2022-2023学年青海省西宁市湟川中学高三上学期12月月考理科数学试题A（word版）

西宁市湟川中学2022-2023学年高三上学期12月月考

数学试题A（理科）

注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置。

3．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．给出如下数据：第一组：3，11，5，13，7，2，6，8，9；第二组：12，20，14，22，16，11，15，17，18，则下列结论：①这两组数据的中位数相等；②这两组数据的极差相等；③这两组数据的平均数相等；④这两组数据的方差相等.其中，所有正确结论的序号是（    ）

A．①② B．①④ C．②③ D．②④

3．设全集，集合，则

A． B．

C． D．

4．已知向量，，满足，，，，则，的夹角等于（    ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

5．已知函数的定义域是

A． B． C． D．R

6．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）=x2+f'（2）lnx，则f'（2）的值为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

7．棱长为2的直平行六面体，，则与平面所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

8．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（    ）．

A． B． C． D．

9．已知某圆柱的底面积为，高为4，某母线长为8的圆锥的侧面积恰好与该圆柱的侧面积相等，则此圆锥的体积为（    ）

A． B．

C． D．

10．已知椭圆C：的左，右焦点，过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点．其中M在第一象限．，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

11．已知函数，若方程在上有且只有五个实数根，则实数的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

12．若，，，则（    ）

A． B． C． D．

二、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分

13．设公差不为的等差数列的前项和为，若成等比数列，且，则的值是____.

14．若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2-6x-8y+m=0外切，则实数m的值为___________.

15．从一个放有两个白球、两个黑球的罐子中任意摸两个球，则至少摸到一个黑球的概率是__________.

16．设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点（点与点，不重合），则的周长的最大值为于______．

三、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．设为等差数列，为数列的前n项和，已知，．

(1)证明：数列为等差数列；

(2)求数列的前n项和．

18．如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰在CD上，即A1O⊥平面DBC．

（Ⅰ）求证：BC⊥A1D；

（Ⅱ）求证：平面A1BC⊥平面A1BD；

（Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离．

19．已知向量，，若函数，则

(Ⅰ)求函数的最小正周期；

(Ⅱ)将函数的图象上所有的点向左平移个单位，得到函数的图象，若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围.

20．某工厂生产的甲、乙两种产品都需经过两道工序加工而成，且两道工序的加工结果均有两个等级.当两道工序的加工结果都为级时，产品为一等品，其余均为二等品．已知两种不同的产品之间及其每一道工序的加工结果都相互独立，且加工结果为级的概率如表一所示．

(1)从甲、乙产品中各随机抽取二件，求至少有一件为一等品的概率；

(2)某商家计划按表二所示的统一售价经销甲、乙两产品，据市场预测，每件产品的经销成本均为10元，且甲，乙产品均能按表二售价售出．

（ⅰ）用表示经销一件甲产品的利润，求的分布列和期望；

（ⅱ）该商家拟投资不超过100元用于经营甲、乙两种产品，要确保资金亏损不超过14元，请你根据以上信息制定一个最大盈利的投资计划（甲、乙两种产品各应销售多少元）.

注：产品销售的盈利率＝（正值表示盈利率，负值表示亏损率）．

21．已知抛物线上一点到焦点F距离是.

（1）求抛物线C的方程；

（2）过F的直线与抛物线C交于A、B两点，是否存在一个定圆恒以AB为直径的圆内切，若存在，求该定圆的方程；若不存在，请说明理由.

22．已知圆：，直线：，点．

(1)判断直线与圆的位置关系；

(2)设直线与圆交于不同的两点，求弦的中点的轨迹方程；

(3)在（2）的条件下，若，求直线的方程．

23．由，，，，，，，，，按任意顺序组成的没有重复数字的数组，记为，设，其中．

(1)若，求的值；

(2)求证：；

(3)求的最大值．

数学试题参考答案及评分标准

1．D

2．D

3．C

4．C

5．C

6．C

7．D

8．C

9．C

10．D

11．C

12．A

13．

14．9

15．

16．

17．(1)证明见解析

(2)

（1）待定系数法求解出的首项和等差，进而求出，从而计算出，得到结论；

（2）在第一问的基础上，利用等差数列求和公式求解.

（1）

设等差数列的公差为d，则．

因为，，

所以，解得:，．

所以．

因为，又，

所以数列是等差数列，其首项为，公差为．

（2）

由等差数列求和公式可知：

.

