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    2022-2023学年河南省许昌市禹州市高级中学高二上学期12月期末数学试题(解析版)

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    这是一份2022-2023学年河南省许昌市禹州市高级中学高二上学期12月期末数学试题(解析版),共23页。试卷主要包含了单选题,填空题,双空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2022-2023学年河南省许昌市禹州市高级中学高二上学期12月期末数学试题

     

    一、单选题

    1.直线x轴上的截距是(    

    A1 B C D2

    【答案】C

    【分析】根据直线在坐标轴上的截距的定义,建立方程,可得答案.

    【详解】代入直线方程,可得,解得.

    故选:C.

    2.双曲线的焦点坐标为

    A B C D

    【答案】C

    【详解】 ,所以 ,并且焦点在轴,那么焦点坐标就是 ,故选C.

    3.已知,则向量的夹角为(    

    A B C D

    【答案】A

    【分析】利用空间向量夹角公式即可求解

    【详解】

    所以

    所以的夹角为

    故选:A

    4.若曲线与曲线有四个不同的交点,则实数的取值范围是(    

    A B

    C D

    【答案】B

    【分析】曲线表示圆,曲线表示两条直线,利用直线与圆的位置关系求解即可.

    【详解】

    所以表示以为圆心,2为半径的圆,

    显然与曲线有两个交点,

    所以直线与曲线有除外的2个交点,

    解得

    综上

    故选:B

    5.对于直线mn和平面的一个充分条件是(    

    A B

    C D

    【答案】D

    【分析】根据空间线面、面面位置关系的判定定理和性质定定理逐个分析即可得答案.

    【详解】A,不一定得到A错误;

    B,不一定得到B错误;

    C,则或两平面重合,C错误;

    D,则,又, 所以D正确;

    故选:D.

    6.已知双曲线的左、右焦点分别为,过的直线与C的两条渐近线分别交于AB两点,若A为线段的中点,且,则C的离心率为(    

    A B2 C D3

    【答案】B

    【分析】由题意可得为直角三角形,再结合A为线段的中点,可得AO垂直平分,可表示出直线,再联立渐近线方程可以得到的关系,进而得到双曲线离心率

    【详解】由题意可知,过的直线与C的两条渐近线分别交于AB两点,当两个交点分别在第二和第三象限时不符合,

    A为线段的中点,当交点在轴上方或轴下方时,根据对称性结果是一样的,选择一种即可,如图.

    根据双曲线可得,,两条渐近线方程

    的中点,

    ,又A为线段BF1的中点,垂直平分

    可设直线,直线,直线

    ②③得,交点坐标,点还在直线上,,可得

    ,所以双曲线C的离心率

    故选:B

    7.已知点P在直线上运动,点E是圆上的动点,点F是圆上的动点,则的最大值为(    

    A6 B7 C8 D9

    【答案】D

    【分析】作出关于直线的对称圆,把转化到与,直线同侧的,数形结合找到取最大值的位置,求出的最大值.

    【详解】如图所示,

    的圆心为,半径为3

    关于直线的对称圆为圆B,其中设圆心B坐标为

    ,解得:

    故圆B的圆心为,半径为1

    由于此时圆心A与圆心B的距离为:

    大于两圆的半径之和,所以两圆相离,此时点的对称点为,且,所以,在P点运动过程中,当PBAF五点共线时,且在圆B左侧,点F在圆A右侧时,最大,最大值为

    故选:D.

    8.在正四面体中,点E在棱AB上,满足,点F为线段AC上的动点,则(    

    A.存在某个位置,使得

    B.存在某个位置,使得

    C.存在某个位置,使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为

    D.存在某个位置,使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为

    【答案】C

    【分析】设正四面体的底面中心为点,连接,则平面,以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,设正四面体的棱长为,然后利用空间向量法逐一分析求解可得结果.

