2022-2023学年河南省许昌市禹州市高级中学高二上学期12月期末数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省许昌市禹州市高级中学高二上学期12月期末数学试题

一、单选题

1．直线在x轴上的截距是（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】C

【分析】根据直线在坐标轴上的截距的定义，建立方程，可得答案.

【详解】将代入直线方程，可得，解得.

故选：C.

2．双曲线的焦点坐标为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】 ，所以 ，并且焦点在轴，那么焦点坐标就是 ，故选C.

3．已知，，则向量与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用空间向量夹角公式即可求解

【详解】由，，

所以

又

所以与的夹角为

故选：A

4．若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】曲线表示圆，曲线表示两条直线和，利用直线与圆的位置关系求解即可.

【详解】由得，

所以表示以为圆心，2为半径的圆，

显然与曲线有两个交点，

所以直线与曲线有除即外的2个交点，

由得，

令解得，

综上，

故选：B

5．对于直线m，n和平面，，的一个充分条件是（    ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】D

【分析】根据空间线面、面面位置关系的判定定理和性质定定理逐个分析即可得答案.

【详解】对A：，，，不一定得到，A错误；

对B：，，，不一定得到，B错误；

对C：，，，则或两平面重合，C错误；

对D：，，则，又， 所以，D正确；

故选：D.

6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段的中点，且，则C的离心率为（    ）

A． B．2 C． D．3

【答案】B

【分析】由题意可得为直角三角形，再结合A为线段的中点，可得AO垂直平分，可表示出直线，再联立渐近线方程可以得到，，的关系，进而得到双曲线离心率

【详解】由题意可知，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，当两个交点分别在第二和第三象限时不符合，

A为线段的中点，当交点在轴上方或轴下方时，根据对称性结果是一样的，选择一种即可，如图.

根据双曲线可得，，，两条渐近线方程，

，为的中点，

，又A为线段BF1的中点，垂直平分，

可设直线为①，直线为②，直线为③，

由②③得，交点坐标，点还在直线上，，可得，

，所以双曲线C的离心率，

故选：B

7．已知点P在直线上运动，点E是圆上的动点，点F是圆上的动点，则的最大值为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】D

【分析】作出关于直线的对称圆，把转化到与，直线同侧的，数形结合找到取最大值的位置，求出的最大值.

【详解】如图所示，

圆的圆心为，半径为3，

圆关于直线的对称圆为圆B，其中设圆心B坐标为，

则 ，解得：，

故圆B的圆心为，半径为1，

由于此时圆心A与圆心B的距离为：，

大于两圆的半径之和，所以两圆相离，此时点的对称点为，且，所以，在P点运动过程中，当P，B，A，，F五点共线时，且在圆B左侧，点F在圆A右侧时，最大，最大值为

故选：D.

8．在正四面体中，点E在棱AB上，满足，点F为线段AC上的动点，则（    ）

A．存在某个位置，使得

B．存在某个位置，使得

C．存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为

D．存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为

【答案】C

【分析】设正四面体的底面中心为点，连接，则平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设正四面体的棱长为，然后利用空间向量法逐一分析求解可得结果.

【详解】如下图所示，设正四面体的底面中心为点，连接，则平面，

以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，

设正四面体的棱长为，

则，，，，，

设，其中，

对于A，若存在某个位置使得，，，

所以，解得，不满足题意，故A错误；

对于B，若存在某个位置使得，，，

则，该方程无解，故B错误；

对于C，设平面的一个法向量为，

，，

由，令，则，

若存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为，又，

则，

整理得，解得或（舍去），

所以存在，即为的中点，满足题意，故C正确；

对于D，设平面的一个法向量为，

又，，

由，取，得，

设平面的一个法向量为，

，，

由，取，则，

若存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为，

则，

整理得，易得，所以该方程无解，故D错误.

故选：C.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键点在于建立空间直角坐标系，利用空间向量法解决立体几何的相关问题，解题过程要注意利用方程思想进行向量运算，认真细心，准确计算．

9．方程表示圆，则实数a的可能取值为（    ）

A． B．2 C．0 D．

【答案】D

【分析】先把整理成圆的标准形式，满足右边关于的表达式大于零.

【详解】由，可得，

所以，

解得或，

选项中只有符合题意.

故选：D.

10．若直线m被两平行直线与所截得的线段长为，则直线m的倾斜角可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为，再结合两平行直线的距离公式，以及直线斜率和倾斜角之间的关系，即可求解.

【详解】  设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为，

两平行直线与的距离为 ，

因为直线m被两平行直线与所截得的线段长为，

所以，

所以，

因为直线的斜率为，倾斜角为，

所以直线m的倾斜角可以是或.

故选：B.

