初二数学北师大版春季班 第14讲 特殊的平行四边形--提高班 试卷

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第14讲 特殊的平行四边形

知识点1：矩形
1.矩形的性质：
（1）矩形具备平行四边形的所有性质；
（2）矩形的四个角都是直角；
（3）矩形的对角线平分且相等
（4）矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；它也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
2.矩形的判定定理：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）对角线相等的平行四边形是矩形
（3）有三个角是直角的四边形是矩形
【典例】
例1（2020春•香洲区校级期中）如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，若AB＝OB＝5．则AC＝（　　）

A．10 B．5 C．53 D．8
【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝OB＝5，
∴BD＝2OB＝2×5＝10，
∴AC＝BD＝10，
故选：A．
【方法总结】
考查了矩形的性质，解题的关键是了解矩形的对角线互相平分且相等，难度较小．
例2（2020春•云县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD相交于点O，OA＝OB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝5，∠AOB＝60°，求BC的长．

【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）解：∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝5，
由（1）得：四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝2OA＝10，
∴BC=AC2-AB2=102-52=53．
【方法总结】
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定与性质，属于中考常考题型．
【随堂练习】
1．（2020春•云县期中）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝CA，连接AE，若∠BAC＝52°，则∠E的度数是（　　）

A．18° B．19° C．20° D．40°
【解答】解：∵CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣52°＝38°，
∵∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠E，
∴∠E＝19°；
故选：B．
2．（2020秋•海曙区月考）如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AB＝6，M为边BC上的一个动点，ME⊥AB，MF⊥AC，则EF的最小值为（　　）

A．6 B．63 C．33 D．3
【解答】解：∵∠BAC＝90°，ME⊥AB，MF⊥AC，
∴∠A＝∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形AEMF是矩形，
∴EF＝AM，
要使EF最小，只要AM最小即可，
过A作AM⊥BC于M，此时AM最小，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AB＝6，
∴AM=32AB＝33，
即EF＝33
故选：C．


知识点2：菱形
1.菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2.菱形的性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质；
（2）菱形的四边都相等；
（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（4）菱形是轴对称图形，也是中心对称图形；
菱形的面积公式：菱形的面积等于对角线乘积的一半。
3.菱形的判定定理：
（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线垂直的平行四边形是菱形；
（3）四边相等的四边形是菱形；
【典例】
例1（2020春•温州期中）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P不与B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连结EF，则EF的最小值为（　　）

A．4 B．4.8 C．5 D．6
【解答】解：连接OP，

∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，BO=12BD＝8，OC=12AC＝6，
∴BC=OB2+OC2=64+36=10，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，
∴四边形OEPF是矩形，
∴FE＝OP，
∵当OP⊥BC时，OP有最小值，
此时S△OBC=12OB×OC=12BC×OP，
∴OP=6×810=4.8，
∴EF的最小值为4.8，
故选：B．
【方法总结】
本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的性质是本题的关键．
例2（2020春•五莲县期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别为边AB、CD的中点，连结DE、DB、BF．
（1）求证：∠DEB＝∠BFD；
（2）若∠ADB＝90°，证明：四边形BFDE是菱形．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB且DC∥AB，
∵E，F分别为边AB、CD上的中点，
∴DF=12DC，BE＝AB，且DF∥BE，
∴DF＝BE且DF∥BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴∠DEB＝∠BFD；
（2）证明：∵E为边AB的中点，
∴AE＝BE，
∵∠ADB＝90°，
∴△ADB为直角三角形
∴DE=12AB＝BE，
由（1）得，四边形BFDE是平行四边形，
∴平行四边形BFDE是菱形．
【方法总结】
此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2020春•长兴县期中）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若AB＝3，则菱形ABCD的面积是（　　）
A．943 B．83 C．925 D．923
【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝3，
∵∠ABC＝60°，AM⊥BC，
∴∠BAM＝30°，
∴BM=12AB=32，AM=3BM=332，
∴菱形ABCD的面积＝BC×AM＝3×332=932；
故选：D．

2．（2020•海陵区一模）已知：如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在AB、BC上，且ED∥BC，EF∥AC．
（1）求证：BE＝DE；
（2）当AB＝AC时，试说明四边形EFCD为菱形．