    【详解】如下图所示,设正四面体的底面中心为点,连接,则平面

    以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,

    设正四面体的棱长为

    ,其中

    对于A,若存在某个位置使得

    所以,解得,不满足题意,故A错误;

    对于B,若存在某个位置使得

    ,该方程无解,故B错误;

    对于C,设平面的一个法向量为

    ,令,则

    若存在某个位置,使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为,又

    整理得,解得(舍去),

    所以存在,即的中点,满足题意,故C正确;

    对于D,设平面的一个法向量为

    ,取,得

    设平面的一个法向量为

    ,取,则

    若存在某个位置,使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为

    整理得,易得,所以该方程无解,故D错误.

    故选:C.

    【点睛】关键点睛:本题解决的关键点在于建立空间直角坐标系,利用空间向量法解决立体几何的相关问题,解题过程要注意利用方程思想进行向量运算,认真细心,准确计算.

    9.方程表示圆,则实数a的可能取值为(    

    A B2 C0 D

    【答案】D

    【分析】先把整理成圆的标准形式,满足右边关于的表达式大于零.

    【详解】,可得

    所以

    解得

    选项中只有符合题意.

    故选:D.

    10.若直线m被两平行直线所截得的线段长为,则直线m的倾斜角可以是(    

    A B C D

    【答案】B

    【分析】设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为,再结合两平行直线的距离公式,以及直线斜率和倾斜角之间的关系,即可求解.

    【详解】  设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为

     

    两平行直线的距离为

    因为直线m被两平行直线所截得的线段长为

    所以

    所以

    因为直线的斜率为,倾斜角为

    所以直线m的倾斜角可以是.

    故选:B.

    11.已知椭圆分别为它的左、右焦点,AB分别为它的左、右顶点,点P是椭圆上的一个动点,下面结论中不正确的有(    

    A的最小值为8

    B的最小值为

    C.若,则的面积为

    D.若P不与左右顶点重合,直线PA与直线PB斜率乘积为定值

    【答案】D

    【分析】设点,利用平面向量的坐标运算及模长公式可判断A;利用余弦定理,椭圆定义及基本不等式可判断B;利用三角形的面积公式可判断C;利用斜率公式结合条件可判断D.

    【详解】设点,则,且

    对于A选项,

    所以

    当且仅当时,等号成立,故的最小值为A正确;

    对于B选项,设,其中

    ,当且仅当时,等号成立,

    因此,的最小值为B正确;

    对于C选项,由B选项可知,可得

    所以,C正确;

    对于D选项,由题意可知,则D错误.

    故选:D.

    12.如图,已知正方体的棱长为1,点M为棱AB的中点,点P在侧面及其边界上运动,则下列选项中不正确的是(    

    A.存在点P满足

    B.存在点P满足

    C.满足的点P的轨迹长度为

    D.满足的点P的轨迹长度为

    【答案】C

    【分析】假定,结合条件可得,然后利用圆的位置关系可判断A,利用坐标法可得点P中心时,可判断B,利用线面垂直的判定定理结合条件可得点P的轨迹可判断CD.

    【详解】对于A选项,假设,因为

    ,且始终垂直平面,所以,点在以B为圆心,半径为1的圆上,

    同理,则,点P在以C1为圆心,半径为的圆上,如图1

    又因为,所以两个圆相交有交点,即存在点P满足,故A正确;

    对于B选项,如图建立空间直角坐标系, 则

    若点在正方形中心处,即

    ,可得,即 ,故B正确;

    对于C选项,取的中点的中点,连接

    因为平面,又平面,所以

    在正方形中,,又平面

    所以平面,又平面

    所以,同理可得,又平面

    所以平面,又因为点P在侧面上,平面平面

    所以点的轨迹为线段,且,故C错误;

    对于D选项,过M点作BC于点G,过M点作H,则

    因为,所以

    同理,又平面

    平面,又平面平面

    所以点的轨迹为线段,且,故D正确.

    故选:C.

     

    二、填空题

    13.若方程表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是__________

    【答案】

    【分析】把椭圆的方程化为标准形式,列出不等式即得.

    【详解】由题意,方程可化为

    因为方程表示焦点在轴上的椭圆,

    可得,解得

    即实数的取值范围是.

