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中考数学三轮冲刺过关 回归教材重难点09 圆的综合问题
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中考数学第三轮复习策略
第三轮复习的形式是模拟中考的综合拉练，查漏补缺，这好比是一个建筑工程的验收阶段，考前练兵。
1、同学们应当注重研究历年的中考题，训练答题技巧、考场心态、临场发挥的能力等。2、第三轮复习应该注意的几个问题：
（1）模拟题必须要有模拟的特点。时间的安排，题量的多少，低、中、高档题的比例，总体难度的控制等要贴近中考题。
（2）模拟题的难度应当立足中考又要高于中考。
（3）详细统计模拟测试失分情况。
（4）对错题进行纠错和消化，与之相关的基础知识要再记忆再巩固。
（5）适当的“解放”，但应保持适度紧张的精神状态。实践证明，适度紧张是正常或者超常发挥的最佳状态。
（6）调节生物钟。尽量把学习、思考的时间调整得与中考答卷时间相吻合。
回归教材重难点09 圆的综合问题
圆的综合问题是初中《圆》章节的重点内容，考查的相对比较综合，把圆的性质与相似，三角函数等知识点结合起来。在中考数学中，主要是以解答题形式出现。通过熟练圆的性质，提升数学学科素养，提高逻辑思维推断能力。
本考点是中考五星高频考点，在全国各地的中考试卷中均有出现，题目难度较大，甚至有些地方将其作为解答题的压轴题。
1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．
2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
1．（2021·四川内江·中考真题）如图，是的直径，、是上两点，且，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，连接、交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为2，求阴影部分的面积；
（3）连结，在（2）的条件下，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据同圆中等弧所对的圆周角相等得到∠CAD=∠DAB，根据等边对等角得到∠DAB=∠ODA，则∠CAD=∠ODA，即可判定OD∥AE，进而得到OD⊥DE，据此即可得解；
（2）连接BD，根据相似三角形的性质求出AE=3，AD=2，解直角三角形得到∠DAB=30°，则∠EAF=60°，∠DOB=60°，DF=2，再根据S阴影=S△DOF-S扇形DOB即可得解；
（3）过点E作EM⊥AB于点M，连接BE，解直角三角形得到AM=，EM=，则MB=，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）证明：如图，连接，
，，
，，，，
，，
是的半径，是的切线；
（2）解：，，，
，的半径为2，，，
如图，连接，
是的直径，，，
，，，即，，
在中，，，，，，
，，；
（3）如图，过点作于点，连接，
在中，，，
，
．
【点睛】考查了切线的判定与性质、扇形的面积、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质并证明△OGD∽△EGA求出AE是解题的关键．
2．（2021·辽宁鞍山·中考真题）如图，AB为的直径，C为上一点，D为AB上一点，，过点A作交CD的延长线于点E，CE交于点G，连接AC，AG，在EA的延长线上取点F，使．
（1）求证：CF是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析；（2）5
【分析】（1）根据题意判定，然后结合相似三角形的性质求得，从而可得，然后结合等腰三角形的性质求得，从而判定CF是的切线；
（2）由切线长定理可得，从而可得，得到，然后利用勾股定理解直角三角形可求得圆的半径．
【详解】（1）证明：，，
，，
，，，
又，，，
，
，，
，，
AB是的直径，，
又，
，
，
，
即CF是的切线；
（2）CF是的切线，，
，
，
，
又，
在中，，
设的半径为x，则，，
在中，，
解得：，
的半径为5．
【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握相关定理与性质是解决本题的关键．
3．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在中，AB为的直径，直线DE与相切于点D，割线于点E且交于点F，连接DF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连接OD，然后根据切线的性质和平行线的性质，可以得到∠ODA=∠DAC，再根据OA=OD，可以得到∠OAD=∠ODA，从而可以得到∠DAC=∠OAD，结论得证；
