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中考数学三轮冲刺过关 回归教材重难点08 反比例函数与一次函数综合问题
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中考数学第三轮复习策略
第三轮复习的形式是模拟中考的综合拉练，查漏补缺，这好比是一个建筑工程的验收阶段，考前练兵。
1、同学们应当注重研究历年的中考题，训练答题技巧、考场心态、临场发挥的能力等。2、第三轮复习应该注意的几个问题：
（1）模拟题必须要有模拟的特点。时间的安排，题量的多少，低、中、高档题的比例，总体难度的控制等要贴近中考题。
（2）模拟题的难度应当立足中考又要高于中考。
（3）详细统计模拟测试失分情况。
（4）对错题进行纠错和消化，与之相关的基础知识要再记忆再巩固。
（5）适当的“解放”，但应保持适度紧张的精神状态。实践证明，适度紧张是正常或者超常发挥的最佳状态。
（6）调节生物钟。尽量把学习、思考的时间调整得与中考答卷时间相吻合。
回归教材重难点08 反比例函数与一次函数综合问题
反比例函数与一次函数综合问题是初中《反比例函数》章节的重点内容，考查的相对比较综合，把反比例函数与一次函数结合起来，以不等式、方程组等为核心。在中考数学中，主要是以解答题形式出现。通过熟练运用的方程、不等式与函数三者之间的关系，提升数学学科素养，提高逻辑思维推断能力。
本考点是中考五星高频考点，在全国各地的中考试卷中均有出现，题目难度较大，甚至有些地方将其作为选填题的压轴题。
1.反比例函数中的有关面积问题
如图，过点、作轴的垂线，垂足分别为、，则根据的几何意义可得，，而，所以，此方法的好处，在于方便，快捷，不易出错
2.待定系数法求反比例函数解析式
反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
1．（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，点在反比例函数的图象上，轴，且交y轴于点C，交反比例函数于点B，已知．
（1）求直线的解析式；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）点D为反比例函数上一动点，连接交y轴于点E，当E为中点时，求的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先求解的坐标，再把的坐标代入正比例函数，解方程即可得到答案；
（2）利用 先求解的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可；
（3）设 而为的中点，利用中点坐标公式求解的坐标，再利用，计算即可得到答案.
【详解】解：（1） 点在反比例函数的图象上， 则
设直线为： 则 所以直线为：
（2） 轴， ．
所以反比例函数为：
（3）设 而为的中点，
【点睛】本题考查的利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，图形与坐标，中点坐标公式，熟练应用以上知识解题是关键.
2．（2021·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象在第二象限交于C，两点，交x轴于点E，若．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）求四边形OCDE的面积．
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）先利用待定系数法求反比例函数解析式，然后结合相似三角形的判定和性质求得C点坐标，再利用待定系数法求函数关系式；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征并结合待定系数法求得A点和E点坐标，然后用的面积减去的面积求解．
【详解】解：（1）将代入中，，
反比例函数的解析式为；
过点D作轴，过点C作轴，
，，，，
将代入中，，解得：，C点坐标为，
将，代入中，可得，解得：，一次函数的解析式为；
（2）设直线OC的解析式为，将代入，得：，解得：，
直线OC的解析式为，
由，设直线DE的解析式为，
将代入可得：，解得：，
直线DE的解析式为，
当时，，解得：，E点坐标为，，
在中，当时，，解得：，A点坐标为，，，
．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的应用，相似三角形的判定和性质，掌握一次函数及反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求函数解析式是解题关键．
3．（2021·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点．
（1）求对应的函数表达式；
（2）过点作轴交轴于点，求的面积；
（3）根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集．
【答案】（1），；（2）；（3）或
【分析】（1）由题意先求出，然后得到点B的坐标，进而问题可求解；
（2）由（1）可得以PB为底，点A到PB的距离为高，即为点A、B之间的纵坐标之差的绝对值，进而问题可求解；
（3）根据函数图象可直接进行求解．
【详解】（1）把点代入反比例函数解析式得：，∴，
∵点B在反比例函数图象上，∴，解得：，∴，
把点A、B作代入直线解析式得：，解得：，∴；
（2）由（1）可得：，，
∵轴，∴，∴点A到PB的距离为，∴；
（3）由（1）及图象可得：当时，x的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键．
4．（2021·山东济宁·中考真题）如图，中，，，点，点，反比例函数的图象经过点A．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线向上平移个单位后经过反比例函数，图象上的点，求，的值．
【答案】（1）；（2），
【分析】（1）作轴，可知，得出点坐标，待定系数法求出解析式即可，
（2）将点代入（1）中解析式和直线的解析式中，分别求出，的值即可．
【详解】（1）如图，作轴，则
，，
点，点，∴OD=OC+CD=6，
代入中，．
（2）在上，
设直线OA解析式为，
直线向上平移个单位后的解析式为：
图象经过（1，12），，解得：，，．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，正比例函数解析式，函数图像的平移，三角形全等的性质与判定，解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的相关性质和数形结合思想．
5．（2021·山东泰安·中考真题）如图，点P为函数与函数图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B．
（1）求m的值；
（2）点M是函数图象上一动点，过点M作于点D，若，求点M的坐标．
【答案】（1）24；（2）M点的坐标为
【分析】(1)根据交点坐标的意义，求得点P的横坐标，利用k=xy计算m即可；
（2）利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可.
