2022-2023学年广东省肇庆市百花中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省肇庆市百花中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．若直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由斜率公式与斜率的定义求解即可

【详解】因为直线经过，两点，

所以直线的斜率为．

设直线的倾斜角为，则，

又，

所以，

所以直线的倾斜角为．

故选：C

2．已知为直线l的方向向量，，分别为平面α、β的法向量，则下列说法中，正确的有（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题意，根据空间向量在立体几何中的应用，可得答案.

【详解】对于A，由，则平面平行或重合，而，可得，故A错误；

对于B，由，则，反之也成立，故B正确；

对于C，由，则，反之，由，则，故C错误；

对于D，由，则或，反之，由，则，故D错误；

故选：B.

3．若，，则直线的图象只能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由一般式方程转化为截距式方程，根据斜率与截距的取值，可得答案.

【详解】由题意，，将方程转化为，易知，，

故选：D.

4．若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由空间向量夹角的坐标运算求异面直线与的夹角的余弦值，注意夹角范围.

【详解】设，所成的角为，则.

故选：D

5．已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出过点的直线与圆相切的直线方程，利用两直线垂直列方程求出m.

【详解】设过点的直线为l.

（1）当l的斜率不存在时，直线l：.圆的圆心到l的距离为，所以不是圆的切线，不合题意.

（2）当l的斜率存在时，直线l：.由题意可得：，解得：k=2.

因为l与直线垂直，所以，解得：m=-2.

故选：C

6．如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用空间向量的加法、减法和数乘运算求解.

【详解】，

，

，

，

故选：A.

7．如图，在平行六面体中，，，，则（    ）

A．12 B．8 C．6 D．4

【答案】B

【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.

【详解】

故选：B

8．已知两点，过点的直线与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分别求出点与线段端点所成直线的斜率，即可得直线的斜率范围，再由倾斜角与斜率关系求倾斜角范围即可求解.

【详解】由题意：如下图所示：

所以，，则，

若直线的倾斜角，则，所以，

故选：.

二、多选题

9．设直线与，则（    ）

A．当时， B．当时，

C．当时，l、n间的距离为 D．坐标原点到直线n的距离的最大值为

【答案】ACD

【分析】利用直线平行、垂直的判定判断A、B；由直线平行求参数a，再代入验证，进而应用平行线距离公式求距离，由点线距离公式和二次函数性质求原点到直线n的距离最值，即可判断C、D.

【详解】A：时，，，易知，正确；

B：时，，，则，故不成立，错误；

C：时，，则，可得或，

当时，，，两线重合，排除；

所以，由A知：它们的距离，正确；

D：坐标原点到直线n的距离，故时，正确.

故选：ACD

10．下列说法中，正确的有（    ）

A．过点且在、轴截距相等的直线方程为

B．圆与圆的位置关系是外切

C．直线的倾斜角为

D．过点且倾斜角为的直线方程为

【答案】BD

【分析】利用直线的截距式方程可判断A选项；判断两圆的位置关系，可判断B选项；求出直线的倾斜角，可判断C选项；求出所求直线的方程，可判断D选项.

【详解】对于A选项，当直线过原点时，设所求直线方程为，代入点的坐标可得，

当直线不过原点时，设所求直线方程为，代入点的坐标可得.

综上所述，过点且在、轴截距相等的直线方程为或，故A错误；

对于B选项，圆的圆心为，半径为，

圆的标准方程为，圆心为，半径为，

圆心距为，

因此，圆与圆的位置关系是外切，B对；

对于C选项，直线的斜率为，该直线的倾斜角为，C错；

对于D选项，过点且倾斜角为的直线方程为，D对.

故选：BD.

11．下列关于空间向量的命题中，正确的有（    ）

A．若向量是空间的一个基底，则也是空间的一个基底

B．若，则的夹角是锐角

C．已知，若与垂直，则

D．空间向量夹角的余弦值为

【答案】AD

【分析】根据空间向量基底概念得到，设出，计算出且不全为0，A正确；B选项，举出反例；C选项，由垂直列出方程，求出，C错误；利用空间向量夹角余弦公式求出答案.