（2）根据相似三角形的判定和性质，可以得到DB•DF=EF•AB，再根据等弧所对的弦相等，即可证明结论成立．
【详解】解：（1）证明：连接OD，如图所示，
∵直线DE与⊙O相切于点D，AC⊥DE，∴∠ODE=∠DEA=90°，∴OD∥AC，∴∠ODA=∠DAC，
∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠DAC=∠OAD，∴AD平分∠BAC；
（2）证明：连接OF，BD，如图所示，
∵AC⊥DE，垂足为E，AB是⊙O的直径，∴∠DEF=∠ADB=90°，
∵∠EFD+∠AFD=180°，∠AFD+∠DBA=180°，∴∠EFD=∠DBA，
∴△EFD∽△DBA，∴，∴DB•DF=EF•AB，
由（1）知，AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠DAB，∴DF=DB，∴DF2=EF•AB．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、角平分线的定义、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
4．（2021·西藏·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，OC是半径，延长OC至点D．连接AD，AC，BC．使∠CAD＝∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，tan∠CAD＝，求BC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）根据AB是⊙O的直径得出∠B＋∠BAC＝90°，等量代换得到∠CAD＋∠BAC＝90°，即∠BAD＝90°，AD⊥OA，即可判定AD是⊙O的切线；
（2）过点D作DM⊥AD交AC的延长线于点M，根据锐角三角函数定义求出DM＝2，由等边对等角得出∠OAC＝∠OCA，由平行线的性质得出∠M＝∠OAC，再根据对顶角相等得出∠DCM＝∠M，即得DC＝DM＝2，根据勾股定理求出OA＝3，AB＝6，最后根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°，
∵∠CAD＝∠B，∴∠CAD＋∠BAC＝90°，即∠BAD＝90°，∴AD⊥OA，∴AD是⊙O的切线；
（2）解：过点D作DM⊥AD交AC的延长线于点M，
∵tan∠CAD＝＝，AD＝4，∴DM＝2，
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，
∵AD⊥OA，DM⊥AD，∴OA∥DM，∴∠M＝∠OAC，
∵∠OCA＝∠DCM，∴∠DCM＝∠M，∴DC＝DM＝2，
在Rt△OAD中，OA2＋AD2＝OD2，即OA2＋42＝（OC＋2）2＝（OA＋2）2，∴OA＝3，∴AB＝6，
∵∠CAD＝∠B，tan∠CAD＝，∴tanB＝tan∠CAD＝＝，∴BC＝2AC，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，∴62＝5AC2，∴AC＝，∴BC＝．
【点睛】此题考查了切线的判定与性质、解直角三角形，熟记切线的判定与性质及锐角三角函数定义时解题的关键．
5．（2021·广西百色·中考真题）如图，PM、PN是⊙O的切线，切点分别是A、B，过点O的直线CE∥PN，交⊙O于点C、D，交PM于点E，AD的延长线交PN于点F，若BC∥PM．
（1）求证：∠P＝45°；
（2）若CD＝6，求PF的长．
【答案】（1）见解析；（2）3．
【分析】（1）连接OB，证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质解得，结合切线的性质及等腰三角形的性质，解得，据此解题；
（2）连接AC，证明，可得，结合（1）中，解得，再结合切线的性质及等腰三角形的性质解得，最后根据全等三角形对应边相等解题即可．
【详解】解：（1）连接OB，如图，
，四边形是平行四边形，
PN是⊙O的切线，
；
（2）连接AC，如图，
PM、PN是⊙O的切线，
四边形是平行四边形，
在与中，，
PM是⊙O的切线，
，，
，，．
【点睛】本题考查圆的切线性质、切线长定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
6．（2021·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x轴，y轴相交于A、B两点，点为直线在第二象限的点
