2022-2023学年江西省赣州市高二上学期期末考试数学试题（解析版）

2022-2023学年江西省赣州市高二上学期期末考试数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由直线的斜率计算倾斜角.

【详解】直线改写为斜截式方程为，所以直线斜率，则直线倾斜角为.

故选：B

2．双曲线的虛轴长为（    ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】C

【分析】根据双曲线的虚轴定义求解.

【详解】由可得，故虚轴长为，

故选:C.

3．若直线与直线平行，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【分析】根据两直线平行与斜率的关系求解.

【详解】因为两直线平行，所以，

经检验，此时两直线的斜截式方程分别为，

满足题意，

故选:B.

4．如图，在斜四棱柱中，底面是平行四边形，M为与的交点.若，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据空进向量运算求得正确答案.

【详解】依题意，

.

故选：A

5．甲箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球，3个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是红球的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据全概率公式求得正确答案.

【详解】依题意，从乙箱中取出的是红球的概率为：

.

故选：D

6．设抛物线上一点P到准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出抛物线焦点F的坐标，根据给定条件，结合抛物线定义及点到直线的距离公式求出点F到直线l的距离作答.

【详解】抛物线的焦点，准线方程为，过点P作垂直于准线，垂足分别为E，D，

连接，过F作于B，交抛物线于，过作垂直于准线，垂足为A，如图，

由抛物线定义知，，，，

因此，当且仅当点P与重合时取等号，

所以.

故选：C

7．5名学生参加数学建模活动，目前有3个不同的数学建模小组，每个小组至少分配1名学生，至多分配3名学生，则不同的分配方法种数为（    ）

A．60 B．90 C．150 D．240

【答案】C

【分析】根据每组的人数进行分类讨论，由此求得正确答案.

【详解】当每组人数为时，方法有种.

当每组人数为时，方法有种.

所以不同的分配方法种数为种.

故选：C

8．椭圆，M，N是椭圆上关于原点对称的两动点，P为椭圆上任意一点，直线，的斜率分别为，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设出的坐标，求得的关系式，利用基本不等式求得正确答案.

【详解】设，

则，

两式相减并化简得，

而，所以，

所以，

当且仅当时等号成立.

故选：A

二、多选题

9．已知曲线，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则曲线C是圆

B．若，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆

C．若，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线

D．曲线C可以是抛物线

【答案】AC

【分析】根据圆、椭圆、双曲线、抛物线的有关知识求得正确答案.

【详解】A选项，当时，曲线，表示圆心在原点，

半径为的圆，所以A选项正确.

B选项，当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，B选项错误.

C选项，当时，，曲线表示焦点在轴上的双曲线，C选项正确.

D选项，由于是非零实数，所以的最高次项都是，

所以曲线不可能是抛物线，D选项错误.

故选：AC

10．在的展开式中，下列说法正确的是（    ）

A．不存在常数项 B．所有二项式系数的和为32

C．第3项和第4项二项式系数最大 D．所有项的系数和为1

【答案】ABC

【分析】根据给定的二项式，写出展开式判断A；利用二项式性质判断BC；利用赋值法计算判断D作答.

【详解】

，因此在的展开式中没有常数项，A正确；

的展开式的所有二项式系数的和为，B正确；

的展开式的第3项和第4项二项式系数相等，并且最大，C正确；

当时，的展开式的所有项的系数和为，D错误.

故选：ABC

11．已知圆和圆相交于A，B两点，下列说法正确的是（    ）

A．直线的方程为

B．线段的长为

C．点C为圆M上任意一点，，则的最大值为5

D．圆O上存在4个点到直线的距离等于1

【答案】BD

【分析】根据圆与圆的位置关系、弦长、点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系等知识确定正确答案.

【详解】圆的圆心为，半径.

圆，即，

圆心为，半径.

，，所以两圆相交.

所以由两圆方程相减并化简得直线的方程为，A选项错误.

到直线的距离为，

所以，B选项正确.

的最大值为，C选项错误.

到直线的距离为，

所以圆O上存在4个点到直线的距离等于1，D选项正确.

故选：BD

12．已知正方体中，点P在侧面及其边界上运动，则（    ）

A．当时，直线与平面所成角的正弦值为

B．当时，异面直线与所成角的正切值为2

C．当时，四面体的体积为定值

D．当点P到平面的距离等于到直线的距离时，点P的轨迹为抛物线的一部分

【答案】ACD

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量解决空间中角度和距离问题.

【详解】设正方体棱长为1，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

，，，，，，

对于 A：当时有，，，

，，，，

是平面的一个法向量，

，所以直线与平面所成角的正弦值为，A选项正确；

对于B： 当时，，，，

，异面直线与所成角的余弦值为，可得异面直线与所成角的正切值为， B选项错误；

对于C：因为，且，所以四边形为平行四边形，故，

因为平面，平面，所以平面，当时，点在上运动时，则点到平面的距离不变，所以四面体的体积为定值，C选项正确；

对于D：由正方体的特征可知，点到平面的距离即为点到直线的距离，点到直线的距离即为点到点的距离，当点到平面的距离等于到直线的距离时，由抛物线的定义可知点的轨迹是抛物线的一部分，D选项正确．

故选：ACD.

【点睛】思路点睛：涉及空间中的动点，可以建立空间直角坐标系，利用空间向量解决相应的角度和距离等问题.

三、填空题

13．已知，，若，则__________.

【答案】

【分析】根据向量垂直列方程，从而求得的值.

【详解】由于，

所以.