18．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）．

试题分析：（Ⅰ）由线面垂直得A1O⊥BC，再由BC⊥DC，能证明BC⊥A1D．

（Ⅱ）由BC⊥A1D，A1D⊥A1B，得A1D⊥平面A1BC，由此能证明平面A1BC⊥平面A1BD．

（Ⅲ）由=，能求出点C到平面A1BD的距离．

证明：（Ⅰ）∵A1O⊥平面DBC，∴A1O⊥BC，

又∵BC⊥DC，A1O∩DC=O，

∴BC⊥平面A1DC，∴BC⊥A1D．

（Ⅱ）∵BC⊥A1D，A1D⊥A1B，BC∩A1B=B，

∴A1D⊥平面A1BC，

又∵A1D⊂平面A1BD，

∴平面A1BC⊥平面A1BD．

解：（Ⅲ）设C到平面A1BD的距离为h，

∵=，

∴=，

又∵=S△DBC，，∴．

∴点C到平面A1BD的距离为．

考点：点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定．

19．（Ⅰ）函数的最小正周期为（Ⅱ）

(Ⅰ)整理函数的解析式为的形式，由函数的解析式即可确定函数的最小正周期；

(Ⅱ)将原问题转化为函数有两个交点的问题，结合三角函数的图像即可确定实数的取值范围.

（Ⅰ）函数

.

.

函数的最小正周期为．

（Ⅱ）依题意将函数的图像向左平移个单位后得到函数

函数在上有两个零点，即函数与在有两个交点，如图所示：

所以，即，

所以实数取值范围为.

本题主要考查辅助角公式的应用，三角函数的最小正周期公式，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

20．(1)

(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）分别投资40元、60元用于经营甲、乙两种产品

（1）利用对立事件概率求至少型概率，即，；

（2）（ⅰ）先确定随机变量的取值，再分别求概率．列表可得分布列，根据公式求数学期望；

（ⅱ）根据条件列可行域及目标函数，画可行域，根据目标函数直线平移，确定最大值取法，解方程组可得最优解，即为投资计划.

（1）

解：生产出的甲产品、乙产品为一等品的概率分别记为，，

则，

记“随机抽取的四件产品中至少有一件一等品”为事件，则表示抽取的四件产品均为二等品，

所以，，

所以随机抽取的四件产品中至少有一件一等品的概率为；

（2）

解：（ⅰ）随机变量的取值为3元和元，

由（1）得，

所以分布列为：

所以（元）；

（ⅱ）设分别用元、元投资甲、乙两种产品，获利元，

因为，，，，

所以经销甲、乙两种产品可能的最大盈利率分别为和，最大亏损率分别为和，

依题意得，即，

盈利的目标函数（元）．

作出不等式组表示的平面区域如图，由解得，

结合图形可知，当直线经过点时，最大，

且（元）．

所以该商家应分别投资40元、60元用于经营甲、乙两种产品，才能在确保亏损不超过14元的前提下使可能的收益最大．

21．（1）；（2）存在定圆恒与以AB为直径的圆内切.

（1）根据抛物线的定义，由，列出方程求解的值，从而确定抛物线的方程；（2）当直线的斜率存在，设直线的方程为，直线方程与抛物线方程联立，利用根与系数的关系得出及的长，假设存在圆，设出圆的标准方程，根据条件求出的值，即可确定圆的方程；当直线的斜率不存在时，验证成立，最后得到结论即可.

（1）由抛物线的定义得,又，所以，解得：.

点M在抛物线上，

解得,所以抛物线方程为.

(2)当直线l的斜率存在，设直线的方程为，

设l与抛物线交于点，联立

化简得 显然，

设A,B的中点为M，则

，

假设定圆存在，设定圆的方程为

又两圆内切可得

整理得：

得 定圆的方程为

当直线斜率不存在，则以A,B为直径的圆的方程为

该圆也与定圆内切

综上存在定圆恒与以AB为直径的圆内切.

22．(1)相交

(2)

(3)或

（1）先求出动直线经过的定点，判断定点和圆的位置关系即可；

（2）连接圆心和弦的中点，利用垂径定理找出几何关系来解决；

（3）联立直线和圆的方程，利用韦达定理来解决.

（1）

因为直线：过定点，

又，所以在圆内，

所以直线与圆相交；

（2）

设，当与不重合，即时，连接，，则，根据勾股定理．则，化简得：（）；当与重合时，，也满足上式，故弦的中点的轨迹方程为；

（3）

设，，因为，所以，

所以，化简得． ①

又消去并整理得，

所以②，． ③

由①②③联立，解得，

所以直线的方程为或．

23．(1)57

(2)证明见解析

(3)131

（1）把数据逐个代入，求解可得答案；

（2）利用绝对值和的性质进行求解；

（3）先求这10个数的2倍和3倍数，相对较大的10个数与较小10个数差为最大值.

（1）因为，所以.

（2）证明：因为

.

（3），，，，，，，，，的2倍与3倍共20个数如下：

2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30.

其中较大的10个数之和为203，较小的10个数之和为72，所以，

当时，

，

所以的最大值为.