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设的面积为S，求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围；
（3）作的外接圆，延长PC交于点Q，当的面积最小时，求的半径．
【答案】（1）A（-8，0），B（0，4）；（2），-8＜＜0；（3）4．
【分析】（1）根据一次函数的图象与性质即可求出A、B两点的坐标；
（2）利用三角形面积公式及点的坐标特点即可求出结果；
（3）根据圆周角性质可得，．由等角的三角函数关系可推出，再根据三角形面积公式得，由此得结论当最小时，的面积最小，最后利用圆的性质可得有最小值，且为的直径，进而求得结果．
【详解】解：（1）当时，，解得，∴A（-8，0）．
当时，，∴B（0，4）．
（2）∵A（-8,0），∴．点P在直线上，∴，∴．
∵点P在第二象限，∴＞0，且＜0．解得-8＜＜0；
（3）∵B（0，4），∴．
∵为的外接圆，∴，．∴．
设，则．
∴．∴当最小时，的面积最小．
∴当时，有最小值，且为的直径．∴．即的半径为4．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、三角形面积计算及圆的相关性质等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质、三角形面积计算及圆的相关性质是解题的关键．
7．（2021·山东菏泽·模拟预测）如图，AD、DC、BC分别与⊙O相切点A，E，B（AD＜BC），且AB为⊙O的直径，连接AE并延长AE与直线BC相交于点P，连接OC，已知AE•OC＝40．
(1)求证：BC＝CP；
(2)求AD•BC的值；
(3)若S△ADE：S△PCE＝16：25，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析；(2)20；(3)
【分析】（ 1）利用切线的性质及互余倒角可得到∠CEP＝∠P，所以BC＝CP；
（ 2）先推出△BAE∽△COB，利用相似性质和AE•OC＝40得出OB的值，再过点D作DG⊥BC于点G，利用矩形的性质及切线长定理得到的线段关系，在直角三角形GCD中勾股定理列方程，处理即可得到AD•BC的值；
（3 ）利用相似三角形将面积关系转化成线段关系，设线段长，利用（2 ）结论列方程即可得到AD、BC的长，从而得到四边形ABCD的面积．
【详解】(1)连接BE，
∵CB、CE是⊙O的两条切线，∴CB＝CE，∴∠CBE＝∠CEB，
∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠BEP＝90°，∴∠CEP+∠CEB＝90°，∠P+∠CBE＝90°，
∴∠CEP＝∠P，∴CP＝CE，∴BC＝CP；
(2)∵BC、AD是⊙O的两条切线，∴∠DAB＝∠CBA＝90°，∴AD∥BP，∴∠BEA＝∠OBC＝90°，
∵OA＝OB，BC＝CP，∴OC∥AP，∴∠BAE＝∠BOC，∴△BAE∽△COB，∴，即AB•OB＝AE•OC，
∵AB＝2OB，AE•OC＝40，∴2OB2＝40，∴OB＝2，
过点D作DG⊥BC于点G，则四边形ABGD为矩形，
∴GC＝BC﹣AD，
∵AD、DC、BC是⊙O的三条切线，∴DA＝DE，BC＝CE，
在Rt△GCD中，，∴4BC•AD＝80，∴AD•BC＝20；
(3)∵AD∥BP，∴△ADE∽△PCE，
∵S△ADE：S△PCE＝16：25，∴AD：CP＝4：5，即AD：BC＝4：5，∴设AD＝4x，BC＝5x，
∵AD•BC＝20，∴4x•5x＝20，∴x＝±1（舍负），∴AD＝4，BC＝5，∴．
【点睛】本题是圆的综合题，涉及到切线长定理，圆周角定理、相似三角形、矩形的性质、勾股定理，其中利用相似三角形、构造矩形是解题的关键．
8．（2022·浙江·温州市瓯海区外国语学校一模）如图， 是的直径， 弦 于点是劣弧上一点， ， 的延长线交于点．
(1)求证： ．
(2)若是的中点， ， 求的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）利用垂径定理得到，根据等腰三角形的性质得∠ADC＝∠ACD，根据圆周角定理的推论得到∠AGD＝∠ACD＝∠ADC，再利用圆内接四边形的性质得到∠FGC＝∠ADC，从而得到结论；
（2）如图，过点G作GH⊥DF于点H，证明△DAG≌△FCG，推出AD＝CF＝3，GD＝GF，利用勾股定理求出AE，AF，再利用平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】(1)证明：如图，连接AC，
∵弦，∴，∴，
∵四边形是圆内接四边形，∴，∴；
(2)解：如图，过点G作GH⊥DF于点H，
∵∠DAG＋∠DCG＝180°，∠DCG＋∠FCG＝180°，∴∠DAC＝∠FCG，
∵，∴AG＝CG，