【详解】（1）∵点P纵坐标为4，
∴，解得，∴，∴．
（2）∵，∴，
设，则，当M点在P点右侧，
∴M点的坐标为，∴（6+2t）（4-t）=24，解得：，（舍去），
当时，，∴M点的坐标为，
当M点在P点的左侧，∴M点的坐标为，∴（6-2t）（4+t）=24，
解得：，，均舍去．
综上，M点的坐标为．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的解法，熟练掌握函数图像交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键．
6．（2022·重庆·模拟预测）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点A（3，1），B（﹣1，n）两点．
(1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式；
(2)根据图像，直接写出满足的x的取值范围；
(3)连接BO并延长交双曲线于点C，连接AC，求的面积．
【答案】(1)反比例函数的解析式是，一次函数的解析式是；(2)或；(3)8
【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，再把点B的坐标代入反比例函数的解析式可求出B的坐标，把点A、B的坐标代入一次函数即可求出函数的解析式；
（2）根据函数的图像和A、B的坐标即可得出答案；
（3）过C点作轴，交直线AB于D，求出D的坐标，即可求得CD，然后根据即可求出答案．
【详解】(1)解：∵点A（3，1），B（﹣1，n）两点在反比例函数图像上
∴把A（3，1）代入得：，∴反比例函数的解析式是，
又∵B（﹣1，n）代入反比例函数得：，∴B的坐标是（﹣1，﹣3），
把A、B的坐标代入一次函数得：，解得：，，∴一次函数的解析式是．
(2)解：从图像可知：的x的取值范围是当或．
(3)解：过C点作轴，交直线AB于D，∵B（﹣1，﹣3），B、C关于原点对称，∴C（1，3），
把代入得，，∴D（1，﹣1），∴，∴．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力．数形结合思想的运用是解题的关键．
7．（2021·山东泰安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数在图象与反比例函数y（k＜0）的图象在第二象限交于点A（﹣3，m），B（n，2）两点．
(1)当m＝1时，求一次函数的解析式．
(2)若点E在x轴上，满足∠AEB＝90°，且AE＝2﹣m，分别连接OA，OB，求△OAB的面积．
【答案】(1)yx+3；(2)
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式中求出k，进而得出点B坐标，最后用待定系数法求出直线AB的解析式；
（2）先判断出BF＝AE，进而得出△AEG≌Rt△BFG（AAS），得出AG＝BG，EG＝FG，即BE＝BG+EG＝AG+FG＝AF，再求出mn，进而得出BF＝2n，MN＝n+3，即BE＝AF＝n+3，再判断出△AME∽△ENB，根据相似三角形的性质得出MEBN，最后用勾股定理求出m，根据梯形的面积公式即可得出结论．
【详解】(1)解：当m＝1时，点A（﹣3，1），
∵点A在反比例函数y的图象上，∴k＝﹣3×1＝﹣3，
∴反比例函数的解析式为y；
∵点B（n，2）在反比例函数y图象上，∴2n＝﹣3，∴n，
设直线AB的解析式为y＝ax+b，则，∴，∴直线AB的解析式为yx+3；
(2)如图，过点A作AM⊥x轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，过点A作AF⊥BN于F，交BE于G，
则四边形AMNF是矩形，∴FN＝AM，AF＝MN，
∵A（﹣3，m），B（n，2），∴BF＝2﹣m，
∵AE＝2﹣m，∴BF＝AE，
在△AEG和△BFG中，，∴△AEG≌△BFG（AAS），∴AG＝BG，EG＝FG，
∴BE＝BG+EG＝AG+FG＝AF，
∵点A（﹣3，m），B（n，2）在反比例函数y的图象上，∴k＝﹣3m＝2n，∴mn，
∴BF＝BN﹣FN＝BN﹣AM＝2﹣m＝2n，MN＝n﹣（﹣3）＝n+3，∴BE＝AF＝n+3，
∵∠AEM+∠MAE＝90°，∠AEM+∠BEN＝90°，∴∠MAE＝∠NEB，
∵∠AME＝∠ENB＝90°，∴△AME∽△ENB，∴，∴MEBN，
在Rt△AME中，AM＝m，AE＝2﹣m，根据勾股定理得，AM2+ME2＝AE2，∴m2+（）2＝（2﹣m）2，
∴m，∴k＝﹣3m，∴2n，∴n，∴A（﹣3，），B（，2），
∴AM，OM＝3，BN＝2，ON，∴MN，
∴△OAB的面积＝S四边形AMNB+S△BNO﹣S△AOM＝S四边形AMNB（AM+BN）•MN（2）．
【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的综合应用,解决问题的关键是利用好交点的坐标．
8．（2022·江西南昌·一模）如图，反比例函数y1＝（x＞0）与直线y2＝ax+b的图象相交于A，B两点，其中点B（3，3），且AB＝2BC．
(1)求反比例函数解析式．(2)求直线AB解析式．(3)请根据图象，直接写出当y1＜y2时，x的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）将B点坐标代入反比例函数解析式，求出k的值即可；
（2）过点A、D分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E．由此即易证，得出．再根据，即得出．结合B点坐标，即可求出A点纵坐标，将A点纵坐标代入反比例函数解析式，即求出A点横坐标．最后结合A、B两点坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（3）根据当时，反比例函数图象在一次函数图象下方，结合图象即可写出x的取值范围．