    故答案为:.

    14.过点作圆的两条切线,切点分别为MN,则________

    【答案】##

    【分析】根据题意作出图像,利用两点距离公式求得,再在中利用正弦函数的定义求得,进而求得.

    【详解】依题意,连结,记的交点,

    因为与圆相切,所以的中点,

    因为,所以

    ,所以在中,

    故在中,

    所以.

    故答案为:.

    15.如图,两条异面直线ab所成角为,在直线上ab分别取点E和点AF,使.已知.则线段______.

    【答案】

    【分析】根据空间向量的加法,利用向量数量积的性质计算模长,建立方程,可得答案.

    【详解】因为,所以

    由于,则

    又因为两条异面直线ab所成角为,所以

    ,可得.

    故答案为:

     

    三、双空题

    16.城市的许多街道是相互垂直或平行的,因此乘坐出租车时往往不能沿直线到达目的地,只能按直角拐弯的方式行进.在平面直角坐标系中,定义之间的出租车距离.已知,则到点AB距离相等的点的轨迹方程为________,到ABC三点距离相等的点的坐标为________

    【答案】          .

    【分析】根据定义列方程化简可得到点距离相等的点的轨迹方程,根据定义再求到点距离相等的点的轨迹方程,求两轨迹的交点可得第二空结论.

    【详解】设到点AB距离相等的点为,则

    因为,所以

    时, ,即,矛盾,

    时, ,即

    时, ,即,矛盾,

    时, ,即,矛盾,

    时, ,即

    时, ,即,矛盾,

    时, ,即,矛盾,

    时, ,即

    时, ,即,矛盾,

    所以到点AB距离相等的点的轨迹方程为

    设到点距离相等的点为,则

    因为,所以

    时, ,即,矛盾,

    时, , 即,矛盾

    时, ,即,矛盾,

    时, ,即

    时, ,即

    时, ,即

    时, ,即,矛盾,

    时, ,即,矛盾,

    时, ,即,矛盾,

    所以到 距离相等的点的轨迹方程为

    作两方程的图象可得:

    观察图象可得两曲线有一个交点,且交点纵坐标为,代入可得

    所以两曲线的交点坐标为

    故答案为:.

     

    四、解答题

    17.已知双曲线C的焦点在x轴上,焦距为4,且它的一条渐近线方程为

    (1)C的标准方程;

    (2)若直线与双曲线C交于AB两点,求

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)焦点在轴上,设方程为根据题意求出即可

    2)设点,联立方程组,消元得一元二次方程,由韦达定理,然后利用弦长公式计算即可

    【详解】1)因为焦点在轴上,设双曲线的标准方程为

    由题意得

    所以

    又双曲线的一条渐近线为

    所以

    联立上述式子解得

    故所求方程为

    2)设

    联立,整理得

    所以

    18.已知的顶点,重心

    (1)求线段BC的中点坐标;

    (2)的垂心为H,若BH都在直线上,求H的坐标.

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】第一问根据顶点到重心的距离与重心到底边中点的距离比为,可得对应的共线向量解决求的中点;根据,设点的坐标,根据的中点可以用表示,根据点上且点上,求出点的坐标,根据垂直求出的方程,然后联立.

    【详解】1)设中点

    因为的重心,且

    所以,即

    所以,所以中点

    2)因为的方程为,且的垂心

    所以,所以

    所以直线的方程为:,即

    所以设点,又因为的中点,设

    又因为点在直线上,即,所以

    所以,所以,则边上的高线

    而点也在直线上,所以点的坐标即为的交点

    .

    19.如图,四棱锥中,底面是直角梯形,

    (1)求证:平面

    (2)求直线与平面所成角的正弦值.

    【答案】(1)证明见解析

    (2)

     

    【分析】1)取的中点,连接,证明出,再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立;

    2)点为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.

    【详解】1)证明:由于,所以

    由于平面,所以平面

    平面,由平面,得.

