2022-2023学年青海省西宁市湟川中学高三上学期12月月考文科数学试题B（word版）

西宁市湟川中学2022-2023学年高三上学期12月月考

数学试题B（文科）

注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置。

3．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则

A． B． C． D．

2．已知复数，则（    ）

A． B．3 C． D．5

3．命题“∀x∈R，x2﹣2x＜0”的否定是（    ）

A．∀x∈R，x2﹣2x≥0 B．∀x∈R，x2﹣2x＞0

C．∃x0∈R，x02﹣2x0≥0 D．∃x0∈R，x02﹣2x0＞0

4．在中，已知，，若点在斜边上，，则的值为 ．

A．6 B．12 C．24 D．48

5．若函数是偶函数，其定义域为，且在上是增函数，则与的大小关系是（     ）

A． B．

C． D．

6．已知数列{an}的第1项是1，第2项是2，以后各项由an=an-1+an-2(n>2)给出，则该数列的第5项等于（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

7．如图，一同学利用所学习的解三角形知识想测量河对岸的塔高时，他选取了塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.，，，在点C处塔顶A的仰角为60°，则塔高为（    ）

A． B．

C． D．

8．已知方程表示椭圆，则实数m的取值范围是（　　）

A． B．

C． D．

9．执行如图所示的程序框图，如果输出的值为4，则判断框内应填入的判断条件为

A． B． C． D．

10．函数，的简图是（    ）

A． B．

C． D．

11．已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，则下列结论正确的是（   ）

A． B． C． D．

12．已知函数，且，则tan2x的值是

A．- B． C．- D．

二、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分

13．已知等差数列的前n项和为，若，则______．

14．若双曲线的两条渐近线方程为，且的两焦点坐标为，则双曲线的标准方程为________．

15．一个四棱锥的三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为____；表面积为____．

16．在矩形中，，，，是平面内的动点，且，若，则的最小值为____．

三、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．

（1）求A；

（2）若BC=3，求周长的取值范围．

18．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，该摩天轮轮盘直径为米，设置有个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面米，匀速转动一周大约需要分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.

(1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中），求摩天轮转动一周的解析式；

(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到50米？

(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为米，求的最大值.

19．如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，.

（1）证明：平面平面；

（2）若点为中点，求二面角的正弦值.

20．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1（x1＞0），过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，当|FD|=2时，∠AFD=60°．

（1）求证：FD垂直平分AQ，并求出抛物线C的方程；

（2）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，AB交y轴于点（0，m），若∠APB为锐角，求m的取值范围．

21．已知函数f（x）＝mx3+x﹣sinx（m∈R）．

（1）当m＝0时，（i）求y＝f（x）在（，f（））处的切线方程；

（ii）证明：f（x）＜ex；

（2）当x≥0时，函数f（x）单调递减，求m的取值范围．

22．已知圆：，直线过点.

（1）若与圆相切，求的斜率；

（2）当的倾斜角为时，与轴交于点，与圆在第一象限交于点，设，求实数的值.

23．设函数.

（1）解不等式；

（2）求函数的最大值.

数学试题参考答案及评分标准

1．A

2．D

3．C

4．C

5．C

6．C

7．A

8．D

9．C

10．D

11．A

12．A

13．35

14．

15．         

16．

17．（1）；（2）(6，3+2]．

（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得，从而求得.

（2）利用余弦定理列方程，结合基本不等式求得，结合三角形两边的和大于第三边求得周长的取值范围.

（1）由正弦定理可得：，

，

，．

（2）由余弦定理得：，

即．

（当且仅当时取等号），

，

解得：（当且仅当时取等号），

周长，周长的最大值为．

又周长的范围是(6，3+2]．

18．(1)

(2)

(3)最大值为米

对于小问1，根据离地面的最大值米、最小值米和周期为分钟，求出、、，再代入点解得.

对于小问2，令，解出即得答案.

对于小问3，根据题意，计算甲乙二人时间差，得到二人距离地面的高度表达式、，

写出两人距离地面的高度差为米，由时间的取值范围，化简求出最大值.

(1)

由题意，（其中）

摩天轮的最高点距离地面为米，最低点距离地面为米，

所以，得，

又函数周期为分钟，所以，

又，

所以，又，所以，

所以.