【详解】(1)将B点坐标代入反比例函数解析式得：，解得：． 故反比例函数解析式为：；
(2)如图，过点A、D分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E．
根据作图易证，∴．
∵，∴，即．
∵，∴，
将代入，即得出，解得：，即A(1，9)．
将A(1，9)和B(3，3)代入，得：，解得：，∴直线AB的解析式为；
(3)当时，即反比例函数图象在一次函数图象下方即可，
由图象可知当时反比例函数图象在一次函数图象下方，∴当时，．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合，利用待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质．掌握利用待定系数法求函数解析式是解题关键．
9．（2021·山东青岛·一模）如图，直线y1＝k1x+b与双曲线y2＝在第一象限内交于A、B两点，已知A（1，m），B（2，1）．
(1)分别求出直线和双曲线的解析式；
(2)设点P是线段AB上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，E是y轴上一点，当△PED的面积最大时，请直接写出此时P点的坐标为 ．
【答案】(1)y1＝﹣x+3，；(2)
【分析】（1）依据反比例函数图象上点的坐标特征，即可得到m和的值，再根据待定系数法即可得出直线AB的解析式；
（2）设点P(x，﹣x+3），用含x的代数式表示出△PED的面积，即可求解．
【详解】(1)解：∵点B(2，1)在双曲线上，∴＝2×1＝2，∴双曲线的解析式为，
∵A（1，m）在双曲线，∴m＝2，∴A(1，2）．
∵直线AB：y1＝k1x+b过A（1，2）、B（2，1）两点，则，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3；
(2)解：设点P(x，﹣x+3），且1≤x≤2，
△PED的面积＝PD•OD＝x(﹣x+3)＝﹣(x﹣)2+，
当x＝时，△PED的面积取得最大值，此时点P的坐标为(，），
故答案为：(，）．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，主要考查了一次函数和反比例函数的图象与性质，二次函数的最值以及三角形的面积公式，求出直线AB的解析式是解题的关键.
10．（2021·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD＝2．
(1)点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；
(2)若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标．
【答案】(1)点A在反比例函数图象上，理由见解析；(2)Q点的横坐标为
【分析】（1）过点P作x轴垂线PG，连接BP，可得BP＝2，G是CD的中点，所以P（2，）；
（2）易求D（3，0），E（4，），待定系数法求出DE的解析式为y＝x﹣3，联立反比例函数与一次函数即可求点Q．
【详解】(1)解：点A在该反比例函数的图象上，理由如下：过点P作x轴垂线PG，连接BP，
∵P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD＝2，∴BP＝2，G是CD的中点，
∴PG=BO=BC＝，∴P（2，），
∵P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，∴k＝2，∴y＝，
由正六边形的性质，A（1，2），∴点A在反比例函数图象上；
(2)解：由（1）得D（3，0），E（4，），
设DE的解析式为y＝mx+b，∴，∴，∴y＝x﹣3，
由方程，解得x＝（负数舍去），∴Q点横坐标为．
．
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标结合是解题的关键．
11．（2021·广东清远·二模）如图，一次函数y1＝k1x+4与反比例函数的图象交于点A(2,m)和B(-6,-2)，与y轴交于点C．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC:S△ODE＝4:1时，求点P的坐标；
(3)点M是y轴上的一个动点，当△MBC为直角三角形时，直接写出点M的坐标．
【答案】(1)y=x+4，；(2)；(3)(0,−2)或(0,−8)
【分析】(1)根据点B的坐标，利用待定系数法即可求出k1、k2的值；
(2)根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A、C的坐标，根据梯形的面积公式求出S四边形ODAC的值，进而即可得出S△ODE的值，结合三角形的面积公式即可得出点E的坐标，利用待定系数法即可求出直线OP的解析式，再联立直线OP与双曲线的解析式成方程组，通过解方程组求出点P的坐标；
(3)分∠CMB=90°或∠CBM=90°两种情况考虑，当∠CMB=90°时，根据点B的坐标即可找出点M的坐标；当∠CBM=90°时，由直线AB的解析式可得出△BCM为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质结合点A、B的坐标即可得出点M的坐标，综上即可得出结论．
【详解】(1)解：将点B(−6,−2)代入y1=k1x+4，−2=−6k1+4，解得：k1=1，故一次函数的解析式为；y=x+4
将点B(−6,−2)代入①，，解得：k2=12，
故反比例函数的解析式为；
(2)解：依照题意，画出图形，如图2所示．
当x=2时，m=2+4=6，∴点A的坐标为(2,6)；
当x=0时，y1=x+4=4，∴点C的坐标为(0,4)，
∵，S四边形ODAC:S△ODE＝4:1，
∴，∴DE=2.5，即点EE的坐标为(2,2.5)，