11．已知椭圆，，分别为它的左、右焦点，A，B分别为它的左、右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下面结论中不正确的有（    ）

A．的最小值为8

B．的最小值为

C．若，则的面积为

D．若P不与左右顶点重合，直线PA与直线PB斜率乘积为定值

【答案】D

【分析】设点，利用平面向量的坐标运算及模长公式可判断A；利用余弦定理，椭圆定义及基本不等式可判断B；利用三角形的面积公式可判断C；利用斜率公式结合条件可判断D.

【详解】设点，则，且，，，

对于A选项，，

所以，

当且仅当时，等号成立，故的最小值为，A正确；

对于B选项，设，，其中，

，当且仅当时，等号成立，

因此，的最小值为，B正确；

对于C选项，由B选项可知，可得，

所以，，C正确；

对于D选项，由题意可知，则，D错误.

故选：D.

12．如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在侧面及其边界上运动，则下列选项中不正确的是（    ）

A．存在点P满足

B．存在点P满足

C．满足的点P的轨迹长度为

D．满足的点P的轨迹长度为

【答案】C

【分析】假定，结合条件可得，，然后利用圆的位置关系可判断A，利用坐标法可得点P在中心时，可判断B，利用线面垂直的判定定理结合条件可得点P的轨迹可判断CD.

【详解】对于A选项，假设，因为，

又，且始终垂直平面，所以，点在以B为圆心，半径为1的圆上，

同理，，则，点P在以C1为圆心，半径为的圆上，如图1，

又因为，所以两个圆相交有交点，即存在点P满足，故A正确；

对于B选项，如图建立空间直角坐标系， 则，，

若点在正方形中心处，即，

则，，可得，即 ，故B正确；

对于C选项，取的中点，的中点，连接，，，

因为平面，又平面，所以，

在正方形中，，又平面，

所以平面，又平面，

所以，同理可得，又，平面，

所以平面，又因为点P在侧面上，平面平面，

所以点的轨迹为线段，且，故C错误；

对于D选项，过M点作交BC于点G，过M点作交于H，则，

因为，所以，

同理，又平面，

平面，又平面平面，

所以点的轨迹为线段，且，故D正确.

故选：C.

二、填空题

13．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是__________．

【答案】

【分析】把椭圆的方程化为标准形式，列出不等式即得.

【详解】由题意，方程可化为，

因为方程表示焦点在轴上的椭圆，

可得，解得，

即实数的取值范围是.

故答案为：.

14．过点作圆的两条切线，切点分别为M，N，则________．

【答案】##

【分析】根据题意作出图像，利用两点距离公式求得，再在与中利用正弦函数的定义求得，进而求得.

【详解】依题意，连结，记为的交点，

因为与圆相切，所以，，，是的中点，

因为，，所以，

又，所以在中，，，

故在中，，

所以.

故答案为：.

15．如图，两条异面直线a，b所成角为，在直线上a，b分别取点，E和点A，F，使且.已知，，.则线段______.

【答案】或

【分析】根据空间向量的加法，利用向量数量积的性质计算模长，建立方程，可得答案.

【详解】因为，所以，

由于，，则，，

又因为两条异面直线a，b所成角为，所以或，

故，可得或.

故答案为：或

三、双空题

16．城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此乘坐出租车时往往不能沿直线到达目的地，只能按直角拐弯的方式行进．在平面直角坐标系中，定义，之间的“出租车距离”为．已知，则到点A，B“距离”相等的点的轨迹方程为________，到A，B，C三点“距离”相等的点的坐标为________．

【答案】     ；     .

【分析】根据定义列方程化简可得到点，“距离”相等的点的轨迹方程，根据定义再求到点，“距离”相等的点的轨迹方程，求两轨迹的交点可得第二空结论.

【详解】设到点A，B“距离”相等的点为，则

因为，，所以，

即，

当，时， ，即，矛盾，

当，时， ，即，

当，时， ，即，矛盾，

当，时， ，即，矛盾，

当，时， ，即，

当，时， ，即，矛盾，

当，时， ，即，矛盾，

当，时， ，即，

当，时， ，即，矛盾，

所以到点A，B“距离”相等的点的轨迹方程为，

设到点，“距离”相等的点为，则，

因为，，所以，

即，

当，时， ，即，矛盾，

当，时， ， 即，矛盾

当，时， ，即，矛盾，

当，时， ，即，

当，时， ，即，

当，时， ，即，

当，时， ，即，矛盾，

当，时， ，即，矛盾，

当，时， ，即，矛盾，

所以到， “距离”相等的点的轨迹方程为，

作两方程的图象可得：

观察图象可得两曲线有一个交点，且交点纵坐标为，代入可得，

所以两曲线的交点坐标为，

故答案为：，.