∵∠AGD＝∠FGC，∴△DAG≌△FCG（ASA），∴CF＝AD＝3，DG＝FG，
∵GH⊥DF，∴DH＝FH，
∵AB⊥CD，∴DE＝EC＝2，∴DF＝2＋2＋3＝7，∴DH＝HF＝3.5，
∴，∴，
∵GH∥AE，∴，∴，∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟知相关知识点．
9．（2021·河北保定·一模）如图，PC是⊙O的弦，作OB⊥PC于点E，交⊙O于点B，延长OB到点A，连接AC，OP，使∠A＝∠P．
(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若BE＝2，PC＝4，求AC的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）连接OC，根据OP=OC，得到∠P=∠OCE，根据∠P=∠A，得到∠A=∠OCE，根据OB⊥PC，得到∠OEC=90°，推出∠OCE+∠COE=90°，得到∠A+∠COA=90°，推出∠OCA=90°，得到AC是⊙O的切线．
（2）连接OC，BC，根据OB⊥PC，推出 ，推出，得到∠OBC=60°，推出△OBC是等边三角形，∠BOC=60°，得到∠A=30°，推出．
【详解】(1)连接OC，∵OP=OC，∴∠P=∠OCE，∵∠P=∠A，∴∠A=∠OCE，
∵OB⊥PC，∴∠OEC=90°，∴∠OCE+∠COE=90°，∴∠A+∠COA=90°，∴∠OCA=90°，
∴AC是⊙O的切线．
(2)连接OC，BC，∵OB⊥PC，,∴，
∵BE=2，∴，∴∠OBC=60°，
∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC=60°，∴∠A=90°-∠AOC=30°，∴．
【点睛】本题主要考查了圆切线，垂径定理，含30°锐角的直角三角形，等边三角形。解决问题的关键是熟知切线的判定定理，垂径定理，含30°锐角的直角三角形性质，等边三角形判断和性质。（1）问用切线的判定定理；（2）问用垂径定理，等边三角形判断和性质，含30°锐角的直角三角形性质．
10．（2021·福建·厦门五缘实验学校二模）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC是⊙O的直径，BE⊥DC，交DC的延长线于点E，CB平分∠ACE．
(1)求证：BE是⊙O的切线．(2)若AC＝4，CE＝1，求tan∠BAD．
【答案】(1)证明见解析；(2)tan∠BAD＝
【分析】（1）连接OB，求出OB∥DE，推出EB⊥OB，根据切线的判定得出即可；
（2）根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】(1)证明：如图，连接OB，
∵CB平分∠ACE．∴∠ACB＝∠ECB，
∵OB＝OC，∴∠BCO＝∠CBO，∴∠BCE＝∠CBO，∴OB∥ED．
∵BE⊥ED，∴EB⊥BO．∴BE是⊙O的切线；
(2)解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，
∵BE⊥ED，∴∠E＝90°，∴∠E＝∠ABC，
∵∠BCE＝∠ACB，∴△BCE∽△ACB，∴，
∵AC＝4，CE＝1，∴，∴，
∵∠BCD+∠BAD＝∠BCD+∠BCE＝180°，∴∠BCE＝∠BAD，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，正确地作出辅助线是解题的关键．
11．（2021·江苏淮安·一模）如图，AB是⊙O的直径，C是⨀O上一点，E为OD延长线上一点，D是 的中点且∠CAE＝∠AOE．AC与OE交于点F．
(1)请说明：AE是⨀O的切线；(2)若DC∥AB，DC＝1，求阴影部分面积．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）连接OC，利用垂径定理的推论得到OE⊥AC，再通过证明∠EAO＝90°得出结论；
（2）把阴影部分面积转化为S△AOE﹣S扇形AOD进行求解．
【详解】(1)证明：连接OC，
∵D是的中点，∴∠AOD＝∠COD，
∵OA＝OC，∴OE⊥AC，即∠AFE＝90°，∴∠E+∠EAF＝90°，
∵∠CAE＝∠AOE，∴∠E+∠AOE＝90°，∴∠EAO＝90°，∴AE是⊙O的切线；
(2)解：∵DC∥AB，∴∠CDO＝∠AOD，
∵＝，∴∠AOD＝∠DOC，∴∠CDO＝∠DOC，
∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC＝60°，DC＝OD＝1，
∴∠AOD＝60°，∴△AOD为等边三角形，∴OA＝1，∴AE＝，
∴阴影部分面积为S△AOE﹣S扇形AOD＝×1﹣＝．
