2021-2022学年上海市上南中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市上南中学高二上学期期末数学试题

一、填空题

1．空间两点和间的距离为__．

【答案】

【分析】直接由空间中两点的距离公式得出.

【详解】

故答案为：.

2．直线的倾斜角为______．

【答案】

【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．

【详解】设直线的倾斜角为．

由直线化为，故，

又，故，故答案为．

【点睛】一般地，如果直线方程的一般式为，那么直线的斜率为，且，其中为直线的倾斜角，注意它的范围是．

3．若两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为__________．

【答案】1:8

【详解】试题分析：由求得表面积公式得半径比为，由体积公式可知体积比为

【解析】球体的表面积体积

4．经过点且斜率为2的直线的一般式方程为__．

【答案】

【分析】根据点斜式公式直接求解即可.

【详解】解：因为直线过点且斜率为2，

所以，直线的方程为，即．

故答案为：

5．空间向量，若，则__．

【答案】2

【分析】由向量平行的坐标运算求得即可求得的值.

【详解】若，则，则，所以．

故答案为：2

6．某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取_________名学生．

【答案】40

【详解】试题分析：该学院的C专业共有1200-380-420=400，所以，在该学院的C专业应抽取学生数为400×=40.

【解析】本题主要考查分层抽样．

点评：简单题，分层抽样应满足：各层样本数÷该层样本容量=抽样比．

7．若向量，则向量的夹角为_____．

【答案】

【分析】直接利用空间向量的夹角公式求解.

【详解】根据题意，设向量的夹角为，

向量

则向量

则

又由，则

故答案为：．

8．棱长为2的正方体的外接球的表面积为______．

【答案】

【分析】求出正方体的体对角线的长度，就是它的外接球的直径，求出半径，进而求出球的表面积.

【详解】棱长为2的正方体的外接球的直径等于其体对角线长度，

所以外接球的直径

故答案为：

9．已知圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥侧面展开图的圆心角的大小为_________．

【答案】

【解析】圆锥的底面半径为1，高为，则圆的周长是2，即展开图的弧长，根据勾股定理可知圆锥母线即展开图的半径，再利用弧长公式计算.

【详解】圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的母线长为，

即展开后所得扇形的半径为2，

圆锥底面圆的周长即为展开后所得扇形的弧长，

所以根据弧长公式可知，

解得

故答案为：

10．已知样本的平均数是，标准差是，则________.

【答案】96

【详解】，，

11．已知异面直线所成角为，过空间一点有且仅有条直线与所成角都是，则的取值范围是___________.

【答案】

【分析】将直线平移交于点，并作及其外角的角平分线；根据过空间一点有且仅有条直线与所成角都是，可知方向上有两条，方向上不存在，由此可得范围.

【详解】将直线平移交于点，设平移后的直线为，

过点作及其外角的角平分线，则；

在方向，要使过空间一点的直线，且与所成角都是的直线有两条，则；

在方向，要使过空间一点的直线，且与所成角都是的直线不存在，则；

综上所述：.

故答案为：.

12．如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为________．

【答案】2.

【分析】分析：要求小虫爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．

详解：

由题意知底面圆的直径AB＝2，

故底面周长等于2π.

设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，

根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π＝，

解得n＝90，

所以展开图中∠PSC＝90°，

根据勾股定理求得PC＝2，

所以小虫爬行的最短距离为2.

故答案为2

点睛：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．

13．在棱长为的正方体中，点分别是线段（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是___________.

【答案】

【分析】由线面平行的性质定理知， ∽ ， ，

设，则 ， 到平面 的距离为 ，则 ,

所以，所以四面体 的体积为，

当 时，四面体 的体积取得最大值： ．

所以答案应填： ．

【解析】1、柱、锥、台体体积；2、点、线、面的位置关系．

【思路点睛】本题考查正方形中几何体的体积的求法，找出所求四面体的底面面积和高是解题的关键，考查计算能力，属于中档题．由线面平行的性质定理知， ∽ ，设出，则 ， 到平面 的距离为 ，表示出四面体 的体积，通过二次函数的最值，求出四面体的体积的最大值．

14．在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则下列说法中，正确的有_________（请填入所有正确说法的序号）

①当时，的周长为定值

②当时，三棱锥的体积为定值

③当时，有且仅有一个点P，使得

④当时，有且仅有一个点P，使得平面

【答案】②④

【分析】①结合得到P在线段上，结合图形可知不同位置下周长不同；②由线面平行得到点到平面距离不变，故体积为定值；③结合图形得到不同位置下有，判断出③错误；④结合图形得到有唯一的点P，使得线面垂直.