故答案为：

14．设随机变量，若，则__________.

【答案】##

【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案.

【详解】依题意，所以.

故答案为：

15．甲，乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为0.5，0.6，则谜题被破解的概率为__________.

【答案】##

【分析】根据独立事件同时发生的概率等于概率之积求解.

【详解】谜题没被破解的概率为，

所以谜题被破解的概率为，

故答案为: .

16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若以为直径的圆恰好经过点B，且（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为__________.

【答案】

【分析】根据已知条件求得，进而求得双曲线的离心率.

【详解】因为以为直径的圆恰好经过点B，所以，

由，即为线段的中点且，

故为线段的垂直平分线，连接，

则三角形是等腰三角形且，

故，又由渐近线可得，

故，

则，，

所以.

故答案为：

四、解答题

17．某班准备举办迎新晚会，有4个歌舞类节目和2个语言类节目，要求排出一个节目单.

(1)若2个语言类节目不能相邻，有多少种排法？

(2)若前4个节目中要有语言类节目，有多少种排法？（计算结果都用数字表示）

【答案】(1)种

(2)种

【分析】（1）利用插空法求得正确答案.

（2）利用对立事件的知识求得正确答案.

【详解】（1）2个语言类节目不能相邻的排法有种.

（2）前4个节目中要有语言类节目的排法有种.

18．已知圆A的圆心为，且__________.在下列所给的三个条件中任选一个，填在横线上，并完成解答（注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.①与直线相切；②与圆相外切；③经过直线与直线的交点.

(1)求圆A的方程；

(2)设直线，试求k为何值时，直线l截圆A所得弦的弦长最小，并求弦长最小值.

【答案】(1)

(2)时，直线l截圆A所得弦的弦长最小，且最小值为.

【分析】（1）根据所选条件求得圆的半径，进而求得圆的方程.

（2）根据直线l截圆A所得弦的弦长最小求得，进而求得弦长的最小值.

【详解】（1）设圆的半径为，

若选条件①，圆与直线相切，

所以到直线的距离是圆的半径，

所以半径，

所以圆的方程为.

若选条件②，与圆相外切，

圆的圆心为，半径为，

所以，所以，

所以圆的方程为.

若选条件③，经过直线与直线的交点，

，

所以，

所以圆的方程为.

（2）直线恒过定点，

由于，所以在圆内部，所以直线与圆相交，

根据圆的几何性质可知，当直线时，直线截圆所得弦的弦长最小，

，所以.

圆心到直线的距离，

所以当时，直线截圆所得弦长为.

19．如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点.

(1)证明：平面；

(2)求点A到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明；

(2)利用等体积法求解.

【详解】（1）

连接交于点，连接，

则有为的中点，M为的中点，

所以，

且平面，平面，

所以平面.

（2）连接,因为，所以,

又因为平面，平面，

所以，,所以平面,

又因为平面,所以,

又，所以是等腰直角三角形，

,

所以,

,

设点A到平面的距离为，

因为,所以,

所以.

20．中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，为增进学生对党史知识的了解，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共有A和B两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A类试题得20分，每答对1道B类试题得10分，答错都不得分，每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）.已知甲同学答对各道A类试题的概率均为，B类试题中有6道题会作答.

(1)若甲同学只作答A类试题，记甲同学答这3道试题的总得分为X，求X的分布列和期望；

(2)若甲同学在A类试题中抽1道题作答，在B类试题中抽2道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率.

【答案】(1)分布列详见解析，期望值为

(2)

【分析】（1）根据独立重复试验概率计算公式计算出分布列并求得数学期望.

（2）根据古典概型概率计算公式求得正确答案.

【详解】（1）的可能取值为，

，

，

，

，

所以的分布列为：

所以.

（2）第一种情况：类试题答对道，类试题答对道，概率为.

第二种情况：类试题答错道，类试题答对道，答错道，概率为.

所以仅答对道题的概率为.

21．如图，在三棱锥中，平面平面，是等腰直角三角形，，O为的中点，且.

(1)证明：；

(2)在棱上是否存在点E，使二面角的大小为？若存在，求出的值.

【答案】(1)证明详见解析

(2)存在，且.

【分析】（1）通过证明平面来证得.

（2）建立空间直角坐标系，利用二面角的大小列方程，从而求得的值.

【详解】（1）因为，是的中点，所以，

由于平面平面且交线为，平面，

所以平面，

由于平面，所以.

（2）在棱上存在点，使二面角的大小为.

取的中点，因为为的中点，且，

所以，则，，

因为是等腰直角三角形且，所以，

由因为，所以，

且平面，所以.

分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设.

，

，

是平面的一个法向量，

设是平面的法向量，

则，即，

故可设，

由于二面角的大小为，

所以，

整理得，解得或（舍去），

所以.

22．已知点M是椭圆上一点，，分别为椭圆C的上、下焦点，，若，的面积为5.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设过点的直线l和椭圆C交于两点A，B，是否存在直线l，使得与（O是坐标原点）的面积比值为.若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，且直线的方程为

【分析】（1）结合椭圆的定义求得，从而求得椭圆的方程.

（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，根据与的面积比求得直线的方程.

【详解】（1）由得.

，

而，

所以，

所以，

所以，

所以椭圆的标准方程为.

（2）设满足条件的直线存在，

当直线的斜率不存在时，不符合题意，

设直线的方程为，，

由消去并化简得，

所以①，

由于，

所以，

所以，结合①可得，

所以直线的方程为.