【点睛】本题考查切线的判定和求不规则图形的面积，把不规则图形转化为规则图形面积的和或差是解决问题的关键．
中考数学第三轮复习策略
第三轮复习的形式是模拟中考的综合拉练，查漏补缺，这好比是一个建筑工程的验收阶段，考前练兵。
1、同学们应当注重研究历年的中考题，训练答题技巧、考场心态、临场发挥的能力等。2、第三轮复习应该注意的几个问题：
（1）模拟题必须要有模拟的特点。时间的安排，题量的多少，低、中、高档题的比例，总体难度的控制等要贴近中考题。
（2）模拟题的难度应当立足中考又要高于中考。
（3）详细统计模拟测试失分情况。
（4）对错题进行纠错和消化，与之相关的基础知识要再记忆再巩固。
（5）适当的“解放”，但应保持适度紧张的精神状态。实践证明，适度紧张是正常或者超常发挥的最佳状态。
（6）调节生物钟。尽量把学习、思考的时间调整得与中考答卷时间相吻合。
回归教材重难点09 圆的综合问题
圆的综合问题是初中《圆》章节的重点内容，考查的相对比较综合，把圆的性质与相似，三角函数等知识点结合起来。在中考数学中，主要是以解答题形式出现。通过熟练圆的性质，提升数学学科素养，提高逻辑思维推断能力。
本考点是中考五星高频考点，在全国各地的中考试卷中均有出现，题目难度较大，甚至有些地方将其作为解答题的压轴题。
1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．
2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
1．（2021·四川内江·中考真题）如图，是的直径，、是上两点，且，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，连接、交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为2，求阴影部分的面积；
（3）连结，在（2）的条件下，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据同圆中等弧所对的圆周角相等得到∠CAD=∠DAB，根据等边对等角得到∠DAB=∠ODA，则∠CAD=∠ODA，即可判定OD∥AE，进而得到OD⊥DE，据此即可得解；
（2）连接BD，根据相似三角形的性质求出AE=3，AD=2，解直角三角形得到∠DAB=30°，则∠EAF=60°，∠DOB=60°，DF=2，再根据S阴影=S△DOF-S扇形DOB即可得解；
（3）过点E作EM⊥AB于点M，连接BE，解直角三角形得到AM=，EM=，则MB=，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）证明：如图，连接，
，，
，，，，
，，
是的半径，是的切线；
（2）解：，，，
，的半径为2，，，
如图，连接，
是的直径，，，
，，，即，，
在中，，，，，，
，，；
（3）如图，过点作于点，连接，
在中，，，
，
．
【点睛】考查了切线的判定与性质、扇形的面积、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质并证明△OGD∽△EGA求出AE是解题的关键．
2．（2021·辽宁鞍山·中考真题）如图，AB为的直径，C为上一点，D为AB上一点，，过点A作交CD的延长线于点E，CE交于点G，连接AC，AG，在EA的延长线上取点F，使．
（1）求证：CF是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析；（2）5
【分析】（1）根据题意判定，然后结合相似三角形的性质求得，从而可得，然后结合等腰三角形的性质求得，从而判定CF是的切线；
（2）由切线长定理可得，从而可得，得到，然后利用勾股定理解直角三角形可求得圆的半径．
【详解】（1）证明：，，
，，
，，，
又，，，
，
，，
，，
AB是的直径，，
又，
，
，
，
即CF是的切线；
（2）CF是的切线，，
，
，
，
又，
在中，，
设的半径为x，则，，
在中，，
解得：，
的半径为5．
【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握相关定理与性质是解决本题的关键．
3．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在中，AB为的直径，直线DE与相切于点D，割线于点E且交于点F，连接DF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连接OD，然后根据切线的性质和平行线的性质，可以得到∠ODA=∠DAC，再根据OA=OD，可以得到∠OAD=∠ODA，从而可以得到∠DAC=∠OAD，结论得证；
（2）根据相似三角形的判定和性质，可以得到DB•DF=EF•AB，再根据等弧所对的弦相等，即可证明结论成立．