【解答】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD＝∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE；
（2）解：∵ED∥BC，EF∥AC，
∴四边形EFCD为平行四边形，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵EF∥AC，
∴∠EFB＝∠C，
∴∠EBC＝∠EFB，
∴BE＝FE，
而BE＝DE，
∴DE＝FE，
而四边形EFCD为平行四边形，
∴四边形EFCD为菱形．
知识点3：正方形
1.正方形的性质：
（1）正方形的四边都相等，四个角都是90°；
（2）正方形的对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
2.正方形的判定方法：
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；
（2）有一个内角是直角的菱形是正方形；
（3）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（4）对角线相等的菱形是正方形；
（5）邻边相等且有一个内角是直角的平行四边形是正方形；
（6）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
（7）有三个内角为直角且有一组邻边相等的四边形是正方形．
【典例】
例1（2020秋•南岗区校级月考）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E为边BC中点，P为正方形边上一点，且PB＝AE，则PE的长为　2或2　．

【解答】解：当点P在AD边上时，
∵PB＝AE，点E为边BC中点，
∴点P为边AD中点，
∴PE＝AB＝2；
当点P在CD边上时，
∵PB＝AE，点E为边BC中点，
∴点P为边CD中点，
∴PE=CE2+CP2=12+12=2．
所以PE的长为：2或2．
故答案为：2或2．
【方法总结】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
例2（2020秋•大田县期中）已知：如图，点D是△ABC中BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点EF，且BF＝CE．
（1）求证：Rt△BDF≌Rt△CDE
（2）问：△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形，并说明理由．

【解答】（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BDF＝∠CED＝90°
∵点D是△ABC中BC边上的中点，
∴BD＝CD，在Rt△BDF和Rt△CDF中，BD=CDBF=CE，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL）；
（2）解：当△ABC满足∠A＝90°（答案不唯一）时，四边形AEDF是正方形；理由如下：
∵∠BDF＝∠CED＝90°，∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∵Rt△BDF≌Rt△CDE，
∴DE＝DF，
∴四边形AEDF是正方形．
【方法总结】
此题主要考查了正方形的判定、全等三角形的判定和性质、矩形的判定等知识；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2020春•临高县期末）如图，点P为正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥CD于E，PF⊥BC于点F．
（1）求证：PA＝PC；
（2）若正方形ABCD的边长为1，求四边形PFCE的周长．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD＝45°，∠C＝90°，
在△ABP与△CBP中，
AB=CB∠ABP=∠CBPBP=BP，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC；
（2）∵PE⊥CD，PF⊥BC，
∴∠PFC＝90°，∠PEC＝90°．
又∵∠BCD＝90°，
∴四边形PFCE是矩形，
∴EC＝PF，PE＝CF，
∵∠CBD＝45°，∠PFB＝90°，
∴BF＝PF，
又∵BC＝1，
∴矩形PFCE的周长为2（PF+FC）＝2（BF+FC）＝2BC＝2．
2．（2020春•阳西县期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，DG＝2．求证：四边形EFGH为正方形．

【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，
∴∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，又AH＝DG＝2，
∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），
∴∠DHG＝∠HEA，
∵∠AHE+∠HEA＝90°，
∴∠AHE+∠DHG＝90°，
∴∠EHG＝90°，
∴四边形HEFG为正方形．
3．（2020春•邹城市期末）如图，▱ABCD中，∠A＝45°，过点D作ED⊥AD交AB的延长线于点E，且BE＝AB，连接BD，CE．
（1）求证：四边形BDCE是正方形；
（2）P为线段BC上一点，点M，N在直线AE上，且PM＝PB，∠DPN＝∠BPM．求证：AN=2PB．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵BE＝AB，
∴BE∥CD，
∴四边形BDCE是平行四边形，
∵ED⊥AD，∠A＝45°，
∴∠A＝∠DEA＝45°，
∴AD＝DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
又∵AB＝BE，
∴DB＝BE，DB⊥BE，
∴平行四边形BDCE是正方形；
（2）∵四边形BDCE是正方形，
∴BD＝BE＝AB，∠DBP＝∠EBP＝45°，
∵PM＝PB，
∴∠PBM＝∠PMB＝45°，
∴∠BPM＝90°，
∴∠DPN＝∠BPM＝90°，
∴∠DPB＝∠NPM，
在△DBP和△NMP中，
∠DPB=∠NPM∠DBP=∠NMP=45°BP=PM，
∴△DBP≌△NMP（AAS），
∴DB＝MN，
∴AB＝NM，
∴AN＝BM，
∵BP＝PM，∠BPM＝90°，
∴BM=2BP，
∴AN=2BP．

