2023周口沈丘县长安高级中学高一上学期期中数学试题含解析

沈丘县长安高级中学2022-2023学年度上学期期中考试

高一数学试卷

一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

1. 设集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用并集的定义可得正确的选项.

【详解】，

故选：D.

2. 下列函数中与是同一个函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数相等的定义是：定义域相同且对应关系相同，逐个分析可得答案.

【详解】对于A，的定义域为，与的定义域为不同，故A不正确；

对于B，与是同一函数，故B正确；

对于C，与的对应关系不同，故C不正确；

对于D，与的定义域不同，故D不正确.

故选：B

3. 不等式的解集为（    ）

A. 或 B.

C. 或 D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据二次不等式的解法求解即可.

【详解】可化为，

即，即或．

所以不等式的解集为或.

故选：A

4. 若函数是指数函数，则等于（    ）

A. 或 B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值.

【详解】由题意可得，解得.

故选：C.

5. 已知，，则（    ）

A.  B.  C.  D. 无法确定

【答案】A

【解析】

【分析】作差法比较代数式的大小，作差后整理成平方式相加的形式.

【详解】，，

则.

所以.

故选：A.

6. 已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用集合的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】对于A，，且，即是p的不充分不必要条件，A不是；

对于B，，且，即是p的不充分不必要条件，B不是；

对于C，，即是p的一个充分不必要条件，C是；

对于D，，即是p的必要不充分条件，D不是.

故选：C

7. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）

A. ，， B.

C. ，， D. ，，

【答案】C

【解析】

【分析】先用分离常数法得到，由单调性列不等式组，求出实数的取值范围.

【详解】解：根据题意，函数，

若在区间上单调递减，必有，

解可得：或，即的取值范围为，，，

故选：C．

8. 定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据集合的新定义确定集合中的元素.

【详解】因为，，，

所以，

故集合中的元素个数为3，

故选：C.

9. 关于的不等式 的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（　　）

A.  B.

C  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分类讨论一元二次不等式的解，根据解集中只有一个整数，即可求解.

【详解】由得 ，

若，则不等式无解．

若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则．

若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则．

综上，满足条件的的取值范围是

故选：C．

10. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可.

【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域为.又因为，即，所以函数的定义域为.

故选：C.

11. 对于函数，若对任意的，，，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”，已知是可构成三角形的函数，则实数t的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先判断的奇偶性，然后对进行分类讨论，结合的单调性、最值求得的取值范围.

【详解】，，

当时，，

的定义域为，，所以是偶函数，

为偶函数，只需考虑在上的范围，

当时，在单调递减，

对，，，恒成立，

需，，.

当，在上单调递增，，

对，，，恒成立，

，，，

综上：

故选：B

12. 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．

【详解】[方法一]：

因为是奇函数，所以①；

因为是偶函数，所以②．

令，由①得：，由②得：，

因为，所以，

令，由①得：，所以．

思路一：从定义入手．

所以．

[方法二]：

因为是奇函数，所以①；

因为是偶函数，所以②．

令，由①得：，由②得：，

因，所以，

令，由①得：，所以．

思路二：从周期性入手

由两个对称性可知，函数的周期．

所以．

故选：D．

【点睛】在解决函数性质类问题时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．

二､填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

13. ，则_____________．

【答案】0

【解析】

【分析】由集合间关系列式求解，

【详解】由题意得或，

当时，满足题意，

当时，，舍去，

综上，，

故答案为：0

14. 已知，函数若，则___________.

【答案】2

【解析】

【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.

【详解】，故，

故答案为：2.

15. 已知，，则_________.

【答案】##0.5

【解析】

【分析】根据指数幂的运算法则即得.

【详解】因为，，

所以.

故答案为：.

16. 已知函数，则的值为___________.

【答案】##5.25

【解析】

【分析】根据函数满足即可求解.

【详解】因为,

所以

,

故答案为:.

三､解答题：共70分，解答必须写出必要的文字说明､证明过程或者演算步骤.

17. （1）计算；

（2）已知，求的值．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）根据指数幂的运算性质即可求解；

（2）根据指数幂的运算性质即可求解.

【详解】（1）原式.

（2）因为，所以，

所以.

18. 已知命题，为假命题．

（1）求实数a的取值集合A；

（2）设非空集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值集合．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，利用存在量词命题是假命题列出不等式，求解不等式作答.

（2）根据给定条件，利用必要不充分条件的意义求解作答.

【小问1详解】

命题，为假命题，则命题，为真命题，

显然，否则方程有实根，因此，解得，，

实数a的取值集合.

【小问2详解】

由非空集合知，，解得，，

因“”是“”的必要不充分条件，则，因此，解得，

所以实数m的取值集合是.

19. 已知关于x的不等式的解集为或.

（1）求实数a，b的值；

（2）当时，求函数的值域.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的解的关系列方程求实数a，b的值；(2)研究函数的单调性，利用单调性求值域.

【小问1详解】

因为不等式解集为或，

所以，，为方程的根，且，

所以，，

所以，，

【小问2详解】

由(1) ，任取实数，，设，则

当时，，，，所以，

当时，，，，所以，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，，，

所以函数，的值域为.

20. 已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增.

（1）求m和n的值；

（2）求满足不等式的a的取值范围.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据函数为幂函数可得，求得m,结合幂函数的性质即可求得n的值;

（2）根据（1）的结论，可得，利用函数的性质，可得关于a的不等式，求得答案.

【小问1详解】

∵是幂函数，

∴，解得m=3.

由在上单调递增得，解得.

∵，

∴或.

当时，函数，图象关于y轴对称，符合题意.

当时，函数，图象关于原点对称，不合题意.

综上，，.

【小问2详解】

由（1）得，，∴.

∵函数在和上均单调递减，

∴当时，，当时，.

∴满足不等式的条件为或或，

解得或，

∴满足不等式的的取值范围.

21. 已知函数的定义域为，且对任意的正实数、都有，且当时，，．

（1）求证：；

（2）求；

（3）解不等式．

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】

【分析】（1）令，，由此可求出答案；

（2）令，可求得，再令，，可求得；

（3）先求出函数在上单调性，根据条件将原不等式化为，结合单调性即可求出答案．

【详解】解：（1）令，，则，

∴；

（2）∵，，

∴；

（3）设、且，于是，

∴，

∴在上为增函数，

又∵，

∴，解得，

∴原不等式的解集为．

22. 已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且．

（1）求函数，的解析式；

（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值；

【答案】（1），；（2）．

【解析】

【分析】（1）根据函数的奇偶性构造方程组可解得结果；

（2）代入解析式，换元后化为对恒成立，利用基本不等式求出的最小值可得解.

【详解】（1），用代替得，

则，

解方程组得：，．

（2）由题意可得对任意恒成立，

令，，因为在单调递增，故

则对恒成立

因为，当且仅当时，等号成立.

故，即实数的最大值为.

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

①若在上恒成立，则；

②若在上恒成立，则；

③若在上有解，则；

④若在上有解，则.