2022-2023学年江西省赣州市第三中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年江西省赣州市第三中学高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知，两点所在直线的倾斜角为，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．5

【答案】D

【分析】根据直线斜率的计算公式，结合已知条件，列出方程，即可求得参数值.

【详解】根据题意可得，解得.

故选：D.

2．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ）

A． B． C．或 D．与斜交

【答案】C

【分析】利用直线的方向向量和平面的法向量垂直来判断直线和平面的位置关系.

【详解】∵，，

∴即，

∴∥或.

故选：C.

3．若方程表示椭圆，则实数m的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】二次曲线表示椭圆的条件为.

【详解】变形为，要表示椭圆需要满足 ，解得.

故选：C.

4．已知直线，则以下四个情况中，可以使的图象如图所示的为（    ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】A

【分析】根据直线的方程及图象结合直线的截距式方程即可列不等式判断.

【详解】解：直线，由直线图象可得，则直线整理成

且，于是可得，，或，，.

故选：A.

5．已知抛物线的焦点为，准线为，为上的点，过作的垂线，垂足为，，则（    ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

【答案】C

【分析】先由结合抛物线性质可得，再结合抛物线定义确定三角形为正三角形，即可求出答案．

【详解】解：如图，设直线与轴交于点，

则由抛物线，可知，又，故，且，

又由抛物线定义，则三角形为正三角形

故．

故选：C．

6．在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC，M、N分别为AC、AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】以点P为坐标原点，以，，方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，求出直线PN和BM的方向向量代入公式即可得出答案.

【详解】以点P为坐标原点，以，，方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

令，则，，，，

则，，

设异面直线PN和BM所成角为，则.

故选：B.

7．已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】D

【分析】联立直线与双曲线的方程组，通过消元，利用方程解的个数，求出的值即可

【详解】因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为；

由，消去整理得．

①当即时，此时直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交于一点，符合题意；

②当即时，由，解得，

此时直线双曲线相切于一个公共点，符合题意，

综上所述：符合题意的的所有取值为或，

故选：D

8．在棱长为2的正四面体中，点满足，点满足，当、最短时，（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意得到面，，从而求得，最短时，得到为的中心，为的中点，求得的长，结合，由向量的运算公式，即可求得的值．

【详解】解：因为，

可得平面，，

当，最短时，面，且，

则正四面体中，为的中心，为的中点，如图所示，

又因为正四面体的棱长为2，在正三角形中，由正弦定理得，所以，

所以，

因为平面，所以，

因为，

所以，

故选：C．

二、多选题

9．下列双曲线中，渐近线方程为的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】令方程右边的1为0，化简即可得到答案；

【详解】对A，令，故A正确；

对B，令，故B错误；

对C，令，故C正确；

对D，令，故D错误；

故选：AC

10．下列说法正确的是（    ）

A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2

B．直线关于x轴对称的直线方程为直线

C．过两点的直线方程为

D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为

【答案】AB

【分析】对于A，求出坐标轴上的截距，即可判断；

对于B，易得所求直线过直线与x轴的交点，再根据对称性求出所求直线的倾斜角，利用点斜式方程即可判断；

对于C，根据两点式方程的前提是直线的斜率存在即可判断；

对于D，分直线过原点和不过原点两种情况讨论即可判断.

【详解】解：对于A，令，则，令，则，

所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是，故A正确；

对于B，直线的斜率为，则倾斜角为，与轴的交点坐标为，

故其关于x轴对称的直线的倾斜角为，斜率为，且过点，

所以所求直线方程为，即，故B正确；

对于C，当时，过两点的直线的倾斜角为，斜率不存在，

则不能用两点式方程，故C错误；

对于D，当直线过原点时，直线在x轴和y轴上截距都为0，

此时直线方程为，    

当直线不过原点时，可设直线方程为，

则，所以，此时方程为，

综上，所求直线方程为或，故D错误.

故选：AB.

11．已知圆和圆的交点为、，则（    ）

A．两圆的圆心距

B．圆上存点，圆上存在点，使得

C．圆上存在两点和使得

D．圆上的点到直线的最大距离为

【答案】ABD

【分析】求出两圆圆心距，可判断A选项；计算出的取值范围，可判断B选项；求出，可判断C选项；求出圆上的点到直线的最大距离，可判断D选项.

【详解】对于A选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为，

圆的标准方程为，圆心为，半径为，

所以，，A对；

对于B选项，因为，则两圆相交，

所以，，，

因为，所以，圆上存点，圆上存在点，使得，B对；

对于C选项，将两圆方程作差可得，即直线的方程为，

圆心到直线的距离为，所以，，

对于圆上的任意两点、，，C错；

对于D选项，圆心到直线的距离的最大值为，D对.

故选：ABD.

12．已知为坐标原点，，，是抛物线上两点，为其焦点，则下列说法正确的有（    ）

A．周长的最小值为

B．若，则最小值为

C．若直线过点，则直线，的斜率之积恒为

D．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为

【答案】ACD

【分析】利用抛物线的定义可求出周长判断A，利用抛物线的定义将弦长转化为弦的中点到准线的距离可判断B，设出直线的方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理和斜率公式，计算可判断C，利用外接圆与抛物线C的准线相切，求出圆心的横坐标和圆的半径，可判断D.

【详解】因为抛物线，，，

所以，准线，

对于A，过作，垂足为，则，

所以周长的最小值为，故A正确；

对于B，若，则弦过，过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，设的中点为，过作，垂足为，

则，即最小值为4，故B不正确；

对于C，若直线过点F，设直线，

联立，消去得，

设、，则，，

所以，故C正确；

对于D，因为为外接圆的弦，所以圆心的横坐标为，

因为外接圆与抛物线C的准线相切，所以圆的半径为，

所以该圆面积为，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．已知向量，，则______.