【详解】向量是空间的一个基底，故存在不全为0的使得任意向量，

则设，

对照系数可知：，解得：，

故不全为0，故A正确；

若共线且同向，此时满足，但夹角为0，不是锐角，B错误；

，

，

由题意得：，解得：，C错误；

空间向量，D正确.

故选：AD

12．如图，已知长方体中，四边形为正方形，，，，分别为，的中点.则（    ）

A． B．点､､､四点共面

C．直线与平面所成角的正切值为 D．三棱锥的体积为

【答案】BCD

【分析】利用反证法判断A；利用直线平行判断B；利用线面角的定义判断C；利用锥体体积公式判断D.

【详解】对于A，假设，由题意知平面，平面，，又，平面，由长方体性质知与平面不垂直，故假设不成立，故A错误；

对于B，连接，，，由于，分别为，的中点，，又因为长方体，知，，所以点､､､四点共面，故B正确；

对于C，由题意可知平面，为直线与平面所成角，在直角中，，，则，故C正确；

对于D，连接，，，则，利用等体积法知：，故D正确

故选：BCD

三、填空题

13．过两直线与的交点，且与直线垂直的直线的方程为______．

【答案】

【分析】求出两直线交点坐标，再根据所求直线与直线垂直，确定所求直线斜率，再利用点斜式即可得到答案.

【详解】根据题意可得，解得，则两直线交点坐标为，

又所求直线与直线垂直，则所求直线的斜率为，

则所求直线方程为，整理得，

故答案为：.

14．直线：被圆：截得的弦长为_____________.

【答案】

【分析】求出圆心和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后利用半径，圆心距和弦的关系可求出弦长

【详解】由，得，

所以圆的圆心为，半径为6，

因为圆心到直线的距离为，

所以直线被圆截得的弦长为.

故答案为：

15．已知直线过定点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为__________．

【答案】##

【分析】利用空间中的点到直线的距离公式求解即可．

【详解】设，，则

则点P到直线的距离．

故答案为：．

16．已知圆与圆没有公共点，则实数a的取值范围为______．

【答案】或

【分析】根据两圆无公共点,可知两圆相离或者内涵,故根据圆心距和两圆半径的关系即可求解.

【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，圆心距，因为两圆没有公共点，所以两圆外离或内含，则或，即或，又因为，所以或．

故答案为:或．

四、解答题

17．直线与直线相交于点，直线过点且与直线平行.

(1)求直线的方程；

(2)求圆心在直线上且过点的圆的方程.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由题可得，然后根据直线的位置关系可设，进而即得；

（2）根据圆的几何性质可得圆心和半径，即得.

【详解】（1）由，可得，即，

由题可设直线，又直线过点，

所以，

所以直线的方程为；

（2）因为圆心在直线上且过点，

由，可得线段的中垂线方程为，

由，可得，

所以圆心坐标为，半径为，

所以圆心在直线上且过点的圆的方程为.

18．如图在棱长为1的正方体中，为的中点，为的中点，为的中点，为的中点.

(1)求直线到直线的距离；

(2)求直线到平面的距离.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，经过计算可发现，则直线到直线的距离可转化成点到直线的距离，然后利用向量方法进行求解即可；

（2）经过计算可发现平面，则直线到平面的距离可转化成到平面的距离，然后利用向量方法进行求解即可

【详解】（1）

以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则

所以，，则，即，则，

所以直线到直线的距离可转化成点到直线的距离，

，，

在上的投影向量的长度为，，

所以点到直线的距离．

所以直线到直线的距离为

（2）由（1）可得，，，

设平面的法向量为，

由，令，则，得，

因为，所以，则平面，

所以直线到平面的距离可转化成到平面的距离，

则，

所以直线到平面的距离

19．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为，，.