【详解】由题意得：，，，所以P为正方形内一点，

①，当时，，即，，所以P在线段上，所以周长为，如图1所示，当点P在处时，，故①错误；

②，如图2，当时，即，即，，所以P在上，，因为∥BC，平面，平面，所以点P到平面距离不变，即h不变，故②正确；

③，当时，即，如图3，M为中点，N为BC的中点，P是MN上一动点，易知当时，点P与点N重合时，由于△ABC为等边三角形，N为BC中点，所以AN⊥BC，又⊥BC，，所以BN⊥平面，因为平面，则，当时，点P与点M重合时，可证明出⊥平面，而平面，则，即，故③错误；

④，当时，即，如图4所示，D为的中点，E为的中点，则P为DE上一动点，易知，若平面，只需即可，取的中点F，连接，又因为平面，所以，若，只需平面，即即可，如图5，易知当且仅当点P与点E重合时，故只有一个点P符合要求，使得平面，故④正确.

故选：②④

【点睛】立体几何的压轴题，通常情况下要画出图形，利用线面平行，线面垂直及特殊点，特殊值进行排除选项，或者用等体积法进行转化等思路进行解决.

二、单选题

15．下列几何体中，多面体是（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】判断各选项中几何体的形状，从而可得出多面体的选项.

【详解】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体；

C选项中的几何体是圆柱，旋转体；D选项中的几何体是圆锥，是旋转体.

故选B.

【点睛】本题考查多面体的判断，要熟悉多面体与旋转体的基本概念，考查对简单几何体概念的理解，属于基础题.

16．类比平面内“垂直于同条一直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中有下列结论：

①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；

②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；

③垂直于同一个平面的两条直线互相平行；

④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．

其中正确的是（    ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

【答案】B

【分析】垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交、或异面，判断①；由直线与平面平行的性质判断②；由平面平行的判定定理判断③；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，判断④．

【详解】垂直于同一条直线的两条直线平行、相交、或异面，①错误；

垂直于同一个平面的两条直线互相平行，由直线与平面平行的性质知②正确；

垂直于同一条直线的两个平面互相平行，由平面平行的判定定理知③正确；

垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，④错误；

故选：B

【点睛】本题考查命题的真假判断，考查空间点线面的位置关系，属于基础题．

17．“直线的方向向量与平面的法向量垂直”是“直线与平面平行”的（    ）

A．充要条件 B．充分非必要条件

C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】C

【分析】根据直线与平面平行的性质及判定定理可得．

【详解】直线的方向向量与平面的法向量垂直，不一定得到直线与平面平行，例如直线在平面内的时候就不满足，

当直线与平面平行时，可以得到直线的方向向量与平面的法向量垂直，

前者不能推出后者，后者可以推出前者，

前者是后者的必要不充分条件，

即“直线的方向向量与平面的法向量垂直”是“直线与平面平行”的必要不充分条件.

故选：C

18．已知集合A是集合B的真子集，则下列关于非空集合A，B的四个命题：

①若任取，则是必然事件；

②若任取，则是不可能事件；

③若任取，则是随机事件；

④若任取，则是必然事件．

其中正确的命题有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】、

由题意作出韦恩图，结合必然事件、不可能事件和随机事件的定义对选项一一判断即可得出答案.

【详解】因为集合A是集合B的真子集，所以集合A中的元素都在集合B中，集合B中存在元素不是集合A中的元素，作出其韦恩图如图：

对于①：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，任取，则是必然事件，故①正确；

对于②：任取，则是随机事件，故②不正确；

对于③：因为集合A是集合B的真子集，

集合B中存在元素不是集合A中的元素，

集合B中也存在集合A中的元素，

所以任取，则是随机事件，故③正确；

对于④：因为集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，

任取，则是必然事件，故④正确；

所以①③④正确，正确的命题有3个．

故选：C．

19．在正四棱柱中，顶点到对角线和到平面的距离分别为和，则下列命题中正确的是

A．若侧棱的长小于底面的变长，则的取值范围为

B．若侧棱的长小于底面的变长，则的取值范围为

C．若侧棱的长大于底面的变长，则的取值范围为

D．若侧棱的长大于底面的变长，则的取值范围为

【答案】C

【详解】设侧棱长是， 底面的变长是，点到对角线的距离即为直角三角形斜边上的高，，点到平面的距离分别即为直角三角形斜边上的高，

若侧棱的长小于底面的边长，

即，

A,B错误；

若侧棱的长大于底面的边长，

即，

选C

20．如图，在正方体中，点为线段的中点．设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设出正方体棱长，表达出，判断出在是严格减函数，从而求出最值，得到取值范围.