(2)

，

所以，整理，因为，所以，

所以,解得（分钟）.

(3)

经过分钟后甲距离地面的高度为，

乙与甲间隔的时间为分钟，

所以乙距离地面的高度为，

所以两人离地面的高度差

当或时，即或分钟时，取最大值为米.

19．（1）证明见解析；（2）.

（1）先证明出，可得出，可得出，然后取的中点，连接、，并设，利用勾股定理证明出，由等腰三角形三线合一得出，利用直线与平面垂直的判定定理可证明出平面，再利用平面与平面垂直的判定定理可得出平面平面；

（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，计算出平面和的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系可得出答案.

（1）是等边三角形，，又，，

，，为直角三角形，所以，

取的中点，连接、，则，.

设，则，又，

，，又，平面，

平面，因此，平面平面；

（2）由题设及（1）可知、、两两垂直，以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则、、、，为的中点，则，

，，.

设平面的一个法向量为，由，得，

得，令，则，，

所以，平面的一个法向量为.

同理可得，平面的一个法向量为，

，

所以，二面角的正弦值为.

本题考查平面与平面垂直的判定，同时也考查了二面角的计算，在利用空间向量计算二面角时，关键就是要建立合适的空间直角坐标系，并计算出平面的法向量，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.

20．（1）证明见解析，抛物线方程为；（2）.

（1）设A（x1，y1），求出切线AD的方程，推出|PQ|，求出可得垂直关系，通过|FD|=2时，∠AFD=60°求出p=2，抛物线方程；

（2）设B（x2，y2）（x2＜0）则B处的切线方程为，联立直线椭圆方程组，求出P的坐标；法一：利用∠APB为锐角，数量积大于0，直线AB过（0，m），推出m的取值范围．

法二：令y=kx+m，联立借助韦达定理，数量积的关系，推出结果.

（1）设，由于，所以，即切线的斜率为，

则切线的方程为，

所以，，，所以，

且为中点，所以

，得，

所以抛物线方程为．

（2）设则处的切线方程为

由

法一：，

为锐角，∴，

直线：，

将代入的，

∴的取值范围为.

法二：令，由得，

，

∴，

∴

=对任意恒成立.

∴．

∴的取值范围为.

21．（1）（i）（ii）见解析（2）

(1)(i) 根据导数的几何意义求出切线斜率，由点斜式即可得结果；(ii ) 当时，原命题等价于，结合，即证，令，利用异数研究其单调性，可得，从而可得结论；(2)依题意在上恒成立，令，求导，令，利用导数研究其单调性可，通过对分类讨论，即可筛选出符合题意的取值范围.

（1）当时，.

（i）,,

,

在处的切线方程为 ，

即.

（ii）原命题等价于，

，即证，

令，则，

当时，单调递增；

当时，单调递减，

，

，取等号条件不一致，

，

.

（2）依题意，在时恒成立，

令，则，

当时，，.

（i）当时，单调递减，

，即，符合题意.

（ii）当时，，不符合题意，舍去.

（iii）当时，令，则，

由，

，

，使，

所以当时，在单调递增，

所以当时，，即，

所以当时，在上单调递增，

，即，不符合题意，舍去，

故.

本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简；或者通过讨论参数，进一步利用导数证明.

22．（1）为0或（2）

（1）设直线，若与圆相切，求出斜率；

（2）当的倾斜角为时，设直线，由联立解方程求出，，所以．

解：（1）直线过点且与圆相切，

若斜率不存在则直线方程为，圆心到直线的距离为，不成立。

故斜率存在， 设斜率为，则直线方程为：与圆相切，所以圆心到直线的距离，

，

解得或

所以斜率为0或

（2）当的倾斜角为时，：，令，得，所以

过点作的垂线交于点，则，

，

又

所以

考查圆的切线方程，向量与圆和直线问题，两点间的距离公式，中档题．

23．（1）；（2）3

（1）利用零点分类讨论法解不等式.(2)先化成分段函数，再结合分段函数的图像即得其最大值.

⑴①当x＜-1时，；

②当-1≤x≤2时，，；

③当时，，；

综上，不等式的解集为；

⑵，由其图知，.

(1)本题主要考查零点讨论法解绝对值不等式，考查分段函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)分类讨论是高中数学的一种重要思想，要注意小分类求交，大综合求并.