【详解】解：（1）证明：连接OD，如图所示，
∵直线DE与⊙O相切于点D，AC⊥DE，∴∠ODE=∠DEA=90°，∴OD∥AC，∴∠ODA=∠DAC，
∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠DAC=∠OAD，∴AD平分∠BAC；
（2）证明：连接OF，BD，如图所示，
∵AC⊥DE，垂足为E，AB是⊙O的直径，∴∠DEF=∠ADB=90°，
∵∠EFD+∠AFD=180°，∠AFD+∠DBA=180°，∴∠EFD=∠DBA，
∴△EFD∽△DBA，∴，∴DB•DF=EF•AB，
由（1）知，AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠DAB，∴DF=DB，∴DF2=EF•AB．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、角平分线的定义、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
4．（2021·西藏·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，OC是半径，延长OC至点D．连接AD，AC，BC．使∠CAD＝∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，tan∠CAD＝，求BC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）根据AB是⊙O的直径得出∠B＋∠BAC＝90°，等量代换得到∠CAD＋∠BAC＝90°，即∠BAD＝90°，AD⊥OA，即可判定AD是⊙O的切线；
（2）过点D作DM⊥AD交AC的延长线于点M，根据锐角三角函数定义求出DM＝2，由等边对等角得出∠OAC＝∠OCA，由平行线的性质得出∠M＝∠OAC，再根据对顶角相等得出∠DCM＝∠M，即得DC＝DM＝2，根据勾股定理求出OA＝3，AB＝6，最后根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°，
∵∠CAD＝∠B，∴∠CAD＋∠BAC＝90°，即∠BAD＝90°，∴AD⊥OA，∴AD是⊙O的切线；
（2）解：过点D作DM⊥AD交AC的延长线于点M，
∵tan∠CAD＝＝，AD＝4，∴DM＝2，
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，
∵AD⊥OA，DM⊥AD，∴OA∥DM，∴∠M＝∠OAC，
∵∠OCA＝∠DCM，∴∠DCM＝∠M，∴DC＝DM＝2，
在Rt△OAD中，OA2＋AD2＝OD2，即OA2＋42＝（OC＋2）2＝（OA＋2）2，∴OA＝3，∴AB＝6，
∵∠CAD＝∠B，tan∠CAD＝，∴tanB＝tan∠CAD＝＝，∴BC＝2AC，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，∴62＝5AC2，∴AC＝，∴BC＝．
【点睛】此题考查了切线的判定与性质、解直角三角形，熟记切线的判定与性质及锐角三角函数定义时解题的关键．
5．（2021·广西百色·中考真题）如图，PM、PN是⊙O的切线，切点分别是A、B，过点O的直线CE∥PN，交⊙O于点C、D，交PM于点E，AD的延长线交PN于点F，若BC∥PM．
（1）求证：∠P＝45°；
（2）若CD＝6，求PF的长．
【答案】（1）见解析；（2）3．
【分析】（1）连接OB，证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质解得，结合切线的性质及等腰三角形的性质，解得，据此解题；
（2）连接AC，证明，可得，结合（1）中，解得，再结合切线的性质及等腰三角形的性质解得，最后根据全等三角形对应边相等解题即可．
【详解】解：（1）连接OB，如图，
，四边形是平行四边形，
PN是⊙O的切线，
；
（2）连接AC，如图，
PM、PN是⊙O的切线，
四边形是平行四边形，
在与中，，
PM是⊙O的切线，
，，
，，．
【点睛】本题考查圆的切线性质、切线长定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
6．（2021·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x轴，y轴相交于A、B两点，点为直线在第二象限的点
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设的面积为S，求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围；