【详解】设正方体的棱长为2，

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，，

，

设平面的法向量，则，

取，得，

所以

，

因为，所以在上单调递减，

且，

由复合函数单调性可知单调递增，

所以在是严格减函数，

所以时，取最小值，

时，取最大值．

所以的取值范围是．

故选：C．

【点睛】方法点睛：线面角最值求解，常常用到以下方法：

一是向量法，建立空间直角坐标系，需要引入变量，转化为函数的最值问题进行求解；

二是定义法，常常需要作出辅助线，找到线面角，求出最值，常用知识点有正弦定理，余弦定理，基本不等式等；

三、解答题

21．甲、乙两位同学上课后独自完成自我检测题，甲及格概率为，乙及格概率为，求：

(1)求甲、乙两人都及格的概率；

(2)求至少有一人及格的概率；

(3)求恰有一人及格的概率．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据独立事件的乘法公式求解即可；

（2）先求出两人都不及格的概率，再根据对立事件概率求解即可；

（3）根据独立事件的乘法公式求解即可；

【详解】（1）解：因为甲及格概率为，乙及格概率为，

所以，甲、乙两人都及格的概率.

（2）解：因为甲及格概率为，乙及格概率为，

所以，两人都不及格的概率为，

所以，至少有一人及格的概率；

（3）解：因为甲及格概率为，乙及格概率为，

所以，恰有一人及格的概率．

22．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，．

(1)求频率分布直方图中的值；

(2)求该企业50名职工对该部门评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值表示）；

(3)从评分在的职工的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率．

【答案】(1)

(2)80

(3)

【分析】（1）根据频率和为求解即可；

（2）直接根据频率分布直方图计算平均数即可；

（3）先计算各组的频数，再结合古典概型公式计算即可；

【详解】（1）解：因为，解得；

所以

（2）解：可估算样本平均数为

；

（3）解：由题知，人，，

所以，评分在的职工有人，记为，

评分在的职工有人，记为，

所以，从中随机抽取人，所有的情况为：，，，共10种，

其中，此2人评分都在的有，3种，

所以，此2人评分都在的概率．

23．正方体的棱长为2，分别为的中点，求：

(1)异面直线与所成的角；

(2)求点到平面的距离．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；

（2）根据空间距离的向量方法求解即可.

【详解】（1）以为原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角

坐标系，则，

，

，

所以异面直线与所成的角为；

（2），

设是平面的法向量，

则，令，得，

又，

所以点到平面的距离．

24．如图，圆柱的轴截面是正方形，点在底面圆周上（点异于、两点），点在上，且，若圆柱的底面积与的面积之比等于．

(1)求证：；

(2)求直线与平面所成角的正切值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，结合圆的性质，可得答案；

（2）根据线面角的定义，结合面面垂直性质，利用几何法，可得答案.

【详解】（1）根据圆柱性质，平面．

因为平面，所以．

因为是圆柱底面的直径，点在圆周上，

所以，又，故平面．

因为平面，所以．

又，且，故平面．

因为平面，所以．

（2）因为平面平面，所以过作，

由平面平面，则平面，即为与平面所成角，

设圆柱的底半径为，因为圆柱的轴截面是正方形，

的面积为．圆柱的底面积，

因为圆柱的底面积与的面积之比等于，所以，

解得，所以点为圆柱底面圆的圆心，

则，

即直线与平面所成角的正切值．

25．如图，正四棱锥的底面边长为2，侧棱长是，点为侧棱上的点．

(1)求正四棱锥的体积；

(2)若平面，求二面角的大小；

(3)在（2）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．

【答案】(1)

(2)

(3)当时，平面．

【分析】（1）作出辅助线，找到正四棱锥的高，并求出长度，利用锥体体积公式求出答案；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的大小；

（3）在第二问的基础上，设，通过得到的坐标，结合求出的值，求出答案.

【详解】（1）连接BD与AC相交于点O，连接SO，

因为正四棱锥的底面边长为2，侧棱长是，

所以SO⊥平面ABCD，，

即SO为正四棱锥的高，

故正四棱锥的高，

正方形ABCD的面积为，

所以正四棱锥的体积；

（2）以为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，

建立坐标系如图．由（1）知高．

于是，

，，

故，从而，

所以平面的一个法向量，

平面的一个法向量．

由图可知二面角为锐角，设所求二面角为，

则，

所求二面角的大小为；

（3）在棱上存在一点使平面．

由（2）得是平面的一个法向量，

且，设，

则，

而，即当时，，

而不在平面内，故平面．