四、解答题

17．已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为．

(1)求C的标准方程；

(2)若直线与双曲线C交于A，B两点，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）焦点在轴上，设方程为根据题意求出即可

（2）设点，联立方程组，消元得一元二次方程，由韦达定理，然后利用弦长公式计算即可

【详解】（1）因为焦点在轴上，设双曲线的标准方程为，

由题意得，

所以，①

又双曲线的一条渐近线为，

所以，②

又，③

联立上述式子解得，，

故所求方程为；

（2）设，，

联立，整理得，

由，

所以，，

即

18．已知的顶点，重心．

(1)求线段BC的中点坐标；

(2)记的垂心为H，若B、H都在直线上，求H的坐标．

【答案】(1)

(2)

【分析】第一问根据顶点到重心的距离与重心到底边中点的距离比为，可得对应的共线向量解决求的中点；根据求，设点的坐标，根据的中点可以用表示，根据点在上且点在上，求出点的坐标，根据与垂直求出的方程，然后联立与.

【详解】（1）设中点，

因为为的重心，且，

所以，即

所以，所以中点

（2）因为的方程为，且为的垂心

所以即，所以

所以直线的方程为：，即

所以设点，又因为的中点，设则

即

又因为点在直线上，即，所以

所以，所以，则边上的高线为

而点也在直线：上，所以点的坐标即为与的交点

即.

19．如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，．

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点，连接，证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.

【详解】（1）证明：由于，，所以，

由于，，、平面，所以平面，

平面，由平面，得.

取的中点，连接，

因为底面是直角梯形，且，，

故四边形为矩形，且且，，

所以在中，，，，即，

由于，、平面，所以平面.

（2）解：平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、，

，，，

设平面的法向量为，则，取，可得，

所以，.

所以，直线与平面所成角的正弦值为.

20．如图，已知圆，点为直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别为、，且两条切线、与轴分别交于、两点．

(1)当在直线上时，求的值；

(2)当运动时，直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．

【答案】(1)

(2)直线过定点

【分析】（1）求出点的坐标，分析可知过点且与圆相切的直线的斜率存在，设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线的斜率，求出两条切线的方程，可求得点、的坐标，再利用平面内两点间的距离公式可求得的值；

（2）设点，写出以点为圆心，为半径的圆的方程，将圆的方程与圆的方程作差，可得出直线的方程，化简直线的方程，可得出直线所过定点的坐标.

【详解】（1）解：联立可得，即点，

若过点的直线垂直于轴，则该直线的方程为，显然直线与圆不相切，

设过点且与圆相切的直线的方程为，即，

则圆心到切线的距离为，整理可得，解得，，

由图可知，直线的方程为，则直线的方程为，

在直线的方程中，令，可得，即点，

在直线的方程中，令，可得，即点，

，，

因此，.

（2）解：分析知、在以为圆心，为半径的圆上，设，

，，，

所以，以点为圆心，半径为的圆的方程为，

将圆和圆的方程作差，消去、可得，

即，故直线的方程为.

由可得，因此，直线过定点.

【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.

21．已知正四棱柱中，，，点为棱的中点．

(1)求二面角的余弦值；

(2)连接，若点为直线上一动点，求当点到直线距离最短时，线段的长度．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值；

（2）设，其中，计算出点到直线的距离的表达式，利用二次函数的基本性质可求出的最小值及对应的的值，进而可求得的长.

【详解】（1）解：以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、，

则，，，

设平面的法向量为，则，

取，则，

设平面的法向量为，则，

取，可得，，

由图可知，二面角的平面角为锐角，

故二面角的余弦值为.

（2）解：设，其中，

则，

令，设点到直线的距离为，

则，

故当时，取最小值，此时.

22．已知椭圆过点，过其右焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若矩形满足各边均与椭圆C相切，求该矩形面积的最大值，并说明理由．

【答案】(1)

(2)14，理由见解析

【分析】(1)由条件列关于的方程，解方程求可得椭圆方程；(2)先求当直线的斜率为0或不存在时时满足条件的矩形的面积，再根据直线与椭圆相切的关系求当直线的斜率存在且不为0时矩形的面积的表达式，利用基本不等式求其最值，比较可得结论.

【详解】（1）因为过椭圆的右焦点F且垂直于x轴直线交椭圆于A，B两点，，

所以椭圆过点，又椭圆过点，

有，变形，得代入②，

得，即，，解得，则，

所以椭圆的方程为；

（2）①当MN的斜率为0时，，，

此时，

②当MN的斜率不存在时，，，

此时，

③当MN的斜率存在且不为0时，设直线：，直线：，，

联立消去y得，

，化简得，同理可得，

所以两平行线MN和PQ的距离，

以代替k，可得两平行线MQ和NP的距离，

所以矩形MNPQ的对角线，

根据基本不等式，当且仅当，即时等号成立，因为

所以矩形MNPQ面积的最大值为.

【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．