设直线OP的解析式为y=kx，
将点E(2,2.5)代入y=kx，得2.5=2k，解得：，∴直线OP的解析式为，
，解得：，，
∵点P在第一象限，∴点P的坐标为；
(3)解：依照题意画出图形，如图3所示．
当∠CMB=90°时，轴，∴点M的坐标为(0,−2)；
当时，
∵B(-6,-2)，C(0,4)，，∴∠BCM=45°，
∴△BCM为等腰直角三角形，BC=BM，∴，∴点M的坐标为(0,−8)，
综上所述：当△MBC为直角三角形时，点M的坐标为(0,−2)或(0,−8)．
【点睛】本题考查了待定系数法求出一次及反比例函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、梯形(三角形)的面积公式，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意画出图形，作出辅助线．
12．（2021·四川眉山·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y（m≠0）的图象相交于A，B两点，过点A作AD⊥x轴于点D，AO＝5，OD：AD＝3：4，B点的坐标为（﹣6，n）
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求△AOB的面积；
(3)P是y轴上一点，且△AOP是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．
【答案】(1)yx+2，y；；(2)△AOB的面积；
(3)P点坐标为：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，）
【分析】（1）设OD=3a，AD=4a，则AO=5a=5，解得：a=1，故点A（3，4），故反比例函数的表达式为：y=，故B（-6，2），将点A、B的坐标代入一次函数表达式，即可求解；
（2）△AOB的面积S=×OM×（xA-xB）=×2×（3+6）=9；
（3）分AP=AO、AO=PO、AP=PO三种情况，分别求解即可．
【详解】(1) AO＝5，OD：AD＝3：4，
设：OD＝3a，AD＝4a，则AD＝5a＝5，解得：a＝1，
故点A（3，4），则m＝3×4＝12，故反比例函数的表达式为：y，故B（﹣6，﹣2），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得：，解得：，
故一次函数的表达式为：yx+2；
(2)解：设一次函数yx+2交y轴于点M（0，2），
∵点A（3，4），B（﹣6，﹣2），
∴△AOB的面积SOM×（xA﹣xB）2×（3+6）＝9；
(3)解：设点P（0，m），而点A、O的坐标分别为：（3，4）、（0，0），
AP2＝9+（m﹣4）2，AO2＝25，PO2＝m2，
当AP＝AO时，9+（m﹣4）2＝25，解得：m＝8或0（舍去0）；
当AO＝PO时，同理可得：m＝±5；
当AP＝PO时，同理可得：m；
综上，P点坐标为：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，）．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，等腰三角形的判定与性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．
13．（2021·广东云浮·一模）如图，反比例函数图像和一次函数经过和．
(1)求一次函数解析式：
(2)一次函数与x轴交于点B，与y轴交于点A，求证：．
【答案】(1)；(2)见解析
【分析】(1)把两点的坐标分别代入两解析式，即可求得a的值，再利用待定系数法确定一次函数的关系式即可；
(2)求出A、B两点坐标，再根据坐标特征可证得，即可证得结论．
【详解】(1)解：∵(1,6)和(2,a)经过反比例函数，∴，解得 ，∴N(2,3)，
又∵一次函数经过M(1,6)和N(2,3)，∴ 得到，∴一次函数解析式为；
(2)解：如图：过M作MC⊥y轴，垂足为点C；过点N作ND⊥x轴，垂足为点D；
∴
在一次函数解析式中，令x=0，得y=9；令y=0，得x=3，即A(0,9)，B(3,0),∴AO=9，BO=3,
∵M(1,6)和N(2,3)，∴CO=6，MC=1,DO=2,ND=3,
∴AC=AO-CO=9-6=3，BD=BO-DO=3-2=1,∴AC=ND=3，MC=BD=1,
在△APM和△NQB中， ，∴，∴．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数关系式，全等三角形的判定与性质，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法，将坐标转化为线段的长是解决问题的关键．
中考数学第三轮复习策略
第三轮复习的形式是模拟中考的综合拉练，查漏补缺，这好比是一个建筑工程的验收阶段，考前练兵。
1、同学们应当注重研究历年的中考题，训练答题技巧、考场心态、临场发挥的能力等。2、第三轮复习应该注意的几个问题：
（1）模拟题必须要有模拟的特点。时间的安排，题量的多少，低、中、高档题的比例，总体难度的控制等要贴近中考题。
（2）模拟题的难度应当立足中考又要高于中考。
（3）详细统计模拟测试失分情况。
（4）对错题进行纠错和消化，与之相关的基础知识要再记忆再巩固。
（5）适当的“解放”，但应保持适度紧张的精神状态。实践证明，适度紧张是正常或者超常发挥的最佳状态。
（6）调节生物钟。尽量把学习、思考的时间调整得与中考答卷时间相吻合。
回归教材重难点08 反比例函数与一次函数综合问题
反比例函数与一次函数综合问题是初中《反比例函数》章节的重点内容，考查的相对比较综合，把反比例函数与一次函数结合起来，以不等式、方程组等为核心。在中考数学中，主要是以解答题形式出现。通过熟练运用的方程、不等式与函数三者之间的关系，提升数学学科素养，提高逻辑思维推断能力。