【答案】

【分析】根据空间向量坐标运算求解即可.

【详解】解：因为，，所以，

所以.

故答案为：.

14．若直线和直线平行，则___________．

【答案】3

【分析】根据两条直线平行的充要条件即可求解.

【详解】解：因为直线和直线平行，

所以，解得，

故答案为：3.

15．在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．

【答案】

【详解】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.

详解：设圆的方程为，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：

，解得：，则圆的方程为.

点睛：求圆的方程，主要有两种方法：

(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．

(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．

16．已知椭圆：的左、右焦点分别是，，，是椭圆的任意两点，四边形是平行四边形，且，则椭圆的离心率的取值范围是________．

【答案】

【分析】四边形是平行四边形分析可得，，再根据可得，结合及运算求解.

【详解】因为四边形是平行四边形，则且

∴，则

若，即

所以，即，

同除以可得：，解得．

因为，所以．

故答案为：.

四、解答题

17．已知的顶点坐标为．

(1)点是边的中点，求直线及直线的方程；

(2)直线垂直边于点，求直线的方程及点坐标．

【答案】(1)直线方程为：；直线方程为：

(2)；

【分析】（1）由题得，中点，再根据点斜式方程与两点式方程求解即可；

（2）由题知，进而根据直线点斜式求得方程，再联立与方程即可得答案.

【详解】（1）解：由已知可得，

故由点斜式可得：，即

所以直线方程为：

由中点，

故由两点式可得：，即，

所以直线方程为：

（2）由，可得，

故由点斜式可得

所以直线

联立直线与方程，解得，

所以

18．如图，在三棱柱中，平面，，，D为BC的中点，F为中点.

(1)求证：平面；

(2)求与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2).

【分析】（1）通过分析可得，从而可以证明平面；

（2）建立空间直角坐标系，求出各点坐标，利用公式求出与平面所成角的正弦值.

【详解】（1）

因为在三棱柱中，四边形是平行四边形，所以F是的中点，

连接DF，因为D为BC的中点，所以在中，，

因为平面，平面，所以平面．

（2）因为在三棱柱中，面ABC，，

所以BA，BC，两两垂直，故以B点为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，

因为，

所以

所以，，

设平面的一个法向量为，

则，即，令，则，

设与平面所成角为，

∴

即与平面所成角正弦值为.

19．已知点及圆.

(1)若直线过点且与圆相切，求直线的方程；

(2)设过点且斜率为的直线与圆交于，两点，求弦长；

(3)设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值.

【答案】(1)或

(2)

(3)不存在

【分析】（1）使用待定系数法求解直线方程，首先设直线的斜率为，进而写出直线方程，利用圆心到直线的距离等于圆的半径的几何条件求出参数的值，即可求出圆的切线方程；

（2）首先求出直线方程，然后根据圆的弦长公式进行求解即可；

（3）首先根据直线与圆相交的条件得到，根据垂直平分线的几何关系求出直线的斜率，进而求出参数的值，通过的值判断是否满足条件即可.

【详解】（1）由得，

设直线的斜率为，则方程为.

又圆的圆心为，半径，   

由，解得或.

所以直线方程为或，即直线的方程为或.

（2）由条件可得直线方程为即，半径，

圆心为到直线的距离，

所以弦长.

（3）由直线与圆交于，两点，则圆心到直线的距离，

假设符合条件的实数存在，由于垂直平分弦，故圆心必在上.

所以的斜率，而，所以，

由于不满足，

故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦.

20．已知抛物线，点在抛物线上且到焦点的距离为2.

(1)求抛物线的方程，并求其准线方程；

(2)已知，直线与抛物线交于两点，记直线，的斜率分别为，，求的值.

【答案】(1)抛物线的方程为，准线方程为

(2)

【分析】（1）由点在抛物线上且到焦点的距离为2，联立方程组解出即可；（2）设，，联立方程消元，韦达定理，用斜率公式写出，代入化简即可.

【详解】（1）由题意得，解得.

从而得到抛物线的方程为，

准线方程为；

（2）设，，

由

得，

∴，，

，

∴  

所以的值为.

21．已知椭圆的左焦点坐标为，离心率，点分别是椭圆的左右顶点.

(1)求椭圆的方程；

(2)过椭圆上的一动点作斜率为的直线，过分别作垂直于长轴的直线交于点，求四边形面积的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意，求解出的值，可得答案；

（2）由题意，设出直线方程，并求解点的坐标，根据直角梯形的面积公式，可得答案.

【详解】（1）由椭圆的左焦点为，则，，，解得，，.

（2）设，即，

由题意，可得，

令，则，，即，

令，则，，即，

，由，则，

或当吋，.

22．已知双曲线（，）的左焦点坐标为，直线与双曲线交于，两点，线段中点为.

(1)求双曲线的方程；

(2)经过点且与轴不重合的直线与双曲线交于两个不同点，，点，直线，与双曲线分别交于另一点，，若直线与直线的斜率都存在，并分别设为，.是否存在实常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，

【分析】（1）设,，,，代入双曲线方程可得：，，相减整理，代入，，，代入可得与关系，及其，，解得，，即可得出双曲线的方程；

（2）设,，,，直线的方程为，直线的方程为：，与双曲线方程联立化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系及其，可得坐标，同理可得可得坐标，利用斜率计算公式可得，即可得出结论．

【详解】（1）解：由题意知，直线的斜率为，设，，

由题意，两式相减得：，

整理得：，即，

又，所以，，即双曲线，经检验满足题意.

（2）解：因为的斜率存在且，直线的方程为，设，，

又，设直线，  

联立，整理得，

由韦达定理得，

又∵，∴，

于是，

故，同理可得，  

∴

∴，

∴为定值，所以的值.