综合运用
1．（2020春•长清区期末）已知：如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．
（1）求证：△ADE≌△BCE；
（2）若AB＝12，AD＝8，求△CDE的周长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠A＝∠B＝90°，AB＝CD，
∵E是AB的中点，
∴AE＝BE．
在△ADE与△BCE中，AD=BC∠A=∠BAE=BE，
∴△ADE≌△BCE（SAS）；
（2）由（1）知：△ADE≌△BCE，
∴DE＝CE．
在Rt△ADE中，AD＝8，AE=12AB＝6，CD＝AB＝12，
由勾股定理知，DE=AD2+AE2=82+62=10，
∴△CDE的周长＝CE+DE+CD＝2DE+AB＝2×10+12＝32．

2.（2020春•麻城市校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，∠ADB的平分线交AB于点F，交CB的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若DC＝6，EF：BF＝2：1，求菱形AEBD的面积．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEB，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE＝∠BDE，
∴∠BED＝∠BDE，
∴BE＝BD，
∵BD＝DA，
∴AD＝BE，且AD∥BE，
∴四边形ADBE是平行四边形，
∵AD＝BD，
∴四边形AEBD是菱形．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝6，
∵四边形AEBD是菱形，
∴AB⊥DE，AF＝FB=12AB＝3，EF＝DF，
∵EF：BF＝2：1，
∴EF＝2BF＝6，
∴DE＝2EF＝12，
∴菱形AEBD的面积=12AB•DE=12×6×12＝36
3．（2020春•金平区期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．若EC平分∠BEF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若AC＝8，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．

【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠FEC＝∠BCE．
∵EC平分∠BEF，
∴∠BEC＝∠FEC，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BE＝BC，
又∵EF＝BE，
∴EF＝BC，
∵EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵BE＝EF，
∴四边形BCFE是菱形；
（2）解：∵AC＝8，D是AC的中点，
∴EC=12AC=12×8＝4．
∵∠BCF＝120°，
∴∠ECB=12∠BCF=12×120°＝60°，
又∵在菱形BCEF中，BE＝BC，
∴△EBC是等边三角形，
∴BE＝BC＝CE，
过点E作EG⊥BC于点G，如图：

∴BG=12BC=12×4＝2，
∴EG=BC2-BE2=42-22=23，
∴S菱形BCFE＝BC•EG＝4×23=83．
4. （2020春•沂水县期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形ADFE是矩形；
（2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度．

【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，
∴AB∥DC且AB＝DC，
∴∠ABE＝∠DCF，
在△ABE和△DCF中，AB=DC∠ABE=∠DCFBE=CF，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，
∴AE∥DF，
∴四边形ADFE是矩形；

（2）解：由（1）知：四边形ADFE是矩形，
∴EF＝AD＝6，
∵EC＝4，
∴BE＝CF＝2，
∴BF＝8，
Rt△ABE中，∠ABE＝60°，
∴AB＝2BE＝4，
∴DF＝AE=AB2-BE2=23，
∴BD=BF2+DF2=82+(23)2=219，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴OF=12BD=19．
5.（2020春•利州区期末）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB、BC上，且AE＝BF．
（1）试探索线段AF、DE的数量关系，写出你的结论并说明理由；
（2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图②中补全图形，并说明理由．

【解答】解：（1）AF＝DE．
∵ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵AE＝BF，
∴△DAE≌△ABF，
∴AF＝DE．

（2）四边形HIJK是正方形．
如下图，H、I、J、K分别是AE、EF、FD、DA的中点，
∴HI＝KJ=12AF，HK＝IJ=12ED，
∵AF＝DE，
∴HI＝KJ＝HK＝IJ，
∴四边形HIJK是菱形，
∵△DAE≌△ABF，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠BAF+∠AED＝90°，
∴∠AOE＝90°
∴∠KHI＝90°，
∴四边形HIJK是正方形．