本考点是中考五星高频考点，在全国各地的中考试卷中均有出现，题目难度较大，甚至有些地方将其作为选填题的压轴题。
1.反比例函数中的有关面积问题
如图，过点、作轴的垂线，垂足分别为、，则根据的几何意义可得，，而，所以，此方法的好处，在于方便，快捷，不易出错
2.待定系数法求反比例函数解析式
反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
1．（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，点在反比例函数的图象上，轴，且交y轴于点C，交反比例函数于点B，已知．
（1）求直线的解析式；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）点D为反比例函数上一动点，连接交y轴于点E，当E为中点时，求的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先求解的坐标，再把的坐标代入正比例函数，解方程即可得到答案；
（2）利用 先求解的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可；
（3）设 而为的中点，利用中点坐标公式求解的坐标，再利用，计算即可得到答案.
【详解】解：（1） 点在反比例函数的图象上， 则
设直线为： 则 所以直线为：
（2） 轴， ．
所以反比例函数为：
（3）设 而为的中点，
【点睛】本题考查的利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，图形与坐标，中点坐标公式，熟练应用以上知识解题是关键.
2．（2021·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象在第二象限交于C，两点，交x轴于点E，若．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）求四边形OCDE的面积．
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）先利用待定系数法求反比例函数解析式，然后结合相似三角形的判定和性质求得C点坐标，再利用待定系数法求函数关系式；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征并结合待定系数法求得A点和E点坐标，然后用的面积减去的面积求解．
【详解】解：（1）将代入中，，
反比例函数的解析式为；
过点D作轴，过点C作轴，
，，，，
将代入中，，解得：，C点坐标为，
将，代入中，可得，解得：，一次函数的解析式为；
（2）设直线OC的解析式为，将代入，得：，解得：，
直线OC的解析式为，
由，设直线DE的解析式为，
将代入可得：，解得：，
直线DE的解析式为，
当时，，解得：，E点坐标为，，
在中，当时，，解得：，A点坐标为，，，
．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的应用，相似三角形的判定和性质，掌握一次函数及反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求函数解析式是解题关键．
3．（2021·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点．
（1）求对应的函数表达式；
（2）过点作轴交轴于点，求的面积；
（3）根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集．
【答案】（1），；（2）；（3）或
【分析】（1）由题意先求出，然后得到点B的坐标，进而问题可求解；
（2）由（1）可得以PB为底，点A到PB的距离为高，即为点A、B之间的纵坐标之差的绝对值，进而问题可求解；
（3）根据函数图象可直接进行求解．
【详解】（1）把点代入反比例函数解析式得：，∴，
∵点B在反比例函数图象上，∴，解得：，∴，
把点A、B作代入直线解析式得：，解得：，∴；
（2）由（1）可得：，，
∵轴，∴，∴点A到PB的距离为，∴；
（3）由（1）及图象可得：当时，x的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键．
4．（2021·山东济宁·中考真题）如图，中，，，点，点，反比例函数的图象经过点A．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线向上平移个单位后经过反比例函数，图象上的点，求，的值．
【答案】（1）；（2），
【分析】（1）作轴，可知，得出点坐标，待定系数法求出解析式即可，
（2）将点代入（1）中解析式和直线的解析式中，分别求出，的值即可．
【详解】（1）如图，作轴，则
，，
点，点，∴OD=OC+CD=6，
代入中，．
（2）在上，
设直线OA解析式为，
直线向上平移个单位后的解析式为：
图象经过（1，12），，解得：，，．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，正比例函数解析式，函数图像的平移，三角形全等的性质与判定，解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的相关性质和数形结合思想．
5．（2021·山东泰安·中考真题）如图，点P为函数与函数图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B．
（1）求m的值；
（2）点M是函数图象上一动点，过点M作于点D，若，求点M的坐标．
【答案】（1）24；（2）M点的坐标为
【分析】(1)根据交点坐标的意义，求得点P的横坐标，利用k=xy计算m即可；
（2）利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可.