（3）作的外接圆，延长PC交于点Q，当的面积最小时，求的半径．
【答案】（1）A（-8，0），B（0，4）；（2），-8＜＜0；（3）4．
【分析】（1）根据一次函数的图象与性质即可求出A、B两点的坐标；
（2）利用三角形面积公式及点的坐标特点即可求出结果；
（3）根据圆周角性质可得，．由等角的三角函数关系可推出，再根据三角形面积公式得，由此得结论当最小时，的面积最小，最后利用圆的性质可得有最小值，且为的直径，进而求得结果．
【详解】解：（1）当时，，解得，∴A（-8，0）．
当时，，∴B（0，4）．
（2）∵A（-8,0），∴．点P在直线上，∴，∴．
∵点P在第二象限，∴＞0，且＜0．解得-8＜＜0；
（3）∵B（0，4），∴．
∵为的外接圆，∴，．∴．
设，则．
∴．∴当最小时，的面积最小．
∴当时，有最小值，且为的直径．∴．即的半径为4．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、三角形面积计算及圆的相关性质等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质、三角形面积计算及圆的相关性质是解题的关键．
7．（2021·山东菏泽·模拟预测）如图，AD、DC、BC分别与⊙O相切点A，E，B（AD＜BC），且AB为⊙O的直径，连接AE并延长AE与直线BC相交于点P，连接OC，已知AE•OC＝40．
(1)求证：BC＝CP；
(2)求AD•BC的值；
(3)若S△ADE：S△PCE＝16：25，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析；(2)20；(3)
【分析】（ 1）利用切线的性质及互余倒角可得到∠CEP＝∠P，所以BC＝CP；
（ 2）先推出△BAE∽△COB，利用相似性质和AE•OC＝40得出OB的值，再过点D作DG⊥BC于点G，利用矩形的性质及切线长定理得到的线段关系，在直角三角形GCD中勾股定理列方程，处理即可得到AD•BC的值；
（3 ）利用相似三角形将面积关系转化成线段关系，设线段长，利用（2 ）结论列方程即可得到AD、BC的长，从而得到四边形ABCD的面积．
【详解】(1)连接BE，
∵CB、CE是⊙O的两条切线，∴CB＝CE，∴∠CBE＝∠CEB，
∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠BEP＝90°，∴∠CEP+∠CEB＝90°，∠P+∠CBE＝90°，
∴∠CEP＝∠P，∴CP＝CE，∴BC＝CP；
(2)∵BC、AD是⊙O的两条切线，∴∠DAB＝∠CBA＝90°，∴AD∥BP，∴∠BEA＝∠OBC＝90°，
∵OA＝OB，BC＝CP，∴OC∥AP，∴∠BAE＝∠BOC，∴△BAE∽△COB，∴，即AB•OB＝AE•OC，
∵AB＝2OB，AE•OC＝40，∴2OB2＝40，∴OB＝2，
过点D作DG⊥BC于点G，则四边形ABGD为矩形，
∴GC＝BC﹣AD，
∵AD、DC、BC是⊙O的三条切线，∴DA＝DE，BC＝CE，
在Rt△GCD中，，∴4BC•AD＝80，∴AD•BC＝20；
(3)∵AD∥BP，∴△ADE∽△PCE，
∵S△ADE：S△PCE＝16：25，∴AD：CP＝4：5，即AD：BC＝4：5，∴设AD＝4x，BC＝5x，
∵AD•BC＝20，∴4x•5x＝20，∴x＝±1（舍负），∴AD＝4，BC＝5，∴．
【点睛】本题是圆的综合题，涉及到切线长定理，圆周角定理、相似三角形、矩形的性质、勾股定理，其中利用相似三角形、构造矩形是解题的关键．
8．（2022·浙江·温州市瓯海区外国语学校一模）如图， 是的直径， 弦 于点是劣弧上一点， ， 的延长线交于点．
(1)求证： ．
(2)若是的中点， ， 求的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）利用垂径定理得到，根据等腰三角形的性质得∠ADC＝∠ACD，根据圆周角定理的推论得到∠AGD＝∠ACD＝∠ADC，再利用圆内接四边形的性质得到∠FGC＝∠ADC，从而得到结论；
（2）如图，过点G作GH⊥DF于点H，证明△DAG≌△FCG，推出AD＝CF＝3，GD＝GF，利用勾股定理求出AE，AF，再利用平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】(1)证明：如图，连接AC，
∵弦，∴，∴，
∵四边形是圆内接四边形，∴，∴；
(2)解：如图，过点G作GH⊥DF于点H，
∵∠DAG＋∠DCG＝180°，∠DCG＋∠FCG＝180°，∴∠DAC＝∠FCG，
∵，∴AG＝CG，
∵∠AGD＝∠FGC，∴△DAG≌△FCG（ASA），∴CF＝AD＝3，DG＝FG，
∵GH⊥DF，∴DH＝FH，
∵AB⊥CD，∴DE＝EC＝2，∴DF＝2＋2＋3＝7，∴DH＝HF＝3.5，
