题考查了求对立事件的概率问题，考查了运算能力.
5．已知向量，，，则有（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对于A，利用向量的线性运算的坐标表示即可求解；
对于B，利用向量的摸的坐标表示即可求解；
对于C，利用向量的线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示即可求解；
对于D，利用向量的数量积的坐标运算即可求解.
【详解】对于A，因为，，，
所以，，所以，故A不正确；
对于B，因为，，，
所以，，
所以，故B不正确；
对于C，因为，，所以，又，
所以，即，故C正确.
对于D，因为，，，
所以，，，所以，故D不正确.
故选：C.
6．已知，(0, π)，则=
A．1B．C．D．1
【答案】A
【详解】，，
，即，故
故选
7．曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义得到点处切线的斜率，再根据斜率求倾斜角即可.
【详解】，所以在点处的切线的斜率为-1，倾斜角为.
故选：A.
8．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A
9．四面体中，，，，点在线段上，且，为中点，则为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用空间向量的线性运算及空间向量基本定理，结合图像即可得解.
【详解】解：根据题意可得，
.
故选：C.
10．椭圆上一点关于原点的对称点为，为其左焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】确定四边形为矩形，得到，根据三角函数的性质得到离心率范围.
【详解】设椭圆右焦点为，连接，，，则四边形为矩形，
则，
故，
，则，，.
故选：B.
11．已知，若直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】A
【分析】根据平行关系确定参数，结合平行线之间的距离公式即可得出．
【详解】解：直线与直线平行，
，解得或，
又，所以，
当时，直线与直线距离为.
故选：A
12．若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】将问题转化为圆与相交，从而可得，进而可求出实数a的取值范围.
【详解】到点的距离为2的点在圆上，
所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上，
即两圆相交，故，
解得或，
所以实数a的取值范围为，
故选：A．
二、填空题
13．已知椭圆，过点作直线l交椭圆C于A，B两点，且点P是AB的中点，则直线l的方程是__________.
【答案】
【分析】设，，，，利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．
【详解】解：设，，，，
则，，
．
恰为线段的中点，即有，，
，
直线的斜率为，
直线的方程为，
即．
由于在椭圆内，故成立．
故答案为：．
14．过点且与圆相切的直线的方程是______．
【答案】或
【分析】当直线斜率不存在时，可得直线，分析可得直线与圆相切，满足题意，当直线斜率存在时，设斜率为k，可得直线l的方程，由题意可得圆心到直线的距离，即可求得k值，综合即可得答案.
【详解】当直线l的斜率不存在时，因为过点，
所以直线，
此时圆心到直线的距离为1=r，
此时直线与圆相切，满足题意；
当直线l的斜率存在时，设斜率为k，
所以，即，
因为直线l与圆相切，
所以圆心到直线的距离，解得，
所以直线l的方程为.
综上：直线的方程为或
故答案为：或
15．已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆过焦点的弦，则的周长是___.
【答案】16
【解析】根据椭圆的定义求解．
【详解】由椭圆的定义知所以.
故答案为：16．
16．已知P为圆上任意一点，A，B为直线上的两个动点，且，则面积的最大值是___________．
【答案】3
【分析】直接利用直线和圆的位置关系，利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式的应用求出结果．
【详解】解：根据圆的方程，圆心到直线的距离，
所以圆上的点到直线的最大距离，
此时最大面积．
故答案为：．
三、解答题
17．已知直线．
（1）若，求实数a的值；
（2）当时，求直线与之间的距离．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由垂直可得两直线系数关系，即可得关于实数a的方程.
（2）由平行可得两直线系数关系，即可得关于实数a的方程，进而可求出两直线的方程，结合直线的距离公式即可求出直线与之间的距离.
【详解】（1）由知，解得．
（2）当时，有，解得．
此时，即，
则直线与之间的距离．
【点睛】本题考查了由两直线平行求参数，考查了由两直线垂直求参数的值，属于基础题.
18．在△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acsB．
（1）求角B的大小；
（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值
【答案】（1）B=60°（2）
【详解】（1)由正弦定理得
【考点定位】本题主要考察三角形中的三角函数，由正余弦定理化简求值是真理
19．如图，已知正方体的棱长为2， E、F分别为、中点.
(1)求证：;
(2)求两异面直线BD与所成角的大小.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用向量乘积为0证明即可；
（2）利用向量法求异面直线所成的角.
【详解】（1）
如图,建立空间直角坐标系
则
因为
所以,即
（2）
设异面直线BD与所成角为,则
所以,即异面直线BD与所成角的大小为
20．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2BC＝2CC1＝2，点是的中点．
(1)求点D到平面AD1E的距离；
(2)求证：平面AD1E⊥平面EBB1．
【答案】(1);
(2)证明过程见解析.
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面距离公式求出答案；
（2）利用空间向量的数量积为0证明出，从而证明出线面垂直，进而证明出面面垂直.
【详解】（1）以D为坐标原点，分别以DA，DC，为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，
则，
令得：，
所以，
则点D到平面AD1E的距离为；
（2），
所以，，
所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面⊥平面.
21．某企业为了了解职工对某部门的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示）：
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)估计该企业的职工对该部门评分的中位数与平均值；
(3)从评分在 的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.
【答案】(1)；
(2)中位数为，均值为；
(3)
【分析】（1）根据频率和为1可求频率分布直方图中a的值;
（2）根据组中值可求平均值，根据前3组、前4组的频率和可求中位数.
（3）利用古典概型的概率计算公式可求概率.
【详解】（1）由直方图可得，故.
（2）由直方图可得平均数为.
前3组的频率和为，
前3组的频率和为，
故中位数在，设中位数为，则，故.
故中位数为.
（3）评分在 的受访职工的人数为，
其中评分在的受访职工的人数为，记为
在的受访职工人数为，记为，
从5人任取2人，所有的基本事件如下：
，
基本事件的总数为10，
而2人评分都在的基本事件为，
故2人评分都在的概率为.
22．如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，且经过点， 直线 恒过定点且交椭圆于两点，为的中点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)记的面积为S，求S的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由直线过定点坐标求得，再由椭圆所过点的坐标求得得椭圆方程；
（2）设，直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得，
计算弦长，再求得到直线的距离，从而求得三角形面积，由函数的性质求得最大值．
【详解】（1）由题意可得，直线恒过定点，
因为为的中点， 所以， 即.
因为椭圆经过点 ，所以 ， 解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设.
由得 恒成立，
则，
则
又因为点到直线的距离，
所以
令， 则，
因为，时，，在上单调递增，
所以当时，时，故.
即S的最大值为 .
【点睛】方法点睛：本题求椭圆的标准方程，直线与椭圆相交中三角形面积问题，计算量较大，属于难题．解题方法一般是设出交点坐标，由（设出）直线方程与椭圆方程联立方程组消元后应用韦达定理，然后由弦长公式求得弦长，再求得三角形的另一顶点到此直线的距离，从而求得三角形的面积，最后利用函数的性质，基本不等式等求得最值．