【详解】（1）∵点P纵坐标为4，
∴，解得，∴，∴．
（2）∵，∴，
设，则，当M点在P点右侧，
∴M点的坐标为，∴（6+2t）（4-t）=24，解得：，（舍去），
当时，，∴M点的坐标为，
当M点在P点的左侧，∴M点的坐标为，∴（6-2t）（4+t）=24，
解得：，，均舍去．
综上，M点的坐标为．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，三角函数，一元二次方程的解法，熟练掌握函数图像交点的意义，灵活运用三角函数的定义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键．
6．（2022·重庆·模拟预测）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点A（3，1），B（﹣1，n）两点．
(1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式；
(2)根据图像，直接写出满足的x的取值范围；
(3)连接BO并延长交双曲线于点C，连接AC，求的面积．
【答案】(1)反比例函数的解析式是，一次函数的解析式是；(2)或；(3)8
【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，再把点B的坐标代入反比例函数的解析式可求出B的坐标，把点A、B的坐标代入一次函数即可求出函数的解析式；
（2）根据函数的图像和A、B的坐标即可得出答案；
（3）过C点作轴，交直线AB于D，求出D的坐标，即可求得CD，然后根据即可求出答案．
【详解】(1)解：∵点A（3，1），B（﹣1，n）两点在反比例函数图像上
∴把A（3，1）代入得：，∴反比例函数的解析式是，
又∵B（﹣1，n）代入反比例函数得：，∴B的坐标是（﹣1，﹣3），
把A、B的坐标代入一次函数得：，解得：，，∴一次函数的解析式是．
(2)解：从图像可知：的x的取值范围是当或．
(3)解：过C点作轴，交直线AB于D，∵B（﹣1，﹣3），B、C关于原点对称，∴C（1，3），
把代入得，，∴D（1，﹣1），∴，∴．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力．数形结合思想的运用是解题的关键．
7．（2021·山东泰安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数在图象与反比例函数y（k＜0）的图象在第二象限交于点A（﹣3，m），B（n，2）两点．
(1)当m＝1时，求一次函数的解析式．
(2)若点E在x轴上，满足∠AEB＝90°，且AE＝2﹣m，分别连接OA，OB，求△OAB的面积．
【答案】(1)yx+3；(2)
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式中求出k，进而得出点B坐标，最后用待定系数法求出直线AB的解析式；
（2）先判断出BF＝AE，进而得出△AEG≌Rt△BFG（AAS），得出AG＝BG，EG＝FG，即BE＝BG+EG＝AG+FG＝AF，再求出mn，进而得出BF＝2n，MN＝n+3，即BE＝AF＝n+3，再判断出△AME∽△ENB，根据相似三角形的性质得出MEBN，最后用勾股定理求出m，根据梯形的面积公式即可得出结论．
【详解】(1)解：当m＝1时，点A（﹣3，1），
∵点A在反比例函数y的图象上，∴k＝﹣3×1＝﹣3，
∴反比例函数的解析式为y；
∵点B（n，2）在反比例函数y图象上，∴2n＝﹣3，∴n，
设直线AB的解析式为y＝ax+b，则，∴，∴直线AB的解析式为yx+3；
(2)如图，过点A作AM⊥x轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，过点A作AF⊥BN于F，交BE于G，
则四边形AMNF是矩形，∴FN＝AM，AF＝MN，
∵A（﹣3，m），B（n，2），∴BF＝2﹣m，
∵AE＝2﹣m，∴BF＝AE，
在△AEG和△BFG中，，∴△AEG≌△BFG（AAS），∴AG＝BG，EG＝FG，
∴BE＝BG+EG＝AG+FG＝AF，
∵点A（﹣3，m），B（n，2）在反比例函数y的图象上，∴k＝﹣3m＝2n，∴mn，
∴BF＝BN﹣FN＝BN﹣AM＝2﹣m＝2n，MN＝n﹣（﹣3）＝n+3，∴BE＝AF＝n+3，
∵∠AEM+∠MAE＝90°，∠AEM+∠BEN＝90°，∴∠MAE＝∠NEB，
∵∠AME＝∠ENB＝90°，∴△AME∽△ENB，∴，∴MEBN，
在Rt△AME中，AM＝m，AE＝2﹣m，根据勾股定理得，AM2+ME2＝AE2，∴m2+（）2＝（2﹣m）2，
∴m，∴k＝﹣3m，∴2n，∴n，∴A（﹣3，），B（，2），
∴AM，OM＝3，BN＝2，ON，∴MN，
∴△OAB的面积＝S四边形AMNB+S△BNO﹣S△AOM＝S四边形AMNB（AM+BN）•MN（2）．
【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的综合应用,解决问题的关键是利用好交点的坐标．
8．（2022·江西南昌·一模）如图，反比例函数y1＝（x＞0）与直线y2＝ax+b的图象相交于A，B两点，其中点B（3，3），且AB＝2BC．
(1)求反比例函数解析式．(2)求直线AB解析式．(3)请根据图象，直接写出当y1＜y2时，x的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）将B点坐标代入反比例函数解析式，求出k的值即可；