∴，∴，
∵GH∥AE，∴，∴，∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟知相关知识点．
9．（2021·河北保定·一模）如图，PC是⊙O的弦，作OB⊥PC于点E，交⊙O于点B，延长OB到点A，连接AC，OP，使∠A＝∠P．
(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若BE＝2，PC＝4，求AC的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）连接OC，根据OP=OC，得到∠P=∠OCE，根据∠P=∠A，得到∠A=∠OCE，根据OB⊥PC，得到∠OEC=90°，推出∠OCE+∠COE=90°，得到∠A+∠COA=90°，推出∠OCA=90°，得到AC是⊙O的切线．
（2）连接OC，BC，根据OB⊥PC，推出 ，推出，得到∠OBC=60°，推出△OBC是等边三角形，∠BOC=60°，得到∠A=30°，推出．
【详解】(1)连接OC，∵OP=OC，∴∠P=∠OCE，∵∠P=∠A，∴∠A=∠OCE，
∵OB⊥PC，∴∠OEC=90°，∴∠OCE+∠COE=90°，∴∠A+∠COA=90°，∴∠OCA=90°，
∴AC是⊙O的切线．
(2)连接OC，BC，∵OB⊥PC，,∴，
∵BE=2，∴，∴∠OBC=60°，
∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC=60°，∴∠A=90°-∠AOC=30°，∴．
【点睛】本题主要考查了圆切线，垂径定理，含30°锐角的直角三角形，等边三角形。解决问题的关键是熟知切线的判定定理，垂径定理，含30°锐角的直角三角形性质，等边三角形判断和性质。（1）问用切线的判定定理；（2）问用垂径定理，等边三角形判断和性质，含30°锐角的直角三角形性质．
10．（2021·福建·厦门五缘实验学校二模）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC是⊙O的直径，BE⊥DC，交DC的延长线于点E，CB平分∠ACE．
(1)求证：BE是⊙O的切线．(2)若AC＝4，CE＝1，求tan∠BAD．
【答案】(1)证明见解析；(2)tan∠BAD＝
【分析】（1）连接OB，求出OB∥DE，推出EB⊥OB，根据切线的判定得出即可；
（2）根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】(1)证明：如图，连接OB，
∵CB平分∠ACE．∴∠ACB＝∠ECB，
∵OB＝OC，∴∠BCO＝∠CBO，∴∠BCE＝∠CBO，∴OB∥ED．
∵BE⊥ED，∴EB⊥BO．∴BE是⊙O的切线；
(2)解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，
∵BE⊥ED，∴∠E＝90°，∴∠E＝∠ABC，
∵∠BCE＝∠ACB，∴△BCE∽△ACB，∴，
∵AC＝4，CE＝1，∴，∴，
∵∠BCD+∠BAD＝∠BCD+∠BCE＝180°，∴∠BCE＝∠BAD，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，正确地作出辅助线是解题的关键．
11．（2021·江苏淮安·一模）如图，AB是⊙O的直径，C是⨀O上一点，E为OD延长线上一点，D是 的中点且∠CAE＝∠AOE．AC与OE交于点F．
(1)请说明：AE是⨀O的切线；(2)若DC∥AB，DC＝1，求阴影部分面积．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）连接OC，利用垂径定理的推论得到OE⊥AC，再通过证明∠EAO＝90°得出结论；
（2）把阴影部分面积转化为S△AOE﹣S扇形AOD进行求解．
【详解】(1)证明：连接OC，
∵D是的中点，∴∠AOD＝∠COD，
∵OA＝OC，∴OE⊥AC，即∠AFE＝90°，∴∠E+∠EAF＝90°，
∵∠CAE＝∠AOE，∴∠E+∠AOE＝90°，∴∠EAO＝90°，∴AE是⊙O的切线；
(2)解：∵DC∥AB，∴∠CDO＝∠AOD，
∵＝，∴∠AOD＝∠DOC，∴∠CDO＝∠DOC，
∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC＝60°，DC＝OD＝1，
∴∠AOD＝60°，∴△AOD为等边三角形，∴OA＝1，∴AE＝，
∴阴影部分面积为S△AOE﹣S扇形AOD＝×1﹣＝．
【点睛】本题考查切线的判定和求不规则图形的面积，把不规则图形转化为规则图形面积的和或差是解决问题的关键．
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