    的中点,连接

    因为底面是直角梯形,

    故四边形为矩形,且

    所以在中,,即

    由于平面,所以平面.

    2)解:平面,以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

    设平面的法向量为,则,取,可得

    所以,.

    所以,直线与平面所成角的正弦值为.

    20.如图,已知圆,点为直线上一动点,过点作圆的切线,切点分别为,且两条切线轴分别交于两点.

    (1)在直线上时,求的值;

    (2)运动时,直线是否过定点?若是,求出该定点坐标;若不是,请说明理由.

    【答案】(1)

    (2)直线过定点

     

    【分析】1)求出点的坐标,分析可知过点且与圆相切的直线的斜率存在,设出切线方程,利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线的斜率,求出两条切线的方程,可求得点的坐标,再利用平面内两点间的距离公式可求得的值;

    2)设点,写出以点为圆心,为半径的圆的方程,将圆的方程与圆的方程作差,可得出直线的方程,化简直线的方程,可得出直线所过定点的坐标.

    【详解】1)解:联立可得,即点

    若过点的直线垂直于轴,则该直线的方程为,显然直线与圆不相切,

    设过点且与圆相切的直线的方程为,即

    则圆心到切线的距离为,整理可得,解得

    由图可知,直线的方程为,则直线的方程为

    在直线的方程中,令,可得,即点

    在直线的方程中,令,可得,即点

    因此,.

    2)解:分析知在以为圆心,为半径的圆上,设

    所以,以点为圆心,半径为的圆的方程为

    将圆和圆的方程作差,消去可得

    ,故直线的方程为.

    可得,因此,直线过定点.

    【点睛】方法点睛:求解直线过定点问题常用方法如下:

    1特殊探路,一般证明:即先通过特殊情况确定定点,再转化为有方向、有目的的一般性证明;

    2一般推理,特殊求解:即设出定点坐标,根据题设条件选择参数,建立一个直线系或曲线的方程,再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即为所求点;

    3)求证直线过定点,常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.

    21.已知正四棱柱中,点为棱的中点.

    (1)求二面角的余弦值;

    (2)连接,若点为直线上一动点,求当点到直线距离最短时,线段的长度.

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)以为原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可求得二面角的余弦值;

    2)设,其中,计算出点到直线的距离的表达式,利用二次函数的基本性质可求出的最小值及对应的的值,进而可求得的长.

    【详解】1)解:以为原点,所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系,

    设平面的法向量为,则

    ,则

    设平面的法向量为,则

    ,可得

    由图可知,二面角的平面角为锐角,

    故二面角的余弦值为.

    2)解:设,其中

    ,设点到直线的距离为

    故当时,取最小值,此时.

    22.已知椭圆过点,过其右焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆于AB两点,且

    (1)求椭圆C的方程;

    (2)若矩形满足各边均与椭圆C相切,求该矩形面积的最大值,并说明理由.

    【答案】(1)

    (2)14,理由见解析

     

    【分析】(1)由条件列关于的方程,解方程求可得椭圆方程;(2)先求当直线的斜率为0或不存在时时满足条件的矩形的面积,再根据直线与椭圆相切的关系求当直线的斜率存在且不为0时矩形的面积的表达式,利用基本不等式求其最值,比较可得结论.

    【详解】1)因为过椭圆的右焦点F且垂直于x轴直线交椭圆于AB两点,

    所以椭圆过点,又椭圆过点

    ,变形,得代入

    ,即,解得,则

    所以椭圆的方程为

    2MN的斜率为0时,

    此时

    MN的斜率不存在时,

    此时

    MN的斜率存在且不为0时,设直线,直线

    联立消去y

    ,化简得,同理可得

    所以两平行线MNPQ的距离

    代替k,可得两平行线MQNP的距离

    所以矩形MNPQ的对角线

    根据基本不等式,当且仅当,即时等号成立,因为

    所以矩形MNPQ面积的最大值为.

    【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时,时常把两个曲线的方程联立,消去x(y)建立一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.

    (2)涉及到直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.

     

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