（2）过点A、D分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E．由此即易证，得出．再根据，即得出．结合B点坐标，即可求出A点纵坐标，将A点纵坐标代入反比例函数解析式，即求出A点横坐标．最后结合A、B两点坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（3）根据当时，反比例函数图象在一次函数图象下方，结合图象即可写出x的取值范围．
【详解】(1)将B点坐标代入反比例函数解析式得：，解得：． 故反比例函数解析式为：；
(2)如图，过点A、D分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E．
根据作图易证，∴．
∵，∴，即．
∵，∴，
将代入，即得出，解得：，即A(1，9)．
将A(1，9)和B(3，3)代入，得：，解得：，∴直线AB的解析式为；
(3)当时，即反比例函数图象在一次函数图象下方即可，
由图象可知当时反比例函数图象在一次函数图象下方，∴当时，．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合，利用待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质．掌握利用待定系数法求函数解析式是解题关键．
9．（2021·山东青岛·一模）如图，直线y1＝k1x+b与双曲线y2＝在第一象限内交于A、B两点，已知A（1，m），B（2，1）．
(1)分别求出直线和双曲线的解析式；
(2)设点P是线段AB上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，E是y轴上一点，当△PED的面积最大时，请直接写出此时P点的坐标为 ．
【答案】(1)y1＝﹣x+3，；(2)
【分析】（1）依据反比例函数图象上点的坐标特征，即可得到m和的值，再根据待定系数法即可得出直线AB的解析式；
（2）设点P(x，﹣x+3），用含x的代数式表示出△PED的面积，即可求解．
【详解】(1)解：∵点B(2，1)在双曲线上，∴＝2×1＝2，∴双曲线的解析式为，
∵A（1，m）在双曲线，∴m＝2，∴A(1，2）．
∵直线AB：y1＝k1x+b过A（1，2）、B（2，1）两点，则，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3；
(2)解：设点P(x，﹣x+3），且1≤x≤2，
△PED的面积＝PD•OD＝x(﹣x+3)＝﹣(x﹣)2+，
当x＝时，△PED的面积取得最大值，此时点P的坐标为(，），
故答案为：(，）．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，主要考查了一次函数和反比例函数的图象与性质，二次函数的最值以及三角形的面积公式，求出直线AB的解析式是解题的关键.
10．（2021·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD＝2．
(1)点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；
(2)若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标．
【答案】(1)点A在反比例函数图象上，理由见解析；(2)Q点的横坐标为
【分析】（1）过点P作x轴垂线PG，连接BP，可得BP＝2，G是CD的中点，所以P（2，）；
（2）易求D（3，0），E（4，），待定系数法求出DE的解析式为y＝x﹣3，联立反比例函数与一次函数即可求点Q．
【详解】(1)解：点A在该反比例函数的图象上，理由如下：过点P作x轴垂线PG，连接BP，
∵P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD＝2，∴BP＝2，G是CD的中点，
∴PG=BO=BC＝，∴P（2，），
∵P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，∴k＝2，∴y＝，
由正六边形的性质，A（1，2），∴点A在反比例函数图象上；
(2)解：由（1）得D（3，0），E（4，），
设DE的解析式为y＝mx+b，∴，∴，∴y＝x﹣3，
由方程，解得x＝（负数舍去），∴Q点横坐标为．
．
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标结合是解题的关键．
11．（2021·广东清远·二模）如图，一次函数y1＝k1x+4与反比例函数的图象交于点A(2,m)和B(-6,-2)，与y轴交于点C．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC:S△ODE＝4:1时，求点P的坐标；
(3)点M是y轴上的一个动点，当△MBC为直角三角形时，直接写出点M的坐标．
【答案】(1)y=x+4，；(2)；(3)(0,−2)或(0,−8)
【分析】(1)根据点B的坐标，利用待定系数法即可求出k1、k2的值；
(2)根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A、C的坐标，根据梯形的面积公式求出S四边形ODAC的值，进而即可得出S△ODE的值，结合三角形的面积公式即可得出点E的坐标，利用待定系数法即可求出直线OP的解析式，再联立直线OP与双曲线的解析式成方程组，通过解方程组求出点P的坐标；
(3)分∠CMB=90°或∠CBM=90°两种情况考虑，当∠CMB=90°时，根据点B的坐标即可找出点M的坐标；当∠CBM=90°时，由直线AB的解析式可得出△BCM为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质结合点A、B的坐标即可得出点M的坐标，综上即可得出结论．