(1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标.

(2)求四边形ABCD的面积.

(3)求边AB上的高所在直线方程.

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】(1)利用平行四边形的性质结合中点坐标公式计算得解.

(2)求出直线BC的方程，再求出顶点A到直线BC的距离及线段BC的长即可计算得解.

(3)求出直线AB的斜率即可求得边AB上的高所在直线方程.

【详解】（1）的顶点，，，则对角线AC中点为，

于是得对角线BD的中点是，设，因此有，，解得：，

所以平行四边形ABCD的顶点.

（2）因，，即有直线BC斜率，直线BC的方程：，即，

因此，点A到直线BC的距离为，而，

从而得，

所以四边形ABCD的面积为.

（3）依题意，直线AB的斜率，则边AB上的高所在直线的斜率为，

于是有：，即.

所以边AB上的高所在直线的方程为.

20．已知圆心为的圆经过这三个点．

(1)求圆的标准方程；

(2)直线过点，若直线被圆截得的弦长为10，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）设圆的标准方程为，带入三点坐标解方程组可得答案；

（2）当直线的斜率不存在时，得直线方程求弦长；当直线的斜率存在时，设其方程为，利用圆心到直线的距离、圆的半径、弦的一半构成的直角三角形计算可得答案.

【详解】（1）设圆的标准方程为，

因为过，所以

，解得，

所以圆的标准方程为；

（2）当直线的斜率不存在时，其方程为，

由，解得或，

所以直线被圆截得的弦长为，符合题意；

当直线的斜率存在时，设其方程为，即，

圆心到直线的距离为，

因为直线被圆截得的弦长为10，所以，

即，解得，

直线的方程为.

综上所述，直线的方程为或.

21．如图，已知平面，底面为矩形，，，分别为，的中点.

(1)求证：平面；

(2)求与平面所成角的正弦值；

(3)求平面与平面的夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)；

(3).

【分析】（1）若为中点，连接，易证为平行四边形，则，根据线面平行的判定证结论；

（2）构建空间直角坐标系，求的方向向量与平面的法向量，应用向量夹角坐标表示求线面角的正弦值；

（3）由是面的一个法向量，结合（2）并应用向量夹角坐标表示求面面角的余弦值；

【详解】（1）若为中点，连接，又、为、的中点，底面为矩形，

所以且，而且，

所以且，故为平行四边形，

故，又面，面，则面.

（2）由题意，可构建如下图示的空间直角坐标系，，

所以，，，，则，，，

若是面的一个法向量，则，令，故，

所以与平面所成角的正弦值为.

（3）由（2）知：是面的一个法向量，又是面的一个法向量，

所以，故平面与平面的夹角的余弦值.

22．如图多面体中，四边形是菱形，，平面，，

(1)证明：平面平面；

(2)在棱上有一点，使得平面与平面的夹角为，求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点，连接交于，连接，，证明，利用平面，证明平面，从而平面平面；

（2）建立平面直角坐标系，设，求出二面角，再求得的值，即可得到的坐标，再利用空间向量法求出点到面的距离．

【详解】（1）证明：取的中点，连接交于，连接，，

因为是菱形，所以，且是的中点，

所以且，又，，

所以且，所以四边形是平行四边形，

所以，

又平面，平面，所以，

又因为，平面，

所以平面，所以平面，

又平面，所以平面平面；

（2）解：取的中点，由四边形是菱形，，则，

是正三角形，，，又平面，

所以以为原点，，，为坐标轴建立空间直角坐标系，

设在棱上存在点使得平面与平面的夹角为，

则，，，，，，

则设，，

所以，，，，

设平面的一个法向量为，，，

则，即，令，，

得

平面的法向量可以为，

，解得，

所以，则

设平面的一个法向量为，

则，即，取，得，

所以点到平面的距离.