【详解】(1)解：将点B(−6,−2)代入y1=k1x+4，−2=−6k1+4，解得：k1=1，故一次函数的解析式为；y=x+4
将点B(−6,−2)代入①，，解得：k2=12，
故反比例函数的解析式为；
(2)解：依照题意，画出图形，如图2所示．
当x=2时，m=2+4=6，∴点A的坐标为(2,6)；
当x=0时，y1=x+4=4，∴点C的坐标为(0,4)，
∵，S四边形ODAC:S△ODE＝4:1，
∴，∴DE=2.5，即点EE的坐标为(2,2.5)，
设直线OP的解析式为y=kx，
将点E(2,2.5)代入y=kx，得2.5=2k，解得：，∴直线OP的解析式为，
，解得：，，
∵点P在第一象限，∴点P的坐标为；
(3)解：依照题意画出图形，如图3所示．
当∠CMB=90°时，轴，∴点M的坐标为(0,−2)；
当时，
∵B(-6,-2)，C(0,4)，，∴∠BCM=45°，
∴△BCM为等腰直角三角形，BC=BM，∴，∴点M的坐标为(0,−8)，
综上所述：当△MBC为直角三角形时，点M的坐标为(0,−2)或(0,−8)．
【点睛】本题考查了待定系数法求出一次及反比例函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、梯形(三角形)的面积公式，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意画出图形，作出辅助线．
12．（2021·四川眉山·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y（m≠0）的图象相交于A，B两点，过点A作AD⊥x轴于点D，AO＝5，OD：AD＝3：4，B点的坐标为（﹣6，n）
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求△AOB的面积；
(3)P是y轴上一点，且△AOP是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．
【答案】(1)yx+2，y；；(2)△AOB的面积；
(3)P点坐标为：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，）
【分析】（1）设OD=3a，AD=4a，则AO=5a=5，解得：a=1，故点A（3，4），故反比例函数的表达式为：y=，故B（-6，2），将点A、B的坐标代入一次函数表达式，即可求解；
（2）△AOB的面积S=×OM×（xA-xB）=×2×（3+6）=9；
（3）分AP=AO、AO=PO、AP=PO三种情况，分别求解即可．
【详解】(1) AO＝5，OD：AD＝3：4，
设：OD＝3a，AD＝4a，则AD＝5a＝5，解得：a＝1，
故点A（3，4），则m＝3×4＝12，故反比例函数的表达式为：y，故B（﹣6，﹣2），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得：，解得：，
故一次函数的表达式为：yx+2；
(2)解：设一次函数yx+2交y轴于点M（0，2），
∵点A（3，4），B（﹣6，﹣2），
∴△AOB的面积SOM×（xA﹣xB）2×（3+6）＝9；
(3)解：设点P（0，m），而点A、O的坐标分别为：（3，4）、（0，0），
AP2＝9+（m﹣4）2，AO2＝25，PO2＝m2，
当AP＝AO时，9+（m﹣4）2＝25，解得：m＝8或0（舍去0）；
当AO＝PO时，同理可得：m＝±5；
当AP＝PO时，同理可得：m；
综上，P点坐标为：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，）．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，等腰三角形的判定与性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．
13．（2021·广东云浮·一模）如图，反比例函数图像和一次函数经过和．
(1)求一次函数解析式：
(2)一次函数与x轴交于点B，与y轴交于点A，求证：．
【答案】(1)；(2)见解析
【分析】(1)把两点的坐标分别代入两解析式，即可求得a的值，再利用待定系数法确定一次函数的关系式即可；
(2)求出A、B两点坐标，再根据坐标特征可证得，即可证得结论．
【详解】(1)解：∵(1,6)和(2,a)经过反比例函数，∴，解得 ，∴N(2,3)，
又∵一次函数经过M(1,6)和N(2,3)，∴ 得到，∴一次函数解析式为；
(2)解：如图：过M作MC⊥y轴，垂足为点C；过点N作ND⊥x轴，垂足为点D；
∴
在一次函数解析式中，令x=0，得y=9；令y=0，得x=3，即A(0,9)，B(3,0),∴AO=9，BO=3,
∵M(1,6)和N(2,3)，∴CO=6，MC=1,DO=2,ND=3,
∴AC=AO-CO=9-6=3，BD=BO-DO=3-2=1,∴AC=ND=3，MC=BD=1,
在△APM和△NQB中， ，∴，∴．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数关系式，全等三角形的判定与性质，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法，将坐标转化为线段的长是解决问题的关键．
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